’t Hooft-Symbol

Das ’t Hooft-Symbol ist in der mathematischen Formulierung der Physik eine Kombination des Kronecker-Deltas und des Levi-Civita-Symbols. Mit diesem können die Generatoren der zweiten speziellen unitären Lie-Algebra ${\mathfrak {su}}(2)$ durch die Generatoren der Lorentz-Algebra ${\mathfrak {so}}(1,3)$ ausgedrückt werden, was etwa bei der Beschreibung der BPST-Instantone verwendet wird. Benannt ist das ’t Hooft-Symbol nach dem niederländischen Physiker Gerard ’t Hooft, welcher dieses im Jahr 1976 einführte.

Definition

Griechische Indizes $\mu ,\nu =1,2,3,4$ stehen dabei für die Koordinaten der vierdimensionalen Raumzeit und der lateinische Index $a=1,2,3$ steht für die Pauli-Matrizen, welche eine Basis der dreidimensionalen Lie-Algebra ${\mathfrak {su}}(2)$ bilden. Das (selbstduale) ’t Hooft-Symbol und das anti (selbstduale) ’t Hooft-Symbol sind definiert durch:

$\eta _{\mu \nu }^{a}=\epsilon _{a\mu \nu 4}+\delta _{a\mu }\delta _{\nu 4}-\delta _{a\nu }\delta _{\mu 4}={\begin{cases}\epsilon ^{a\mu \nu }&\mu ,\nu =1,2,3\\-\delta ^{a\nu }&\mu =4\\\delta ^{a\mu }&\nu =4\\0&\mu =\nu =4\end{cases}};$

${\overline {\eta }}_{\mu \nu }^{a}=\epsilon _{a\mu \nu 4}-\delta _{a\mu }\delta _{\nu 4}+\delta _{a\nu }\delta _{\mu 4}={\begin{cases}\epsilon ^{a\mu \nu }&\mu ,\nu =1,2,3\\\delta ^{a\nu }&\mu =4\\-\delta ^{a\mu }&\nu =4\\0&\mu =\nu =4\end{cases}}.$

Eigenschaften

Die Benennung der ’t Hooft-Symbol als selbstdual und antiselbstdual stammt von den Eigenschaften:

$\eta _{a\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\eta _{a\rho \sigma };$

${\bar {\eta }}_{a\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }{\overline {\eta }}_{a\rho \sigma }.$

Literatur

• Gerard ’t Hooft: Computation of the quantum effects due to a four-dimensional pseudoparticle. In: Physical Review D. Band 14, Nr. 12, 1976, S. 3432–3450, doi:10.1103/PhysRevD.14.3432, bibcode:1976PhRvD..14.3432T (englisch). 
• A. V. Belitsky, S. Vandoren und P. V. Nieuwenhuizen: Yang-Mills and D-instantons. In: Classical and Quantum Gravity. Band 17, Nr. 17, 2000, S. 3521–3570, doi:10.1088/0264-9381/17/17/305, arxiv:hep-th/0004186, bibcode:2000CQGra..17.3521B (englisch).