Benutzer:Jobu0101/Oberflächenvergleich

Hier wollen wir die Oberflächen verschiedener Körper bei konstantem Volumen $V_{k}$ vergleichen.

Dazu erst einmal die Volumina und Oberflächen der verschiedenen Körper:

Kugel: $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ $O=4\pi r^{2}\,$

Zylinder: $V=\pi r^{2}h\,$ $O=2\pi r^{2}+2\pi rh\,$ Beim optimalen Zylinder (damit meinen wir einen Zylinder mit kleinstmöglicher Oberfläche bei gegebenem Volumen) ist 2r=h, also gilt: $V=2\pi r^{3}\,$ $O=6\pi r^{2}\,$

Würfel: $V=a^{3}\,$ $O=6a^{2}\,$

Nun sei $V_{k}={\frac {4}{3}}\pi r_{K}^{3}=2\pi r_{Z}^{3}=a_{W}^{3}$. Um nun vergleichen zu können, sollten wir die Größen $r_{Z}$ und $a_{W}$ nach $r_{K}$ auflösen.

$r_{Z}={\sqrt[{3}]{\frac {2}{3}}}r_{K}$

$a_{W}={\sqrt[{3}]{{\frac {4}{3}}\pi }}r_{K}$

Das nun eingesetzt in die Oberflächen:

$O_{K}=4\pi r_{K}^{2}\,$

$O_{Z}=6\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {2}{3}}\pi r_{K}^{2}\,$

$O_{W}=6\left({\frac {4}{3}}\pi \right)^{\frac {2}{3}}r_{K}^{2}\,$

Setzen wir die Oberflächen nun ins Verhältnis zu $O_{K}$, erhalten wir:

$O_{Z}\approx 1{,}1447\ O_{K}$

$O_{W}\approx 1{,}2407\ O_{K}$

Um ein identisches Volumen zu beherbergen verbraucht der Zylinder ca. 14% und der Würfel 24% mehr Oberfläche als die Kugel.