Benutzer:Bleckneuhaus/Fermi-Energie

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Die Fermi-Energie (nach Enrico Fermi) ist ein physikalischer Begriff aus der Quantenstatistik. Die Fermi-Energie gibt die höchste Energie an, die in einem Vielteilchensystem gleichartiger Fermionen (sog. Fermi-Gase) ein Teilchen haben kann, wenn das System als ganzes in seinem Grundzustand ist. Alle Zustände mit Energien bis zur der Fermi-Energie sind dann mit Teilchen voll besetzt, darüber keiner. Führt man dem System Energie zu, dann wird als Fermi-Energie das Energieniveau bezeichnet, das im thermodynamischen Gleichgewichtszustand genau zur Hälfte mit Teilchen besetzt ist. Die Fermi-Energie wird auch Fermikante oder Ferminiveau genannt. Bei der Bestimmung eines chemischen Gleichgewichts hat sie die Bedeutung des chemisches Potentials. Die Fermi-Energie macht sich z.B. im Photoeffekt an Metalloberflächen in Gestalt der Austrittsarbeit bemerkbar: Die Austrittsarbeit ist hierbei die wohlbestimmte Energie, die einem Elektron an der Fermikante mindestens zugeführt werden muss, um es aus dem Metall herauszuschlagen.

Die Fermi-Energie ist Folge des nur bei Fermionen (z.B. Elektronen) geltenden Ausschließungprinzips, wonach sich in keinem Zustand mehr als ein Teilchen befinden darf. Zur näheren theoretischen Begründung siehe Fermi-Dirac-Statistik.

Beschreibung

Die Fermi-Energie (Symbol $\,E_{F}$ oder $\,\mu$) ist eine reine Folge der Quantenphysik, insbesondere der Quantenstatistik. Die genaue theoretische Begründung des Begriffs setzt eine große Anzahl nicht wechselwirkender Teilchen voraus. Da es keine vollkommen wechselwirkungslosen Teilchen gibt, ist der Begriff streng genommen eine Näherung, die aber überall dort große Bedeutung hat, wo die Eigenschaften des Systems stärker durch die gegenseitige Ausschließung als durch die Wechselwirkung der Teilchen bestimmt sind.

$\,E_{F}$ spielt für die Eigenschaften eines Fermigases nicht nur in seinem Grundzustand ($T{\mathord {=}}0^{\circ }K$) eine wichtige Rolle, sondern auch bei höheren Temperaturen, solange $\,k_{B}T\ll E_{F}$. (Darin $\,k_{B}$ Boltzmannkonstante, $\,T$ absolute Temperatur). Die Fermikante ist dann nicht mehr die absolut scharfe Begrenzung, wo die Besetzungszahl der Einteilchenzustände von 1 auf 0 springt, sondern etwas aufgeweicht. Die Besetzungszahl fällt in einem Energiebereich von einigen $\,k_{B}T$ stetig von (nahezu) 1 auf (nahezu) 0 ab. Solche Fermigase werden als entartet bezeichnet. Jedes Fermigas ist entartet, wenn es nicht zu sehr verdünnt ist und die Temperatur nicht zu hoch ist.

Beispiele

Die Fermi-Energie hilft in vielen Teilgebieten der Physik Phänomene zu beschreiben, die keine klassische Deutung haben.

• Die feste Austrittsarbeit bei Leitungselektronen in einem Metall (s. Photoeffekt, Kontaktpotenzial, Elektrochemische Spannungsreihe, Schutzelektrode) ist gerade der Energieunterschied zwischen der Fermikante und der Energie des Elektrons im Vakuum.
• Die spezifische Wärme der Metalle ist viel geringer als nach der klassischen Physik zu erwarten. Denn die Leitungselektronen darin, die man mit erwärmen muss, bilden ein entartetes Fermigas, das zur Erwärmung viel weniger Energie braucht als ein normales Gas. Der Grund ist, dass es für die überaus meisten Elektronen verboten ist, Energieen der Größenordnung $\,k_{B}T$ aufzunehmen, weil auf den entsprechenden höheren Niveaus kein Platz frei ist. Nur die relativ sehr wenigen Elektronen nahe der Fermikante können ihre Energie um diese kleinen Beträge ändern und daher beim thermischen Gleichgewicht mitwirken.
• Die elektrische Leitfähigkeit von Metallen ist viel größer als mit der klassischen Physik zu verstehen, weil die Elektronen (die bewegten Ladungsträger) im Fermigas kaum aneinander streuen können. Streuung, d.h. Ablenkung aus der Stromrichtung, kann nur geschehen, wenn für die beiden Stoßpartner nach dem Stoß unbesetzte Zustände bereit stehen.
• Sterne vom Typ Weißer Zwerg werden durch das entartete Elektronengas bei einem gewissen Radius stabilisiert. Bei weiter fortgesetzter Kompression würde (wenn der Stern nicht über 2,5 Sonnenmassen hat) die Fermienergie des Elektronengases mehr ansteigen als durch den Gewinn an Graviationsenergie gedeckt wird .
• Sterne mit größerer Masse als 2,5 Sonnenmassen explodieren als Supernova. Bei ihnen bekommt durch fortgesetzte Kompression das Fermigas der Protonen eine so hohe Fermienergie, dass die Protonen nahe dem Ferminiveau sich in die (etwas schwereren) Neutronen umwandeln können. Das eröffnet die Möglichkeit zu weiterer und sogar beschleunigter Kompression, etwa bis zur Dichte der Kernmaterie. Das Ende der Kompression ist dann so plötzlich, dass eine nach außen gehende Schockwelle den Umschlag in die Supernova auslöst.
• Die Einteilung der festen Stoffe nach ihrer elektrischen Leitfähigkeit in Isolatoren, Halbleiter, Metalle richtet sich danach, wo die Fermi-Energie in Bezug auf die Energiebänder der Elektronen liegt. Fällt sie in eine Bandlücke, ist es ein Isolator (breite Bandlücke) oder ein Halbleiter (schmale Bandlücke), liegt sie inmitten eines Bands, ist es ein Metall.
• Die in weiten Bereichen veränderliche elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern (also die technische Grundlage der elektronischen Bauteile) wird weitestgehend davon bestimmt, wo die Fermienergie in der Bandlücke genau liegt: bei einem intrinsischen Halbleiter in der Mitte, bei einem p-Leiter dicht am unteren Rand, bei einem n-Leiter am oberen.
• Können zwei Systeme Teilchen austauschen, gleichen sich außer ihren Temperaturen auch ihre Fermi-Energien an. So entsteht z. B. im Kontakt eines p-Halbleiters mit einem n-Halbleiter eine Diode.
• Die chemische Reaktion in einem Gemisch verschiedener Stoffe wird allgemein dadurch bestimmt, dass sie zur Angleichung der chemischen Potentiale aller Stoffe führt. Für einen Stoff, dessen Teilchen Fermionen sind, ist das chemische Potential daher durch die Fermi-Energie gegeben.