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Hawking-Temperatur

Hawking fand eine Formel für die Entropie $S$ und Strahlungstemperatur $T$ eines Schwarzen Lochs, die auch als Hawking-Temperatur $T_{\mathrm {H} }$ bezeichnet wird und gegeben ist durch:

$T_{\mathrm {H} }={\frac {\hbar \ c^{3}}{8\pi \,G\,Mk_{\mathrm {B} }}}$.

Dabei bedeutet

• $\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum,
• $c$ die Lichtgeschwindigkeit,
• $G$ die Gravitationskonstante,
• $M$ die Masse des Schwarzen Lochs und
• $k_{\mathrm {B} }$ die Boltzmannkonstante.

Häufig wird die Temperatur und Entropie in der Gravitationsphysik auch so angegeben, dass die Boltzmannkonstante weggelassen wird.

Die Ableitung der Formel für die Temperatur erfolgte in der ursprünglichen Arbeit von Hawking in semiklassischer Näherung. Da ein Teil der erzeugten Strahlung durch das Gravitationsfeld in das Schwarze Loch zurückgestreut wird, sind Schwarze Löcher eher als „graue Strahler“ zu verstehen mit einer gegenüber dem Modell des schwarzen Körpers verminderten Strahlungsintensität. Die Näherungen bei der Herleitung gelten nur für Schwarze Löcher mit großer Masse, da angenommen wurde, dass die Krümmung des Ereignishorizontes vernachlässigbar klein ist, so dass „gewöhnliche“ Quantenmechanik in der Hintergrund-Raumzeit (im Fall des Schwarzen Lochs die Schwarzschild-Metrik oder deren Verallgemeinerungen) betrieben werden kann. Für sehr kleine Schwarze Löcher sollte die Intensitätsverteilung deutlich von der eines schwarzen Strahlers abweichen, weil in diesem Fall die quantenmechanischen Effekte so bestimmend werden, dass die semiklassische Näherung nicht mehr gilt.

Aus der von Hawking gefundenen Formel für die Temperatur ergab sich über $\mathrm {d} E=T\mathrm {d} S$ mit $E=Mc^{2}$

${\frac {1}{T_{\mathrm {H} }}}={\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }G}{\hbar \ c^{3}}}\cdot M={\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }G}{\hbar \ c^{5}}}\cdot E={\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} E}}\quad \Rightarrow \quad \mathrm {d} S={\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }G}{\hbar \ c^{5}}}\cdot E\,\mathrm {d} E$

durch Integration eine Formel für die Entropie

$S={\frac {4\pi k_{\mathrm {B} }G}{\hbar \ c^{5}}}\cdot E^{2}={\frac {4\pi k_{\mathrm {B} }G}{\hbar \ c}}\cdot M^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }c^{3}}{4\hbar G}}\cdot 4\pi \left({\frac {2GM}{c^{2}}}\right)^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }c^{3}}{4\hbar G}}\cdot 4\pi r_{\mathrm {S} }^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }c^{3}}{4\hbar G}}\cdot A_{\mathrm {H} }$

mit dem Schwarzschildradius $r_{\mathrm {S} }=2GM/c^{2}$ und der Fläche des Ereignishorizonts $A_{\mathrm {H} }=4\pi r_{\mathrm {S} }^{2}$. Diese Entropie stimmt bis auf Vorfaktoren mit der von Bekenstein mit heuristischen Argumenten abgeleiteten Formel

$S_{\mathrm {Bekenstein} }={\frac {\ln 2}{2\pi }}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }c^{3}}{4\hbar G}}\cdot A_{\mathrm {H} }$

überein.

Abschätzungen

Von der Größenordnung her lässt sich die Hawking-Temperatur folgendermaßen herleiten: Das Wiensche Verschiebungsgesetz ergibt ein Maximum der Schwarzkörperstrahlung bei Wellenlängen $\lambda \approx {\frac {\hbar c}{k_{\mathrm {B} }T}}$. Bei Schwarzen Löchern kommt als Längeneinheit nur der Schwarzschildradius $r_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}$ in Betracht, so dass $\lambda \approx r_{\mathrm {S} }\sim {\frac {GM}{c^{2}}}$ und sich die Temperatur (in Kelvin) ergibt:

$T/\mathrm {K} \approx {\frac {\hbar c^{3}}{k_{\mathrm {B} }GM}}/\mathrm {K} \approx 10^{-6}{\frac {M_{\odot }}{M}}$

mit der Sonnenmasse $M_{\odot }$.

Auf ähnliche Weise lässt sich die Strahlungsleistung nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz abschätzen:

$P\approx c{\frac {{(k_{\mathrm {B} }T)}^{4}}{{(\hbar c)}^{3}}}A\approx c{\frac {\hbar c}{{r_{\mathrm {S} }}^{4}}}{r_{\mathrm {S} }}^{2}\approx {\frac {\hbar c^{6}}{G^{2}M^{2}}}$

mit der Fläche $A\approx 4\pi {r_{\mathrm {S} }}^{2}$, dem Schwarzschildradius $r_{\mathrm {S} }\sim {\frac {GM}{c^{2}}}$ und der oben abgeschätzten Temperatur $k_{\mathrm {B} }T\approx {\frac {\hbar c}{r_{\mathrm {S} }}}$. In MKS-Einheiten ergibt sich: $P/\mathrm {W} \approx 2\cdot 10^{37}(M/\mathrm {kg} )^{-2}$

Die Lebensdauer $\tau$ ergibt sich der Größenordnung nach aus $P\tau \approx Mc^{2}$ zu:

$\tau \approx {\frac {G^{2}M^{3}}{\hbar c^{4}}}$

Oder bei Angabe mit MKS-Einheiten:

$\tau /\mathrm {s} \approx 10^{-20}(M/\mathrm {kg} )^{3}$

oder $\tau \approx 10^{63}\cdot \left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3}$ Jahre

Die korrekte Berechnung nach Hawking führt zu

$\tau ={\frac {5120\pi G^{2}M^{3}}{\hbar c^{4}}}={\frac {480c^{2}V}{\hbar G}}\approx {\text{2,1}}\cdot 10^{67}\cdot \left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3}$ Jahre

mit dem Volumen des Schwarzen Lochs $V={\frac {4\pi }{3}}r_{\text{S}}^{3}$.

Back-up 7.11.2023

Hawking-Temperatur

Hawking fand eine Formel für die Entropie $S$ und Strahlungstemperatur $T$ eines Schwarzen Lochs, die auch als Hawking-Temperatur $T_{\mathrm {H} }$ bezeichnet wird und gegeben ist durch:

$T_{\mathrm {H} }={\frac {\hbar \ c^{3}}{8\pi \,G\,Mk_{\mathrm {B} }}}$.

Dabei bedeutet

• $\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum,
• $c$ die Lichtgeschwindigkeit,
• $G$ die Gravitationskonstante,
• $M$ die Masse des Schwarzen Lochs und
• $k_{\mathrm {B} }$ die Boltzmannkonstante.

Häufig wird die Temperatur und Entropie in der Gravitationsphysik auch so angegeben, dass die Boltzmannkonstante weggelassen wird.

Die Ableitung der Formel für die Temperatur erfolgte in der ursprünglichen Arbeit von Hawking in semiklassischer Näherung. Da ein Teil der erzeugten Strahlung durch das Gravitationsfeld in das Schwarze Loch zurückgestreut wird, sind Schwarze Löcher eher als „graue Strahler“ zu verstehen mit einer gegenüber dem Modell des schwarzen Körpers verminderten Strahlungsintensität. Die Näherungen bei der Herleitung gelten nur für Schwarze Löcher mit großer Masse, da angenommen wurde, dass die Krümmung des Ereignishorizontes vernachlässigbar klein ist, so dass „gewöhnliche“ Quantenmechanik in der Hintergrund-Raumzeit (im Fall des Schwarzen Lochs die Schwarzschild-Metrik oder deren Verallgemeinerungen) betrieben werden kann. Für sehr kleine Schwarze Löcher sollte die Intensitätsverteilung deutlich von der eines schwarzen Strahlers abweichen, weil in diesem Fall die quantenmechanischen Effekte so bestimmend werden, dass die semiklassische Näherung nicht mehr gilt.

Aus der von Hawking gefundenen Formel für die Temperatur ergab sich über $\mathrm {d} E=T\mathrm {d} S$ (mit $E=Mc^{2}$) eine Formel für die Entropie, die bis auf Vorfaktoren mit der von Bekenstein mit heuristischen Argumenten abgeleiteten Formel übereinstimmte.

Abschätzungen

Von der Größenordnung her lässt sich die Hawking-Temperatur folgendermaßen herleiten: Das Wiensche Verschiebungsgesetz ergibt ein Maximum der Schwarzkörperstrahlung bei Wellenlängen $\lambda \approx {\frac {\hbar c}{k_{\mathrm {B} }T}}$. Bei Schwarzen Löchern kommt als Längeneinheit nur der Schwarzschildradius $r_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}$ in Betracht, so dass $\lambda \approx r_{\mathrm {S} }\approx {\frac {GM}{c^{2}}}$ und sich die Temperatur (in Kelvin) ergibt:

$T/\mathrm {K} \approx {\frac {\hbar c^{3}}{k_{\mathrm {B} }GM}}/\mathrm {K} \approx 10^{-6}{\frac {M_{\odot }}{M}}$

mit der Sonnenmasse $M_{\odot }$.

Auf ähnliche Weise lässt sich die Strahlungsleistung nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz abschätzen:

$P\approx c{\frac {{(k_{\mathrm {B} }T)}^{4}}{{(\hbar c)}^{3}}}A\approx c{\frac {\hbar c}{{r_{\mathrm {S} }}^{4}}}{r_{\mathrm {S} }}^{2}\approx {\frac {\hbar c^{6}}{G^{2}M^{2}}}$

mit der Fläche $A\approx 4\pi {r_{\mathrm {S} }}^{2}$, dem Schwarzschildradius $r_{\mathrm {S} }\approx {\frac {GM}{c^{2}}}$ und der oben abgeschätzten Temperatur $k_{\mathrm {B} }T\approx {\frac {\hbar c}{r_{\mathrm {S} }}}$. In MKS-Einheiten ergibt sich: $P/\mathrm {W} \approx 10^{38}(M/\mathrm {kg} )^{-2}$

Die Lebensdauer $\tau$ ergibt sich der Größenordnung nach aus $P\tau \approx Mc^{2}$ zu:

$\tau \approx {\frac {G^{2}M^{3}}{\hbar c^{4}}}$

Oder bei Angabe mit MKS-Einheiten:

$\tau /\mathrm {s} \approx 10^{-20}(M/\mathrm {kg} )^{3}$

oder $\tau \approx 10^{64}\cdot \left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3}$ Jahre

Die korrekte Berechnung nach Hawking führt zu

$\tau ={\frac {5120\pi G^{2}M^{3}}{\hbar c^{4}}}={\frac {480c^{2}V}{\hbar G}}\approx 1,2\cdot 10^{67}\cdot \left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3}$ Jahre