Benutzer:Bleckneuhaus/Masse (Entwurf)

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Entwicklung des Begriffs der Masse

Masse in der Klassischen Mechanik

Der physikalische Begriff Masse wurde Mitte des 17. Jahrhunderts geprägt, als Johannes Kepler, Galileo Galilei, Isaac Newton, Christiaan Huygens (und andere) mit dem Studium der Bewegungen von irdischen und himmlischen Körpern die Grundlagen der modernen Naturwissenschaften legten. Aus den Beobachtungen, wie sich die Geschwindigkeit eines Körpers durch Stoß oder Krafteinwirkung ändert, wurde geschlossen, dass jedem Körper eine unveränderliche Größe zukommt, die seine Trägheit verursacht. Dies entsprach dem älteren philosophischen Begriff "quantitas materiae", der die Menge der in einem Körper enthaltenen Materie bezeichnen sollte, aber erst mit der physikalischen Definition der Masse einen präzisen Sinn erhielt. Dieser klassische Massebegriff bekam grundlegende Bedeutung für die Klassische Mechanik. Seine genauen Eigenschaften sind:

1. Trägheit: Aufgrund seiner Masse setzt ein Körper einer Kraft, die seine Geschwindigkeit in Größe und/oder Richtung ändert, einen Widerstand entgegen: Die Geschwindigkeitsänderung erfolgt in der Richtung dieser Kraft und ist umgekehrt proportional zur Masse.
2. Gravitationsladung: Aufgrund ihrer Massen ziehen sich zwei Körper gegenseitig an, wobei die Richtung der Kraft entlang der Verbindungslinie liegt und ihre Stärke zu den Massen beider Körper proportional ist.
3. Invariantes Maß der Materiemenge: Die Masse eines Körpers hängt nicht von seiner Geschwindigkeit ab. D. h. sie bleibt die gleiche, wenn man das Bezugssystem wechselt, in dem der Körper betrachtet wird. In der klassischen Mechanik bedeutet dieser Wechsel, dass man die Koordinaten des Körpers mithilfe einer Galilei-Transformation umrechnet.
4. Additivität: Die Masse eines zusammengesetzten Körpers ist die Summe der Massen seiner Einzelteile.
5. Massenerhaltung: Bei allen physikalischen Prozessen bleibt die Gesamtmasse erhalten.

Die Eigenschaft Nr. 1 ist ein Teil des Zweiten Newtonschen Gesetzes und definiert die Bedeutung der physikalischen Größe Masse durch ihre Trägheit, allerdings setzt sie die Definition der Größe Kraft voraus. Die Eigenschaft Nr. 2 ist Teil des Newtonschen Gravitationsgesetzes, das zur Grundlage der genauen Beschreibung der Erdanziehung und der Planetenbewegung wurde. Sie liefert die benötigte Kraftdefinition, indem sie die Gravitationskraft konkret angibt und damit alle weiteren Kräfte durch Vergleich mit der aus der Gravitation folgenden Gewichtskraft zu messbaren Größen macht. Die im Gravitationsgesetz enthaltene Feststellung, dass es die durch Trägheit definierte Masse ist, welche die Gravitation verursacht, wird als Äquivalenz von träger und schwerer Masse bezeichnet. Die beiden nächsten Eigenschaften Nr. 3 und 4 der Masse ergeben sich in der Newtonschen Mechanik als Folgerungen aus der definierenden Eigenschaft Nr. 1. Die Massenerhaltung (Eigenschaft Nr. 5) ist eine Erfahrungstatsache zunächst aus dem Bereich der Mechanik, deren Gültigkeit Ende des 18. Jahrhunderts (vor allem durch Antoine de Lavoisier) auch auf die chemischen Vorgänge ausgeweitet werden konnte. Zusammen entsprechen die drei letztgenannten Eigenschaften genau der Vorstellung von einer unzerstörbaren Substanz, aus der die materielle Welt besteht.

Bis etwa Mitte des 18. Jahrhunderts wurden die wichtigen Erhaltungsgrößen Impuls und kinetische Energie herausgearbeitet, die mit der Masse eines in Bewegung befindlichen Körpers verbunden sind:

• Bewegungsgröße: Zur Bewegung eines Körpers gehört neben der Geschwindigkeit eine zweite gerichtete Größe, der Impuls. Sein Betrag ist zur Masse proportional, seine Richtung ist zur Geschwindigkeit parallel. Bei jedem Vorgang bleibt die vektorielle Summe der Impulse aller beteiligten Körper erhalten.
• Kinetische Energie: Zur Bewegung eines Körpers gehört auch eine ungerichtete Erhaltungsgröße, die kinetische Energie. Sie ist zur Masse proportional, und null, wenn der Körper ruht. Bei jedem Vorgang bleibt die Gesamtenergie, d. h. die Summe aus kinetischer Energie und allen anderen Energieformen, erhalten.

Diese beiden Erhaltungssätze für Impuls und Energie sind grundlegend sowohl für die klassische als auch die moderne Physik und gelten in der gegebenen Formulierung exakt in beiden Bereichen. Auf ihrer Grundlage kann man eine neue Definition der Masse geben, die im Ergebnis mit den fünf oben genannten Eigenschaften übereinstimmt, aber keine von ihnen schon voraussetzt. Man benötigt dazu noch die genaue Festlegung, wie die Beschreibung eines physikalischen Vorgangs abzuändern ist, wenn man in ein bewegtes Bezugssystem wechselt. Jedoch ist dabei insbesondere kein Rückgriff auf den Kraftbegriff nötig, der nach Ernst Mach, Gustav Kirchhoff, Heinrich Hertz und anderen im 19. Jahrhundert als ungeeignet für einen wissenschaftstheoretisch befriedigenden Grundbegriff kritisiert wurde.

Umbruch zur modernen Physik

Im Rahmen der klassischen Physik, und damit auch in der Alltagswelt, gelten zwar alle fünf oben genannten Eigenschaften der Masse als exakt gegeben, aber in der von Relativitätstheorie und Quantenphysik geprägten modernen Physik nur noch näherungsweise.

H. A. Lorentz entdeckte zu Beginn des 20. Jahrhunderts, dass für elektrodynamische Vorgänge ein Wechsel des Bezugssystems nicht mithilfe der Galilei-Transformation sondern der Lorentz-Transformation vollzogen werden muss, und Albert Einstein erkannte, dass dies für jedes physikalische Phänomen gilt, auch im Bereich der Mechanik. Das lässt den Zusammenhang zwischen der Kraft und der von ihr bewirkten Änderung der Geschwindigkeit weit komplizierter werden, als in der klassischen Definition der Masse (Eigenschaft Nr. 1) angenommen. Des weiteren folgt, dass ein System bei Änderung seiner inneren Energie (das ist der Energieinhalt, den er in seinem Ruhesystem hat) eine dazu proportionale Änderung seiner Masse erfährt. Die Masse eines zusammengesetzten Körpers hängt also nicht nur von den Massen seiner Bestandteile ab, sondern auch von den kinetischen und potentiellen Energien, die diese haben, wenn der Körper als ganzes ruht. Z. B. verliert ein Körper beim Zusammensetzen aus einzelnen Bestandteilen an Masse, wenn Bindungsenergie frei wird (Massendefekt), genauso wie seine Masse sich vergrößert, wenn seine Bestandteile sich heftiger gegeneinander bewegen, wie das etwa bei Erwärmung der Fall ist. Dabei ergeben sich die betreffenden Energiewerte stets so, dass man den Wert der Masse bzw. Massenänderung mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit multipliziert. Dieser Umrechnungsfaktor ist eine universelle Konstante. Mithin lassen sich Veränderungen der Masse und der Energie überhaupt nicht voneinander trennen, vielmehr besteht eine allgemeine Äquivalenz von Masse und Energie.

Die Äquivalenz von Masse und Energie gilt immer. Einem in Ruhe befindlichen Körper muss man entsprechend seiner Masse $m$ eine Ruheenergie $E_{0}=m\,c^{2}$ zuschreiben (sog. Einsteinsche Gleichung). Und auch umgekehrt muss man nach derselben Gleichung einem System eine Masse zuschreiben, wenn es Ruheenergie besitzt, d. h. wenn es beim Gesamtimpuls null noch Energie hat. Dies bleibt im Alltag meist verborgen. Es wird aber besonders deutlich bei der gegenseitigen Vernichtung (Annihilation) von zwei massebehafteten Elementarteilchen, wenn man den Prozess in deren Schwerpunktsystem betrachtet, also in dem Ruhesystem des Zweiteilchensystems. Es entsteht Vernichtungsstrahlung mit einer Energie, die durch die Ruheenergie des verschwundenen Zweiteilchensystems gegeben ist. Sie hat den Gesamtimpuls null, wie vorher das Zweiteilchensystem auch. Diesem Strahlungsfeld muss auch dieselbe Masse zugeschrieben werden wie dem Zweiteilchensystem, denn es lässt sich kein Unterschied feststellen. D. h., auch masselose Objekte (z. B. Lichtquanten) können Systeme bilden, die eine Masse haben.

Die oben angegebenen klassischen Eigenschaften der Masse können daher nur als näherungsweise gültig beibehalten werden, nämlich für den klassischen oder nichtrelativistischen Grenzfall, d. h. für massebehaftete Körper mit geringer Geschwindigkeit. Nach den Erfordernissen der Speziellen und der Allgemeinen Relativitätstheorie müssen sie wie folgt umformuliert werden:

1'. Trägheit: Aufgrund seiner Masse setzt ein System einer Kraft, die seine Geschwindigkeit in Größe und/oder Richtung ändert, einen Widerstand entgegen: Die Geschwindigkeitsänderung ist umgekehrt proportional zur Masse, hängt aber in Richtung und Größe auch von der Größe der Geschwindigkeit und der Richtung der Kraft relativ zur Geschwindigkeit ab.

2'. Gravitationsladung: Zwei Systeme ziehen sich aufgrund der in ihnen enthaltenen Massen, Energien und Impulse gegenseitig an.

3'. Invariante Größe Masse: Die Masse eines Systems hängt nicht von seiner Geschwindigkeit ab. D. h. sie bleibt die gleiche, wenn man durch eine Lorentz-Transformation das Bezugssystem wechselt, in dem das System betrachtet wird.

4' Additivität: Die Masse eines zusammengesetzten Systems ist gleich der Summe der Massen seiner Einzelteile, abzüglich des Massenäquivalents der Bindungsenergie, die zur vollständigen Trennung der gebundenen Einzelteile zugeführt weden müsste, und zuzüglich des Massenäquivalents der kinetischen Energien der Einzelteile, die als freie Teilchen zum System gehören.

5'. Energieerhaltung: Bei allen Prozessen bleibt die Summe aller Energien erhalten. Die mit den Massen verknüpften Ruheenergien sind darin enthalten. Ein getrennter Erhaltungssatz für die Masse gilt nicht.

Im Endergebnis definiert man mittels der Gleichung $E_{0}=m\,c^{2}$ die Masse durch die Ruheenergie. Damit ist die Masse eine Lorentzinvariante, so wie die nach Newton definierte Masse eine Galilei-Invariante ist. Daher stimmen beide Definitionen der Masse nicht nur im Wert überein, sondern teilen eine tiefliegende Beziehung, an der aber auch ihr Unterschied deutlich wird: Beide Definitionen der Masse ergeben sich in gleicher Weise allein aus dem Erhaltungssatzen für den Impuls, wenn man den Übergang zur Beschreibung in einem Bezugssystem mit anderer Geschwindigkeit vollzieht (s.u.): mit der nur näherungsweise richtigen Galilei-Transformation gelangt man zum klassischen Begriff, mit der Lorentztransformation zum modernen Begriff der Masse.

Die ursprüngliche Bedeutung der Masse als Maß für die Menge der Materie ist damit nicht mehr aufrechtzuerhalten.

Wechsel im Wortgebrauch

Zu dem genauen Gebrauch der Benennung "Masse" ist eine historische Anmerkung nötig: Um die klassische Definition der Masse in eine relativistisch korrekte zu überführen, wurde zunächst die Masse eines Systems einfach durch seinen gesamten Energiegehalt definiert, d. h. durch die Summe aus Ruheenergie und kinetischer Energie, dividiert durch den erwähnten universellen Faktor. So ergab sich die sogenannte "relativistische Masse", die oft aber einfach nur als "Masse" bezeichnet wurde. Je kleiner die kinetische Energie eines Systems gegenüber seiner Ruheenergie ist, desto besser stimmen beide Definitionen überein. Jedoch ist diese "relativistische Masse" für ein und dasselbe System je nach dem Bezugssystem, in dem es beobachtet wird, so verschieden wie seine kinetische Energie. Die "relativistische Masse" eines Systems variiert also mit seiner Geschwindigkeit, ist lediglich ein anderer Ausdruck für seine jeweilige Gesamtenergie und hat keine eigenständige Bedeutung. Nur die zur Ruheenergie gehörende Masse charakterisiert das System als solches, sie erhielt in diesem Zusammenhang den neuen Namen "Ruhemasse". Diese Benennungen sind zwar noch häufig anzutreffen, werden aber zunehmend durch die moderne Wortwahl verdrängt: "Masse" steht darin ausschließlich für die zur Ruheenergie gehörende Masse, ist also eine vom Bezugssystem unabhängige Größe, die das jeweilige System als solches charakterisiert.

Herleitung des Massenbegriffs aus der Impulserhaltung

Man betrachtet den vollkommen inelastischen Stoß, d. h. zwei Körper ($K_{1},K_{2}$), die sich aufeinander zubewegen und zu einem einzigen ($K_{1+2}$) vereinigen. Die Impulse (${\vec {p}}_{i}$) sind sind jeweils parallel zur Geschwindigkeit (${\vec {v}}_{i}$), mit zunächst unbekannten Faktoren ($M_{i}$). Impulserhaltung bedeutet

${\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}={\vec {p}}_{1+2}$.

Das ergibt die Gleichung:

$M_{1}{\vec {v}}_{1}+M_{2}{\vec {v}}_{2}=M_{1+2}\ {\vec {v}}_{1+2}$.

Die Faktoren $M_{i}$ können in noch unbekannter Weise auch von der jeweiligen Geschwindigkeit abhängen. Sicher gilt aber für den Fall, dass beide Körper vollkommen gleich beschaffen sind: $M_{1}({\vec {v}})=M_{2}({\vec {v}})=:M({\vec {v}})$ . In diesem Fall gilt, wenn der Stoß in dem Ruhesystem (${\vec {v}}_{1+2}=0$) des im Stoß gebildeten Körpers $K_{1+2}$ betrachtet wird:

$M({\vec {v}}_{1})\,{\vec {v}}_{1}+M({\vec {v}}_{2})\,{\vec {v}}_{2}=0$.

Daher ergibt sich, dass in diesem Bezugssystem die Geschwindigkeiten der beiden gleichen stoßenden Körper entgegengesetzt gleich sein müssen:

${\vec {v}}_{1}=-{\vec {v}}_{2}=:{\vec {v}}$

Die beiden Geschwindigkeiten sind aber nicht entgegengesetzt gleich, wenn derselbe Stoß in einem mit der Geschwindigkeit $-{\vec {V}}$ bewegten Bezugssystems betrachtet wird. Darin bewegt sich nach dem Stoß der Körper $K_{1+2}$ mit Geschwindigkeit ${\vec {V}}$. Die Impulserhaltung lautet nun:

$M({\vec {v}}'_{1})\,{\vec {v}}'_{1}+M({\vec {v}}'_{2})\,{\vec {v}}'_{2}=M_{1+2}({\vec {V}})\ {\vec {V}}$.

Darin sind ${\vec {v}}'_{1}\ ,\ {\vec {v}}'_{2}$ die Geschwindigkeiten der beiden stoßenden Körper im bewegten Bezugssystem.

Im Folgenden ergeben sich Unterschiede zwischen der klassischen Physik und der realtivistischen Physik:

Klassische Physik

Nach der in der klassischen Physik gültigen Galilei-Transformation gilt:

${\vec {v}}'_{1}={\vec {v}}+{\vec {V}}\ ,\ {\vec {v}}'_{2}=-{\vec {v}}+{\vec {V}}\ ,$

und folglich

${\vec {v}}'_{1}+{\vec {v}}'_{2}=2{\vec {V}}\ .$

Vergleicht man dies mit der Gleichung der Impulserhaltung, sind beide Gleichungen dann verträglich, wenn

$M({\vec {v}}'_{1})=M({\vec {v}}'_{2})\ ,$ sowie $M_{1+2}=2M\ .$

Denn mit zwei verschiedenen Faktoren $M({\vec {v}}'_{1})\neq M({\vec {v}}'_{2})\$ kann sich kein zu ${\vec {V}}$ paralleler Vektor ergeben. Aus der ersten Gleichung der vorigen Zeile folgt nun, dass der Faktor $M$ für alle Geschwindigkeiten gleich ist. Diese Vereinfachung wurde in der Schreibweise der zweiten Gleichung schon benutzt. Demnach ist der Faktor $M$ zwischen Geschwindigkeit und Impuls auch eine additive Größe. Er ist identisch mit der aus der älteren Definition bekannten Masse $m$.

Moderne Physik

Man muss statt der Galilei-Transformation die Lorentz-Transformation zugrundelegen. Dann gilt statt der einfachen Addition der Geschwindigkeitsvektoren das relativistische Additionstheorem. Daraus folgt (nach längerer Rechnung): Nicht $({\vec {v}}'_{1}+{\vec {v}}'_{2})$ ist parallel zu ${\vec {V}}$, sondern der Vektor $({\tfrac {{\vec {v}}'_{1}}{\sqrt {1-(v'_{1}/c)^{2}}}}+{\tfrac {{\vec {v}}'_{2}}{\sqrt {1-(v'_{2}/c)^{2}}}})$. Multipliziert mit einer Konstante, die hier im Vorgriff schon mit $m$ bezeichnet wird, muss sich der Gesamtimpuls $M_{1+2}({\vec {V}})\ {\vec {V}}$ ergeben. Folglich haben die Impulse der stoßenden Körper die Form

${\vec {p}}={\tfrac {m}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$

und dere Faktor $m$ erweist sich tatsächlich als die Masse in relativistischer Definition.

Zusammengefassung: Wenn jedem Körper einzeln eine zu seiner Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ parallele Größe ${\vec {p}}$ zugeordnet werden kann, so dass die Summe dieser beiden Größen bei einem inelastischen Stoß konstant bleibt, dann gilt ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ (klassisch) bzw. ${\vec {p}}={\tfrac {m}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}{\vec {v}}$ (relativistisch), wobei der Faktor $m$ einen vom Bezugssystem unabhängigen Wert hat, den man als Masse des Körpers bezeichnet. Dies ist die eigenständige Definition der Masse, die allein auf der Impulserhaltung beruht.

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