Benutzer:Alisaralph/Beweis-Prinzipien

Beweisprinzipien sind Hilfsmittel in der Mathematik, welche die Durchführung eines Beweises vereinfachen.

Unter mehreren verschiedenen Prinzipien werden hier drei mit sehr einfachen Beispielen erläutert:

• Verallgemeinerungsprinzip
• Variationsprinzip
• Spezialisierungsprinzip

Verallgemeinerungsprinzip

Mit dem Verallgemeinerungsprinzip können Probleme einfacher gelöst werden, indem man sie verallgemeinert, und somit der Beweis auch für das Ursprungsploblem (welches ja dann ein Spezialfall der Verallgemeinerung ist) gilt. Wenn man so zum Beispiel für Formeln beweist, dass sie für komplexe Zahlen gelten, so gelten sie logischerweise auch für reelle,rationale,natürliche... Zahlen. Ein weiteres bekanntes Beispiel ist das folgende Flächenproblem:

Das Flächenproblem

Gesucht ist die Fläche unter einer Kurve, die einem "krummlinigen" Trapez ähnelt. Die Fläche wird auf das Intervall [a,b] beschränkt. Folgendes Bild beschreibt die Fragestellung.

Frühere Mathematiker hätten diese Fläche in kleinere zerteilt, Grenzwertübergänge betrachtet, etc. Heute kennen wir ein wesentlich einfacheres Verfahren, welches man bereits in der Schule kennen lernt (aber nicht unter dem Namen Verallgemeinerungsprinzip). Wir betrachten dasselbe Problem auf dem Intervall [a,x], wobei x eine beliebige Zahl ist, die größer als a ist. Dieses Problem beinhaltet offensichtlich auch das Intervall [a,b]. Wir haben das Problem also verallgemeinert.

Spätestens jetzt wird klar, dass man lediglich die Stammfunktion bilden muss und folgend x=b setzen kann um eine Lösung unseres Ausgangsproblems zu erhalten. Wir haben also durch eine Verallgemeinerung sehr schnell und einfach eine Lösung gefunden.

Variationsprinzip

Das Variationsprinzip besagt, dass (nicht nur mathematische) Probleme vereinfacht werden können, indem man deren Fragestellung so variiert, dass das Ergebnis gleich bleibt. Ein Beispiel hierfür ist folgendes:

Das Goldgräberproblem

Lem und Tom sind zwei Goldgräber. Ihre Goldgräberstellen überlappen sich schräg.

Wie auf dem Bild zu erkennen ist, liegt die Ecke von Toms Goldgräberstelle genau in dem Zentrum von Lem's. Die beiden haben diesbezüglich ein Abkommen beschlossen. Dieses besagt dass im Falle eines Goldfundes von Lem, einen Anteil an Tom abgegeben werden muss. Dieser Anteil berechnet sich aus der Hälfte der Überlappungsfläche bezogen auf das ganze Gebiet von Lem. Nun findet Lem eine Goldader, somit muss die Frage geklärt werden wie groß nun der vereinbarte Anteil ist.

Nun varriieren wir das Problem: Wie groß ist der besagte Anteil, wenn man das Problem grafisch so verändert, dass man die Goldgräberstelle von Tom so lange dreht, bis deren rechte Kante parallel zu der von Lem's ist. Dass das Ergebnis dabei nicht verändert wird, ist erkennbar: Das Dreieck, welches weggenommen wird, (rot) hat offensichtlich den gleichen Flächeninhalt wie das, das neu hinzukommt (weiss). Damit ist der Betrag der gesamten Überlappungsfäche 1/4 des Flächeninhalts von Lem's Goldgräberstelle.

Somit lässt sich Tom's Anteil, welcher 1/8 bzw. 12,5% beträgt, sehr leicht errechnen.

Spezialisierungsprinzip

Das Spezialisierungsprinzip besagt, dass man unter Umständen Probleme einfacher lösen kann, indem man Spezialfälle davon betrachtet und von diesen einen Rückschluss auf das Ausgangsproblem zieht.

Das Königsberger Brückenproblem

→ Hauptartikel: Königsberger Brückenproblem und Eulerkreis

Auf dem Bild sieht man vier Stadtteile, die durch Bücken miteinander verbunden sind.
Gibt es einen Rundgang, bei dem man über jede der Brücken genau einmal geht?
Da die genaue Lage der Brücken und Stadtteile dabei nebensächlich ist, stellt man die Stadtteile als Knoten und die verbindenden Brücken als Kanten in einem Graphen dar.

Nun betrachtet man einen ersten Spezialfall:

Bei zwei Knoten und zwei verbindenden Kanten gibt es genau einen Hinweg und einen Rückweg. Also gibt es einen Rundgang.

Beim zweiten Spezialfall, mit 2 Knoten und 3 verbindenen Kanten, gibt es einen solchen Rundgang jedoch nicht.

Wenn man die Spezialfälle miteinander vergleicht, wird klar, dass die Anzahl der verbindenden Kanten gerade sein muss. Für einen vollständigen Rundgang muss jeder Knoten also mit einer geraden Anzahl von Kanten verbunden sein.

Lösung des Anfangsproblems:

Es kann keinen solchen Rundweg geben. Denn die Anzahl der Brücken ist für jeden Stadtteil ungerade.

Quellen

• "Das kleine Einmaleins des klaren Denkens: 22 Denkwerkzeuge für ein besseres Leben" von Christian Hesse, Verlag: Beck; Auflage: 2 (14. Mai 2009)