Benutzer:Physikaficionado/Einteilchenproblem-Andy

Die Skizze zeigt die Energieniveaulinien und den Phasenraum einer Einteilchenbewegung

Das Einteilchenproblem behandelt den einfachsten Fall einer physikalischen Wechselwirkung eines Teilchens mit einem Kraftfeld. Das Feld ist normalerweise durch ein Potential V(x) gegeben, so dass die potentielle Energie nur vom Ort des Teilchens abhängt. Dabei geht man davon aus, dass das Feld unabhängig vom Teilchen existiert und durch die Bewegung des Teilchens nicht beeinflusst wird. In einer Dimension lässt sich das Einteilchenproblem mit dem Energiesatz durch eine einfache Integration mittels Trennung der Veränderlichen und anschließender Inversion lösen:

${\begin{aligned}{\textstyle {\frac {1}{2}}}m{\dot {x}}^{2}+V(x)&=E\\\Leftrightarrow {\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}&={\sqrt {{\frac {2}{m}}\left[E-V(x)\right]}}\\\Rightarrow \int _{x_{0}}^{x}{\frac {{\text{d}}x'}{\sqrt {{\frac {2}{m}}\left[E-V(x')\right]}}}&=t-t_{0}\end{aligned}}$

Die Gesamtenergie E = V(x₀) und die Anfangszeit t₀ stellen die beiden freien Konstanten in der Lösung der Bewegungsgleichung dar. Da die kinetische Energie ${\textstyle {\frac {1}{2}}}m{\dot {x}}^{2}$ positiv ist, existiert die Bewegung des Teilchens ausschließlich in Bereichen E > V(x). In der Skizze wäre das die Strecke ${\overline {ab}}$ und rechts von $c$.

Aus der Zeitunabhängigkeit der Energie

${\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}E}{{\text{d}}t}}=0&={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}\left(m{\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}V(x)}{{\text{d}}x}}\right)\\&\Rightarrow \,m{\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}=-{\frac {{\text{d}}V(x)}{{\text{d}}x}}\end{aligned}}$

folgt die Newtonsche Bewegungsgleichung. Diese äquivalent ist zu:

${\begin{aligned}p&=m{\dot {x}}\\{\dot {p}}&=-{\frac {{\text{d}}V(x)}{{\text{d}}x}}\end{aligned}}$

mit dem Impuls $p=m{\dot {x}}$.

In höheren Dimensionen lässt sich dieser Trick anwenden, wenn weitere Symmetrien und daraus folgende Erhaltungsgrößen vorliegen, wie zum Beispiel der Drehimpuls beim Zentralpotential, siehe auch das Keplerproblem.

Einzelnachweise

Kategorie:Teilchenphysik