Kepler-Gleichung

Kepler-Gleichung (elliptische Bahn):
$E$ in Abhängigkeit von $M$ (Parameter: Exzentrizität $e$)

Zur Kepler-Gleichung (elliptische Bahn):

Längen:	Punkte:
$a\!:$ große Halbachse	$\mathrm {C} \!:$ Mittelpunkt
$b\!:$ kleine Halbachse	$\mathrm {S} \!:$ Brennpunkt (Sonne)
$e\!\cdot \!a\!:$ lineare Exzentrizität	$\mathrm {Z} \!:$ Periapsis
Winkel:
$T\!:$ wahre Anomalie	$\mathrm {P} \!:$ Objekt (Planet)
$E\!:$ exzentrische       Anomalie	$\mathrm {X} \!:$ Hilfspunkt zum       Objekt
$M\!:$ mittlere Anomalie	$\mathrm {Y} \!:$ fiktives Objekt

Die Kepler-Gleichung ist eine transzendente Gleichung zur Berechnung der Bewegung von Himmelskörpern auf elliptischen Bahnen um einen zentralen Himmelskörper, wie z. B. die Erde um die Sonne. Sie ergibt sich aus den ersten beiden Gesetzen, die Johannes Kepler 1609 publizierte, und lautet

$M=E-e\cdot \sin E$.

$E$ ist die sogenannte „exzentrische Anomalie“ des Himmelskörpers $P$ und $M$ die „mittlere Anomalie“, eines fiktiven Himmelskörpers $Y$, der die Zeit repräsentiert. Gleichungs-Parameter ist die (numerische) Exzentrizität $e$ der Bahn-Ellipse.

Beide Anomalien sind auf die Periapsis $Z$ bezogene Winkel um das Zentrum $C$ der Ellipse.

Die Kepler-Gleichung wird z. B. bei der Berechnung der Zeitgleichung angewendet. Die dabei benötigte „wahre Anomalie“ $T$ des Himmelskörpers $P$ (dort die Erde) auf seiner Bahn um den zentralen Himmelskörper $S$ (dort definitiv die Sonne) wird aus der „exzentrischen Anomalie“ $E$ errechnet.

Herleitung der Kepler-Gleichung

Die Keplergleichung und die beiden keplerschen Gesetze

Das zweite keplersche Gesetz, der Flächensatz, folgt aus der Drehimpulserhaltung im Zweikörperproblem, welch letzteres in der Astronomie auch Kepler-Problem genannt wird. Zwischen den beiden Körpern wirkt lediglich eine radiale Kraft, hier auf dem Fahrstrahl vom zentralen Körper $\mathrm {S}$ zum diesen umrundenden Himmelsobjekt $\mathrm {P}$. Gehorcht diese Kraft einem $1/r^{2}$-Gesetz (wie die Newtonsche Gravitationskraft), dann ist die Planetenbahn dem ersten keplerschen Gesetzes zufolge ein Kegelschnitt. Die Kepler-Gleichung ist für den elliptischen Schnitt (elliptische Bahn) eine Rechenformel für die Aussage des Flächensatzes. Sie bringt die Zeit $t$ in Form der (von Kepler so genannten) mittleren Anomalie $M$ mit der Position des Himmelsobjekts $\mathrm {P}$ auf seiner Umlaufbahn (Kepler-Ellipse „Orbit“) in Form der (von Kepler so genannten) wahren Anomalie $T$, d. i. sein Winkelabstand von der Periapsis $\mathrm {Z}$, (über die Hilfsgröße der exzentrischen Anomalie $E$) in einen eindeutigen formelmäßigen Zusammenhang.

Dabei ist $e$ die numerische Exzentrizität der Ellipse.

Gebrauch der mittleren Anomalie

Die gleichmäßig vergehende Zeit $t$ wird mit der Drehung $\mathrm {M}$ eines fiktiven Körpers $\mathrm {Y}$ um den Ellipsen-Mittelpunkt $\mathrm {C}$ mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dargestellt. Im Bezugs-Zeitpunkt $t_{P}$ befinden sich sowohl $\mathrm {Y}$ als auch das wahre Objekt $\mathrm {P}$ in der Periapsis $\mathrm {Z}$. Beide Körper haben dieselbe Umlaufzeit und treffen sich nach jedem Umlauf wieder in der Periapsis und nach jedem halben dazwischen in der Apoapsis.

Zu Gleichung $\mathrm {(2)}$

$\mathrm {(1)} \quad M=2\pi {\frac {t-t_{P}}{U}}$ .

Dabei ist $U$ die Zeit für einen Umlauf und ${2\pi }/U$ die mittlere Winkelgeschwindigkeit. Im Zeitpunkt $t_{P}$ befindet sich das Himmelsobjekt in der Periapsis, wo es den geringsten Abstand zum zentralen Körper $\mathrm {S}$ hat.

Gemäß dem zweiten keplerschen Gesetz überstreicht der Fahrstrahl ${\overline {\mathrm {SP} }}$ des Körpers $\mathrm {P}$ im gleichen Zeitabschnitt die gleiche Fläche. Da der Zeitanteil (am Umlauf) proportional ist zum Anteil des Kreissektors am Umkreis, ist der Anteil der elliptischen Teilfläche $\mathrm {SPZ}$ an der Ellipse gleich groß wie der des Kreissektors $\mathrm {CYZ}$ am Umkreis:

$\mathrm {(2)} \quad {\frac {\operatorname {area} \,\mathrm {CYZ} }{\operatorname {area} \,\mathrm {SPZ} }}={\frac {\pi a^{2}}{\pi ab}}={\frac {a}{b}}$ .

Dabei ist $a$ die große Halbachse der Ellipse und gleichzeitig der Radius des Umkreises, $b$ die kleine Halbachse der Ellipse. Ellipse und Umkreis sind im Verhältnis $b/a$ affin zueinander, d. h., die Ellipse ist in jeder Parallele zur kleinen Halbachse der mit diesem Verhältnis „gestauchte“ Umkreis.

Zu Gleichung $\mathrm {(4)}$

Zu Gleichung $\mathrm {(3)}$

Gebrauch der exzentrischen Anomalie

Durch eine zur kleinen Halbachse parallele Projektion des Punktes $\mathrm {P}$ auf den Umkreis entsteht der Hilfspunkt $\mathrm {X}$, dessen Winkel im Mittelpunkt $\mathrm {C}$ zur Periapsis $\mathrm {Z}$ von Kepler exzentrische Anomalie $E$ genannt wurde. Die Affinität begründet folgenden Zusammenhang:

$\mathrm {(3)} \quad \operatorname {area} \,\mathrm {SXZ} ={\frac {a}{b}}\operatorname {area} \,\mathrm {SPZ}$ .

Nach Einsetzen von Gleichung $\mathrm {(2)}$ in Gleichung $\mathrm {(3)}$ folgt:

$\mathrm {(4)} \quad \operatorname {area} \,\mathrm {SXZ} =\operatorname {area} \,\mathrm {CYZ}$ .

Ergebnis: Die Keplergleichung

Implizit

Zu den Gleichungen $\mathrm {(5)}$ und $\mathrm {(6)}$

Zu Gleichung $\mathrm {(7)}$

Mit der Gleichung $\mathrm {(4)}$ ist die gesuchte, das zweite keplersche Gesetz erfüllende Beziehung zwischen der exzentrischen Anomalie (Punkt $\mathrm {X}$) und der mittleren Anomalie (Punkt $\mathrm {Y}$) implizit gefunden. Eine explizite Beziehung ergibt sich durch folgende Schritte:

Explizit

Wenn der Fahrstrahl ${\overline {\mathrm {CY} }}$ in einer Periode $U$ den Winkel $2\pi$ zurücklegt und die Fläche $\pi a^{2}$ überstreicht, so überstreicht er bis zum Zeitpunkt $t$ den Winkel $M$ und eine um den Faktor $M/2\pi$ kleinere Fläche:

$\mathrm {(5)} \quad \displaystyle \operatorname {area} \,\mathrm {CYZ} ={\frac {a^{2}}{2}}M$ .

Die analoge Betrachtung für den Fahrstrahl ${\overline {\mathrm {CX} }}$ über den Winkel $E$ ergibt:

$\mathrm {(6)} \quad \displaystyle \operatorname {area} \,\mathrm {CXZ} ={\frac {a^{2}}{2}}E$ .

Die Fläche $\mathrm {CXZ}$ besteht aus den Teilflächen $\mathrm {CXS}$ und $\mathrm {SXZ}$:

$\mathrm {(7)} \quad \displaystyle \operatorname {area} \,\mathrm {CXZ} =\operatorname {area} \,\mathrm {CXS} +\operatorname {area} \,\mathrm {SXZ}$ .

Die Teilfläche $\mathrm {CXS}$ (hellblau umrandet in der Abbildung) ist ein geradlinig begrenztes Dreieck mit der Basis $e\cdot a$ und der Höhe $a\cdot \sin E$ :

$\mathrm {(8)} \quad \displaystyle \operatorname {area} \,\mathrm {CXS} ={\frac {ea\cdot a\sin E}{2}}={\frac {a^{2}}{2}}\,e\sin E$ .

$e$ ist die numerische Exzentrizität der Ellipse und $ea={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ die lineare, die den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt angibt.

Die Teilfläche $\mathrm {SXZ}$ ist nach Gleichung $\mathrm {(4)}$ gleich groß wie die Fläche $\mathrm {CYZ}$, deren Wert in Gleichung $\mathrm {(5)}$ angegeben ist.

Durch Einsetzen der Gleichungen $\mathrm {(6)}$, $\mathrm {(8)}$ und $\mathrm {(5)}$ wird aus Gleichung $\mathrm {(7)}$ die Gleichung

$\mathrm {(9)} \quad \displaystyle {\frac {a^{2}}{2}}E={\frac {a^{2}}{2}}e\sin E+{\frac {a^{2}}{2}}M$ .

Daraus ergibt sich schließlich die Kepler-Gleichung:

$E-e\cdot \sin E=M$ .

Lösungs-Methoden

Die Kepler-Gleichung ist nicht in geschlossener Form nach der exzentrischen Anomalie $E(t)$ auflösbar. Beispiele dafür, wie $E(t)$ mit ihr aus der mittleren Anomalie $M(t)=2\pi {\frac {t-t_{P}}{U}}$ ermittelt werden kann:

1. $E-M$ ist eine ungerade, mit $2\pi$ periodische Funktion in $M$. Als solche lässt sie sich in eine Fourierreihe entwickeln, die für alle $M\in \mathbb {R}$ und $e\in \mathbb {R}$ konvergiert, und zwar ist

   $F(M):=E-M=e\cdot \sin E=2\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)$

   mit $J_{n}$ als Bessel-Funktion erster Gattung $n$-ter Ordnung.
   Aus den Werten $F(M^{\prime })$ für $M^{\prime }\in [0,\pi ]$ lassen sich alle anderen Werte $F(M)$ leicht berechnen:

   $F(M)=s\cdot F{\bigl (}s\cdot M^{\prime }{\bigr )}$

   mit $k:={\bigl \lfloor }{\tfrac {M}{\pi }}{\bigr \rfloor }\in \mathbb {Z}$ (Gaußklammer), $s:=(-1)^{k}\in \{1,-1\}$ und $M^{\prime }:=M-{\bigl (}k+{\tfrac {1-s}{2}}{\bigr )}\pi \in [-\pi ,+\pi ]$, sodass $s\cdot M^{\prime }\in [0,+\pi ]$.
2. Eine Nullstelle $E$ der Funktion

   $f(E)=E-e\cdot \sin E-M$

   ist eine Lösung der Keplergleichung. Die Nullstelle kann etwa mit dem Newton-Verfahren wie folgt numerisch berechnet werden:

   $E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M}{1-e\cos(E_{n})}}$ .

   Für die meisten elliptischen Bahnen ist der Anfangswert $E_{0}=M$ geeignet. Für Exzentrizitäten $0{,}8<e<1$ kann $E_{0}=\pi$ genommen werden.
3. Ein stabileres, aber langsamer konvergierendes Verfahren beruht auf dem banachschen Fixpunktsatz:

   $E_{0}=M,\qquad E_{n+1}=M+e\cdot \sin E_{n}$ .

4. Für kleine Exzentrizität $e$ kann $E$ auch folgendermaßen approximiert werden:

   $E=M+e\cdot \sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\cdot \sin 2M$

   Der Fehler ist hierbei von der Größenordnung ${\mathcal {O}}(e^{3})$. Bei der Erde und ihrer Exzentrizität $e=0{,}0167$ liegt der Fehler für begrenzte Zeiträume hinter der 5. Kommastelle.
5. Eine Auflösung für $e<1$ nach Art der Lagrangeschen Inversionsformel ist die Maclaurin-Reihe in $M$   ${\begin{array}{ll}\textstyle E={\frac {1}{1-e}}M\!\!\!\!&-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(e+9e^{2})}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(e+54e^{2}+225e^{3})}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}\\&+{\frac {(e+243e^{2}+4131e^{3}+11025e^{4})}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}-{\frac {(e+1008e^{2}+50166e^{3}+457200e^{4}+893025e^{5})}{(1-e)^{16}}}{\frac {M^{11}}{{11}!}}\\&+{\frac {(e+4077e^{2}+520218e^{3}+11708154e^{4}+70301925e^{5}+108056025e^{6})}{(1-e)^{19}}}{\frac {M^{13}}{{13}!}}\mp \cdots ,\end{array}}$
   die für $|M|<\cosh ^{-1}(e^{-1})-{\sqrt {1-e^{2}}}$ linear konvergiert. Ist also $0\leq e\lessapprox 0{,}031803066$, dann konvergiert sie für $|M|\leq \pi$ linear.
   Die Koeffizienten der Zähler-Polynome in $e$ sind in der Folge A306557 in OEIS festgehalten.

Rechnen mit der Kepler-Gleichung

Mittlere Anomalie >>> wahre Anomalie

Für einen Himmelskörper auf einer Keplerbahn soll für den Zeitpunkt $t$ beziehungsweise für die zugehörige mittlere Anomalie $M(t)$ der Ort beziehungsweise die wahre Anomalie $T(t)$ ermittelt werden:

Mit Hilfe der Kepler-Gleichung wird aus der mittleren Anomalie $M(t)$ zuerst die exzentrische Anomalie $E(t)$ ermittelt (siehe oben). Aus Letzterer folgt die wahre Anomalie $T(t)$ nach einer der folgenden Beziehungen:

$\tan {\frac {T}{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}$  

oder

$\cos T={\frac {a\cos E-ae}{a-ae\,\cos E}}={\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}$

Hier ist $ae={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ die lineare Exzentrizität der Bahnellipse.
Zum Auflösen nach $T$ ist jeweils eine Unterscheidung der Fälle $0\leq E\leq \pi$ und $\pi \leq E\leq 2\pi$ nötig.

Anmerkung: Der Nenner der zweiten Formel gibt gerade den Abstand $r$ des Himmelsobjekts zum Brennpunkt $S$ an:

$r=a-ae\cos E$

Wahre Anomalie >>> mittlere Anomalie

Für einen Himmelskörper auf einer Keplerbahn mit der wahren Anomalie $T$ soll die mittlere Anomalie $M(T)$ bzw. der zugehörende Zeitpunkt $t(t)$ bestimmt werden. Es handelt sich um die zur obigen umgekehrte Rechenarbeit.

Ausgehend von $t$ ergibt sich zuerst die exzentrische Anomalie zu

$E=2\arctan _{\tfrac {t}{2}}\left({\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\cdot \tan {\frac {t}{2}}\right)$ .

Der Lageparameter-Index ${\tfrac {t}{2}}$ bei $\arctan$ gibt denjenigen Wert des Arkustangens zurück, der diesem (${\tfrac {t}{2}}$) am nächsten liegt (siehe Arkustangens mit Lageparameter).

Die Kepler-Gleichung liefert die $E$ zugehörige mittlere Anomalie

$M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}\cdot e\cdot \sin E(t)$ .

Aus der linearen Gleichung für $M(t)$ folgt schließlich der Zeitpunkt $t$:

$t={\frac {M-M_{0}}{\dot {M}}}$

Beispiel zu

  wahre Anomalie >>> Zeitpunkt

Passagezeiten der vier Erdbahnellipsen-Scheitel:
Die für die Erde gültigen Bahnelemente sind unter mittlere Kepler-Elemente angegeben. Die im Verweisartikel verwendete Zeit $T$ ist in Julianischen Jahrhunderten gerechnet. Hier wird $t$ in Tagen gemessen, sodass die linearen Koeffizienten der Zeit $T$ durch 36525 zu teilen sind, um ${\dot {M}}$ und ${\dot {e}}$ zu erhalten. Die sehr langsame Änderung der numerischen Exzentrizität wird allerdings vernachlässigt (${\dot {e}}=0$). Der Nullpunkt der Zeit $T$ – und damit auch von $t$ – ist der 1. Januar 2000, 12:00 UT. Die wahre Anomalie bei Perihelpassage der Erde im Jahr 2000 ist gleich 360° (nicht null!), im Jahr 2001 gleich 720° usw.

Passagezeiten der vier Erdbahnellipsen-Scheitel

	Perihel 2000	Frühlings- Nebenscheitel	Aphel	Herbst- Nebenscheitel	Perihel 2001
Wahre Anomalie $T/^{\circ }$	360	450	540	630	720
Zeit $t/{\text{d}}$	2,511	91,883	185,140	278,398	367,770
Zeitabstand $\Delta t/{\text{d}}$		89,372	93,258	93,258	89,372

Der Abstand zwischen den mittleren Perihelpassagen (anomalistisches Jahr) beträgt $J_{an}=360^{\circ }/{\dot {M}}=365,260{\text{ d}}.$ Die so berechneten mittleren Perihelzeiten können sich um mehrere Tage vom realen (vor allem mondgestörten) Wert unterscheiden.

Wahre Anomalie >>> Bahnradius

→ Hauptartikel: Keplerbahn

Mit der wahren Anomalie $T$ wird die Richtung eines Himmelskörpers auf seiner Keplerbahn für den Zeitpunkt $t$ angegeben. Die zugehörende Entfernung – der Bahnradius – ist wie folgt berechenbar:

$r=r(T(t))=r(t)=a\cdot {\frac {1-e^{2}}{1+e\cdot \cos T}}$

$r\!:$ Entfernung (Bahnradius)

$a\!:$ große Halbachse der Ellipse

$e\!:$ numerische Exzentrizität

$T\!:$ wahre Anomalie

Wahre Anomalie >>> Bahngeschwindigkeit

Die zeitliche Änderung der wahren Anomalie entspricht der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ in Bezug auf das Gravizentrum. Die Normalkomponente der Geschwindigkeit folgt also direkt aus

$v_{\perp }={\dot {T}}\cdot r.$

Die Radialgeschwindigkeit ist die Änderung des Bahnradius mit der Zeit:

$v_{r}={\dot {r}}$

Für die Bahngeschwindigkeit oder Orbitalgeschwindigkeit $v$ folgt dann $v^{2}=v_{\perp }^{2}+v_{r}^{2}.$

$v=v(T(t),r(t))=v(t)={\sqrt {({\dot {T}}\cdot r)^{2}+{\dot {r}}^{2}}}$

$v\!:$ Bahngeschwindigkeit

$T\!:$ wahre Anomalie

$r\!:$ Bahnradius

Einfacher lässt sich die Bahngeschwindigkeit über den Hodograph ${\vec {\dot {r}}}$ aus dem Flächensatz ableiten:

$v^{2}={\frac {C^{2}}{p}}\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$

$C\!:$ spezifischer Drehimpuls als zentrale Kenngröße der Bewegung

$C=v_{\mathrm {max} }\cdot r_{\mathrm {min} }=v_{\mathrm {min} }\cdot r_{\mathrm {max} }$

$p\!:$ Halbparameter als kennzeichnendes Bahnelement

$p=2\cdot {\frac {r_{\mathrm {min} }\cdot r_{\mathrm {max} }}{r_{\mathrm {min} }+r_{\mathrm {max} }}}={\frac {b^{2}}{a}}$

$a\!:$ große Halbachse

$b\!:$ kleine Halbachse

${\frac {C^{2}}{p}}=G\cdot M$ mit Gravitationskonstante $G$ und Masse $M$ des Zentralkörpers

Daraus folgen die Minimal- und Maximalgeschwindigkeit im Apozentrum und Perizentrum einer Ellipsenbahn:

$v_{\mathrm {max} }^{2}={\frac {C^{2}}{p\cdot a}}\cdot {\frac {1+e}{1-e}}\qquad v_{\mathrm {min} }^{2}={\frac {C^{2}}{p\cdot a}}\cdot {\frac {1-e}{1+e}}$

$e\!:$ numerische Exzentrizität.

Weitere Zusammenhänge

Zwischen der wahren Anomalie $T,$ der exzentrischen Anomalie $E$ und der mittleren Anomalie $M$ bestehen noch zahlreiche weitere Zusammenhänge, die in der langen Geschichte der Himmelsmechanik entwickelt wurden. Insbesondere lässt sich die wahre Anomalie – ohne Umweg über die Keplergleichung – direkt aus einer speziellen Differenzialgleichung in $M$ errechnen, was für numerische Näherungsverfahren von Interesse ist.

Insbesondere kann auch hier die wahre Anomalie $T$ durch die mittlere Anomalie $M$ für kleine Exzentrizitäten genähert werden, es ergibt sich die nützliche Näherung

$T=M+2e\sin(M)+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2M)+...$  .

Die Differenz $T$ − $M$ heißt Mittelpunktsgleichung.

Anwendung der Kepler-Gleichung bei der Zeitgleichung

→ Hauptartikel: Zeitgleichung

Die Zeitgleichung wird im vorliegenden Artikel dennoch ausführlicher behandelt, weil ihre Berechnung mit der im Hauptartikel nicht in allen Teilen identisch, sondern eine Variante davon ist. Dort wird von den Bahnelementen der Sonne ausgegangen, die ab dem 1. Januar 2000 12:00 UTC auf den Tag der zu berechnenden Zeitgleichung hochzurechnen sind. Hier werden für den 1. Januar für bis zum Jahr 2025 vorausbestimmte sogenannte solare Basiswerte benutzt. Die Hochrechnung bis zu einem Kalendertag im laufenden Jahr ist entsprechend kürzer.
Hier wird direkt mit der Keplergleichung gearbeitet, dort mit der von dieser abgeleiteten Mittelpunktsgleichung, was die Rechnung dort verkürzt.

In die Zeitgleichung geht der Ort der Erde auf ihrer elliptischen Bahn um die Sonne um 12:00 UTC des vorgegebenen Tages im Jahr ein. Diese wird mit Anwendung der Kepler-Gleichung als exzentrische Anomalie $E$ ermittelt und in die „wahre Anomalie“ $T$ umgerechnet. Nach dem Übergang zum geozentrischen Weltbild wird daraus die Folge der ungleichmäßigen Bahnfahrt (erste Zeitgleichungsursache) auf das von der Sonne abgeleitete Zeitmaß (Wahre Sonnenzeit WOZ) berechnet.

Definitionen der Zeitgleichung

Erste Definition:

$\mathrm {(10)} \quad \mathrm {ZG} =\mathrm {WOZ} -\mathrm {MOZ} .$

Dem Wert der wahren Ortszeit (WOZ) bzw. mittleren Ortszeit (MOZ) entspricht der jeweilige Stand der wahren bzw. einer fiktiven mittleren Sonne am Himmel (geozentrische Sichtweise). Da die Tageszeit im Zusammenhang mit der Drehung der Erde um ihre Achse steht, interessiert nur die jeweilige Rektaszension (nicht die Deklination) der Sonne(n). Die die gleichmäßig vergehende Zeit repräsentierende mittlere Sonne läuft auf dem Himmelsäquator um. Die Zeitgleichung ist proportional zur Differenz zwischen den Rektaszensionen $\alpha _{M}$ der fiktiven mittleren und $\alpha$ der realen wahren Sonne.

Zweite Definition:

$\mathrm {(11)} \quad {\text{ZG}}=4(\alpha _{M}-\alpha )\quad [{\text{min}}].$

Der Faktor 4 ergibt sich daraus, dass zwei Himmelskörper mit 1° Rektaszensionsdifferenz den Meridian im zeitlichen Abstand von 4 Minuten passieren. Die Reihenfolge der beiden Subtraktionsterme hat sich umgekehrt, weil die Richtungen für den Stundenwinkel $\tau$ (ihm entsprechen WOZ und MOZ) und die Rektaszension $\alpha$ zueinander entgegengesetzt definiert sind.

Vorgehens-Übersicht

Die Keplergleichung wird im Anfangsteil der Berechnung der Zeitgleichung benutzt. Dabei wird im Heliozentrischen Weltbild verblieben. Die vorgegebene Zeit  $t$  wird mit  $M(t)$  dargestellt. Mit Hilfe der Keplergleichung wird  $E(t)$  für  $M(t)$  errechnet.
Die Anwendung der Kepler-Gleichung endet hier.
Aus  $E(t)$  wird noch  $V(t)$  (erste der nebenstehenden Abbildungen, bei Kepler mit  $T$  bezeichnet) ermittelt, bevor ins geozentrische Weltbild gewechselt und die Herleitung der Zeitgleichung beendet wird.

Fortsetzung der Ermittlung der Zeitgleichung:
In der Zeitgleichung werden die Rektaszensionen  $\alpha _{M}$  und   $\alpha$ , deren Bezugspunkt der Frühlingspunk ist, gegenseitig verrechnet. Der Bezugswechsel vom Perihel zum Frühlingspunkt wurde noch vor dem Wechsel zum geozentrischen Weltbild (zweite der nebenstehenden Abbildungen) vorgenommen. Dabei entstand aus  $V(t)$  die ekliptikale Länge  $\lambda ,$  die im geozentrischen Weltbild 1:1 übernommen wird.
Anstatt der Anomalie  $M(t)$  des Perihels wird jetzt die Anomalie  $L(t)$  des Frühlingspunktes gebraucht.

Anwendung der Kepler-Gleichung

Anomalien der Erde auf ihrer elliptischen Bahn um die Sonne zum Zeitpunkt t:
V – wahre, M – mittlere, E – exzentrische Anomalie
B – Sonne, X – Erde, Y – fiktive Erde, P – Perihel, A – Aphel, K – 1.-Jan.-Punkt
unten links: V und M als Funktionen der Zeit

Übergang von der heliozentrischen elliptischen Erdbahn (links, mit wahrer Erde X und fiktiver Erde Y) zur geozentrischen Sonnenbahn (Ekliptikkreis, rechts, mit wahrer Sonne S und fiktiver Sonne S')

„Herunterholen“ der wahren Sonne auf den Äquator: Ermittlung ihres Rektaszensionswinkels α aus ihrem ekliptikalen Längenwinkel λ
S″: mittere Sonne auf dem Äquator

Mittlere Anomalie für den fiktiven Punkt  $Y$ :

Die in Gleichung $\mathrm {(1)}$ allgemein formulierte mittlere Anomalie lautet im Zusammenhang mit der Zeitgleichung:

$\mathrm {(12)} \quad M(t)={\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}\cdot (t-t_{P})$

$J_{\text{an}}$: anomalistisches Jahr zwischen zwei Passagen des Perihels

$t_{P}$: Zeitpunkt der Perihel-Passage

Bei Periheldurchgang hat die mittlere Anomalie folgenden Wert:

$\mathrm {(13)} \quad M_{0}=-{\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}\cdot t_{P}$

Bei der Zeitgleichung ist es üblich, die Werte eines Kalenderjahres im entsprechenden Astronomischen Jahrbuch zu veröffentlichen. Der 1. Januar 12:00 (UT) des entsprechenden Jahres wird als Nullpunkt für $t$ verwendet, sodass gegenwärtig für $t_{P}$ etwa 2 bis 3 Tage und daraus für $M_{0}$ etwa 2° bis 3° gelten. Es hat sich bequemerweise eingebürgert, den jeweils neuen Wert für $M_{0}$ als eine sogenannte Jahreskonstante (eine der sogenanntewn Basiswerte, s. o.) im Voraus zu veröffentlichen.

Mit $M_{0}$ und $t$ ab 1. Januar 12:00 (UT) wird aus Gleichung (12):

$M(t)=M_{0}+{\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}\cdot t$

Kepler-Gleichung:

$M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}\cdot e\cdot \sin E(t)$

Mit der dem vorgegebenen Zeitpunkt entsprechenden mittleren Anomalie $M$ und der Erdbahn-Exzentrizität $e$ wird mit Hilfe der Kepler-Gleichung die exzentrische Anomalie $E$ ermittelt.

Wahre Anomalie der Erde  $X$ :

Bei der Behandlung der Zeitgleichung wird für die wahre Anomalie meistens das Formelzeichen $V$ (anstatt $T$ wie oben) verwendet.

Die exzentrische Anomalie $E$ führt in einer rein geometrischen Betrachtung in der Ellipse und in ihrem Umkreis (erste der nebenstehenden Abbildungen) wie folgt zur wahren Anomalie $V$:

$\tan \left({\frac {V(t)}{2}}\right)=\kappa \cdot \tan \left({\frac {E(t)}{2}}\right)$

$\mathrm {(14)} \quad \kappa ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}$ … eine Ellipsenkonstante

Das Kepler-Problem ist mit der Ermittlung der wahren Anomalie der Erde gelöst. Im Folgenden wird die Ermittlung der Zeitgleichung abgeschlossen.

Wahre Anomalie der Erde → Rektaszension der Sonne

Wahre Anomalie der Erde → ekliptikale Länge der Erde → ekliptikale Länge der Sonne:

Von der Erde aus gesehen spiegelt sich die Bewegung der Erde um die Sonne wider in der scheinbaren Bewegung der Sonne in der Ekliptik, dem Schnitt der Erdbahnebene mit der um die Erde als Mittelpunkt geschlagenen Richtungskugel (siehe zweite der nebenstehenden Abbildungen). Die ekliptikale Länge der Erde und die ekliptikale Länge der Sonne sind somit Synonyme mit dem Formelzeichen $\lambda .$

Bezugspunkt für die ekliptikale Länge (und auch der Rektaszension) ist gemäß allgemeinem Brauch der Frühlingspunkt. Die ekliptikale Länge $\lambda (t)$ der Sonne wird erhalten, indem dem auf das Perihel der Erdbahn bezogenen Winkel $V(t)$ der Winkel $L$ zwischen Perihel P und dem dem Frühlingspunkt entsprechenden Ort (F) addiert wird:

$\mathrm {(15)} \quad \lambda (t)=V(t)+L$

Der Wert von $L$ ist negativ. Unter den nahezu konstanten Grundgrößen ist $L$ diejenige, die sich mit der Zeit wegen der relativ schnelleren Annäherung zwischen Frühlingspunkt bzw. Punkt (F) und Perihel am stärksten verändert. Sie wird deshalb nicht nur jährlich als sogenannte Jahreskonstante $L_{0}$ neu gesetzt, sondern mit folgender Gleichung permanent verändert:

$\mathrm {(16)} \quad L(t)=L_{0}+{\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}\cdot t$

Frühlingspunkt und Perihel nähern sich mit $\approx {\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}.$ $J_{\text{tr}}$ ist das tropische Jahr (Zeit für zwei aufeinanderfolgende Passagen des Frühlingspunkts bzw. des Punktes (F)). Unter Beachtung der Gleichung $\mathrm {(16)}$ ist statt Gleichung $\mathrm {(15)}$ zu schreiben:

$\mathrm {(17)} \quad \lambda (t)=V(t)+L_{0}+{\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}\cdot t$

Der Wert von $L_{0}$ ist negativ !

Ekliptikale Länge der Sonne → Rektaszension der Sonne:

Neben der Elliptizität der Erdbahn verursacht die zur Erdbahnebene nicht rechtwinklige Lage der Erdachse und ihre Richtungsänderung relativ zur Sonne die Zeitgleichung.

Die Rektaszension $\alpha$ der Sonne lässt sich z. B. mit allgemein bekannten Transformationsgleichungen oder mit folgender einfachen Beziehung im entsprechenden rechtwinkligen sphärischen Dreieck (siehe dritte der nebenstehenden Abbildungen) aus der ekliptikalen Länge $\lambda$ ermitteln:

$\mathrm {(18)} \quad \alpha (t)=\arctan(\tan \lambda (t)\cdot \cos \varepsilon )$

$\varepsilon$ ist die Schiefe der Erdachse: $\varepsilon =23{,}44^{\circ }$ .

Rektaszension der mittleren Sonne

Die Bewegung der mittleren Sonne S″ (dritte der rechts stehenden Abbildungen) auf dem Äquator macht die gleichmäßig vergehende Zeit gleich wie die der auf der Erdbahn umlaufenden fiktiven Erde (Punkt Y) anschaulich. Ihr Lauf ist möglichst eng an den der wahren Sonne zu koppeln, damit sie deren Lauf etwa „mittelt“. Das wurde mit folgender Definition erreicht:

$\mathrm {(19)} \quad \alpha _{M}(t)=L(t)+M(t)$

Wenn man die zeitliche Änderung von $L$ vernachlässigt, gilt auch:

$\left(20\right)\quad \alpha _{M}(t)=L_{0}+M(t)$

Zeitgleichung

Die beiden zur Anwendung der Zeitgleichung $\mathrm {(11)}$ erforderlichen Rektaszensionen $\alpha _{M}$ und $\alpha$ sind gefunden.

$\mathrm {(11)} \quad {\text{ZG}}=4(\alpha _{M}-\alpha )\quad [{\text{min}}]$

Zusammenfassung: Rechenschritte

• vorgegebener Zeitpunkt t   >>   Anomalie  M des fiktiven Punktes Y
• M   >>   exzentrische Anomalie E des Punktes X
• E   >>   Anomalie V
• Systemwechsel heliozentrisch   >>   geozentrisch   (Bezugspunkt: Perihel   >>   Frühlingspunkt;   Anomalie   >>   ekliptikale Länge)
• vorgegebener Zeitpunkt t   >>   ekliptikale Länge L der auf der Ekliptik umlaufenden fiktiven Sonne
• V   >>   ekliptikale Länge λ der wahren Sonne
• λ   >>   Rektaszension α der wahren Sonne
• α_M = L     (Rektaszension α_M der auf dem Äquator umlaufenden fiktiven Sonne = ekliptikale Länge L der auf der Ekliptik umlaufenden fiktiven Sonne)
• ZG = α_M - α

Rechenbeispiel 1

Die Zeitgleichung für den 2. April 2015, 12:00 UT (t = 91 Tage) wird berechnet Die Jahreskonstanten 2015 sind:

$M_{0}=-2{,}3705^{\circ }$

$J_{an}=365{,}259991{\text{ Tage}}$

$J_{tr}=365{,}242907{\text{ Tage}}$

$e=0{,}016703$

$\varepsilon =23{,}43734^{\circ }$

$L_{0}=-76{,}8021^{\circ }$

Die Rechnungen sind:

$M(t)=M_{0}+{\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}\cdot t=87{,}3190^{\circ }$

$\mathrm {(16)} \quad L(t)=L_{0}+{\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}\cdot t=-76{,}7978^{\circ }$

$M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}\cdot e\cdot \sin E(t)\quad \rightarrow \quad E(t)=88{,}2756^{\circ }$       Die Lösung erfolgte durch Iteration.

$\textstyle \kappa ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}=1{,}0168445$

$\tan \left({\frac {V(t)}{2}}\right)=\kappa \cdot \tan \left({\frac {E(t)}{2}}\right)\quad \rightarrow \quad V(t)=89{,}2325^{\circ }$

$\mathrm {(17)} \quad \lambda (t)=V(t)+L(t)=12,4347^{\circ }$

$\mathrm {(18)} \quad \alpha (t)=\arctan(\tan \lambda (t)\cdot \cos \varepsilon )=11{,}4369^{\circ }$

$\mathrm {(19)} \quad \alpha _{M}(t)=L(t)+M(t)=10{,}5212^{\circ }$

$\mathrm {(11)} \quad {\text{ZG}}(t)=4{\frac {\text{min}}{^{\circ }}}\cdot (\alpha _{M}(t)-\alpha (t))=-3{,}6629{\text{ min}}=-3{\text{ min}}{\text{ 40}}{\text{ sec}}$

Die Zeitgleichung hat am 2. April 2015, 12:00 UT den Wert:

${\text{ZG}}(t=91{\text{ Tage}})=-3{\text{ min}}{\text{ 40}}{\text{ sec}}$

Rechenbeispiel 2

Die Zeitgleichung für den 1. Mai 2015, 12:00 UT (t = 120 Tage) wird berechnet.

Die Rechnungen sind:

$M(t)=M_{0}+{\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}\cdot t=115,9014^{\circ }$

$\mathrm {(16)} \quad L(t)=L_{0}+{\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}\cdot t=-76,7966^{\circ }$

$M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}\cdot e\cdot \sin E(t)\quad \rightarrow \quad E(t)=116,7560^{\circ }$       Die Lösung erfolgte durch Iteration.

$\textstyle \kappa ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}=1,0168446$

$\tan \left({\frac {V(t)}{2}}\right)=\kappa \cdot \tan \left({\frac {E(t)}{2}}\right)\quad \rightarrow \quad V(t)=117,6074^{\circ }$

$\mathrm {(17)} \quad \lambda (t)=V(t)+L(t)=40,81075^{\circ }$

$\mathrm {(18)} \quad \alpha (t)=\arctan(\tan \lambda (t)\cdot \cos \varepsilon )=38,38843^{\circ }$

$\mathrm {(19)} \quad \alpha _{M}(t)=L(t)+M(t)=39,10477^{\circ }$

$\mathrm {(11)} \quad {\text{ZG}}(t)=4{\frac {\text{min}}{^{\circ }}}\cdot (\alpha _{M}(t)-\alpha (t))=2,8654{\text{ min}}=2{\text{ min}}{\text{ 52}}{\text{ sec}}$

Die Zeitgleichung hat am 1. Mai 2015, 12:00 UT den Wert:

${\text{ZG}}(t=120{\text{ Tage}})=2{\text{ min}}{\text{ 52}}{\text{ sec}}$

Zeitgleichungswerte für die Passage ausgezeichneter Bahnpunkte

Vom Kalender und damit von der Jahreskonstanten $M_{0}$ unabhängig sind Zeitgleichungswerte für die Passage ausgezeichneter Punkte durch die Erde auf ihrer Bahn (beziehungsweise durch die Sonne auf der Ekliptik): Frühlings-, Sommer-, Herbst- und Winteranfangspunkt, Perihel und Aphel.

Zeitgleichungswerte und Zeitpunkte für die Passage ausgezeichneter Bahnpunkte *)

	F-Anfang	S-Anfang	H-Anfang	W-Anfang	Perihel	Aphel
λ/°	0	90	180	270	L0	L0 + 180
ZG/min	−7,44	−1,74	+7,48	+1,70	−4,50	−4,50
tP/d **)	76,234	168,990	262,641	352,485	0	182,621

 *) Die Werte gelten für das Jahr 2004 mit L₀ = −76,99° und J_tr =365,2428 Tage.
**) Die angegebenen Zeiten beziehen sich auf den Periheldurchgang, nicht wie in obigem Beispiel auf den 1. Januar 12:00 UT.

Ihre Berechnung ist einfacher, als die für beliebige Zeitpunkte, weil die Kepler-Gleichung $E=f(M)$ nicht gelöst werden muss. Von der vorgegebenen ekliptikalen Länge $\lambda$ eines der ausgezeichneten Punkte ist leicht zur wahren (Gl. $\mathrm {(15)}$) und weiter zur exzentrischen Anomalie zu finden. Aus Letzterer folgt mit der umgestellten Kepler-Gleichung $M=f(E)$ die mittlere Anomalie, also der Bahnpunkt der fiktiven mittleren Erde. Die ekliptikale Länge des Perihels zu Letzterer addiert (Gl. $\mathrm {(19)}$) ist die gesuchte mittlere Rektaszension $\alpha _{M}$ (Minuend in der Zeitgleichung $\mathrm {(11)}$). Die wahre Rektaszension $\alpha$ (Subtrahend) ist bei den Punkten Frühling bis Winter mit deren ekliptikaler Länge $\lambda$ identisch. Nur bei den Punkten Perihel und Aphel ergibt die Koordinatentransformation (Gl. $\mathrm {(18)}$) kleine Werteunterschiede.

Bei der Vorgehensweise, die Berechnung mit einer vorgegebenen ekliptikalen Länge bzw. einer vorgegebenen wahren Anomalie zu beginnen, erhält man neben der Zeitgleichung auch die seit der Perihelpassage der Erde vergangene Zeit. Das ist die Zeit, die die mittlere Anomalie repräsentiert und sie wird aus dem Zwischenergebnis für die mittlere Anomalie $M$ mit Hilfe der entsprechend umzustellenden Gleichung $\mathrm {(12)}$ errechnet.

Diese Vorgehensweise wird gelegentlich auch für die allgemeine Arbeit empfohlen, Zeitgleichungstabellen zu ermitteln. Man erspart sich dabei das aufwändige Lösen der Kepler-Gleichung, findet zu Werten für gewünschte Zeitpunkte aber nur durch Probieren oder bei genügender Ergebnisdichte durch Interpolieren.

Literatur

• Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4.
• Peter Colwell: Solving Kepler's equation over three centuries. Hrsg.: Willmann-Bell. Richmond, VA 1993, ISBN 0-943396-40-9, S. 202. 

Weblinks

• J. M. Danby, T. M. Burkardt: The solution of Kepler's equation. I (= Cel. Mech. Band 31). 1983, S. 95–107, doi:10.1007/BF01686811, bibcode:1983CeMec..31...95D. 
• B. A. Conway: An improved algorithm due to Laguerre for the solution of Kepler's equation. 1986, doi:10.2514/6.1986-84. 
• Seppo Mikkola: A cubic approximation for Kepler's equation (= Cel. Mech. Band 40, Nr. 3). 1987, doi:10.1007/BF01235850, bibcode:1987CeMec..40..329M. 
• Albert Nijenhuis: Solving Kepler's equation with high efficiency and accuracy (= Cel. Mech. Dyn. Astr. Band 51, Nr. 4). 1991, S. 319–330, doi:10.1007/BF00052925, bibcode:1991CeMDA..51..319N. 
• Toshio Fukushima: A method solving kepler's equation without transcendental function evaluations (= Cel. Mech. Dyn. Astron. Band 66, Nr. 3). 1996, S. 309–319, doi:10.1007/BF00049384, bibcode:1996CeMDA..66..309F. 
• E. D. Charles, J. B. Tatum: The convergence of Newton-Raphson iteration with Kepler's equation (= Cel. Mech. Dyn. Astr. Band 69, Nr. 4). 1997, S. 357–372, doi:10.1023/A:1008200607490, bibcode:1997CeMDA..69..357C. 
• Laura Stumpf: Chaotic behaviour in the newton iterative function associated with kepler's equation (= Cel. Mech. Dyn. Astr. Band 74, Nr. 2). 1999, S. 95–109, doi:10.1023/A:1008339416143. 
• M. Palacios: Kepler equation and accelerated Newton method (= J. Comp. Appl. Math. Band 138). 2002, S. 335–346, doi:10.1016/S0377-0427(01)00369-7, bibcode:2002JCoAM.138..335P. 
• John P. Boyd: Rootfinding for a transcendental equation without a first guess: Polynomialization of Kepler's equation through Chebyshev polynomial equation of the sine (= Appl. Num. Math. Band 57, Nr. 1). 2007, S. 12–18, doi:10.1016/j.apnum.2005.11.010. 
• Eric W. Weisstein: Kepler's Equation. In: MathWorld (englisch).