Benutzer:Grunswiki/Offener Resonator

Arbeit hieran ruht vorläufig,schon seit einiger Zeit (17.05.2011)

Der Offene Resonator dient der Untersuchung der Eigenschaften eines Laserstrahls oder wird beim Laser-Oszillator zur Rückkopplung benutzt. In beiden Fällen enthält der Resonator bei hoher Güte ein nahezu stehendes Wellenfeld, welches beim Generator die induzierte Emission im gepumpten Medium stimuliert. Das modellhafte skalare paraxiale Wellenfeld des elektromagnetischen transversalen Laserstrahls oder der gerichteten Energieübertragung bei Millimeterwellen kann als internes Wellenfeld in den transversal offenen Resonator eingepasst werden.

Der Dualismus Strahl – Welle soll häufiger herangezogen werden.

Leitgedanken

Der Offene Resonator besteht aus zwei Spiegeln, deren Querabmessungen und häufig ihr Abstand groß gegen die Wellenlänge sind. Das Fabry-Pérot-Interferometer ist ein Beispiel, bei dem im einfachsten Fall die Vorstellung herrscht, dass hin- und her laufende Ebene Wellen zwischen den Spiegeln existieren. Im Teilchenbild heißt das, Lichtstrahlen laufen zwischen den Spiegeln hin und her. Dabei selektiert die Anordnung diejenigen, die im rechten Winkel auf die Spiegel treffen: dieses Wellenfeld oder Strahlenbündel ist stabil in diesem Resonator. Am Rande dieses Resonators treten allerdings Beugungsverluste auf; die Resonatorgüte ist folglich endlich, aber bei praktischen Anordnungen sehr hoch und eher begrenzt durch die nicht totale Reflexion an den Spiegeln. (Der gegenüber der ebenen Anordnung andere Extremfall ist ein radialsymmetrischer Resonator aus einer spiegelnden Kugel umgeben von einer innen verspiegelten Kugelschale. In diesem Fall können Kugelwellen im Sinne eines idealen Rundstrahlers existieren, in jenem Wellen im Sinne eines Richtstrahlers.)

Sphärischen Resonator. Hier der spezielle konfokale Resonator

Der Fabry-Pérot-Laser überwindet die Beugungsverluste durch geringen Spiegelabstand oder (zusammen mit den Auskoppelverlusten) durch ein hinreichend verstärkendes Verstärkermedium. Bei einem langgestreckten Resonator können die Beugungsverluste verringert werden durch sphärisch nach innen gekrümmte Spiegel; die Abbildung zeigt als spezielles Beispiel den konfokalen Resonator, bei dem die Spiegelbrennpunkte zusammenfallen. Der gezeichnete Strahlengang ist stabil: ein Parallelstrahl verlasse einen Spiegel, er kreuzt nach Reflexion den Fokus und verlässt nach abermaliger Reflexion als Parallelstrahl einen äquivalenten Ausgangspunkt. Im zugehörigen Wellenbild sind je zwei hin und her laufende ebene Wellen beteiligt: der Wellenvektor des einen Paars ist parallel zur Resonatorachse, der des anderen Paars zur Achse geneigt.

Der grenzstabile konfokale Resonator lässt sich, wie von der Abbildung gestützte Überlegungen verdeutlichen können, zur Klasse stabiler Resonatoren ausweiten: auf den ebenen Resonator zu, indem beim Verkürzen des Resonators der Krümmungsradius der Spiegel passend verringert wird. Bei ebenen Spiegeln schließlich läuft der Strahl in sich zurück, und die Resonatorlänge ist ohne Belang, soweit Beugungsverluste unberücksichtigt bleiben können; diese sind im dem Teilchenbild lokalisierter Strahlen zugeordneten Bild ebener Wellen unvermeidbar. – Umgekehrt kann die Resonatorlänge gestreckt werden bis die Krümmungsmittelpunkte der Spiegel zusammenfallen; dann läuft der Strahl ebenfalls in sich zurück. Letzteres besagt, die Wellenvektoren entsprechender ebener Wellen sind beliebig gegen die Resonatorachse geneigt, soweit der Spiegelrand ohne wesentlichen Einfluss bleibt. – Das Spektrum der Neigungsmoden ist vollständig, wenn der Resonator zur vollen Kugeloberfläche ergänzt wird. Diese Vorstellungen sind hilfreich bei der Deutung der beabsichtigten analytischen Behandlung.

Resonatoren mit wenigstens einem nach außen gekrümmten Spiegel gehören in die Klasse instabiler Anordnungen, aber auch Hohlspiegel mit im Vergleich zum Abstand zu kleinem Krümmungsradius sind instabil.

Wellenbild

Überlegungen im Strahlenbild haben gezeigt, dass nicht vollständig achsparallele Lichtstrahlen stabile Resonatoren nicht verlassen. Im Wellenbild sollten sich folglich Wellenfelder finden lassen, die durch eine enge transversale Struktur Beugungsverluste infolge begrenzter Spiegel in engen Grenzen halten.

Das als Gaußsches Bündel bekannte, entsprechend der Fehlerfunktion transversal exponentiell eng begrenzte paraxiale Wellenfeld kann selbst in einem durchaus sehr schlanken – also gegenüber dem konfokalen Resonator sehr lang gezogenen – stabilen offenen Resonator in ausgezeichneter Näherung existieren. Wellenvektoren großer Neigung gegen die Resonatorachse sind nämlich im Neigungsspektrum nach ebenen Wellen dieses Gauß-Bündels ebenfalls nur in exponentiell abnehmendem Maße vorhanden. Das geht aus der Tatsache hervor, dass sogar ein vollständiges Spektrum von transversalen Moden existiert, die Eigenfunktionen unter der Fourier-Transformation nach transversalen Koordinaten sind. Die Vollständigkeit erlaubt folglich eine willkürliche transversale Gestaltung des paraxialen Wellenfeldes. Zusätzlich zu diesen transversalen Moden sind longitudinale Moden nach Art der Airy-Funktion ausgezeichnet, wie sie vom – transversal endlichen – Fabry-Pérot-Interferometer her bekannt und stabil sind.

• Auch beim (offenen) Fabry-Pérot-Resonator ermöglichen erst die Beugungsverluste am Spiegelrand die Auswahl der stabilen sich zu den ebenen Spiegeln orthogonal ausbreitenden Moden. Orthogonal zwischen den Spiegeln hin und her laufende Strahlen verlassen den Fabry-Pérot nicht. Jedem dieser Strahlen dual zugeordnet ist eine ebene Welle oder ein Bessel-Strahl. Beide sind homogene Wellen und realisieren die exakte Ausrichtung des Wellenvektors. Der Bessel-Strahl reicht radial weit weg von seinem Zentrum, er hat quadratisch gemittelt einen unendlichen effektiven Radius, ist also wie bei der ebenen Welle nicht lokalisiert wie es der dual zugeordnete Strahl ist. Bessel-Strahl und ebene Welle sind im endlich breiten Fabry-Pérot-Resonator nicht stabil; wegen ihrer weiten transversalen Ausladung sind die Beugungsverluste so groß, dass sie nach einigen Resonatorumläufen in das Wellenfeld eines Strahlenbündels übergegangen ist.

Das im idealen Resonator vorhandene Stehende Lichtwellenfeld kann zum periodisch wiederholten laufenden Wellenfeld entfaltet gedacht werden. Dazu denkt man sich zunächst die Hohlspiegel ersetzt durch dünne Linsen derselben Brennweite vor idealen ebenen Reflektoren; beseitigt man letztere, so setzt sich das Wellenfeld in der Weise fort, wie es zurücklaufen würde. Wenn im Abstand der ursprünglichen Resonatorlänge periodisch solche Linsen aufgestellt sind, wird die periodische Fortsetzung der Wellenstruktur des Resonators realisiert.

Um 1958 wurde das Problem von unterschiedlichen Fragestellungen her erforscht. Goubau erforschte in Verfolgung seiner lange zurück reichenden Bemühungen die Übertragung von Mikrowellenleistung möglichst ohne materiellen Leiter über größere Distanz und nutzte bereits den offenen Resonator, allerdings nur zur Messung der Beugungsverluste. – Schawlow und Townes veröffentlichten Berechnungen zum offenen Resonator selbst als Maser- und Laser-Verstärker oder -Oszillator.

Ab Anfang der 1960er Jahre wurde einerseits die theoretische Grundlage durch die paraxiale Näherung von Lösungen der Wellengleichung angegangen (Goubau und Schwering). Andererseits wurde gezeigt, dass die Beugungsverluste Wellen des Neigungsspektrums mit großen Neigungen abstreifen und im Grenzfall transversale Moden stabilisieren (Fox und Li). Im Jahre 1966 war mit der paraxialen Näherung der Wellengleichung und der Erkenntnis des abzählbaren vollständigen Orthonormalsystems transversaler Moden das erhoffte Ziel im Wesentlichen erreicht (Kogelnik und Li). Ebene Wellen mit effektiv schmalem Spektrum der Neigung der Wellenvektoren gegen die Bündelachse bilden das Gaußsches Bündel; denn die stark abklingenden transversalen Gauß-Moden sind Eigenfunktionen der Fourier-Transformation.

• Im Fall eines Mikrowellenfeldes wurde neben anderen Anordnungen vorgeschlagen, eine drahtlose Übertragungsstrecke zu errichten, weil große Kabellängen wegen erheblicher Dispersion zur analogen Nachrichtenübermittlung ungeeignet sind. Die Goubau-Leitung ist eine von einem Oberflächenleiter geführte Welle mit dem Nachteil eines weit in den umgebenden, mit störenden Hindernissen besetzten Raum ragenden transversalen Wellenfeldes. Deshalb berechneten Georg Goubau und Felix Schwering den paraxialen Strahl, der transversal eng begrenzt ist. Dieser im Unterschied zum geschlossenen Hohlleiter beam waveguide (Strahl-Wellenleiter) genannte Wellenzug – hier in Anlehnung an den Offenen Resonator Offener Wellenleiter genannt – wurde experimentell untersucht. Um die berechneten Beugungsverluste mit gemessenen vergleichen zu können, verwendeten die Autoren einen 30 m langen konfokalen Resonator mit Spiegeln von 0,91 m Durchmesser bei 23 GHz. Die geringe gemessene Dämpfung von deutlich weniger als 2 dB/km kann bei niederen transversalen Moden erreicht werden. Der mittels Mikrowellenlinsen iterierte Wellenleiter eignet sich daher durchaus zur Energieübertragung über größere Strecken.

Die Autoren gingen aus von der bekannten exakten vektoriellen Lösung der Wellengleichung für das monochromatische elektromagnetische Feld unter der für ihre beabsichtigte Anwendung sinnvollen Voraussetzung der Zylindersymmetrie. Die Felder sind aus ebenen Wellen komponiert, die mit radial und azimutal veränderlichen Besselfunktionen aller Ordnungen bewertet sind. Die Besselfunktionen werden über alle Längenskalen ${}_{\,\!1/\gamma }$ integriert. Entsprechend ihrem Anliegen konstruieren sie einen schlanken Millimeterwellenstrahl, indem auf S. 240, linke Spalte die Näherung ${}_{\,\!\gamma ^{2}\,<<\,k^{2}}$ eingeführt wird. Die Gleichung im Text ${}_{\,\!h\,\approx \,k-\gamma ^{2}\!/(2k)}$ macht eine Aussage über die Eigenwerte der Operatoren in der von Kogelnik und Li später angesetzten paraxialen Wellengleichung ${}_{\,\!-\mathrm {i} {\vec {s}}\cdot \nabla \,=\,-k-\Delta _{\perp }/(2k)}$. Die Näherungslösung vereinfacht sich sehr, die Autoren geben seriöserweise auch eine Distanz ${}_{\,\!z_{0}}$ an, auf der die Näherung verwendet werden kann: ${}_{\,\!\gamma _{c}^{2}/(2k)z_{0}\,\approx \,2\pi }$ mit ${}_{\,\!\gamma _{c}^{2},<<\,k^{2}}$. Die Autoren zeigen dann, dass eine abzählbare Orthonormalbasis erhalten wurde, nachdem sie auf Laguerre-Polynome umgeschrieben haben. Wegen der von ihnen zu beweisenden Funktion der Phasentransformatoren (Linsen) diskutieren sie die Phase genauer, ohne allerdings auf die Gouy-Phaseneinsparung beim Durchgang durch die Taille hinzuweisen. Die Beugungsverluste sind als sehr klein zu beurteilen.

• Goubau und Schwering berechneten analytisch das elektromagnetische Feld in einer Entwicklung nach rotationssymmetrischen Moden und näherten zum paraxialen Strahl. Fox und Li führten zur gleichen Zeit iterierte numerische Simulationen nach der Fresnel-Kirchhoffschen Beugungstheorie aus. Sie verwendeten das an einer rechteckigen Blende erscheinende skalare Feld als Startfeld für den jeweils nächsten Iterationsschritt. Vor jeder erneuten Iteration hat die Blende näherungsweise ein Äquivalent der Beugungsverluste und der durch weit ausgreifende hohe transversale Moden verursachten abgestreift. Letzteres wurde von Schawlow und Townes schon vermutet mit dem günstigen Ergebnis der Konzentration der Leistung in der niedrigsten Mode und vermindertem Rauschen wegen fehlender höherer Moden; dies spreche für den offenen Resonator, den sie allerdings noch nicht so nennen, aber als solchen umschreiben: nonexistent (or lossy) perfectly-matched side walls. Das Ergebnis vieler Iterationen konvergiert tatsächlich gegen eine transversale Struktur mit geringen Beugungsverlusten, welches als Grundmode dem Gaußschen Bündel nahe kommt; niedere Moden werden bei entsprechenden Startfeldern ebenfalls numerisch erhalten.

Bis dahin war nicht sicher, ob tatsächlich ein vollständiges Orthonormalsystem für die transversale Feldstruktur existiere, von Goubau wurde es in der Patentanmeldung von 1958 allerdings schon vermutet. Die Geschichte dieser Phase und die anschließende Entwicklung wurden von Siegman zusammengefasst. In der Folge wurde erkannt, dass die Moden des transversal offenen Resonators oder Wellenleiters tatsächlich ein vollständiges Orthonormalsystem bilden, wie deren Existenz vom Hohlleiter her bekannt war. Unten wird die Näherung der elliptischen Helmholtz Gleichung zur parabolischen oder paraxialen Wellengleichung von der Art der Schrödingergleichung vektoranalytisch durchgeführt. Die Schrödingergleichung kann aus der Klein-Gordon-Gleichung analog hergeleitet werden. So wie mit der paraxialen Wellengleichung schwache Abweichungen der Richtung des Wellenvektors (der Impulse) von der (eindimensionalen) Strahl- oder Impulsachse behandelt werden, so wird für die Schrödingergleichung eine kleine Abweichung der Energie „parenergetisch“ von der Ruhenergie eines (nulldimensionalen) Punktteilchens angenommen. Die Lorentz-Invarianz (Kovarianz) geht in beiden Fällen verloren.

Damit waren von Sommerfeld vor 1900 angestoßene, unter Beteiligung des Griechen Demetrios Hondros, Friedrich Harms und Debye weiterbearbeitete sowie von Goubau aufgegriffene Entwicklungen zur gerichteten Ausstrahlung von Energie oder Information zu einem günstigen Abschluss gekommen.

Paraxiale Optik

Paraxialer Strahl

Der oben im Bild dargestellte Strahlenverlauf im konfokalen Resonator ist stabil unter der Voraussetzung beliebig kurzer Lichtwellenlänge, so dass Beugung ignoriert werden kann. Natürlich werden im Strahlenbild Interferenz und Polarisation nicht angesprochen. Die bekannte geometrische Optik untersucht den Strahlengang in meist rotationssymmetrischen Anordnungen (Gaußsche Optik) von optischen Komponenten wie Linsen in paraxialer Näherung, indem die Analyse auf schwach gegen die optische Achse geneigte Strahlen, Winkel $\,\!{}_{\theta }$, beschränkt wird (lineare Optik) und die Näherungen ${}_{\tan \theta \,\approx \,\sin \theta \,\approx \,\theta }$ ausreichend sind. Jeder Strahl ist durch ein Paar der Parameter Abstand $q$ von der optischen Achse und Neigung $p$ festgelegt. Außerdem muss bekannt sein, welcher Strahl an welchen an einem optischen Bauteil anschließt. Fortschreiten längs der optischen Achse um $\Delta w$ ohne Brechung ändert den Abstand von der Achse entsprechend der Gleichung der Geraden Strahl $q'=q+p\Delta w$. Unter Voraussetzung dünner Linsen ändert die Linse nur die Strahlrichtung, nicht den Abstand von der Achse. Die Strahlparameter werden in dem Vektor ${\tbinom {q}{p}}$ zusammengefasst. Entsprechend der Wirkung von Matrizen auf zweikomponentige Vektoren als Identität + Änderung hat man

$M={\bigl (}{\begin{smallmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{smallmatrix}}{\bigr )}+{\bigl (}{\begin{smallmatrix}{0}&{\mathrm {Abstandsaenderung\,\,pro} \,p}\\{\mathrm {Neigungaenderung\,\,pro} \,q}&{0}\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}{1}&{\mathrm {Abstandsaenderung\,\,pro} \,p}\\{\mathrm {Neigungaenderung\,\,pro} \,q}&{1}\end{smallmatrix}}{\bigr )}$

mit der Determinante

${}_{\,\!\left|{\begin{smallmatrix}{{}_{1}}&{{}_{\mathrm {Abstandsaenderung} }}\\{{}_{\mathrm {Neigungsaenderung} }}&{{}_{1}}\end{smallmatrix}}\right|\,\,\!=\,1\,,}$

weil die hier vorausgesetzten Bauteile entweder ausschließlich die eine oder die andere Wirkung zeigen. Beispielsweise gilt entsprechend der obigen Geradengleichung ${\tbinom {q'}{p'}}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}{1}&{\Delta w}\\{0}&{1}\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\tbinom {q}{p}}$ mit $p'=p$, weil auf der Strecke $\Delta w$ kein brechendes Element liegt. Die gemeinsame Wirkung der optischen Bauelemente im Vakuum:

Laufweg $2f$ − Linse mit positiver Brechkraft ${}_{-1\!/\!f}$, negativ zur Verkleinerung der Strahlneigung – Laufweg – Linse – …

des abgewickelten konfokalen Resonators mit der Brennweite $f$ hat jeden Vektor ${\tbinom {q}{p}}$ zum Eigenvektor mit dem Eigenwert 1 (Entartung); denn für den halben Umlauf gilt schon

${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\-1\!/\!f&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2f\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\-1\!/\!f&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2f\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\tbinom {q}{p}}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\tbinom {q}{p}}=-{\tbinom {q}{p}}.$

Paraxiale Welle

Das Lichtstrahlbündel soll als monochromatische Lichtwellenerscheinung, dem Gaußschen Strahl, approximiert werden. Dazu wird zunächst der Operator der Wellengleichung auf die Achse ${}_{{\vec {s}}\,^{2}=1}$ des Strahls festgelegt. Die Eigenwertgleichung ${}_{\,\!-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\,=\,\omega ^{2}\,>\,0}$ hat die Lösung ${}_{\,\!\exp[\mathrm {i} \omega t]}$. Die Dispersionsrelation erfordert ${}_{{\vec {k}}^{2}=k^{2}{\vec {s}}\,^{2}=\omega ^{2}\!/c^{2}}$. Der Laplace-Operator wird in den axial und den auf transversale Koordinaten wirkenden Anteil zerlegt

$\Delta =\left({\vec {s}}\!\cdot \!\nabla \right)^{2}+\Delta _{\perp }\equiv \Delta _{||}+\Delta _{\perp }.$

Mit den Eigenwerten des zerlegten Laplace-Operators lautet die Dispersionsrelation

$k^{2}=k_{||}^{2}+{\vec {k}}_{\perp }^{2}.$

Wird der Eigenwert ${}_{k^{2}\,=\,k_{||}^{2}}$ des axialen Operators ${}_{({\vec {s}}\cdot \nabla )^{2}}$ hier eingesetzt, so wird der Operator der zweidimensionalen Helmholtz-Gleichung ${}_{\,\!k_{||}^{2}+\Delta _{\perp }}$ erhalten. Er annulliert die Feldfunktionen des nicht brauchbaren Bessel-Strahls. Gezwungenermaßen muss folglich mit einer Näherung weiter gearbeitet werden.

Der d'Alembert-Operator wird dazu mit dem geteilten Laplace-Operator in hermitesche Operatoren 1. Ordnung zerlegt

$-\Box ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\Delta =\left(\mathrm {i} {\frac {\partial }{c\partial t}}-\mathrm {i} {\vec {s}}\!\cdot \!\nabla \right)\left(\mathrm {i} {\frac {\partial }{c\partial t}}+\mathrm {i} {\vec {s}}\!\cdot \!\nabla \right)-\Delta _{\perp }=0\,.$

Die Zerlegung macht deutlich, dass nach Festlegung der Richtung durch den Einheitsvektor ${}_{\,\!{\vec {s}}^{2}}$ zwei gegenläufige Wellen gleicher transversaler Struktur möglich sind. (Im oben gezeigten konfokalen Resonator ist der umgekehrte Strahlverlauf ebenfalls stabil.) – Die volle raumzeitliche Symmetrie der Kovarianz ist bisher durch die Strahlachse gebrochen, wie es erwartet werden muss, wenn ein Lichtstrahl wellenmäßig modelliert werden soll. − Im Wellenzahlraum ist die Kugeloberfläche durch ${}_{\,\!k^{2}\,=\,\omega ^{2}\!/c^{2}}$ wegen der Monochromasie mit ${}_{\,\!\omega ^{2}\,=\,\mathrm {const} }$ vorgegeben und folglich der erste Summand in den Linearfaktoren ${}_{\left(\mathrm {i} {\frac {\partial }{c\partial t}}\mp \mathrm {i} {\vec {s}}\cdot \nabla \right)}$. Nur ${}_{\,\!k_{||}}$ ist noch wählbar. Indem ${}_{\left(\,\!\mathrm {i} {\vec {s}}\cdot \nabla \right)}$ im zweiten Linearfaktor auf einen Eigenwert ${}_{\,\!k_{||}}$ fixiert wird, ergibt sich dort ein Skalar ${}_{\,\!\left(k+k_{||}\right)}$ statt der Operatoren und folglich eine Unsymmetrie für die Wellengleichung. In der verbleibenden Helmholtz-Gleichung

$\left(k-\mathrm {i} {\vec {s}}\cdot \!\nabla \right)\left(k+k_{||}\right)+\Delta _{\perp }=0\,.$

liegt die Ausbreitungsrichtung in positiver Richtung ${}_{\,\!{\vec {s}}}$ fest. Nun wird verlangt, dass ${}_{k_{||}\,\!}$ nur wenig von ${}_{\,\!k\,>\,0}$ abweicht. Das bedeutet nur kleine Werte für den Betrag der Eigenvektoren ${}_{\,\!{\vec {k}}_{\perp }}$ von ${}_{\,\!\Delta _{\perp }}$ gemäß ${}_{\,\!{\vec {k}}_{\perp }^{2}\ll \,k^{2}}$. Die transversale Struktur des Wellenfeldes ist wesentlich gröber als die Wellenlänge ${}_{2\pi \!/\!k}$. Deshalb wird die Vornahme dieser Näherung Schwach Variierende Enveloppe Approximation (SVEA) genannt. Betont wird, dass die Enveloppe sich transversal auf einer sehr großen Längenskala ändert, es bedeutet nicht, dass die sie konstituierenden Neigungsmoden nur schwach gegen die Strahlachse geneigt sein müssen.

Indem in der vorstehenden Gleichung ${}_{k_{||}\,\!}$ gleich ${}_{k\,\!}$ gesetzt wird, wird die paraxiale Näherung der Wellengleichung erhalten

$-\mathrm {i} {\vec {s}}\cdot \!\nabla =-k-{\frac {\Delta _{\perp }}{2k}}\,.$

Diese Gleichung enthält noch in Gestalt des Summanden ${}_{-\,k}$ den Eigenwert des Trägers ${}_{\,\!\exp[\mathrm {i} (\omega t-k{\vec {s}}\cdot {\vec {r}})]}$ des Strahls, einer ebenen Welle, in der hier schon die Eigenfunktion der Zeitableitung eingearbeitet ist.

Die Differentialgleichung der Enveloppe für sich allein ist folglich

$-\mathrm {i} {\vec {s}}\cdot \!\nabla =-{\frac {\Delta _{\perp }}{2k}}\,;$

denn ein Summand in einer parabolischen Differentialgleichung führt zu einem Funktionenfaktor (Separationsansatz). Die transversale Enveloppe evolviert als Funktion von ${}_{\,\!{\vec {s}}\cdot {\vec {r}}}$ unter Dispersion, wie es von der ebenfalls parabolischen Schrödingergleichung her bekannt ist.

Das Spektrum von ${}_{-\Delta _{\perp }/(2k)}$ könnte auf ${}_{{\vec {k}}_{\perp }=\,0}$ eingeschränkt werden; dann ist die Dispersionsrelation mit ${}_{k_{||}^{2}=\,{\vec {k}}^{2}=\,\omega ^{2}\!/c^{2}}$ exakt erfüllt und man hat eine fortschteitende ebene Welle, die Kovarianz ist damit gewahrt. Die Näherung zur paraxialen Welle verletzt die Lorentzinvarianz, wenn $\,\!{}_{{\vec {k}}_{\perp }^{2}\,>\,0}$ endlich ist. Aber sie wird nur in zweiter Ordnung verletzt. Daher wird erwartet, dass die Enveloppe sich stetig aus der transversal konstanten ebenen Welle bei von 0 aus wachsendem ${}_{{\vec {k}}_{\perp }^{2}}$ entwickelt. Der – feste – Wert dieser Größe bestimmt die transversale Längenskala $w_{0}$. Wegen des festen Wertes von ${}_{{\vec {k}}_{\perp }^{2}}$ kann sich Struktur nur unter Zulassung eines Neigungsspektrums von ebenen Wellen ausbilden – eben mit konstantem ${}_{{\vec {k}}_{\perp }^{2}}$.

Die Dispersion ist um ${}_{\,\!{\vec {s}}\cdot {\vec {r}}\,=\,0}$ bzw. ${}_{\,\!t\,=\,0}$ gering bevor sie nach der sog. Rayleigh-Länge ${}_{\,\!z_{R}}$ einsetzt und gegen einen Grenzwert strebt.

Bei der Wahl der Notation wurde zu Anfang der Ortsraum zugrunde gelegt. Die Gestalt der Enveloppe kann durch die Feststellung gefunden werden, dass die Wellengleichung in gleicher Weise statt im Ortsraum ${}_{\,\!{\vec {r}}}$ im Wellenvektorraum ${}_{\,\!{\vec {k}}}$ hätte angesetzt werden können

$-\Box _{k}={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\Delta _{k}=\left(\mathrm {i} {\frac {\partial }{c\partial t}}-\mathrm {i} {\vec {s}}\!\cdot \!\nabla _{k}\right)\left(\mathrm {i} {\frac {\partial }{c\partial t}}+\mathrm {i} {\vec {s}}\!\cdot \!\nabla _{k}\right)-\Delta _{k\perp }=0\,.$

In dem Fall gelangt man zur parabolischen Differentialgleichung

$-\mathrm {i} {\vec {s}}\!\cdot \!\nabla _{k}=-{\frac {\Delta _{k\perp }}{2{\vec {s}}\!\cdot \!{\vec {r}}}}\,.$

Die mathematische Gestalt der Lösungsfunktionen ist dieselbe, daher können sie nur Eigenfunktionen unter der Fourier-Transformation sein. Bei Wahl eines homogenen Koordiantensystems im Transversalraum bilden Gauß-Hermite Funktionen die Lösung, bei Polarkoordinaten die Gauß-Laguerre-Funktionen. Das Verhalten im tranversal Fernen ist jedenfalls durch die Fehlerfunktion ausgezeichnet gesichert. Sie bilden eine reelle und abzählbare vollständige, normierbare Basis mit beiden Paritäten; denn ${}_{\Delta _{\perp }}$ ist von gerader Parität. Die Skala, auf der die Enveloppe variiert, wird von ${}_{\,\!{\vec {s}}\cdot {\vec {r}}}$ abhängen.

Anmerkung: Bei der (an Stelle von ${}_{\,\!{\vec {s}}\cdot {\vec {r}}}$ natürlich zeitabhängigen) reellen Diffusionsgleichung gibt es eine Startverteilung zu einer ausgezeichneten Zeit. Bei der Welle ist das anders, wie die Wellengleichung mit ihrem Operator gerader Parität ${}_{\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}$ schon zeigt. Die Enveloppe muss längs der Achse von gerader Parität sein. Dies bedingt, dass die axiale Ableitung 1. Ordnung dies nicht ändert; das ist nur mit einer zweikomponentigen Enveloppe, dem Vektor ${}_{{\tbinom {gerade}{ungerade}}\mathrm {E} nveloppe}$ möglich, auf den der schiefsymmetrische Operator

${}_{\mathrm {i} \,\equiv \,{\bigl (}{\begin{smallmatrix}{0}&{{\vec {s}}\cdot \nabla }\\{-{\vec {s}}\cdot \nabla }&{0}\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ wirkt

${}_{\mathrm {i} \,{\tbinom {gerade}{ungerade}}\mathrm {E} nveloppe\,=\,{\tbinom {ungerade'}{-gerade'}}\mathrm {E} nveloppe}\,$.

Die Enveloppe muss eine gerade Funktion längs der Achse ${}_{{\vec {s}}\,^{2}}$ sein. Eine Verschiebung längs dieser Achse darf nicht zu einer ausgezeichneten Abszisse führen, hinter die man nicht zurückgehen kann, sondern nur zu einem Phasenfaktor – wie bei der Schrödingergleichung.

Von der Schrödingergleichung ist auch bekannt, dass die Lösungsfunktionen eine positive Dichte und einen Strom erzeugen. Insoweit lässt sich ein elektromagnetisches Feld modellieren. Die transversal integrierte Dichte ist unabhängig von ${}_{\,\!{\vec {s}}\!\cdot \!{\vec {r}}}$, folglich ist die Strahlleistung übeall dieselbe. Wenn die Lösungsfunktion als elektrische Feldkomponente transversal zu ${}_{\,\!{\vec {s}}}$ gedeutet wird, kann ein dazu orthogonales magnetisches Feld konstruiert werden, das allergings die quellenfreien Maxwell-Gleichungen nur genähert befriedigen wird, weil die kovariant sind.

Längenskalen

Das Problem enthält zwei Längenskalen: die Wellenlänge und die Rayleigh-Lände, die mit der radialen Skala $w_{0}$ durch ${}_{\,\!z_{R}\,=\,{\tfrac {1}{2}}kw_{0}^{2}}$ verknüpft ist.