Funktionenkörper
(Algebraische) Funktionenkörper sind in der Mathematik algebraische Entsprechungen geometrischer Objekte. Funktionenkörper über endlichen Körpern spielen auch in der algebraischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle.
Algebraische Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei ein Körper. Dann heißt ein transzendenter Erweiterungskörper von endlichem Transzendenzgrad ein (algebraischer) Funktionenkörper.
Der algebraische Abschluss von in heißt Konstantenkörper.
Funktionenkörper im engeren Sinne sind Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über einem endlichen Körper. Zusammen mit den algebraischen Zahlkörpern bilden sie die Klasse der globalen Körper.
Geometrische Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ist ein ganzes algebraisches Schema über einem Körper , so heißt der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt Funktionenkörper von . Er ist ein Funktionenkörper über im algebraischen Sinne.
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die rationalen Funktionen auf einer (irreduziblen) Varietät bilden einen Funktionenkörper.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, 2006, ISBN 9783540376637, S. 99 ff.