Benutzer:ArchibaldWagner/Arbeit (Thermodynamik)

In der Thermodynamik werden Energien, die durch mechanische oder elektrischen Arbeitsprozesse einem thermodynamischen System aus der Umgebung zugeführt oder dem System entnommen werden, als Arbeit bezeichnet. Wesentlich ist, dass diese Energie allein durch die Definitionen in der Mechanik oder der Elektrodynamik bestimmt sind. Die Definitionen der Energie aus den Vortheorien ermöglicht es dann durch Definition einer dem System zugeordneten inneren Energie einen Energiesatz für das Gesamtsystem zu definieren. Die Arbeitsprozesse und die damit verbundenen Energieübertragungen (in oder aus dem System) lassen sich in zwei Kategorien einteilen:

Zum einen gibt es die Arbeit bei reversible Arbeitsprozesssen. Bei diesen Prozessen werden Parameter, wie etwa das Volumen, Teilvolumina, die Oberfläche oder das magnetische Moment mit idealisierten Vorrichtung von außen an dem System geändert. Dabei kann der Prozess quasistatisch geführt werden. Das bedeutet, dass das System zum jedem Zeitpunkt nahezu sich im thermodynamischen Gleichgewicht befindet. Und weiter muss ein reversibler Arbeitsprozess auch in zeitlich umgekehrter Richtung durchführbar sein, und zwar so, dass wenn im Anschluss an einen Arbeitsprozess dieser wieder vollständig rückwärts durchgeführt und das System wieder seinen ursprünglichen Gleichgewichtszustand erreicht, ohne dass dabei noch auf eine andere Art aus der Umgebung das System beeinflusst wird. Die bei diesen Arbeitsprozessen veränderten Parameter werden in der Literatur äußere Parameter, Arbeitskoordinaten oder auch generalisierte Koordinaten genannt. Das in der Literatur verbreiteste Beispiel für eine solche Arbeitskoordiante ist das Volumen eines in einem idealisierten Zylinder befindlichen Gases, in der technischen Literatur wird in diesem Fall von Volumenarbeit gesprochen.

Weiter gibt es Arbeitsprozesse, die nicht quasistatisch ablaufen und die auch nicht zeitlich rückwärts so durchlaufen werden können, dass das System sich wieder in dem gleichen Gleichgewichtszustand befindet wie vor dem gesamten Arbeitsprozess ohne dass noch weitere Einwirkungen auf das System aus der Umgebung erfolgen. Dieses Prozesse werden irreversibel genannt. Beispiele hierfür sind ein Rührer in einem Fluid, der Strom durch eine elektrische Heizung oder die Wellenarbeit einer Turbine.

Die reversiblen Arbeitsprozesse und die damit verbundenen Energieübertragungen sind zwar Idealisierung, aber sie haben in der Thermodynamik eine große Bedeutung, da sich mit Ihnen die Auswirkungen einer Beeinflussung eines System von außen mit Hilfe von mechanischen und elektrischen Größen formelmäßig beschreiben lassen.

Die Thermodynamik ist eine Rahmentheorie für alle möglichen makroskopischen System. Die formelmäßige Erfassung der thermodynamischen Arbeit sind weitere gängige Konkretisierung eines thermodynamischen Systems notwendig. Als gängiges Lehrbuchbeispiel wird hierzu meist die Volumenarbeit an einem Fluid in einem idealisierten Zylinder betrachtet.

Materialsammlung

Adiabate, Irre-/Reversibel

• Ludwig: S 20 u. Adiabate
• Ludwig: §1.4 S 41/42 u. reversibel (Bezug zu Formel 1.2.19 auf S 22)
• Definition bei Stierstadt Kap. 4.3 S 92 (auch dissipativ)
• Nolting: S 7 und S 58

Magnet-Model

• Stierstadt statistisches Modell 2.8 S 58 mit Formel für U und graf. Beispiel en:wiki/Nickel(II)_sulfate
• Stierstadt mag. Arbeit 3.2 ab S 74,75-78 Magnetisierungskurve
• Stierstadt: 9.3 ab S 253
• Nolting: 1.4.3 S 16,.. Paramagnet (Curie Gesetz )
• Nolting: 1.4.4 S 17,.. Weiß'scher Ferromagnet (Curie-Weißsches- gesetz)
• Nolting: 1.5 Arbeit 2) S 23 Magnetisierungsarbeit (Feldenerige wird nicht mit zu U gerechnet!) anderes Vorzeichen als in Stierstadt !!! aber Aufg. 3.9.10 S 252/3/4
• Ludwig: §2.8 ab S 135 komplex da allg. Feldbeschreibung und andere El. Einheitensystem. Siehe auch S 145 U = -MB + U0 ?

Arbeitskoordinaten

In der Thermostatik werden bei einem thermodynamischen System die mit Arbeitsvorrichtungen veränderbaren äußeren Nebenbedingungen durch Arbeitskoordinaten berücksichtigt. Zum Beispiel wird bei einem System bestehend aus einem Gas in einem mit einem beweglichen Kolben verschlossenen Zylinder das Volumen als Arbeitskoordinate gewählt. Besteht ein System aus zwei solchen thermisch gekoppelten Zylinder, so hat das gekoppelte System zwei Arbeitskoordinaten, nämlich die beiden Teilvolumina. Untersucht man das Verhalten einer paramagnetischen Substanz in einem Magnetfeld, dann dient als eine Arbeitskoordinate das magnetische Moment des Systems. Die Arbeitskoordianten werden in der Lehrbuchliteratur auch als generalisierte Koordinaten oder äußere Parameter bezeichnet. Als Arbeitskoordinaten wählt man extensive Größen des System.

Jedem Gleichgewichtszustand eines thermodynamischen System ist ein Tupel $(g_{1},...,g_{m})$ von $m$ Arbeitskoordinaten zugeordnet, die Anzahl $m$ ist spezifische für das untersuchte System. Alle für ein System zulässigen Werte dieser Arbeitskoordinaten bilden eine offene Teilmenge ${\tilde {A}}\subset \mathbb {R} ^{m}$. Bezeichnet $Z_{g}$ die Menge aller unterscheidbarer Gleichgewichtszustände eines Systems, so gibt es also eine Projektion $a:Z_{g}\to {\tilde {A}}$ von dem Raum der Gleichgewichtszustände in die Menge der möglichen Arbeitskoordinaten, diese Projektion ist nicht eineindeutig; ein ganzer Unterraum von Gleichgewichtszuständen aus $Z_{g}$ wird auf einziges $a\in {\tilde {A}}$ abgebildet - Beispiel: für ein System aus einem Reinstoff bei einem konstanten Volumen (Arbeitskoordinate) belegen die Temperaturwerte der möglichen Gleichgewichtszustände ein ganzes Intervall.

Einfache thermodynamisches Systeme sind dadurch ausgezeichnet, dass allein die Angabe von $m$ Arbeitskoordinaten, $(g_{1},...,g_{m})$, plus einer einzigen internen Größe wie die innere Energie $U$ oder die Temperatur $T$ einen Gleichgewichtszustand eindeutig bestimmt.

Adiabaten und Arbeitsform

Besteht eine äußere Einwirkung allein in der Steuerung der Vorrichtungen, welche die Arbeitskoordinaten bestimmen, und zwar so dass die Projektion $a(z(\tau ))$ der Kurve die Bewegung der Arbeitskoordinaten wieder gibt, dann werden diese Kurven Adiabaten genannt.

Zu jeder Arbeitskoordinate $g_{i}$ $i=1,...,m$ gibt es eine konjugierte Zustandsfunktion $F_{i}:Z_{g}\to \mathbb {R}$, so dass das Integral längs einer Adiabaten in $Z_{g}$

$W=\int _{z_{1}}^{z_{2}}\delta W=\int _{z_{1}}^{z_{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}(z)dg_{i}(z)$

die von außen an dem System geleistete Arbeit ergibt, wenn die äußeren Vorrichtungen die Arbeitskoordinaten längs der Projektion $a(z(\tau ))$ bewegen und das System ansonsten isoliert ist.

Reversible Arbeitsprozesse

Differentialform

• Prozessweg

Magnetisches Moment im Magnetfeld

• Willkür der Zuordnung zwischen System und Umgebung

Begriffe aus Nolting 1.4.3 Idealer Paramagnet

• Modellvoraussetzungen:
  • Festkörper dessen streng periodisch angeordnete Ionen ein permanentes magnetisches Moment ${\vec {m}}_{i}$ (oder ${\boldsymbol {m}}_{i}$) haben; $i=1,...,N$
  • Betrag der Momente alle gleich: $\bigwedge _{i}\vert {\boldsymbol {m}}_{i}\vert =m$
  • Gesamtmoment: ${\boldsymbol {m}}_{tot}=\sum _{i}{{\boldsymbol {m}}_{i}}$
  • Volumen: $V$
  • Magnetfeld (in z-Richtung): ${\boldsymbol {H}}=H{\boldsymbol {e}}_{z}$
  • Magnetisierung: ${\boldsymbol {M}}={\frac {1}{V}}{\boldsymbol {m}}_{tot}=M(T,{\boldsymbol {H}}){\boldsymbol {e}}_{z}$
• Magnetisierungsarbeit: $\delta W={\boldsymbol {B}}_{0}\cdot d{\boldsymbol {m}}=\mu _{0}Hdm$
• Zustandsfunktion: $M=M_{0}L(m{\frac {B_{0}}{k_{\mathrm {B} }T}})$ wobei:
  • Langevin-Funktion $L(x)=coth(x)-{\frac {1}{x}}$
  • Sättigungsmagnetisierung: $M_{0}={\frac {N}{V}}m$
  • magnetische Induktion: $B_{0}=\mu _{0}H$
• Spezialisierung Curie-Gesetz:
  • Für hohe Temperaturen gilt das Curie-Gesetz: $M={\frac {C}{T}}H$ mit der Curie-Konstanten $C=\mu _{0}{\frac {N}{V}}{\frac {m^{2}}{3k_{\mathrm {B} }}}$
  • Magnetisierungsarbeit unter Annahme des Curie-Gesetzes: $\delta W=\mu _{0}Hdm=\mu _{0}HVdM==\mu _{0}HV{\frac {C}{T}}dH$
• Curie-Weiß-Gesetz

Begriffe aus Nolting 1.4.3 Weißscher Ferromagnet

• Curie-Weiß-Gesetz( gilt bei hohen Temperaturen und kleinen Feldern): $M(H,T)\approx {\frac {C}{T-T_{c}}}H$ mit der materialabhängigen Curie-Temperatur $T_{c}$
  • Ferromagnetismus: $T<T_{c}$
  • Paramagnetismus: $T>T_{c}$

Größenordnungen

• $k_{\mathrm {B} }\approx 1,38\cdot 10^{-23}\mathrm {J/K} \approx 8,6\cdot 10^{-5}\mathrm {eV/K}$
  • Beispiel mittlere thermische Energie pro Freiheitsgrad bei Zimmertemperatur ($293\mathrm {K}$):$\approx 4\cdot 10^{-21}\mathrm {J} \approx 0,025\mathrm {eV} )$·
• Magnetische Feldkonstante:$\mu _{0}\approx 1,26\cdot 10^{-6}\mathrm {N/{A^{2}}}$
• Bohrsches Magneton: $\mu _{\mathrm {B} }\approx 9,27\cdot 10^{-24}\mathrm {J/T}$
• Avogadro-Konstante: $N_{\mathrm {A} }\approx 6,02\cdot 10^{-23}\mathrm {mol^{-1}}$
• Magnetische Suszeptibilität (bei Zimmertemperatur) $\chi ={\frac {M}{H}}={\frac {C}{T}}$ letzteres bei Curie Gesetz mit C als Curie-Konstante
  • Beispiele: Neodym $\chi \approx 3,6\cdot 10^{-3}$, Sauerstoff $\chi \approx 1,9\cdot 10^{-6}$)

Beispiel-Rechnungen

• Berechnung isotherme Arbeitsleistung bei Anwendung des Curie-Gesetzes (siehe W.N. 4/2 Aufg. 1.6.9 )

$\Delta W_{12}=\int _{H_{1}}^{H_{2}}(\delta W)_{T}=\int _{H_{1}}^{H_{2}}{\frac {\mu _{0}CV}{T}}HdH={\frac {\mu _{0}CV}{T}}{\frac {1}{2}}(H_{2}^{2}-H_{1}^{2})=\mu _{0}{\frac {VT}{2C}}(M_{2}^{2}-M_{1}^{2})$

• Berechnung der spez. Wärme

$C_{m}={\frac {\partial U(T,m)}{\partial T}}={\frac {\partial U(S(T,m),m)}{\partial T}}={\frac {\partial U(S,m)}{\partial S}}{\frac {\partial S(T,m)}{\partial T}}=T{\frac {\partial S(T,m)}{\partial T}}$

${\frac {\partial S(T,m)}{\partial T}}={\biggl (}{\frac {\partial T(S,m)}{\partial S}}{\biggr )}^{-1}$

Irreversible Arbeitsprozesse

Wellenarbeit

bei offenen Systemen

Zusätzliche Punkte

• Äußerer Umgebungsdruck
• statische Felder wie Graviationsfeld
• chemische Reaktionen
• Vorzeichen Konvention
• Tabelle mit verschiedenen Typen von Arbeiten

Literatur

• Hans Dieter Baehr, Stephan Kabelac: Thermodynamik - Grundlagen und technische Anwendungen. 16. Auflage. Springer Vieweg, Braunschweig 2016, ISBN 978-3-662-49567-4, 2 Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik, S. 39–84. 
• Günther Ludwig: Einführung in die Grundlagen der theoretischen Physik. Band 4. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1979, ISBN 3-528-09184-3, XIV § 1.2 Der Energiesatz und § 2.8 Materialien im elektromagnetischen Feld, S. 11–29, 135–145. 
• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik Thermodynamik. 9. Auflage. Band 4/2. Springer Verlag, Berlin 2016, ISBN 978-3-662-49033-4, 1.5 Arbeit, 2.1 Erster Hauptsatz, 2.3 Adiabaten, S. 20–24, 34–37, 40–42. </ref>

Einzelnachweise

• NoltingThermodynamik_1.5
• BaehrKabelac_Arbeit
• LudwigBd4Thermostatik
• LudwigBd4IrreversibleProzesse
• TheodoreFrankel_GeometryOfPhysics_6.3
• Stierstadt_Entropie_5
• Lieb