Konjugiertes Element

Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Körpers, wenn sie bezüglich eines Unterkörpers dasselbe Minimalpolynom haben.

Definition

Seien $L/K$ eine Körpererweiterung und $K[x]$ der Polynomring zu $K$ mit der Unbestimmten $x$ . Die Elemente $a,b\in L$ seien algebraisch über $K$ , das heißt, es existieren $0\neq q(x),p(x)\in K[x]$ mit $p(a)=q(b)=0$ .

Dann heißen $a$ und $b$ algebraisch konjugiert über $K$ , wenn $a$ und $b$ dasselbe Minimalpolynom über $K$ haben.

Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch kürzer nur von „konjugiert“.

Eigenschaften

$a$ und $b$ sind genau dann konjugiert über dem Körper $K$ , wenn für alle $p(x)\in K[x]$ gilt, dass $p(a)=0\Leftrightarrow p(b)=0$ .
Sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung mit $L=K(b)$ für ein $b\in L\setminus K$ . Dann sind $a,b\in L$ genau dann konjugiert über dem Körper $K$ , wenn es ein Element $\varphi$ in der Galoisgruppe $\mathrm {Gal} (L/K)$ gibt mit $\varphi (a)=b$ .

Beispiele

Die komplexen Zahlen $i$ und $-i$ haben über $\mathbb {R}$ beide das Minimalpolynom $\textstyle x^{2}+1$ und sind daher algebraisch konjugiert über $\mathbb {R}$ . Über $\mathbb {C}$ haben sie natürlich die Minimalpolynome $x-i$ bzw. $x+i$ und sind nicht konjugiert.
Allgemeiner gilt: Zwei komplexe Zahlen $a+bi$ und $c+di$ mit $b,d\neq 0$ sind genau dann algebraisch konjugiert über $\mathbb {R}$ , wenn sie durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen, also $a=c,b=-d$ gilt. Das gemeinsame Minimalpolynom ist in diesem Fall $x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}$ .
Die Goldene Zahl $\Phi$ und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert über dem Körper $\mathbb {Q}$ . Sie sind Lösungen des Minimalpolynoms $\textstyle x^{2}-x-1$ .
Die zu $x_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ algebraisch Konjugierten erhält man wie folgt: Aus