Benutzer:Michael Lenz/Frequenzgang

Allgemeine Bedeutung und Beispiele

In seiner allgemeinen Bedeutung beschreibt der Begriff Frequenzgang die Abhängigkeit einer reellen oder komplexen Kenngröße von der Frequenz

Bezeichnung	Bedeutung	Beispiele
Frequenzgang einer Schwingung bzw. komplexen Netzwerkgröße	Abhängigkeit des zugehörigen Netzwerkzeigers von der Frequenz	Frequenzgang des Stromes in einem Serienschwingkreis
Frequenzgang eines Zeitsignals	Frequenzspektrum des Signals	Frequenzgang des Spannungsrauschens an einem ohmschen Widerstand
Frequenzgang allgemeiner Größen	Abhängigkeit der Größe von einer Frequenz	Frequenzgang $T_{60}(f)$ der Nachhallzeit eines Raumes, Frequenzgang des Widerstandes eines Bauelements, Frequenzgang der Dämpfung eines Übertragungssystems, Frequenzgang der Wellenparameter einer Übertragungsleitung
Frequenzgang eines Übertragungssystems bzw. Vierpols	Übertragungsfunktion $H(\omega )={\frac {Y(\omega )}{X(\omega )}}$ des Übertragungssystems in Bezug auf die Fouriertransformation	Frequenzgang eines Lautsprechers

Frequenzgang von Schwingungen/Zeigern

In der Netzwerktheorie ist es üblich, sinusförmige Schwingungen durch sogenannte ruhende Zeiger darzustellen. Ein ruhender Zeiger ist eine komplexe Zahl der Form ${\underline {Z}}=|Z|\cdot e^{j\varphi }$, die durch den Betrag $|Z|$ und den zugehörigen Phasenwinkel $\varphi$ beschrieben werden kann.

Ein ruhender Zeiger steht für eine cosinusförmige Schwingung der Form $z(t)=\Re \left({\sqrt {2}}\cdot {{\underline {Z}}\cdot e^{j\omega t}}\right)$ (Effektivwertzeiger) bzw. $z(t)=\Re \left({{\underline {Z}}\cdot e^{j\omega t}}\right)$ (Amplitudenzeiger, Spitzenwertzeiger), wobei das Symbol $\Re$ für den Realteil der komplexen Zahl steht.

Im Zusammenhang mit Zeigern unterscheidet man im technischen Sprachgebrauch nicht immer deutlich zwischen dem physikalischen Vorgang und der zugehörigen mathematischen Beschreibung. Häufig spricht man kurz von der Spannung ${\underline {U}}$ anstatt korrekt vom Spannungszeiger ${\underline {U}}$ bzw. von der durch die mathematische Gleichung $u(t)=\Re \left({\sqrt {2}}\cdot {{\underline {U}}\cdot e^{j\omega t}}\right)$ beschriebenen physikalischen Schwingung.

Da sich die Amplitude und die Phase der dem Zeiger zugrundeliegenden Schwingung mit der Schwingfrequenz $f$ ändern kann, ist es nützlich, die Frequenzabhängigkeit durch eine mathematische Funktion darzustellen. Die Abhängigkeit ${\underline {Z}}(\omega )$ eines Zeigers von der Frequenz $f$ oder der Kreisfrequenz $\omega =2\pi f$ heißt in diesem Zusammenhang Frequenzgang des Zeigers bzw. Frequenzgang der zum Zeiger ${\underline {Z}}$ zugehörigen Schwingung.

Typische Beispiele für die Frequenzgänge von Zeigern und den zugehörigen Schwingungen sind die Frequenzgänge von Strömen, Spannungen, Drehwinkeln und Kräften.

Frequenzgang von Signalen (Signalspektrum)

Um zu kennzeichnen, dass eine physikalische Größe Träger von Information ist, bezeichnet man sie als Signal . Zur Beschreibung von Signalen, und insbesondere zur Beschreibung ihrer Übertragung in einem linearen zeitinvarianten Übertragungssystem, ist es nützlich, die Signale nicht als Funktionen der Zeit anzugeben, sondern sie im Bildbereich einer Integraltransformation darzustellen. Im Bildbereich der kontinuierlichen Fouriertransformation beschreibt man das von der Zeit t abhängige Signal $x(t)$ als eine Überlagerung (Synthese) unendlich vieler Aufbaufunktionen der Form ${\underline {X}}(\omega )\cdot e^{j\omega t}$. Die komplexe Exponentialfunktion $e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)$ beschreibt einen sich in der komplexen Ebene drehenden Einheitszeiger, wobei der Realteil und der Imaginärteil eine cosinus- bzw. sinusförmige Schwingung beschreibt. Die Synthese der Signale aus den Exponentialschwingungen beschreibt die Gleichung für die inverse kontinuierliche Fouriertransformation :

$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\underline {X}}(\omega ){\textrm {e}}^{j\omega t}d\omega$

(Der in der Transformationsgleichung enthaltene Faktor $1/2\pi$ wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet. Je nach Konvention des Fachbuchautors wird er entweder gleichmäßig als Faktor $1/{\sqrt {2\pi }}$ auf die Gleichungen für Hin- und Rücktransformation, nur auf die Hin-Transformation oder wie im vorliegenden Text nur auf die Rücktransformation aufgeteilt.) Die Aufbaufunktionen ${\underline {X}}(\omega )\cdot e^{j\omega t}$ werden durch ihre komplexe Amplitude ${\underline {X}}(\omega )$ und die Kreisfrequenz $\omega =2\pi f$ gekennzeichnet.

Im Zusammenhang mit der Darstellung von Signalen im Bildbereich der kontinuierlichen Fouriertransformation bezeichnet man die von der Kreisfrequenz $\omega =2\pi f$ abhängige Größe ${\underline {X}}(\omega )$ als Frequenzspektrum oder Frequenzgang des Signals .

Die Bezeichnung Frequenzgang des Signals findet sowohl in der Regelungstechnik, als auch in anderen technischen Disziplinen wie beispielsweise der Akustik Verwendung, beispielsweise im Zusammenhang mit den Eigenschaften von Rauschsignalen . Im Zusammenhang mit der Beschreibung der Übertragungseigenschaften eines Systems kann sich eine Verwechslungsgefahr zwischen dem Frequenzgang der Eingangs- bzw. Ausgangssignale eines Systems (d. h. den jeweiligen Signalspektren) und dem Frequenzgang des Übertragungssystems (d. h. der Übertragungsfunktion) ergeben.

Frequenzgang weiterer abgeleiteter physikalischer Größen

Der Begriff Frequenzgang wird auch für physikalische Größen verwendet, die nicht Eingangs- oder Ausgangsgrößen eines linearen zeitinvarianten Netzwerkes bzw. Verhältnisse aus diesen sind. Beispiele sind

• Beträge und Phasen von Netzwerkgrößen und daraus abgeleiteten Größen wie Widerständen oder Dämpfungen
• der Frequenzgang der Nachhallzeit eines Raumes
• der Frequenzgang der Temperatur eines elektrischen Bauelements (z. B. Transformator, Rechenprozessor)
• der Frequenzgang des Schlupfes einer Asynchronmaschine (Heylandkreis)

Frequenzgang eines LZI-Systems

In Systemen zur Energie- oder Signalübertragung und in der Regelungstechnik wird der Begriff „Frequenzgang“ verwendet, um die Übertragungsfunktion des Systems im Bildbereich der Fouriertransformation zu bezeichnen.

Je nach der Sprachgewohnheit des Autors wird dabei der Frequenzgang als eine Eigenschaft des Systems oder als eine Eigenschaft der aus den Spektren von Eingangs- und Ausgangssignalen abgeleiteten Übertragungsfaktoren bezeichnet.

So bezeichnen beispielsweise die Formulierungen

• Frequenzgang des Systems
• Amplitude/Betrag des Frequenzgangs
• Phase des Frequenzgangs

Eigenschaften des Übertragungssystems, während die ähnlichen Formulierungen

• Frequenzgang des Übertragungsfaktors
• Frequenzgang der Amplitude
• Frequenzgang der Phase/Phasenverschiebung

Eigenschaften der aus den Signalen abgeleiteten Größen bezeichnen.

Eine detaillierter Beschreibung des Frequenzgangs von Übertragungssystemen enthält der Artikel Frequenzgang (System).

Einzelnachweise

[Kategorie:Systemdarstellung]] [Kategorie:Signalverarbeitung]]