Benutzer:Flip666/Sandbox

Um den Ahnungslosen Besucher etwas zu verwirren folgen hier ein paar Formeln und unverständliches Geschwätz... Es stammt aus meiner WP-Anfangszeit, als ich noch nicht wusste, dass man sich Sandbox-unterseiten anlegen darf. Vielleicht wird irgendwann mal was ordentliches draus, wenn ich meine WikiPedia-Motivation wiedergefunden habe, die die Herren von der "Wir löschen auch Dein Wissen"-Fraktion entfernt haben...

Sandboxen

• Benutzer:Flip666/Objektive Gefahr
• CRC für Dummies
• digitale Filter

Spannungspegel

Bei normalen digitalen Systemen wird eine massebezogene Spannung von typischerweise 5 V oder 3,3 V zur Signalübertragung verwendet. Low voltage (niedrige Spannung) bedeutet, dass stattdessen eine vergleichsweise niedrige Spannung von typischerweise 350 mV verwendet wird (min. 247 mV; max. 454 mV). Um trotzdem eine störungsfreie Übertragung zu ermöglichen wird die Spannung differentiell (differential) übertragen. Das heisst,

anstatt der üblichen hohen Spannungen für digitale Systeme von eine niedrigere Spannung verwendet wird. Dies hat mehrere Vorteile. Bei klassischen Schnittstellen wie EIA-422 ist eine relativ große Leistung notwendig, um die Ladung des Kabels zu ändern. Die dabei auftretenden Spannungsänderungen (hohes dU/dt) und hochfrequenten Lade- und Entladeströme (hohes di/dt) gehen einher mit hochfrequenten elektrischen (E-Feld) und magnetischen Feldern (H-Feld), welche starke elektromagnetische Störungen darstellen. Die hochfrequenten Umladungsströme sorgen zusätzlich auf den Stromversorgungsleitungen für Probleme. Die immer weitere Strukturverkleinerung moderner Halbleiter bringt zudem eine Herabsetzung der Versorgungsspannungen mit sich. Bei hohen Datenraten kommt man daher an einer Verkleinerung des Signalpegels nicht herum. LVDS arbeitet mit einem Spannungshub von 0,3 Volt. Differenzielle Signalübertragung bedeutet, dass zwei Leitungen verwendet werden und die Differenz der Spannungen für den Logikzustand ausschlaggebend ist. Bei LVDS beträgt der Unterschied 0,3 Volt, während die absolute Spannung bei ca. 1,2 Volt liegt. Ein Logikwechsel wird durch Umpolen der Leitungen erzeugt. Dies wird als symmetrische Signalübertragung bezeichnet. Die Signale sind immer entgegengesetzt, also um 180° phasenverschoben.

Logikfamilien

		TTL	LS	ALS	HC	HCT	LV	LVC*	LC
Versorgungsspannung (Vcc)	min	4.75 V	4.75 V	4.5 V	2.0 V	4.5 V	V	1.65 V	V	V
	typ	5.0 V	5.0 V	5.0 V	5.0 V	5.0 V		3.3 V
	max	5.25 V	5.25 V	5.5 V	6.0 V	5.5 V		3.6 V
typ. Durchlaufverzögerung		22.0 ns	12.0 ns	12.0 ns	21.0 ns	30.0 ns		4.0 ns
I/O-Toleranz		5.0 V	5.0 V	5.0 V	Vcc	Vcc		5.5 V
Pegel "low"	Eing.	0.8 V
	Ausg.	0.4 V
Pegel "high"	Eing.	2.0 V
	Ausg.	2.4 V
Éingangspegel high	min
	typ
	max

'* LVC = LCX

Zeitkontinuierliche Systeme

Deltafunktion (delta function) und Einheitssprung (step function)

Die Deltafunktion $\delta (t)$ ist definiert als Impuls unendlicher Höhe zum Zeitpunkt t=0 mit der Fläche 1.

Die Sprungfunktion $u(t)$ ist definiert als $u(t)=<{\begin{cases}0&{\mbox{wenn }}t<0\\1/2&{\mbox{wenn }}t=0\\1&{\mbox{wenn }}t>0\end{cases}}$

Die Sprungfunktion ist das Integral der Deltafunktion, umgekehrt ist die Deltafunktion die Ableitung der Sprungfunktion:

$u(t)=\int _{-\infty }^{t}\delta (\tau )\mathrm {d} \tau$

$\delta (t)=$

Die Faltung (convolution)

Die Faltung zweier Funktionen x(t) und h(t) ist definiert als: $y(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }x(t-\tau )h(\tau )d\tau =\int _{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau =x(t)*h(t)$

Lineare zeitinvariante diskrete Systeme

  x[n]   -------------  y[n]
 ------>| h[n] / H(z) |------>
  X(z)   -------------  Y(z)

• werden durch ihre Impulsantwort h[n], ihren Frequenzgang H(ω) oder ihre Übertragungsfunktion H(z) vollständig beschrieben

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {a_{0}+a_{0}z^{n-1}+...+}{}}$

wenn man das ausdividiert erhält man:

$H(z)=h_{0}+h_{1}z^{-1}+h_{2}z^{-2}+...$

bzw:

$H(f)=h_{0}+h_{1}\exp(-j2\pi fT_{s})+h_{2}\exp(-j4\pi fT_{s})+...$

zurück in den Zeitbereich transformiert:

$h(t)=h_{0}+h_{1}\delta (t-T_{s})+h_{2}\delta (t-2T_{s})+...$

Transformationen

Laplace-Transformation

• für zeitkontinuierliche Signale
• setzt Signale aus Exponential- und Sinusfunktionen zusammen
• zum Lösen von Differentialgleichungen bzw. zur Beschreibung von Systemen, die auf Differentialgleichungen basieren, da die Lösungen von Differentialgleichungen Sinus- und Exponentialfunktionen sind.
• Umsetzung vom Zeitbereich (meistens reel) in den s-Bereich (komplex)
• Definition: $X(\sigma ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }[x(t)e^{-\sigma t}]e^{-j\omega t}dt$

• jeder Ort in der s-Ebene wird durch eine komplexe Variable $s=\sigma +j\omega$ dargestellt.
• Signale im Laplacebereich werden durch Großbuchstaben gekennzeichnet, d.h. ein Signal x(t) im Zeitbereich wird in ein Signal X(s) im Laplacebereich umgesetzt.
• jeder Punkt in der s-Ebene repräsentiert eine Sinusschwingung der Frequenz ω, die mit der Dämpfung σ exponentiell ab- oder zunimmt.

Pole/Nullstellen

• Pole werden in der s-Ebene durch ein "x" gekennzeichnet, Nullstellen durch ein "o"
• Pole und Nullstellen eines Signales werden ermittelt, indem man es für jeden Punkt der s-Ebene mit der Wellenform multipliziert, die dieser Punkt repräsentiert und anschließend das Integral bildet (ist das die Korrelation???). Ist dieses genau Null, so ist dieser Punkt eine Nullstelle. Dort wo das Ergebnis des Integrals gerade unendlich wird befinden sich die Pole.

• ein stabiles System hat nur Pole auf der linken Seite der s-Ebene, da nur ein zunehmendes Signal ein abnehmendes Auslöschen? kann. Und zunehmende Signale werden durch Punkte auf der linken Seite repräsentiert

z-Transformation

• für zeitdiskrete Signale
• mit der Bilineartransformation kann ein System im Laplace-(s-)Bereich in den z-Bereich überführt werden
• $z=\exp(j2\pi fT_{s})$

Fourier-Transformation

• setzt Signale aus Sinusfunktionen zusammen, damit ist sie mathematisch gesehen ein Spezialfall der Laplacetransformation. Allerdings enthält sie keinen Dämpfungsfaktor, der eine Konvergenz erzwingen würde. Deshalb konvergiert das Fourier-Integral nur für zeitlich begrenzte Signale oder für Signale, die schnell genug abklingen. Andernfalls enthält $X(\omega )$ Singularitäten, die als Dirac-Impuls dargestellt werden können.
• die Werte auf der y-Achse des Laplacebereiches ($\omega =0$) entsprechen den Werten der Fouriertransformierten
• Definition: $X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$
• "Strategie" der Fourier-Transformation: Korrelliere das zu analysierende Signal mit Basisfunktionen, um die Wellenform zu zerlegen

Die Bilineartransformation

• zur Überführung aus dem zeitkontinuierlichen s-Bereich in den zeitdiskreten z-Bereich durch die Substitution

$s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}$

• die Imaginäre Achse wird auf den Einheitskreis abgebildet
• ist nichtlinear, es werden jedoch systeminhärente Eigenschaften wie Stabilität, Kausalität, usw. beibehalten

Filter allgemein

Typen

• Tiefpass
• Hochpass
• Bandpass
• Bandsperre

charakteristische Werte

• Grenzfrequenz

Die Grenzfrequenz ist diejenige Frequenz, bei der die Amplitude des Signals auf -3dB (70,7%) ihres ursprünglichen Wertes abgesunken ist.

• Amplitudengang (amplitude response)

die Dämpfung des Filters in Abhängigkeit der Frequenz

• Phasengang (phase response)
  • der Phasenverzug zwischen Ein- und Ausgang des Filters in Abhängigkeit der Frequenz

• Gruppenlaufzeit $\tau _{g}$ (group delay)
  • ist ein Maß dafür, wie lang eine bestimmte Frequenzkomponente beim durchlaufen des Filters verzögert wird
  • wenn die Signalform im Zeitbereich erhalten werden soll, dann muss die Gruppenlaufzeit konstant sein und damit der Phasengang linear
  • ist die negative Ableitung des Phasengangs: $\tau _{g}(\omega )=-{\frac {\mathrm {d} b(\omega )}{\mathrm {d} \omega }}$

Klassische Filtertypen

• Butterworth
  • maximal flacher Amplitudengang im Durchlassbereich (monoton)
  • monotoner Amplitudengang im Sperrbereich
  • moderate Variation der Gruppenlaufzeit

• Bessel
  • fast lineare Phase, also minimale Verzerrungen der Gruppenlaufzeit

• Chebyshev Typ I
  • Welligkeit im Amplitudengang des Durchlassbereichs (gebräuchliche Werte 1, 2 oder 3 dB)
  • monotoner Amplitudengang im Sperrbereich
  • steilerer Abfall als Butterworth

• Chebyshev Typ II
  • wie Typ I aber:
  • monotoner Amplitudengang im Durchlassbereich
  • welliger Amplitudengang im Sperrbereich

• Cauer (Elliptic)
  • welliger Amplitudengang sowohl im Durchlass- als auch im Sperrbereich
  • ergibt für einen gegebenen Amplitudengang die niedrigste Filterordnung

Sprungantworten

Überschwinger

Werden mit steigender Polzahl größer.

FIR

• Prinzipbedingt stabil, da jede Anregung nach endlicher Zeit abklingt

• benötigen eine größere Filterlänge (Ordnung) als IIR-Filter und damit mehr Rechenleistung und Ausführungszeit

• können eine perfekt lineare Phase haben

Gruppenlaufzeit

... in Abhängigkeit von der Anzahl der Koeffizienten N und der Sampleperiode $T_{s}$: $\tau _{g}=T_{s}{\frac {N-1}{2}}$

IIR-Filter

• können instabil werden und damit schwingen
• die meisten analogen Filter können damit nachgebaut werden
• lineare Phase nur annäherbar

Stabilität

Rundungsprobleme

Bei Filtern mit Grenzfrequenzen nahe dem Nullpunkt oder der Nyquist-Frequenz ergeben sich sehr kleine "a"-Koeffizienten im Vergleich zu den "b"-Koeffizienten. Das Rauschen, dass durch die Rundung des Ausgangssignals entsteht (über die "b"-Koeffizienten), ist dann wesentlich höher, als der Beitrag des Eingangssignals (über die "a"-Koeffizienten). Das Problem steigt mit höheren Filterordnungen, für einfache Genauigkeit (32 bit) gelten folgende Grenzen:

Grenzfrequenz	0,02	0,05	0,10	0,25	0,40	0,45	0,48
max. Polzahl	4	6	10	20	10	6	4

Entwurfsmethoden

Impulse Invariant ?

Dabei wird die Impulsantwort h(t) anstelle der Transferfunktion im Frequenzbereich H(s) in den z-Bereich transformiert. Dadurch ist ist die Impulsantwort des digitalen Filters genauer an der des Analogfilters, als bei der Bilineartransformation. Die Frequenzantwort wird dagegen bei der Bilineartransformation genauer abgebildet. Diese Methode ist nicht für das Design von Hochpassfiltern geeignet (warum auch immer?).

Matched z Transformation

Plaziert die Pole und Nullstellen des digitalen Filters im z-Bereich wie die des analogen im s-Bereich

Filterstrukturen

Die Übertragungsfunktion H(z) kann wie folgt in einen nicht-rekursiven und einen rekursiven Teil zerlegt werden:

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{\sum _{k=1}^{N}a_{k}z^{-k}}}=H_{2}(z)H_{1}(z)=$

Direktform 1 (DF1)

zunächst wird der nichtrekursive Teil des

Entwurf eines IIR-Filters

bilineare (?) Transformation

Mit Hilfe biliniearer (?) Transformationen kann der Prototyp-Tiefpass in einen Hochpass, einen Bandpass oder eine Bandsperre transformiert werden. Gleichzeitig wird die Grenzfrequenz entsprechend angepasst.

Tiefpaß→Tiefpaß-Transformation: $z^{*-1}={\frac {z^{-1}-d}{1-dz^{-1}}}$ mit $d={\frac {\sin(\pi {\frac {f_{g}^{*}}{f_{a}^{*}}}-\pi {\frac {f_{g}}{f_{a}}})}{\sin(\pi {\frac {f_{g}^{*}}{f_{a}^{*}}}+\pi {\frac {f_{g}}{f_{a}}})}}$

Tiefpaß→Bandpaß-Transformation: $z^{*-1}={\frac {z^{-2}-{\frac {2dk}{k+1}}z^{-1}+{\frac {k-1}{k+1}}}{{\frac {k-1}{k+1}}z^{-2}-{\frac {2dk}{k+1}}z^{-1}+1}}$ mit $d={\frac {\cos(\pi {\frac {f_{o}}{f_{a}}}+\pi {\frac {f_{u}}{f_{a}}})}{\cos(\pi {\frac {f_{o}}{f_{a}}}-\pi {\frac {f_{u}}{f_{a}}})}}$ und $k=\cot(\pi {\frac {f_{o}}{f_{a}}}-\pi {\frac {f_{u}}{f_{a}}})\tan(\pi {\frac {f_{g}^{*}}{f_{a}^{*}}})$