BPST-Instantone

Darstellung der Koeffizienten $A_{1}^{3}$ von $\mathrm {d} x^{1}\otimes \sigma _{3}$ und $A_{2}^{3}$ von $\mathrm {d} x^{2}\otimes \sigma _{3}$ der BPST-Instantone auf der $(x_{1},x_{2})$-Ebene sowie die Krümmung und die Kompaktifizierung auf der vierdimensionalen Sphäre.

Die Belavin-Polyakov-Schwarz-Tyupkin-Instantone (kurz BPST-Instantone) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine spezielle Lösung der Yang-Mills-Gleichungen auf dem vierdimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{4}$ für die zweite spezielle unitäre Gruppe $\operatorname {SU} (2)$ als Eichgruppe. Benannt ist die BPST-Instantone nach Alexander Belavin, Alexander Polyakov, Albert Schwarz and Yu Tyupkin, welche diese im Jahr 1975 erstmals konstruiert haben.

Nicht zu verwechseln ist die BPST-Instantone mit der ebenfalls in der Yang-Mills-Theorie auftretenden BPS-Grenze. Dort stehen BPS für Evgeny Bogomolny, M.K. Prasad und Charles Sommerfield. Auch abzugrenzen ist die ebenfalls mit der Yang-Mills-Theorie verbundene BRST-Symmetrie. Dort stehen BST für Carlo Becchi, Raymond Stora und Igor Tyutin.

Beschreibung

Sei $z$ der Ort und $\rho$ die Größe der BPST-Instantone. Mit den Pauli-Matrizen $\sigma _{a}$, welche Generatoren der zweiten speziellen unitären Lie-Algebra ${\mathfrak {su}}(2)$ sind, und dem ’t Hooft-Symbol $\eta _{\mu \nu }^{a}$ ist dessen Eichpotential $A(x)=A_{\mu }^{a}\otimes \sigma _{a}\mathrm {d} x^{\mu }$ gegeben durch:

$A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\eta _{\mu \nu }^{a}(x-z)_{\nu }}{(x-z)^{2}+\rho ^{2}}}$

und dessen Krümmung $F(x)=F_{\mu \nu }^{a}\otimes \sigma _{a}\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }$ gegeben durch:

$F_{i0}^{a}={\frac {4\rho ^{2}\delta _{ai}}{g(x^{2}+\rho ^{2})^{2}}}.$

Dabei wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Literatur

• A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Schwartz und Yu. S. Tyupkin: Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations. In: Phys. Lett. B. Band 59, Nr. 1, 1975, S. 85–87, doi:10.1016/0370-2693(75)90163-X, bibcode:1975PhLB...59...85B (englisch). 

Weblinks

• BPST-instanton auf nLab (englisch)