Barnessche G-Funktion

Barnessche $G$-Funktion entlang der realen x-Achse

Die Barnessche $G$-Funktion, typischerweise mit $G(z)$ bezeichnet, ist eine Funktion, die eine Erweiterung der Superfakultäten auf die komplexen Zahlen darstellt. Sie steht in Beziehung zur Gammafunktion, der $K$-Funktion und der Konstanten von Glaisher-Kinkelin und ist nach dem Mathematiker Ernest William Barnes benannt.

Formal ist die Barnessche $G$-Funktion in der Form eines Weierstraß-Produkts definiert als

$G(z+1)=(2\pi )^{z/2}e^{-[z(z+1)+\gamma z^{2}]/2}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+z^{2}/(2n)}\right]$

wobei $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Differenzengleichung, Funktionalgleichung und spezielle Werte

Die Barnessche $G$-Funktion erfüllt die Differenzengleichung

$G(z+1)=\Gamma (z)G(z)$

mit der Normierung $G(1)=1.$ Die Differenzengleichung impliziert, dass $G$ die folgenden Werte für ganzzahlige Argumente annimmt:

$G(n)={\begin{cases}0,&{\text{falls }}n=0,-1,-2,\ldots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!,&{\text{falls }}n=1,2,\ldots \end{cases}}$

so dass

$G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}$

wobei $\Gamma (n)$ die Gammafunktion und $K(n)$ die K-Funktion bezeichnen. Die Differenzengleichung definiert die $G$-Funktion eindeutig, wenn die Konvexitätsbedingung

$(\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0$

gestellt wird.

Die Differenzengleichung der $G$-Funktion und die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion liefern die folgende Funktionalgleichung für die $G$-Funktion, wie ursprünglich von Hermann Kinkelin bewiesen wurde:

$G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \int \limits _{0}^{z}\pi t\cot \pi t\,\mathrm {d} t.$

Multiplikationsformel

Wie die Gamma-Funktion erfüllt auch die $G$-Funktion eine Multiplikationsformel:

$G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)$

wobei $K(n)$ eine Funktion ist, die durch

$K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.$

gegeben ist. Hierbei ist $\zeta ^{\prime }$ die Ableitung der Riemannschen Zeta-Funktion und $A$ die Konstante von Glaisher-Kinkelin.

Asymptotische Entwicklung

Die Funktion $\log \,G(z+1)$ hat die folgende asymptotische Entwicklung, die von Barnes gefunden wurde:

$\log G(z+1)={\frac {1}{12}}-\log A+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +\left({\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}\right)\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}+O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).$

Hierbei bezeichnet $B_{k}$ die Bernoulli-Zahlen und $A$ die Konstante von Glaisher-Kinkelin. (Man beachte, dass zur Zeit von Barnes die Bernoulli-Zahl $B_{2k}$ als $(-1)^{k+1}B_{k}$ geschrieben wurde. Diese Konvention wird nicht länger verwendet.) Die Entwicklung ist gültig für $z$ in jedem Sektor, der nicht die negative reelle Achse enthält.

Weblink

• Eric W. Weisstein: Barnes $G$-Function. In: MathWorld (englisch).