Benutzer:Prometeus/Oberflächenintegral

Das Oberflächenintegral oder Flächenintegral ist eine Verallgemeinerung des Integralbegriffes auf ebene oder gekrümmte Flächen. Integrationsgebiet ist also nicht ein eindimensionales Intervall, sondern eine zweidimensionale Menge im $\mathbb {R} ^{n}$ mit $n\geq 2$.

Es wird generell zwischen einem skalaren und einem vektoriellen Oberflächenintegral unterschieden, je nach Form des Integranden und des sogenannten Oberflächenelements. Sie lauten $\iint \limits _{F}f\,\mathrm {d} \sigma$ mit skalarer Funktion $f$ und skalarem Oberflächenelement $\mathrm {d} \sigma$ sowie $\iint \limits _{F}{\vec {v}}\,\mathrm {d} {\vec {\sigma }}$ mit vektorwertiger Funktion ${\vec {v}}$ und vektoriellem Oberflächenelement $\mathrm {d} {\vec {\sigma }}$.

Begriffe und Definitionen

Bei der Integration über Flächen treten Parametrisierungen der Fläche an die Stelle der Integrationsvariable und Oberflächenelemente an die Stelle der unendlich kleinen Intervallbreite $\mathrm {d} x$.

Parametrisierung

Als zweidimensionale Menge lässt sich eine Oberfläche als Funktion von zwei Variablen darstellen (parametrisieren). Ist $B\subset \mathbb {R} ^{2}$ eine Menge, deren Rand keine doppelten Punkte enthält, stetig differenzierbar und nicht unendlich lang ist, und ist ferner $\varphi (u,v)$ eine Abbildung von $B$ in den $\mathbb {R} ^{n}$, so sagt man, $\varphi$ ist Parametrisierung der Fläche $F$, wenn $F=\varphi (B)$ ist.

Beispielsweise lässt sich die Oberfläche einer Kugel mit Radius $R$ wie folgt parametrisieren: $B$ ist das Rechteck $[0,\pi ]\times [0,2\pi ]$ und $\varphi (u,v)={\begin{pmatrix}R\sin(u)\cos(v)\\R\sin(u)\sin(v)\\R\cos(u)\end{pmatrix}}$. Man rechnet leicht nach, dass diese Parametrisierung die Kugelgleichung $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ erfüllt.

Oberflächenelement

Wenn im eindimensionalen Fall das $\mathrm {d} x$ die Breite eines unendlich kleinen Intervalls darstellt, so liegt es nahe, es im zweidimensionalen Fall durch die Fläche eines unendlich kleinen Flächenstückes zu ersetzen. Durch die im vorhergehenden Abschnitt beschriebene Parametrisierung kann man an jeden Punkt der Oberfläche zwei Tangenten legen: Einmal die Tangente, die entsteht, wenn man $v$ konstant lässt und $u$ minimal variiert, und einmal mit vertauschten Variablen.

Sind diese Tangenten nicht parallel, so spricht man von einer regulären Parametrisierung. Das Kreuzprodukt der Tangentenvektoren ist dann ein Vektor, dessen Länge nicht Null ist. Der Flächeninhalt des von beiden Tangentenvektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht nun gerade dem Betrag ihres Kreuzproduktes.

Ist nun ${\vec {x}}(u,v)$ eine reguläre Parametrisierung der Oberfläche, so definiert man:

• Skalares Oberflächenelement $\mathrm {d} \sigma =\left|\left|{\vec {x}}_{u}\times {\vec {x}}_{v}\right|\right|$
• Vektorielles Oberflächenelement $\mathrm {d} {\vec {\sigma }}={\vec {x}}_{u}\times {\vec {x}}_{v}$. Gemäß den Eigenschaften des Kreuzprodukts steht das vektorielle Oberflächenelement senkrecht auf der Fläche, sein Betrag entspricht gerade der Größe des (unendlich kleinen) Flächenstücks.

Dabei ist mit ${\vec {x}}_{u}$ die Ableitung nach $u$ gemeint.

In der oben vorgestellten Form ist das vektorielle Oberflächenelement nicht wohldefiniert, da seine Richtung davon abhängt ob man ${\vec {x}}_{u}\times {\vec {x}}_{v}$ oder ${\vec {x}}_{v}\times {\vec {x}}_{u}$ berechnet. In einem der Fälle zeigt es in die Fläche hinein, im anderen aus der Fläche heraus. Betrachtet man geschlossene Oberflächen, vereinbart man meist, dass das nach außen weisende Oberflächenelement zu verwenden ist.

Die Integrale

Mit den Parametrisierungen und den Oberflächenelementen kann man nun die Oberflächenintegrale definieren.

Das skalare Oberflächenintegral

Das skalare Oberflächenintegral einer skalaren Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ über eine Oberfläche ${\mathcal {F}}$ mit regulärer Parametrisierung $\varphi :B\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ist definiert als $\iint _{\mathcal {F}}f(x,y,z)\mathrm {d} \sigma =\iint _{B}f\left(\varphi (u,v)\right)\cdot ||\varphi _{u}\times \varphi _{v}||\mathrm {d} (u,v)$

Dieses mehrdimensionale Integral ist ein Lebesgue-Integral, kann aber in den meisten Anwendungsfällen als mehrfaches Riemann-Integral berechnet werden.

Setzt man beispielsweise $f(x,y,z)=1$, so ist das skalare Oberflächenintegral einfach der Flächeninhalt der Oberfläche.

Das vektorielle Oberflächenintegral

Das vektorielle Oberflächenintegral einer vektorwertigen Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ über eine Oberfläche ${\mathcal {F}}$ mit regulärer Parametrisierung $\varphi :B\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ist definiert als $\iint _{\mathcal {F}}{\vec {f}}({\vec {x}})\mathrm {d} {\vec {\sigma }}=\iint _{B}{\vec {f}}\left(\varphi (u,v)\right)\cdot (\varphi _{u}\times \varphi _{v})$.

Eine anschauliche Vorstellung dieses Integrals geschieht über den Fluss eines Vektorfeldes: Die Größe ${\vec {f}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\sigma }}$ gibt an, wie viel von ${\vec {f}}$ durch das kleine Oberflächenstück $\mathrm {d} {\vec {\sigma }}$ fließt.

Diese mehrdimensionalen Integrale sind Lebesgue-Integrale, können aber in den meisten Anwendungsfällen als mehrfache Riemann-Integrale berechnet werden.

Allgemeines

Das Oberflächenintegral oder Flächenintegral ist die allgemeine Form eines Integrals über eine Fläche $F$. Die Fläche kann dabei auch eine Menge aus dem $\mathbb {R} ^{n\geq 2}$ (Hyperfläche) sein. Es wird zwischen der skalaren Form:

$\iint \limits _{F}f\,\mathrm {d} O$ mit: $f$... skalare Funktion, $\quad \mathrm {d} O$... skalares Oberflächenelement.

und vektorieller Form (Flussintegral):

$\iint \limits _{F}{\vec {v}}\,\mathrm {d} {\vec {O}}$ mit: ${\vec {v}}$...Vektorfunktion, $\quad \mathrm {d} {\vec {O}}$... vektorielles Oberflächenelement.

des Integrals unterschieden.

Berechnung

Mit der Parametrisierung $(x,y,f(x,y))$ der Oberfläche und ihrer Projektion $P$ auf die $x,y$-Ebene errechnet sich das Oberflächenintegral im Vektorfeld ${\vec {v}}$ nach:

$\iint \limits _{F}{\vec {v}}\,\mathrm {d} {\vec {O}}=\iint \limits _{F}{\vec {v}}{\vec {n}}\,\mathrm {d} O$ mit $\mathrm {d} O={\sqrt {1+{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$. Es bleibt die Integration über $P$. $\Rightarrow \iint \limits _{F}{\vec {v}}\,\mathrm {d} {\vec {O}}=\iint \limits _{P}{\vec {v}}{\vec {n}}{\sqrt {1+{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

Wie bei der mehrdimensionalen Integration üblich, wird das Oberflächenintegral durch Mehrfachintegration berechnet. Die Berechnung der einzelnen Integrale erfolgt von innen nach außen, wobei nach dem Satz von Fubini ein Vertauschen der Reihenfolge zulässig sein kann. Bei Integralen über allgemeine Flächen werden Parametrisierungen und die Transformationsformel genutzt, wobei die Orientierung der Parametrisierung zu beachten ist. Des weiteren kommt der Gaußsche Integralsatz zur Anwendung.