Benutzer:Anthroporraistes/Snell-Einhüllende

Die Snell-Einhüllende (auch Snell’sche Hülle) ist ein Begriff aus der Stochastik und Finanzmathematik. Für einen Prozess $X$ ist sie das kleinste Supermartingal, das $X$ dominiert. Die Snell-Einhüllende tritt in der Finanzmathematik bei Fragen des optimalen Stoppens, z. B. dem optimalen Ausübungszeitpunkt amerikanischer Optionen auf. Sie ist nach dem US-amerikanischen Mathematiker J. Laurie Snell benannt.

Definition

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},P)$ ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum und $Q\ll P$ ein bzgl. $P$ absolutstetiges Maß. Ein adaptierter Prozess $U=(U_{t})_{t\in [0,T]}$ heißt Snell-Einhüllende des Prozesses $X=(X_{t})_{t\in [0,T]}$ bzgl. $Q$, wenn

• $U$ ein $Q$-Supermartingal ist.
• $U$ dominiert $X$, d. h. $U_{t}\geq X_{t}$ $Q$-f.s. für alle $t\in [0,T]$. (Dominanz)
• Für jedes $Q$-Supermartingal $V=(V_{t})_{t\in [0,T]}$, das $X$ dominiert gilt, dass $V$ auch $U$ dominiert. (Minimalität)

Darstellung

Sei ${\mathcal {T}}=\{\tau :\Omega \to [0,T]\,|\,\tau {\text{ Stoppzeit}}\}$ die Menge aller Stopzeiten und ${\mathcal {T}}_{t}=\{\tau \in {\mathcal {T}}:t\leq \tau \leq T\}$ die Menge der $[t,T]$-wertigen Stoppzeiten in $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},P)$.

Sei $(X_{t})_{t\in [0,T]}$ ein nichtnegativer Prozess mit càdlàg-Pfaden und $E_{Q}(\operatorname {sup} _{t\in [0,T]}X_{t})<\infty$, so existiert ein $U=(U_{t})_{t\in [0,T]}$ mit cádlág-Pfaden, das die obigen drei Bedingungen erfüllt.

Im Stetigen

Die Snell-Einhüllende lässt sich in stetiger Zeit darstellen durch

$U_{t}=\operatorname {ess\,sup} \{E_{Q}(X_{\tau }|{\mathcal {F}}_{t}):\tau \in {\mathcal {T}}_{t}\}$ $P$-f.s. und $t\in [0,T]$,

wobei $\operatorname {ess\,sup}$ das wesentliche Supremum über die Menge der Zufallsvariablen $\{E_{Q}(X_{\tau }|{\mathcal {F}}_{t}):\tau \in {\mathcal {T}}_{t}\}$ bzgl. ${\mathcal {F}}_{t}$ ist.

Im Diskreten

Im Spezialfall diskreter Zeit lässt sich die Snell-Einhüllende unter den obigen Voraussetzungen rekursiv durch

$U_{T}=X_{T}$ und $U_{t-1}=\max\{X_{t-1},E_{Q}(U_{t}|{\mathcal {F}}_{t-1})\}$ für $t=1,...,T$

definieren. Es lässt sich leicht nachrechnen, dass die obigen drei Bedingungen von diesem Prozess tatsächlich erfüllt werden.

Satz von Snell

Betrachtet man unter obigen Voraussetzungen das Stoppproblem $\sup \limits _{\tau \in {\mathcal {T}}}E(X_{\tau })$ und setzt $\tau ^{\varepsilon }:=\inf\{t\geq 0:X_{t}\geq U_{t}-\varepsilon \}$, so ist die Stoppzeit $\tau ^{*}:=\inf\{t\geq 0:X_{t}=U_{t}\}=\inf\{t\geq 0:X_{t}\geq U_{t}\}$ genau dann optimale Stoppzeit, d. h. $E(X_{\tau ^{*}})=\sup \limits _{\tau \in {\mathcal {T}}}E(X_{\tau })$, wenn $E(X_{\tau }^{*}1_{\{\tau ^{*}>\tau ^{\varepsilon },\forall \varepsilon >0\}})\geq 0$ gilt, d. h. es keine negativen Sprünge zu vorhersehbaren Stoppzeiten gibt.