Benutzer:Roomsixhu/Baustelle

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Logik ist nicht das Wichtigste im Leben!

Eine Subalternation folgt nicht!

Mengen sind selbst keine Elemente!

Frei nach Johann-Michael von Petzinger

Begriffslogik: Kalkül BL

In der Begriffslogik werden zuerst Begriffe behandelt und dann Urteile. Die Grundelemente sind Begriffe. Man sagt auch Termlogik dazu.

Der begriffslogische Kalkül BL (BL für BegriffsLogik) unterscheidet im Kalkül zuerst logische Beziehungszeichen $\leq \quad =$  und Verknüpfungszeichen $\cdot \;+$ mit ${\overline {\ }}$. Alternative Wörter zu Kalkül sind formales System und Formalismus.

Damit unterscheidet man (syntaktisch) innerhalb des Kalküls (noch-)nichtlogische, begriffslogische und urteilslogische Kalküle. Beziehungen von Begriffen sind wieder Begriffe, deshalb sind $\leq \;=$ auch Verknüpfungszeichen. Die Beziehung zwischen Grundobjekten im booleschen Verband ist kein Grundobjekt, hier sind $\leq \;=$ ausschließlich Beziehungszeichen.

Begriffe kann man mittels Art-Gattungs-Beziehung (Dackel sind Hunde, Hunde sind Lebewesen etc. ) ordnen, wie man Urteile mittels Wenn-dann-Beziehung (quasi- bzw. halb-)ordnet. Für diese Unterordnung wird gerne das Wort Subsumtion gebraucht.

Diese Ordnung kann man in der Ordnungstheorie mit der Halbordnung wiedergeben. Mit dem Übergang vom Verband zur booleschen Algebra werden einem zusätzliche Hilfsmittel zur Aufstellung eines Logikkalküls an die Hand gegeben.

Eine Syntax

Grundzeichen

Grundzeichen a,b,c Variablen 0 1 Konstanten $\leq \;=$ Beziehungszeichen ${\overline {\;}}\;\cdot \;+$ Verknüpfungszeichen

Bemerkung: Der Strich bedeutet die logische Negation und wird als Überstrich notiert: ${\overline {a}}$ Beziehungszeichen und Verknüpfungszeichen sind verschieden, sie werden nicht wie gewohnt zu Junktoren zusammengefasst.

Ausdrücke: Terme und Formeln

Terme
oder die Grammatik der Verknüpfungszeichen
1.Zeichen des Alphabetes (Variablen und Konstanten), die auch (mehrfach) mit Indizes oder Exponenten (aus dem Alphabet) versehen sein dürfen.
2.Sind s und t Terme, so auch s $\cdot$ t und s + t; ist s ein Term, so auch ${\overline {s}}$.

Verbandstheoretische Formeln
(v-Formeln) oder (Objekt-)Grammatik der Beziehungszeichen
Sind s und t Terme, so sind s $\leq$ t und s = t Formeln.

Jetzt wird ein entscheidender Schritt heraus aus der mengentheoretischen oder verbandstheoretischen Deutung von Begriffslogik gemacht. Hier wird erklärt, dass Formeln (mit Beziehungszeichen) auch Terme sind, da die Beziehungszeichen wie Verknüpfungszeichen verwendet werden dürfen. Sie lässt zu, dass Beziehungen zwischen Begriffen wieder Begriffe, sogenannte Beziehungsbegriffe sind. z.B.  (a = b) < (a < b)

Hierarchie der aus dem Kalkül BL durch weitere Regeln hervorgegangenen Kalküle

Begriffslogische Formeln
oder logische Formeln (l-Formeln) oder logische (Meta-)Grammatik der Beziehungszeichen
1.Zeichen des Alphabetes, die auch (mehrfach) mit Indizes oder Exponenten (aus dem Alphabet) versehen sein dürfen.
2. wie verbandstheoretische Formeln oben
3. Sind a und b Formeln, so auch a $\leq$  b, a = b, a $\cdot$ b, a + b; ist a eine Formel, so auch ${\overline {a}}$.

Die Grundzeichen können um die verallgemeinerten Verknüpfungen:

$\sum$

$\prod$

Grundzeichen

erweitert werden.

Terme 1. wird um folgendes erweitert:

Terme
1. Zeichen des Alphabetes (Variablen und Konstanten), die auch (mehrfach) mit Indizes (z. B. $a_{x}\;b_{xy}$) oder Exponenten (aus dem Alphabet) versehen sein dürfen; (sowie Ausdrücke der Gestalt a(x), b(x,y) etc., wobei a, b, x, y Zeichen des Alphabetes sind.)

Ein vollständiger boolescher Verband

Der Kalkül BL

Der begriffslogische Kalkül BL ist ein Regelkalkül, der seine Regeln aus der Verbandstheorie nimmt:

Grundformeln		und Grundregeln
A1	$a\leq a$	A6	${\frac {a\leq b\quad b\leq c}{a\leq c}}$
A2a	$a\cdot b\leq a$	A7	${\frac {a\leq b\quad b\leq a}{a=b}}$
A2b	$a\cdot b\leq b$
A3a	$a\leq a+b$	A8a	${\frac {a=b}{a\leq b}}$ A8b ${\frac {a=b}{b\leq a}}$
A3b	$b\leq a+b$
A4a	$0\leq a$	A9	${\frac {a\leq b\quad a\leq c}{a\leq b\cdot c}}$
A4b	$a\leq 1$
A5a	$a\leq (a\cdot b)+(a\cdot {\overline {b}})$	A10	${\frac {a\leq c\quad b\leq c}{a+b\leq c}}$
A5b	$(a+b)\cdot (a+{\overline {b}})\leq a$

Mit der Syntax und A1 ist jetzt (a $\leq$ b) $\leq$ (a $\leq$ b) beweisbar.

Verallgemeinerung der Vernüpfungen

Für Indizies (entsprechend Prädikatenlogik erster Stufe) (iNFa bedeutet i kommt nicht frei in a vor)

	Verallgemeinerung		Verallgemeinerung von
A2	${\begin{array}{c}\displaystyle {\prod _{\rm {i}}{a_{\rm {i}}\;\leq a_{\rm {k}}}}\end{array}}$	A9	${\frac {a\leq b_{i}}{a\leq \;\displaystyle {\prod _{i}}b_{i}}}$ iNFa
A3	${\begin{array}{c}a_{k}\leq \displaystyle {\sum _{\rm {i}}{a_{\rm {i}}}}\end{array}}$	A10	${\frac {a_{i}\leq b}{\displaystyle {\sum _{\rm {i}}{a_{\rm {i}}}}\leq b}}$ iNFb

Für Variablen (entsprechend Prädikatenlogik höherer Stufe)

	Verallgemeinerung		Verallgemeinerung von
A2	${\begin{array}{c}\displaystyle {\prod _{\rm {x}}{a(x)\;\leq a(y)}}\end{array}}$	A9	${\frac {a\leq b(x)}{a\leq \;\displaystyle {\prod _{x}}b(x)}}$ xNFa
A3	${\begin{array}{c}a(y)\leq \displaystyle {\sum _{\rm {x}}{a(x)}}\end{array}}$	A10	${\frac {a(x)\leq b}{\displaystyle {\sum _{\rm {x}}{a(x)}}\leq b}}$ xNFb

Vollständige Negation

Die Regeln A5a und A5b führen die Negation ein. Dies kann anders durch die folgenden Regeln geschehen (nennen wir sie hier A13a-d):

Grundregeln
A13a	${\frac {a\leq b}{a\cdot {\overline {b}}\leq 0}}$	A13c	${\frac {a\cdot b\leq 0}{a\leq {\overline {b}}}}$
A13b	${\frac {a\leq {\overline {b}}}{a\cdot b\leq 0}}$	A13d	${\frac {a\cdot {\overline {b}}\leq 0}{a\leq b}}$

Fehlt eine der Regeln, gilt nicht mehr: $a={\overline {\overline {a}}}$, die doppelte Negation.

Es lässt sich zeigen, dass die formulierte Begriffslogik ein vollständiger boolescher Verband ist.

Kalkül der universellen Beziehungen

Der mit obigem Regelsystem versehene Kalkül BL lässt nur universelle Begriffsbeziehungen zu. Man erhält folgende wichtige Sätze:

1. $a\cdot b\leq c\dashv \vdash a\leq {\overline {b}}+c$; die Transportationsregel von Peirce
2. $a\cdot b\leq c\dashv \vdash a\cdot {\overline {c}}\leq {\overline {b}}$, die inkonsistente Triade, was einer nochmaligen Anwendung der Transportationsregel unter 1. auf c entspricht.
3. $(a\leq b),\;(a\leq {\overline {b}})\vdash (a\leq 0)$, das berühmte Tertium non datur.
4. Grundregel A6 bezeichnet die Transitivität (Mathematik).

Das Zeichen $\vdash$ gibt die Ableitbarkeitsbeziehung von links nach rechts an, das Zeichen $\dashv$ diejenige in die umgekehrte Richtung.

Es gelten weiter die Kontraposition, die Morgansche Gesetze, Kommutativität. Ebenso lassen sich alle Regeln und Sätze des vollständigen booleschen Verbandes ableiten, insbesondere die Distributivität.

Wichtig ist noch festzustellen, dass man jede „Subsumtion“: $a\leq b$ in eine äquivalente Nullsubsumtion: $a\cdot {\overline {b}}\leq 0$ umformen kann, die man wegen Regel A4 auch mit dem Beziehungszeichen "=" schreiben kann: $a\cdot {\overline {b}}=0$.

Dieser schwache Ansatz bedeutet, dass man die bald folgenden partikulären Begriffsbeziehungen, auf dem Hintergrund des "Objektkalküls" der universellen Beziehungen und somit des Verbandes erklären können muß. Schließt man partikulär, befindet man sich auf der "ersten Metaebene" des Kalküls BL.

Kalkül der partikulären Beziehungen

Die partikulären Beziehungen, das sind die negierten Subsumtionen, erreicht man im Kalkül auf zweierlei Weise, wozu einen die Syntax in Stand setzt.

1. Indem man die Kontraposition und die inkonsistente Triade auf die Grundregeln anwendet: A6 $a\leq b,a\not \leq c\vdash b\not \leq c$ A6 $b\leq c,a\not \leq c\vdash a\not \leq b$ A7 $a\leq b,a\not =b\vdash b\not \leq a$ A7 $b\leq a,a\not =b\vdash a\not \leq b$ A8 $a\not \leq b\vdash a\not =b$ A8 $b\not \leq a\vdash a\not =b$ A9 $a\leq b,a\not \leq b\cdot c\vdash a\not \leq c$ A9 $a\leq c,a\not \leq b\cdot c\vdash a\not \leq b$ A10 $a\leq c,a+b\not \leq c\vdash b\not \leq c$ A10 $b\leq c,a+b\not \leq c\vdash a\not \leq c$

Die Notation ist die folgende: Die Negation einer Subsumtion $a\leq b$ wird mit einem Überstrich notiert: ${\overline {(a\leq b)}}$ und das wird der Einfachheit halber zu dem durchgstrichenen Beziehungs- und Subsumtionszeichen $\not \leq$ abgekürzt: $a\not \leq b$. Hat man die Subsumtion in eine Nullsubsumtion umgeformt, wird das Beziehungszeichen "=" durchgestrichen: $\not =$. ${\overline {(a\cdot {\overline {b}}=0)}}$ schreibt man abgekürzt: $a\cdot {\overline {b}}\not =0$. Die Klammern werden je nach Erfordernis der Eindeutigkeit gesetzt.

Bemerkung das Lesen der neuen Regeln ist verwirrend. Zum Beispiel bedeutet A6: Aus „Alle a sind b“ und „Einige a sind nicht c“ (Einige a sind nicht Art der Gattung c) folgt die Beziehung „Einige b sind nicht c“. Das wäre Syllogismus baroco. Ab Regel A8 geht die Begriffslogik über die Syllogistik hinaus.

Mit den Regeln A 9 erhält man aus dem tertium non datur, die Subalternation:

$(a\leq b)\cdot (a\not =0)\leq (a\cdot b\not \leq 0)$ und andersherum

$(a\leq {\bar {b}})\cdot (a\not =0)\leq (a\cdot {\bar {b}}\not \leq 0)$

2. Indem man die im folgenden Absatz beschriebene Deduktions- und Abtrennungsregeln einführt, die den Kalkül BL auf die höheren "Metaebenen" heben.

Deduktions- und Abtrennungsregel

Die Deduktionsregel $\vdash a$:

${\frac {A_{1},A_{2},A_{3}...A_{n}\vdash B}{(A_{1})\cdot (A_{2})\cdot (A_{3})\cdot ...\cdot (A_{n})\leq B}}$.

Leitet man aus den Annahmen A₁, A₂ … A_n B her, gewinnt man unter "Beseitigung" der Annahmen die untenstehende Formel. Grundformeln werden weggelassen.

Für das untere Beweisbeispiel wird die Regel in Baumform verwendet:

${\frac {{\Bigl (}{\frac {(A_{1})\;(A_{2})\;(A_{3})\;...\;(A_{n})}{B}}{\Bigr )}}{(A_{1})\cdot (A_{2})\cdot (A_{3})\cdot ...\cdot (A_{n})\leq B}}$.

Die Abtrennungsregel $\vdash b$:

${\frac {A_{1},A_{2},A_{3}...A_{n}\quad (A_{1})\cdot (A_{2})\cdot (A_{3})\cdot ...\cdot (A_{n})\leq B}{B}}$

Aus den Annahmen A₁, A₂ … A_n und der Formel in der oberen Zeile (sie sollte zu den Annahmen passen) leitet man B ab.

Oder man stellt aus der Formel einen Beweisbaum her:

${\frac {(A_{1})\cdot (A_{2})\cdot (A_{3})\cdot ...\cdot (A_{n})\leq B}{A_{1},A_{2},A_{3}...A_{n}\vdash B}}$

Das Deduktionsmetatheorem ist eines der wichtigsten Metatheoreme. In einigen Logiksystemen wird es als Folgerungsregel hergenommen, eine Einführungsregel für "→". In anderen Systemen, ist es eine erste Aufgabe, es aus den Axiomen zu beweisen, um zu beweisen, dass diese Logik vollständig ist. Es ist schwierig irgendetwas in der Aussagenlogik zu beweisen, ohne das Deduktionsmetatheorem heranzuziehen. Und gewöhnlich ist es einfach, wenn man es benutzen kann.

Weitere Regeln

Mit der Deduktionsregel ist die Negation nicht mehr nur ein Verküpfungszeichen sondern auch ein Beziehungszeichen.

Alle schlüssigen syllogistischen Modi erreicht man durch die Anwendung auf die Grundregeln, vor allem A6, die Transitivität, und die weiteren durch das abzuleitende tertium non datur.

Syllogistik auf einer Seite

[1]

Einleitung

Die Axiomatik ist ein erweiterter boolescher Verband mit negierter Halbordnung. Wenn

a $\leq$ b

nicht gilt, ist das sinnvoll im Kalkül formulierbar. Z.B die Kontraposition einer Grundregel A8:

$(a\not \leq b)\leq (a\not =b)$

Wegen des Satzes der Identität:

a = a

und der Folgerung

a $\leq$a

gilt der Satz vom Widerspruch:

$a\cdot {\bar {a}}\leq 0$

Weiter folgert man oder es gilt:

$(a\leq b)\cdot (a\leq {\bar {b}})\leq (a\leq 0)$

der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (tertium non datur, s. u.).

Syllogistik

" Sechs der schlüssigen Syllogismen (...) lassen sich auf einfache Weise mit Hilfe des Satzes (37)^[2]:

$(x\cdot y\leq z)=(x\cdot {\bar {z}}\leq {\bar {y}})=(y\cdot {\bar {z}}\leq {\bar {x}})$

gewinnen aus den Formeln:

• $(a\leq b)\cdot (b\leq c)\leq (a\leq c)$ barbara
• $(a\leq b)\cdot (b\cdot c=0)\leq (a\cdot c=0)$ celarent
• $(a\leq b)\cdot (a\cdot {\bar {c}}\not =0)\leq (b\cdot {\bar {c}}\not =0)$ bocardo
• $(b\leq c)\cdot (a\cdot {\bar {c}}\not =0)\leq (a\cdot {\bar {b}}\not =0)$ baroco
• $(a\leq b)\cdot (a\cdot c\not =0)\leq (b\cdot c\not =0)$ darii
• $(b\cdot c=0)\cdot (a\cdot c\not =0)\leq (a\cdot {\bar {b}}\not =0)$ ferio

Darapti, felapton und die Subalternation, der Übergang von a zu i, bedürfen zu ihrer Gültigkeit der Annahme, daß der Mittelbegriff nicht widerspruchsvoll ist:

• $(a\leq b)\cdot (a\leq c)\cdot (a\not =0)\leq (b\cdot c\not =0)$ darapti
• $(a\leq b)\cdot (a\cdot c=0)\cdot (a\not =0)\leq (b\cdot {\bar {c}}\not =0)$ felapton
• $(a\leq b)\cdot (a\not =0)\leq (a\cdot b\not =0)$ Subalternation

Da die klassische Logik die Unverträglichkeit von a- und e- Urteil lehrt, setzt sie allgemein voraus, daß die auftretenden Begriffe $\not =W$ sind" (nicht gleich dem widersprüchlichen Begriff W (=0) sind). "Denn nur in dem Fall, daß mindestens ein Begriff widerspruchsvoll ist können a und e zusammen bestehen:

"

Legende: Der Doppelpfeil bedeutet die "vollständige" Alternative, der Strich mit Schaft zeigt das Art-Gattungsverhältnis von a zu b an. a ist Art von Gattung b, oder $a\leq b$. In unserer Schreibweise

$(a\cdot b=0)\cdot (a\leq b)=0$

genauer kann man folgern

$(a\cdot b=0)\cdot (a\leq b)\leq (a\leq 0)$.

Schlußbemerkung

Da sich Petzinger auf Freytags Vorarbeit der acht schlüssigen Begriffslagen (oder Begriffsbeziehungen) stützt, sei noch gesagt:

• Unter barbara wird noch bamalip behandelt
• Unter celarent cesare, camestres und calemes
• Unter darii datisi, disamis, dimatis
• Unter ferio festino, ferison und fresison
• Unter felapton fesapo

[3][4]

Bemerkungen

1. Nach Petzinger "Logik im Abriß" (kaum antiquarisch erhältlich)
2. Satz 37 erhält man mit der Peirce Regel: $(a\cdot b\leq c)=(a\leq c+{\bar {b}})$
3. Über weitere Komplikationen kann man jetzt reden z.B.barbari, Subalternation etc.
4. Abschließend sei erwähnt, daß der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht im zugrundeliegenden Begriffskalkkül vorausgesetzt wird, sondern sich aus der Dualität von Inhalt und Umfang der Begriffe ableiten läßt.

Der singuläre Kalkül

$\mathrm {BL} _{s}^{\vdash }$ hat die Regel:

$\vdash 1\leq 0$.

Im Gegensatz zur Grundformel A4 ist jetzt a, 0 und 1 eins.

In diesem Kalkül fallen alle Begriffe in einem Einzigen zusammen.

Angewandter begriffslogischer Kalkül

Hier sollen beispielhaft die Beweise schön in Baumform von S.113-119 aus 
Petzinger Vergleich von Begriffs- und Urteilslogik  hin. 

Individualbegriffe

Die Begriffslogik ist zu allem Anfang eine Logik der Allgemeinbegriffe. Sie kann Bedingungen angeben, unter den etwas ein Individualbegriff ist: Ein Begriff sei widerspruchsfrei und unterste Art, und hat keine Arten als Gattungsbegriff unter sich. Baut man eine Begriffslogik auf, in der unter jedem Allgemeinbegriff mindestens ein Individualbegriff liegt, hat man eine angewandte, eben auf diese Individuen, Logik erreicht. Diese Individuen lassen sich zu den Kollektiven zusammenfassen, wobei Kollektiv bis auf Einschränkungen in der Sache dem Mengenbegriff nahekommt.

Für Individual-Begriffe gelten die bemerkenswerten Äquivalenzen:

I1)	$a^{I}\not \leq$ b $\dashv \vdash$ $a^{I}\leq {\overline {b}}$	aI hat eine Eigenschaft b oder hat sie nicht. s. Kennzeichnung
I2)	$a^{I}b\not \leq 0$ $\dashv \vdash$ $a^{I}\leq b$	Einige aI sind b ist äquivalent zu alle aI sind b

Atomarer oder angewandter Begriffskalkül

Der Kalkül BL $_{\rm {a}}^{\vdash }$ steht für a wie atomar oder Angewandte Begriffslogik im Gegensatz zur sogenannten Reinen Begriffslogik. Er besitzt ein Axiom, das fordert, es möge unter jedem von 0 verschiedenen Begriff mindestens ein Individual-Begriff liegen. Für jeden Individual-Begriff $a^{I}$ gilt folgendes:

I1	$\vdash$ $a^{I}\not \leq 0$
I2	$b\leq a^{I}$, $b\not \leq 0$ $\vdash$ $a^{I}\leq b$

Umgangssprachlich: Ein Individual-Begriff ist nicht widersprüchlich (0 heißt auch der widersprüchliche Begriff, wegen $\vdash$ $a\cdot {\overline {a}}=0$ in VBV) und lässt sich nicht weiter in Unterarten aufteilen, „spezialisieren“. In den Kalkülen Vollständiger Boolescher Verband bis BegriffsLogik $^{\vdash }$ braucht es keine Atome oder Individual-Begriffe (kurz: Individuen) zu geben.

$\vdash (a\not =0)\leq \sum _{x}(x^{I}\leq a)$

Umgangssprachlich: Unter jeden nicht widersprüchlichen Begriff fällt wenigstens ein Individuum.

Das sind die Forderungen für einen angewandten Begriffskalkül. Und:
$a=\sum _{i}a_{i}^{I}$ (aus Satz 23.2a).

Ein Kollektiv ist eindeutig als Summe der unter ihm liegenden Individuuen darstellbar und ist selbst kein Individualbegriff.

Material Der Beweis Seite 118 von: Das Verhältnis von Begriffs- und Urteilslogik, 1975 Die eindeutige Darstellung eines Kollektivs aus den (Generalisat, Oderverknüpfung) ihm zugrunde liegenden Individuen, Kollektive und der Übergang zur Mengenlehre : Seite 47 unten und 48 f. Der Satz 23.2a wird nicht in VI sondern in VII bewiesen. Einmal in urteilslogischer Variante, einmal in angewandter. Seite 120, 121 mit Bezug auf Satz 36 Seite 113, § 5.3, Seite 46 und die zugehörige Fußnote 22 auf Seite 135. Seite 50 unten und 51 zur Mengenlehre und Theorie der Kollektive Seite 86 zu Eigenschaft und Russells Antinomie sowie die dazugehörige Fußnote 30 auf Seite 135.

Der zweiwertige Kalkül

BL$_{2}^{\vdash }$ 0/1	$a\not \leq 0$ $\dashv \vdash$ $1\leq a$
	(bzw. $a\not =0$ $\dashv \vdash$ $a=1$)

Von diesem Kalkül laßt sich zeigen, dass er ein angewandter ist, weil 1 das einzige Individuum ist, und es erfüllt obige Bedingungen.

Es gilt zum Beispiel:

$a\not \leq b$ $\dashv \vdash$ $1\leq a$, $b\leq 0$

b folgt nicht aus a, wenn a wahr und b falsch ist, konfom der Wertezuweisung in der Wahrheitstabelle für die Impliktion in diesem Fall. Sowie andere Sätze

Der Kalkülvergleich

Man kann Kalküle miteinander vergleichen und feststellen ob sie einander über- oder untergeordnet sind oder einander äquivalent. Ein stärkerer Kalkül ist auch ein speziellerer. Für die Äquivalenz weist man nach, dass der eine spezieller als der andere ist und umgekehrt, dass der andere ebenso spezieller als der erste ist. Dies Verhältnis hat man zwischen der Aussagen- und Prädikatenlogik erster Stufe und dem Kalkül BL^$\vdash$_u. Da BL^$\vdash$ bis zum zweiwertigen Kalkül schwächer als die Aussagen- und Prädikatenlogik erster Stufe ist, ist er auch allgemeiner. Es ist sinnvoll zu fragen, ob man in in einer starken Logik bewiesene Zusammenhänge nicht im allgemeineren Kalkül beweisen kann. Das reicht von Fragen der Subalternation, bis zu Fragen der Grundlegung von Mengenlehre oder Mathematik.

Semantik

Es stellt sich die Frage ob zur Deutung von Logik, die halbformale Semantik und der Kalkül nicht auf Grundlage eines spezielleren oder stärkeren dritten Kalküls, halbformalen, miteinander verglichen werden, der einen weniger zur Bedeutung der Logik führt.Die moderne Diskussion dieser Problematik läßt das vermuten. Es steht dem Benutzer dieses Kalküls frei, behutsam nach einer sinnvollen Semantik zu suchen. Aufgestellt ist sie momentan nicht.

Der minimale Rückschluß auf verborgene Prämissen

Hat man einen lückenhaften Schluß vor sich und möchte überprüfen, ob er sich mittels eingefügter Schritte noch zu einem richtigen Schluß vervollständigen läßt, sucht man fehlende oder verborgene Prämissen auf. Hat man eine passende gefunden, ist der Rückschluß gelungen. Es ist sinnvoll zu fragen, ob diese Prämisse die schwächste Voraussetzung war.

Das Schema funktioniert wie folgt:

Man setzt einen Schluß mit fehlender Prämisse X an: A, X $\vdash$ B

Haben A und B a-Form zum Beispiel nennt man es aa-Form: Hat man $a\leq b$, X $\vdash$ $a\leq c$, so kann man die fehlende Prämisse mit $a\cdot b\leq c$ ermitteln. Entgegen der Erwartung, die man aus der Syllogistik gewinnen könnte, ist $b\leq c$ gar nicht nötig und viel zu stark. Denn aus $b\leq c$ kann man $a\cdot b\leq c$ folgern, aber nicht umgekehrt.

Ohne $a\cdot b\leq c$ das heißt mit $a\cdot b\not \leq c$, ist $a\leq c$ aus $a\leq b$ nicht zu beweisen.

Für die Lösung $b\leq c$ gilt das nicht: Wenn sie nicht gilt: $b\not \leq c$, kann man $a\leq c$ noch beweisen, wenn man $a\cdot b\leq c$ annimmt, und kann $b\not \leq c$ aufrechterhalten, für $b\cdot {\overline {a}}\not \leq c$.

Die Defintion lautet bezüglich eines Kalküls K:

,,$X$ ist minimale Lösung des Rückschlußproblems (relativ zu $A$, $B$, K (einem Kalkül ganz allgemein))``, genau wenn gilt: $A$, $X$ $\vdash _{\rm {K}}$ $B$ und $A$, $B$ $\vdash _{\rm {K}}$ $X$

1	aa	$a\leq b$, $X$ $\vdash$ $c\leq d$	$X_{\rm {m}}$: $c\leq a+d$, $b\cdot c\leq d$
2	ao	$a\leq b$, $X$ $\vdash$ $c\not \leq d$	$X_{\rm {m}}$: $(a\cdot {\overline {b}})+(c\cdot {\overline {d}})\not \leq 0$
3	oa	$a\not \leq b$, $X$ $\vdash$ $c\leq d$	Hier scheint es keine Lösung zu geben
4	oo	$a\not \leq b$, $X$ $\vdash$ $c\not \leq d$	$X^{*}$: $a\leq b+c$, $a\cdot d\leq b$

Die dritte hat die triviale Lösung.

Die vierte Lösung ist im Sinn der Definition nicht minimal, da in dem Kalkül Begriffsslogik, die Definition nicht erfüllt wird: $a\not \leq b$, $c\not \leq d$ $\vdash$ $a\leq b+c$, $a\cdot d\leq b$ gilt nicht. Oder die Lösung nach booleschen Regeln zusammengefasst $a\cdot {\overline {b}}\leq c\cdot {\overline {d}}$. Gelöst wird sie, indem man sie mittels Kontrapostion auf den aa-Fall zurückführt: $c\leq d$, $X$ $\vdash$ $a\leq b$

Das Urteilsprinzip

Hier ein fortgeschrittener Beweis des Axioms 2 der Aussagenlogik aus der Begriffslogik mit Urteilsprinzip heraus.

Wir beweisen Axiom 2:

$(A\leq (B\leq C))\leq ((A\leq B)\leq (A\leq C))$

Dazu nutzen wir Satz 27u:

$(A\leq (B\leq C))\dashv \vdash (A\cdot B\leq C)$

${\begin{array}{l}{\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\\\\\\\\\\\\left({\begin{array}{c}Ann.\\{\underline {A\leq (B\leq C)}}\\A\cdot B\leq C\end{array}}{\begin{array}{l}\\27u\end{array}}\right)\\{\begin{array}{ll}{\overline {\quad (A\leq B)\cdot (A\cdot B\leq C)\leq (A\leq C)\quad }}\ {\begin{array}{l}{}^{\vdash \ a}\\\ \end{array}}\end{array}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{\begin{array}{cc}{\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\\\\\\\Kommutativit{\ddot {a}}t\\{\underline {(A\leq B)\cdot (A\cdot B\leq C)=(A\cdot B\leq C)\cdot (A\leq B)}}\\(A\cdot B\leq C)\cdot (A\leq B)\leq (A\leq B)\cdot (A\cdot B\leq C)\end{array}}&{\begin{array}{c}\\\\\\\\\\A8\end{array}}\end{array}}&{\begin{array}{c}\left({\begin{array}{ll}{\begin{array}{c}{\begin{array}{ccc}{\underline {\begin{array}{cc}A1&Ann.\\A\leq A&A\leq B\end{array}}}&{\begin{array}{c}\\\\A9\end{array}}&{\underline {\begin{array}{c}Ann.\\A\leq (B\leq C)\end{array}}}\\(A\leq A\cdot B)&&(A\cdot B\leq C)\end{array}}\\{\begin{array}{c}\hline \qquad \qquad \quad \quad A\leq C\qquad \qquad \quad \quad \end{array}}\end{array}}&{\begin{array}{l}\\\\27u\\\\A6\\\ \end{array}}\end{array}}\right)\\{\begin{array}{ll}{\overline {\quad (A\leq B)\cdot (A\cdot B\leq C)\leq (A\leq C)\quad }}\ {\begin{array}{l}{}^{\vdash \ a}\end{array}}\end{array}}\end{array}}\end{array}}\\{\overline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\begin{array}{cl}&{\begin{array}{c}(A\cdot B\leq C)\leq (A\leq B)\leq (A\leq C)\\{\overline {(A\cdot B\leq C)\leq ((A\leq B)\leq (A\leq C))}}\end{array}}&27u\end{array}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}{\begin{array}{r}\ \ \ A6\qquad \\\\\\\end{array}}\end{array}}\end{array}}\\{\begin{array}{l}{\overline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad \ (A\leq (B\leq C))\leq ((A\leq B)\leq (A\leq C))\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad \ }}&{\begin{array}{l}A6\\\\\end{array}}\end{array}}\end{array}}$

$\mathrm {BL} _{u}^{\vdash }$ hat die Regel:

$1\leq A\dashv \vdash A$

Womit man die Aquivalenz zur Aussagenlogik hergstellt hat. Es gilt der Satz

u) A = (A = 1)

 

Weitere Verallgemeinerung der Verknüpfungen

Die Verknüpfungen sind oben auf unendlich viele Begriffe erweitert worden. Mit dem Urteilsprinzip werden zusätzlich noch Terme wie $a\cdot b$ zu Formeln $a\cdot b=1$ und in diesem Kalkül sind die Veknüpfungszeichen Summen- oder Produktquantor Beziehungszeichen geworden und $\sum _{i}a_{i}$ ist eine logische Formel in $\mathrm {BL} _{u}^{\vdash }$. Alle Terme sind Formeln geworden. In diesem Kalkül kann man auf die Unterscheidung von Termen und Formeln verzichten.

Modallogik

Sie ($\mathrm {BL} _{m}^{\vdash }$) hat die Regel:

$1\leq A\vdash A$

nicht umgekehrt.

Gelesen aus A ist notwendig folgt A.

Das eingeschränkte Urteilsprinzip

Es ist insofern eingeschränkt, als an der Stelle von A, also Urteilen, nicht Begriffe gesetzt werden dürfen, sondern nur Beziehungsbegriffe, zum Beispiel ein abgeleitetes $(b\not \leq c)$ als Beziehungsbegriff.

Der Kalkül wird $\mathrm {BL} _{u'}^{\vdash }$ bezeichnet

Die eingeschränkte Modallogik

Hier gilt dasselbe für die Modalregel wie oben für das eingeschränkte Urteilsprinzip. Der Kalkül wird dann $\mathrm {BL} _{m'}^{\vdash }$ bezeichnet

Erweiterungen

Nichtfrei Kalkül

Der Nichtfreikalkül stellt Erleichterungen im Umgang mit der verallgemeinerten logischen Summe und dem Produkt zur Verfügung, wenn man für einige Begriffe von vorneherein festhalten kann, dass sie nicht frei in einigen anderen Begriffen, die in einem Beweis verwendet werden, vorkommen. Woanders wird es Variablenbedingungen genannt. Er wird zum Beipiel für den Begriff a und einen Index i für die Bedeutung "i ist nicht frei in a" notiert: iNFa. Oder für Variablen: Wenn x nicht in einem mit einer anderen Variable y belegten Begriff a frei vorkommt: xNFa(y). Was das für Funktionen, Relationen oder Morphismen im einzelnen sind ergibt sich aus der Aufgabe.

Der NF-Kalkül

Die Bedeutung von ,,$x$ kommt nicht frei in ... vor`` ist festgelegt: ($x$NF$\ldots$ ) festlegt:

NF - Kalkül		$x,y$ Variablen;		$a,b$ Ausdrücke
$x$NF$0$		$x$NF$a$, $x$NF$b$	$\vdash$	$x$NF$a\leq b$, $x$NF$a=b$,
$x$NF$1$				$x$NF$a\cdot b$, $x$NF$ab$, $x$NF$a+b$
$x$NF $\displaystyle {\prod _{\rm {x}}{a}}$		$x$NF$a$	$\vdash$	$x$NF${\overline {a}}$,
$x$NF $\displaystyle {\sum _{\rm {x}}{a}}$				$x$NF $\displaystyle {\prod _{\rm {y}}{a}}$, $x$NF $\displaystyle {\sum _{\rm {y}}{a}}$

Venn-Diagramme

Venn-Diagramme lassen sich, da sie alle Relationen zwischen den betrachteten Mengen darstellen, verwenden, Zusammenhänge abzulesen und aus dem Vorliegen einzelner Relationen auf das Vorliegen anderer Relationen zu schließen.

Da Begriffsumfänge im üblichen Verständnis Mengen sind, eignen sich Eulerdiagramme als Visualisierungsmittel, Venn-Diagramme als Beweismittel für Begriffslogiken. Es wird z. B. die Teilmengenbeziehung $S\subset P$ als Syllogismus der A-Form, das heißt als die Aussage „Alle S sind P“ gedeutet. Im Diagramm werden alle S außerhalb von P gestrichen.

Ebenso wird die partikuläre Aussage $S\not \subset P$ (O-Form) möglich, die bedeutet, dass einige S nicht in P sind, S und nicht-P existieren und widerspruchsfrei sind. Dies wird im Diagramm mit, eventuell über mehrere Bereiche verbundenen, Punkten oder Sternen markiert.

Mit den Operationen Streichen und Sternen lassen sich mit in Venndiagrammen eingezeichneten Prämissen Konklusionen folgern. Für Schnittmengen oder Vereinigungsmengen stehen die üblichen Zeichen $\cap$ und $\cup$ zur Verfügung. Damit kann man das obere partikuläre Urteil in: $S\cap {\bar {P}}\not \subset 0$ umformen, und liest daraus ab, dass nicht-P existiert.

Beispiel

Beispiel: Aus

1. $a\subset b$ und

2. $a\not \subset b\cap c$

folgt:

3. $a\not \subset c$

Für 1. streicht man im Diagramm das graue Feld aus. Alle a sind in b. Für 2. setzt man Punkte in die Felder von a außerhalb des (geteilten) Feldes $b\cap c$ und verbindet sie. a existiert außerhalb dieses Feldes. Man liest die Konklusion am verbleibenden Punkt ab. (Das Streichen hat die zwei in diesem Bereich vorhandenen Sterne gelöscht.) Er bedeutet a existiert außerhalb von c, oder es gibt mehr a als innerhalb c. Wichtig ist, dass ein Punkt nicht in einem weiteren Feld vorkommt und damit verbunden wäre, das der Konklusion widerspräche, z. B. in b allein. Wegen 1. folgt weiter

4. $b\not \subset c$,

der Punkt liegt ebenso in b.

Mit einer Prämisse wie 2. hat man die Grenze der Möglichkeiten der Syllogistik überschritten.

Beweise einiger Hilfssätze

Beweisskize der Schnittregel, bei Distributivität und vollständiger Negation. „c“ verschwindet.

Schnittregel

$(a\leq c+d),\ (b\cdot c\leq e)\vdash (a\cdot b\leq e+d)$

Beweis:

${\begin{array}{c}{\underline {a\leq c+d}}\quad {\underline {b\cdot c\leq e}}\\{\underline {a\cdot {\overline {d}}\leq c\quad c\leq e+{\overline {b}}}}\\{\underline {a\cdot {\overline {d}}\leq e+{\overline {b}}}}\\a\cdot b\leq e+d\end{array}}$

Beweis des seltsamen Hilfssatzes

${\begin{aligned}&A\leq (B\leq C)\dashv \vdash A\cdot B\leq C\qquad 27u\\\\&{\begin{array}{lr}\dashv 27u\\\\&{\begin{array}{l}{\begin{array}{c}Ann.\\{\underline {A\cdot B\leq C}}\\A\leq {\overline {B}}+C\end{array}}\ {\begin{array}{c}\\16\end{array}}\quad {\begin{array}{c}26u\\{\underline {(B\leq C)=({\overline {B}}+C)}}\\({\overline {B}}+C)\leq (B\leq C)\end{array}}\ {\begin{array}{c}\\2.7\end{array}}\\{\overline {\qquad \qquad \quad \ \ A\leq (B\leq C)\qquad \qquad \quad \ \ }}\ {\begin{array}{c}2.6\\\\\end{array}}\\\end{array}}\\\\\vdash 27u\\\\&{\begin{array}{l}{\begin{array}{c}\\Ann.\\A\leq (B\leq C)\end{array}}\ {\begin{array}{c}\\16\end{array}}\quad {\begin{array}{c}26u\\{\underline {(B\leq C)=({\overline {B}}+C)}}\\(B\leq C)\leq ({\overline {B}}+C)\end{array}}\ {\begin{array}{c}\\2.7\end{array}}\\{\overline {\qquad \qquad \quad \ \ {\begin{array}{c}{\underline {A\leq ({\overline {B}}+C)}}\\A\cdot B\leq C\end{array}}\ 16\qquad \qquad \ \ }}\ \,{\begin{array}{c}2.6\\\\\\\end{array}}\end{array}}\end{array}}\end{aligned}}$

Beweis des Satzes 26u, Satz 25 ist hier nicht angegeben

${\begin{aligned}&\vdash (A\leq B)=({\overline {A}}+B)\\\\&{\text{Satz 25}}\vdash {\underline {({\overline {A}}+B)=({\overline {A}}+B=1)}}&2.4\\&{\frac {(A\leq B)=({\overline {A}}+B=1)\quad ({\overline {A}}+B=1)=({\overline {A}}+B)}{(A\leq B)=({\overline {A}}+B)}}&2.6\end{aligned}}$

Beweis einer bekannteren Umformung für Satz 26u

${\begin{array}{lr}a\leq b\vdash {\overline {a}}+b=1&\\&{\begin{array}{l}{\begin{array}{c}\\\\\\{\overline {a}}+b\leq 1\end{array}}{\begin{array}{c}{\underline {\begin{array}{cc}22&Ann.\\1\cdot a\leq a&a\leq b\end{array}}}\\{\begin{array}{c}{\underline {1\cdot a\leq b}}\\1\leq {\overline {a}}+b\end{array}}\ 16\end{array}}\ 2.6\\{\overline {\qquad \quad {\overline {a}}+b=1\qquad \quad }}\ {\begin{array}{c}2.6\\\ \end{array}}\end{array}}\\{\overline {a}}+b=1\vdash a\leq b&\\&{\begin{array}{c}{\underline {{\begin{array}{c}\\{\underline {a\leq 1\quad a\leq a}}\\a\leq 1\cdot a\end{array}}\quad {\begin{array}{c}{\underline {{\overline {a}}+b=1}}\\{\underline {1\leq {\overline {a}}+b}}\\1\cdot a\leq b\end{array}}}}\\a\leq b\end{array}}\end{array}}$

Kritik

Gelegentliche Fehler von Leibniz in seinen Generales Inquisitiones zur Logik werden der Begriffslogik angelastet. Leibniz scheint partikuläre und universelle Urteile in zu enger Verwandschaft zu sehen.

"Auf der Kalkül-Ebene möchte Leibniz ,,Einige $a$ sind $b$`` als universelles Urteil mit eingeschränktem Subjekt auffassen, etwa als $ay\leq b$. Damit kann man zwar schön subalternieren, wegen $a\leq b$ $\vdash$ $ay\leq b$, aber beim Negieren gibt es Schwierigkeiten, es ergeben sich nicht die erwünschten Oppositionen des sog. Urteilsquadrates. Aus dem folgenden in BL^{$^{\vdash }$} bzw. BL $_{\rm {u'}}^{\vdash }$ (in der Quantorenschreibweise) geltenden Satz ergibt sich, was alles an der Leibnizschen Formel fehlt:

$y{\rm {NF}}a,y{\rm {NF}}b~~\vdash ~~(ab\not \leq 0)=\sum _{\rm {y}}{((ay\leq b)\;(ay\not \leq 0))}$"

Diese Formel ensteht aus:

${\begin{aligned}x{\rm {NF}}a,x{\rm {NF}}b~~\vdash ~~(ab\not \leq 0)=((ab\leq a)(ab\leq b)\;(ab\not \leq 0))=\\=\sum _{\rm {x}}{((x\leq a)(x\leq b)\;(x\not \leq 0))}\end{aligned}}$

Wobei $x=ab$ gesetzt ist und das $(ab\leq a)$ als Grundformel in der endgültigen Formel verschwindet, da es keine Annahme ist. Genauer $ay=ab$ gesetzt ist und das $(ay\leq a)$ als Grundformel in der endgültigen Formel verschwindet, da es keine Annahme ist, im Gegensatz zum $(ay\leq b)$, dem man das nicht ansieht.

Es gehört die Formel

$(ab\not \leq 0)=\sum _{\rm {x}}((x\leq a)(x\not \leq {\bar {b}})$

in diesen Zusammenhang, sowie die verkürzte Formel:

$(ab\not \leq 0)=\sum _{\rm {x}}{((x^{I}\leq a)(x^{I}\leq b))}$ für die Individualbegriffe $x^{I}$.

Der Beweis benutzt als wichtige Schritte die Transitivität, das konträre Verhältnis von a- und e-Urteil oder das Tertium non datur, in einer durch die inkonsitente Triade bzw. Peirceregel umgestellten Form.