Anosov-Fluss

In der Mathematik sind Anosov-Flüsse, benannt nach Dmitri Wiktorowitsch Anossow, ein gut verstandenes Beispiel chaotischer Dynamik. Sie zeigen einerseits alle typischen Effekte chaotischen Verhaltens, sind andererseits aber einer mathematischen Behandlung gut zugänglich.

Definition

Ein Fluss $\phi ^{t}$ auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ heißt Anosov-Fluss, wenn es eine stetige, $\phi ^{t}$-invariante Zerlegung

$TM=E^{c}\oplus E^{s}\oplus E^{u}$

des Tangentialbündels $TM$ gibt, so dass $E^{c}$ tangential zur Flussrichtung ist und $E^{s}$ bzw. $E^{u}$ durch $D\phi ^{t}$ gleichmäßig kontrahiert bzw. expandiert werden, d. h., es gibt $C\geq 1,\lambda >0$ mit

$\parallel D\phi ^{t}(v^{s})\parallel \leq Ce^{-\lambda t}\parallel v^{s}\parallel \ \forall v^{s}\in E^{s},t>0$

$\parallel D\phi ^{t}(v^{u})\parallel \geq {\frac {1}{C}}e^{\lambda t}\parallel v^{u}\parallel \ \forall v^{u}\in E^{u},t>0$.

Die Unterbündel $E^{s}$ und $E^{u}$ heißen stabiles und instabiles Bündel, die direkten Summen $E^{ss}:=E^{c}\oplus E^{s}$ und $E^{uu}:=E^{c}\oplus E^{u}$ heißen schwach stabiles bzw. schwach instabiles Bündel.

Differenzierbarkeit der Distributionen

Im Allgemeinen sind die Distributionen $E^{s}$ und $E^{u}$ nur stetig und nicht notwendig differenzierbar. Benoist-Foulon-Labourie haben bewiesen, dass das stabile und instabile Bündel eines Anosov-Flusses auf einer kompakten Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung nur dann $C^{\infty }$-Bündel sind, wenn es sich (bis auf $C^{\infty }$-Reparametrisierung) um den geodätischen Fluss eines lokal symmetrischen Raumes handelt.

Integralmannigfaltigkeiten

Die Unterbündel $E^{c}\oplus E^{s}$ und $E^{c}\oplus E^{u}$ sind integrierbar, ihre Integralmannigfaltigkeiten heißen schwach stabile bzw. schwach instabile Mannigfaltigkeit. Die schwach stabilen bzw. schwach instabilen Mannigfaltigkeiten eines Anosov-Flusses bilden jeweils eine straffe Blätterung.

Analog werden die Integralmannigfaltigkeiten von $E^{s}$ bzw. $E^{u}$ als stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Beispiele

• Der geodätische Fluss (auf dem Einheitstangentialbündel) einer Riemannschen Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist ein Anosov-Fluss, seine stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit sind Einheitstangentialbündel von Horosphären.
• Der Suspensionsfluss eines Anosov-Diffeomorphismus, zum Beispiel eines hyperbolischen Automorphismus des Torus, ist ein Anosov-Fluss.

Eigenschaften

• Periodische Orbiten liegen dicht.
• Ein maß-erhaltender Anosov-Fluss ist ergodisch.

Literatur

Stephen Smale: Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc. 73 1967 747–817 pdf