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Formel von Besge

Die Formel von Besge (englisch Besge's formula) ist eine mathematische Formel, die dem Gebiet der Zahlentheorie zuzurechnen ist. Sie geht auf einen Brief eines Monsieur Besge aus dem Jahre 1862 zurück, in dem Besge den Mathematiker Joseph Liouville von dieser Formel in Kenntnis setzte. Die Formel behandelt endliche diskrete Faltungen der Teilersummenfunktion $\sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ mit sich selbst.

Darstellung der Formel

Die Formel besagt folgendes:

Für jede natürliche Zahl $n>0$ gilt die Gleichung

$\sum _{k=1}^{n-1}{\bigl (}\sigma (k)\cdot \sigma (n-k){\bigr )}={\frac {5{\sigma }_{3}(n)}{12}}+\left({\frac {1}{12}}-{\frac {n}{2}}\right)\cdot \sigma (n)\,$.

Folgerung: Der Satz von Glaisher

Aus der Formel von Besge ergibt sich eine bekannte Reihenentwicklung, die dem englischen Mathematiker James Whitbread Lee Glaisher zugerechnet wird:

Für jede komplexe Zahl $q$ mit $|q|<1$ gilt die Gleichung

$\left(\sum _{n=1}^{\infty }{{\sigma (n)}\cdot q^{n}}\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {5{\sigma }_{3}(n)}{12}}+{\frac {\sigma (n)}{12}}-{\frac {n\sigma (n)}{2}}\right)\cdot q^{n}}\,$.

Hintergrund: Eine allgemeine Formel von Liouville

Die obige Besge'sche Formel beruht auf einer allgemeinen Formel von Liouville aus dem Jahre 1858:

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n>0$ und eine gerade Funktion $f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} \,$.

Dann gilt die Gleichung

$\sum \limits _{\left(a,b,x,y\right)\in {\mathbb {N} }^{4}\;{\text{und}} \atop \;\ {ax+by=n}}\left(f(a-b)-f(a+b)\right)=f(0)\cdot \left(\sigma (n)-d(n)\right)+\sum \limits _{d\in \mathbb {N} \;{\text{und}} \atop \;\ d|n}\left({\bigl (}1+{\frac {2n}{d}}-d{\bigr )}\cdot f(d)\right)-2\cdot \sum \limits _{d\in \mathbb {N} \;{\text{und}} \atop \;\ d|n}\left(\sum _{k=1}^{d}{f(k)}\right)\,$.

Historisches

Um wen es sich bei besagtem Monsieur Besge konkret handelt, ist nicht vollständig geklärt. Nicht zuletzt gibt es die auf den Mathematikhistoriker Jesper Lützen zurückgehende Vermutung, dass „Besge“ ein Pseudonym von Liouville selbst ist.

Literatur

• M. Besge: Extrait d'une Lettre de M. Besge à M. Liouville. In: J. Math. Pures Appl. 1862, S. 256. 
• Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville (= London Mathematical Society Student Texts. Band 76). Cambridge University Press, Cambridge 2011, ISBN 978-0-521-17562-3 (MR2731552). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Primzahlformeln

Es sind verschiedene Primzahlformeln bekannt, von denen einige in der bekannten Monographie The New Book of Prime Number Records von Paulo Ribenboim aus dem Jahre 1996 dargestellt werden. Dazu zählen nicht zuletzt eine Formel von Wacław Sierpiński aus dem Jahre 1952 , eine Formel von C. P. Willans aus dem Jahre 1964 und eine Formel von J. M. Gandhi aus dem Jahre 1971

Formel von Sierpiński

Die für jede natürliche Zahl $n\geq 1$ gültige Sierpiński'sche Formel geht von der konvergenten Reihe

$\alpha =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {p_{k}}{10^{2^{k}}}}\right)$

aus. Damit erhält man:

$p_{n}=\lfloor 10^{2^{n}}\cdot \alpha \rfloor -10^{2^{n-1}}\cdot \lfloor 10^{2^{n-1}}\cdot \alpha \rfloor$

Formel von Willans

Die für natürlichzahliges $n\geq 1$ gültige Formel von Willans zeigt, wie man die Primzahlen aus der Primzahlfunktion zurückgewinnen kann. Es gilt nämlich:

$p_{n}=1+\sum _{k=1}^{2^{n}}{\lfloor {\lfloor {\frac {n}{1+\pi (k)}}\rfloor }^{\frac {1}{n}}\rfloor }$

Formel von Gandhi

Die für alle natürlichen Zahlen $n\geq 1$ gültige Gandhi'sche Formel zeigt, wie man die Primzahlen mit Hilfe der Möbiusfunktion $\mu$ und dem natürliche Logarithmus $\ln$ darstellen kann. Hier gilt nämlich, wenn $P_{n-1}=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \cdot \cdot p_{n-1}$ bedeutet:

$p_{n}=\lfloor {1-{\frac {1}{\ln 2}}\cdot \ln \left(-{\frac {1}{2}}+\sum _{d\mid P_{n-1}}{\frac {\mu (d)}{2^{d}-1}}\right)\rfloor }$

Literatur

• Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Record. Springer-Verlag, New York 1996 (MR1377060). 

Ungleichung von Finsler

Die Ungleichung von Finsler (englisch inequality of Finsler) ist eine Ungleichung der Analytischen Zahlentheorie. Sie geht auf eine Arbeit des Mathematikers Paul Finsler aus dem Jahre 1945 zurück. Die Ungleichung knüpft direkt an das bertrandsche Postulat an, dessen inhaltliche Richtigkeit sie unmittelbar bestätigt.

Darstellung der Ungleichung

Die finslersche Ungleichung gibt eine elementar beweisbare untere Abschätzung im Zusammenhang mit der Primzahlfunktion $x\mapsto \pi (x)\,,x\in \mathbb {R}$:

Für eine natürliche Zahl $n>1$ gilt stets

$\pi (2n)-\pi (n)>{\frac {n}{3\cdot \ln(2n)}}$ .

Zweite Ungleichung

In seiner Arbeit von 1951 legte Paul Finsler auch eine zweite Ungleichung vor, nämlich eine obere Abschätzung zur Primzahlfunktion:

Für eine natürliche Zahl $n>1$ ist stets die Ungleichung

$\pi (2n)-\pi (n)<{\frac {7n}{5\cdot \ln(n)}}$

erfüllt.

Literatur

• Paul Finsler: Über die Primzahlen zwischen n und 2n. In: Festschrift zum 60. Geburtstag von Prof. Dr. Andreas Speiser. Orell Füssli, Zürich 1945, S. 118–122 (MR0014126). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 
• József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Chapter VII: FUNCTIONS π(x), ψ(x),θ(x), AND THE SEQUENCE OF PRIME NUMBERS. Second printing of the 1996 original. Springer, Dordrecht 2006, ISBN 978-1-4020-4215-7 (MR2186914). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

KKKategorie:Satz (Zahlentheorie)|Finsler, Ungleichung von]] KKKategorie:Ungleichung|Finsler, Ungleichung von]]

Unschärfeprinzip für endliche abelsche Gruppen (unfertig)

Literatur

• Melvyn B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 195). Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg 2000, ISBN 0-387-98912-9, S. 137 ff. 

Gleichung von Tatuzawa-Iseki

Die Gleichung von Tatuzawa-Iseki (englisch Tatuzawa-Iseki identity) ist eine Identität aus dem mathematischen Teilgebiet der Analytischen Zahlentheorie, die auf eine wissenschaftliche Arbeit der beiden Mathematiker Tikao Tatuzawa und Kanesiro Iseki aus dem Jahre 1951 zurückgeht. Die Gleichung erlaubt einen Zugang zu einem elementaren Beweis des Primzahlsatzes.

Formulierung der Gleichung

Die Gleichung lässt sich darstellen wie folgt:

Gegeben sei das unbeschränkte reelle Intervall $I:=[1,\infty )\subset \mathbb {R}$ und darauf eine reellwertige oder komplexwertige Funktion $g\colon I\to \mathbb {K}$ (mit $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ oder $\mathbb {K} =\mathbb {C}$).

Dazu werde die Funktion $G\colon I\to \mathbb {K}$ mit $G(x)=\sum _{n\leq x}{g\left({\frac {x}{n}}\right)}$ für reelles $x\geq 1$ gebildet.

Weiter seien – wie üblich – $\Lambda$ die Von Mangoldt-Funktion, $\psi$ die tschebyscheffsche Psi-Funktion , $\mu$ die Möbius-Funktion und $\ln$ der natürliche Logarithmus.

Dann gilt für $x\geq 1$ stets die Gleichung

$\sum _{n\leq x}{\mu (n)\cdot \ln \left({\frac {x}{n}}\right)\cdot G\left({\frac {x}{n}}\right)}=g(x)\cdot \ln(x)+\sum _{n\leq x}{\Lambda (n)\cdot g\left({\frac {x}{n}}\right)}$

Selbergsche Formel

Aus der obigen Gleichung ergibt sich ein übersichtlicher Beweis der sogenannten selbergschen Formel (englisch Selberg’s formula oder Selberg’s identity), die von ihrem Urheber, dem norwegischen Mathematiker Atle Selberg, im Jahre 1948 gefunden und im Jahre 1949 veröffentlicht wurde. Von dieser Formel, welche Grundlage der meisten elementaren Beweise des Primzahlsatzes ist, gibt es eine größere Anzahl von gleichwertigen Versionen, von denen eine sich folgendermaßen angeben lässt:

Es sei – wie üblich – mit $\psi$ die tschebyscheffsche Psi-Funktion bezeichnet. Dann gilt für reelles $x\geq 1$ – unter Anwendung der O-Notation – stets die Gleichung

$\psi (x)\cdot \ln(x)+\sum _{n\leq x}{\Lambda (n)\cdot \psi \left({\frac {x}{n}}\right)}=2x\cdot \ln(x)+O(x)$

Mit Hilfe dieser Formel (und unter Zuhilfenahme äquivalenter Versionen) lässt sich dann zeigen, dass

$\lim _{x\to \infty }\left({\frac {\psi (x)}{x}}\right)=1$

und damit der Primzahlsatz gilt.

Weitere Versionen der selbergschen Formel

Bezeichnet man – wie üblich – mit $\vartheta$ die tschebyscheffsche Theta-Funktion und ist eine reelle Zahl $x\geq 1$ gegeben, so sind mit der obigen Version der selbergschen Formel – nicht zuletzt! – auch die folgenden gleichwertig:

(1) $\vartheta (x)\cdot \ln(x)+\sum _{p\leq x}{\ln(p)\cdot \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)}=2x\cdot \ln(x)+O(x)$

(2) $\sum _{p\leq x}{{\ln }^{2}(p)}+\sum _{pq\leq x}{\ln(p)\cdot \ln(q)}=2x\cdot \ln(x)+O(x)$

(3) $\sum _{p\leq x}{\ln(p)}+\sum _{pq\leq x}{\frac {\ln(p)\cdot \ln(q)}{\ln(pq)}}=2x+O\left({\frac {x}{1+\ln(x)}}\right)$

Literatur

• R. G. Buschman: Identities involving products of number-theoretic functions. In: Proc. Amer. Math. Soc. Band 25, 1970, S. 307–309 (MR0262190). 
• Robert Breusch: Another proof of the prime number theorem. In: Duke Math. J. 1954, S. 49–53 (MR0068567). 
• P. Erdős: On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. Band 35, 1949, S. 374–384 (MR0029411). 
• G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem (= London Mathematical Society Student Texts. Band 53). Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 978-0-521-81411-9 (Reprinted 2004). 
• Melvyn B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 195). Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg 2000, ISBN 0-387-98912-9. 
• Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, ISBN 3-8274-1365-6. 
• Atle Selberg: An elementary proof of the prime-number theorem. In: Ann. of Math. (2) 50 (1949), 305–313. Band 50, 1949, S. 305–313 (MR0029410). 
• T. Tatuzawa, K. Iseki: On Selberg's elementary proof of the prime-number theorem. In: Proc. Japan Acad. Band 27, 1951, S. 340–342 (MR0046382). 
• Ernst Trost: Primzahlen (= Elemente der Mathematik vom höheren Standpunkt au. Band II). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1968 (MR0058630). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Anmerkungen

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Smith'sche Determinante

Die Smith'sche Determinante (englisch Smith's determinant) ist eine spezielle Determinante, die dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie angehört. Sie ist nach dem Mathematiker Henry John Stephen Smith (1826–1883) benannt ist, der über sie und ihren Zusammenhang mit der eulerschen Phi-Funktion im Jahre 1876 publizierte. Nicht zuletzt war sie Thema einer Anzahl weiterführender Untersuchungen.

Definition der Smith'schen Determinante

Für eine gegebene natürliche Zahl $n\geq 1$ werden alle größten gemeinsamen Teiler $(i,\,j)$ mit $1\leq i,j\leq n$ gebildet und in einer quadratischen Matrix angeordnet, wobei $(i,\,j)$ als Element der Zeile $i$ und der Spalte $j$ auftritt. Die aus dieser Matrix gebildete Determinante ist die Smith'sche Determinante $S_{n}$. Es gilt also:

$S_{n}=\det {\begin{pmatrix}(1,\,1)&(1,\,2)&(1,\,3)&\cdots &(1,\,n-1)&(1,\,n)\\(2,\,1)&(2,\,2)&(2,\,3)&\cdots &(2,\,n-1)&(1,\,n)\\(3,\,1)&(3,\,2)&(3,\,3)&\cdots &(3,\,n-1)&(3,\,n)\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(n-1,\,1)&(n-1,\,2)&(n-1,\,3)&\cdots &(n-1,\,n-1)&(n-1,\,n)\\(n,\,1)&(n,\,2)&(n,\,3)&\cdots &(n,\,n-1)&(n,\,n)\\\end{pmatrix}}$

Formel

Smith fand die folgende Formel, die die Verbindung zur Phi-Funktion herstellt:

Für eine gegebene natürliche Zahl $n\geq 1$ gilt:

$S_{n}=\varphi (1)\cdot \varphi (2)\cdot \cdots \cdot \varphi (n)$ .

Literatur

• J. W. L. Glaisher (Hrsg.): The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith. Vol. I, II. AMS Chelsea Publishing, New York 1965, ISBN 978-0-8284-0187-6 (Reprint). 
• Pentti Haukkanen, Jun Wang, Juha Sillanpää: On Smith's determinant. In: Linear Algebra and its Applications. Band 258, 1997, S. 251–269 (MR1444107). 
• P. J. McCarthy: A generalization of Smith's determinant. In: Canadian Mathematical Bulletin. Band 29, 1986, S. 109–113 (MR0824893). 
• Harold N. Shapiro: Introduction to the Theory of Numbers (= A Wiley-Interscience Publication. Pure and Applied Mathematics). John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore 1983, ISBN 0-471-86737-3 (MR0693458). 

Einzelnachweise

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Lévy’sche Vermutung

Im mathematischen Teilgebiet der Additiven Zahlentheorie befasst sich die Lévy’sche Vermutung (englisch Levy’s conjecture) mit einer Fragestellung, die eng an die Goldbach’sche Vermutung anschließt. Die Vermutung wurde im Jahr 1963 von Hyman Levy vorgelegt und von einigen Autoren mit dessen Namen verbunden.

Zur Geschichte der Vermutung ist indes bekannt, dass schon im Jahre 1894 eine gleichwertige Vermutung von Émile Lemoine ausgesprochen wurde. Einige Autoren sprechen also eher von der Lemoine’schen Vermutung (englisch Lemoine’s conjecture) als von der Lévy’schen Vermutung.

Formulierung

Die Vermutung lässt sich wie folgt formulieren:

Jede ungerade natürliche Zahl $\,u>5\,$ lässt sich in der Form

$u=2\cdot p+q$

mit zwei (nicht notwendig verschiedenen) Primzahlen $\,p\,$ und $\,q\,$ darstellen.

Beispiele

$13=2\cdot 3+7=2\cdot 5+3$

$19=2\cdot 3+13=2\cdot 7+5$

$47=2\cdot 2+43=2\cdot 3+41=2\cdot 5+37=2\cdot 17+13$

Anzahlfunktion

Wie schon die Beispiele vermuten lassen, ist die oben angesprochene Darstellung in der Regel nicht eindeutig. In der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (von Neil Sloane) wird ausgewiesen, wie viele Möglichkeiten es für ein ungerades $\,u\,$ gibt, gemäß der Levy-Vermutung dargestellt zu werden. (Folge A046927 in OEIS)

Literatur

• Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Vol. I: Divisibility and Primality. Chelsea Publishing Company, New York 1966 (MR0245499 – Reprint des Originals der Carnegie Institution of Washington, Washington, D.C., 1919). 
• Gábor Farkas, Zsófia Juhász: A generalization of Goldbach's conjecture. In: Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae. Sectio Computatorica. Band 46, 2017, S. 39–53 (MR3722662). 
• Richard Kenneth Guy: Unsolved Problems in Number Theory (= Problem Books in Mathematics). 3. Auflage. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-1928-1, doi:10.1007/978-0-387-26677-0 (MR2076335). 
• Brian H. Mayoh: On the second Goldbach conjecture. In: Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling. Band 6, 1966, S. 48–50 (MR0194405). 
• John O. Kiltinen, Peter B. Young: Goldbach, Lemoine, and a know/don’t know problem. In: Mathematics Magazine. Band 58, 1985, S. 195–203 (MR0801144). 
• H. Levy: On Goldbach’s Conjecture. In: The Mathematical Gazette. Band 47, 1963, S. 274. 
• E. Lemoine: ? In: L’intermédiaire des mathématiciens. Band 1, 1894, S. 179. 
• E. Lemoine: ? In: L’intermédiaire des mathématiciens. Band 3, 1896, S. 151. 
• James J. Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-58531-7 (MR1720399). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Levy's Conjecture. In: MathWorld (englisch).
• Levy's Conjecture auf Planetmath

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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SSSORTIERUNG:Levysche Vermutung}} KKKategorie:Zahlentheorie]] KKKategorie:Vermutung (Mathematik)]] KKKategorie:Primzahl]]

Galileo-Folge

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie versteht man unter einer Galileo-Folge (englisch Galileo sequence) eine Zahlenfolge natürlicher Zahlen, bei der für jede Partialsumme die darauf folgende doppelt so lange Partialsumme zu ersterer in einem festen natürlichzahligen Verhältnis steht. Die Bezeichnung verweist auf Galileo Galilei (1564–1642), der auf diese Art von Zahlenfolgen aufmerksam wurde durch die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen.

Formale Beschreibung

Sie lässt sich wie folgt angeben:

Gegeben sei eine Zahlenfolge $\,\left(a_{i}\right)_{i=1,2,3,\ldots }\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\,$ und die zugehörige Zahlenfolge $\left(S_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen mit

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}\,\,(n\in \mathbb {N} )\,$ .

Existiert dafür eine Zahl $k\in \mathbb {N}$ derart, dass für jeden Index $\,n\in \mathbb {N} \,$ stets

$\,{\frac {S_{2n}}{S_{n}}}=k+1\,$

gilt, so nennt man diese gegebene Zahlenfolge eine Galileo-Folge.

Historischer Hintergrund

Im Zusammenhang mit seinen Untersuchungen zum freien Fall von Körpern erkannte Galileo Galilei, dass stets

${\frac {1}{3}}={\frac {1+3}{5+7}}={\frac {1+3+5}{7+9+11}}=\dotsb$

gilt. Das bedeutet nichts weiter, als dass die Folge $\,\left(a_{i}\right)_{i=1,2,3,\ldots }=\left(2i-1\right)_{i=1,2,3,\ldots }\,$ der ungeraden natürlichen Zahlen hinsichtlich ihrer Partialsummenfolge $\,\left(S_{m}\right)_{m=1,2,3,\ldots }=\left(m^{2}\right)_{m=1,2,3,\ldots }\,$ für $\,n\in \mathbb {N} \,$ die folgende Gesetzmäßigkeit aufweist:

$S_{2n}-S_{n}=4\cdot n^{2}-n^{2}=3\cdot n^{2}\,\,$,

also

$S_{2n}-S_{n}=k\cdot S_{n}\,\,$ mit $\,k=a_{2}=3\,$.

Die vordere Gleichung indes ist gleichwertig mit der in der obigen formalen Beschreibung.

Rekursion

Eine streng monoton wachsende Galileo-Folge erhält man zu einer gegebenen Zahl $k\in \mathbb {N} \,,\,k\geq 3\,,\,$ vermöge Rekursion wie folgt:

$a_{1}=1$

$a_{2}=k$

mit

$a_{2n-1}={\left\lfloor {\frac {(k+1)\cdot a_{n}-1}{2}}\right\rfloor }$   für   $n\geq 2$

$a_{2n}={\left\lfloor {\frac {(k+1)\cdot a_{n}}{2}}\right\rfloor }+1$   für   $n\geq 2$

Beispiele

• Für $\,k=a_{2}=3\,$ erhält man hier die (schon erwähnte) Folge $\left(1,3,5,7,9,11,13,15\dotsb \right)$ der ungeraden natürlichen Zahlen.
• Für $\,k=a_{2}=4\,$ erhält man hier die Folge $\left(1,4,9,11,22,23,27,28,54,56,\dotsb \right)$.
• Für $\,k=a_{2}=5\,$ erhält man hier die Folge $\left(1,5,14,16,41,43,47,49,\dotsb \right)$.

Literatur

• Kenneth O. May: Galileo sequences, a good dangling problem. In: American Mathematical Monthly. Band 79, 1972, S. 67–69 (MR0306099). 
• James J. Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-58531-7 (MR1720399 MR1720399). 
• David Zeitlin: A family of Galileo sequences. In: American Mathematical Monthly. Band 82, 1975, S. 819–822 (MR0379351). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Formel von Woronoi

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie befasst sich die Formel von Woronoi (englisch Voroni's formula) mit der Beschreibung der Lösung von linearen Kongruenzen eines speziellen Typs. Die Formel wurde von dem Mathematiker Georgi Feodosjewitsch Woronoi (1868–1908) etwa um das Jahr 1900 vorgelegt.

Beschreibung der Formel

Sie lässt sich wie folgt beschreiben:

Sind teilerfremde natürliche Zahlen $\,a\,,\,m>0\,$ gegeben, so sind die ganzzahligen Lösungen $\,x\,$ der Kongruenz

$a\cdot x\equiv 1{\pmod {m}}$

alle durch die Formel

$x\equiv \left(3-2\cdot a+6\cdot {\sum _{k=1}^{a-1}{\left\lfloor {\frac {mk}{a}}\right\rfloor }^{2}}\right){\pmod {m}}$

gegeben.

Beispiel

Dem Mathematiker James Joseph Tattersall zufolge funktioniert die Woronoi'sche Formel am besten für kleines $\,a\,$ und großes $\,m\,$, wie etwa in dem folgenden Beispiel:

Sind

$a=4$

$m=37$

gegeben, so ist

$x=3-8+6\cdot \left({\left\lfloor {\frac {37}{4}}\right\rfloor }^{2}+{\left\lfloor {\frac {74}{4}}\right\rfloor }^{2}+{\left\lfloor {\frac {111}{4}}\right\rfloor }^{2}\right)=-5+6\cdot (9^{2}+18^{2}+27^{2})=-5+6\cdot 1134=6799\equiv 28{\pmod {37}}$

eine Lösung.

Denn es ist

$4\cdot 28=112=3\cdot 37+1\equiv 1{\pmod {37}}$ .

Literatur

• James J. Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-58531-7 (MR1720399). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Perfekte Partition

In der Additiven Zahlentheorie, einem der mathematischen Teilgebiete innerhalb der Zahlentheorie, wie auch im Teilgebiet der Kombinatorik untersucht man, ob eine zu einer natürlichen Zahl gegebene Partition so beschaffen ist, dass jede kleinere natürliche Zahl sich ebenfalls als Summe von einzelnen Summanden dieser Partition eindeutig darstellen lässt. Diese Fragestellung und das zugehörige Konzept gehen zurück auf den Mathematiker Percy Alexander MacMahon (1854–1929).

Definition

Es sei eine natürliche Zahl $\,n\in \mathbb {N} \,$ gegeben und weiter eine Partition

$\,(n=n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k})\,$ mit $\,k,n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\in \mathbb {N} \,$ und $\,n_{1}\geq n_{2}\geq \ldots \geq n_{k}$.

Genügt diese Partition zusätzlich der Bedingung, dass

jede der Zahlen $\,m=1,2,\ldots ,n-1\,$ sich stets aus gewissen der in dieser Partition auftretenden Summanden $\,n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\,$ auf genau eine Art als Summe darstellen lässt,

so bezeichnet man sie als perfekt oder auch als vollkommen (englisch perfect partition).

Eigenschaften und Beispiele

• In einer perfekten Partition tritt die $\,1\,$ stets als kleinster Summand auf.
• Für jedes $\,n\in \mathbb {N} \,$ ist die aus exakt $\,n\,$ Summanden $\,1\,$ aufgebaute Partition $\,(n=1+1+\ldots +1)\,$ stets perfekt. Weiter ist für jede ungerade Zahl $\,n=2\cdot k+1\,(k\in \mathbb {N} )\,$ die aus einem einzigen Summanden $\,1\,$ und aus exakt $\,k\,$ Summanden $\,2\,$ aufgebaute Partition $\,(n=1+2+2+\ldots +2)\,$ stets perfekt.
• Für die Zahl $\,7\,$ sind die Partitionen $\,(7=4+2+1)\,$ , $\,(7=4+1+1+1)\,$ , $\,(7=2+2+2+1)\,$ und $\,(7=1+1+1+1+1+1+1)\,$ perfekt.
• Für die Zahl $\,4\,$ ist $\,(4=2+1+1)\,$ keine perfekte Partition, denn es gibt etwa für die darunter liegende Zahl $\,2\,$ die beiden Partitionen $\,(2=2)\,$ und $\,(2=1+1)\,$.
• Für die Zahl $\,9\,$ ist $\,(9=4+2+2+1)\,$ keine perfekte Partition, denn es gibt etwa für die darunter liegende Zahl $\,5\,$ die beiden Partitionen $\,(5=4+1)\,$ und $\,(5=2+2+1)\,$.

Satz von MacMahon

Die perfekten Partitionen stehen in unmittelbarer Beziehung zu den sogenannten geordneten Faktorisierungen von natürlichen Zahlen.

Eine solche geordnete Faktorisierung ist für eine natürliche Zahl $\,f\in \mathbb {N} \,$ mit $\,f>1\,$ genau dann gegeben, wenn ein $\,t\in \mathbb {N} \,$ sowie ein aus $\,f\,$-Teilern $\,f_{1}>1,\ldots ,f_{t}>1\,$ bestehendes $\,t\,$-Tupel $\,(f_{1},\ldots ,f_{t})\,$ vorliegen, so dass $\,f\,$ der Produktdarstellung $\,f=f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{t}\,$ genügt.

Hier gilt nun ein grundlegender Satz, der dem Mathematiker James Joseph Tattersall zufolge auf MacMahon zurückgeht und sich darstellen lässt wie folgt:

Für jede natürliche Zahl $\,n\in \mathbb {N} \,$ stimmen die Anzahl der perfekten Partitionen von $\,n\,$ einerseits und die Anzahl der geordneten Faktorisierungen der Folgezahl $\,f=n+1\,$ andererseits stets überein.

Korollar

Aus dem MacMahon'schen Satz gewinnt man eine direkte Folgerung:

Ist für eine natürliche Zahl $\,n\in \mathbb {N} \,$ die Folgezahl $\,f=n+1\,$ eine Primzahl, so besitzt $\,n\,$ genau eine perfekte Partition, nämlich die aus den $\,n\,$ Summanden $\,1\,$ aufgebaute triviale Partition $\,(n=1+1+\ldots +1)\,$ .

Anzahlfunktion

Mit den perfekten Partitionen ist die Frage nach den zugehörigen Anzahlen verbunden. Es geht also für jedes $\,n\in \mathbb {N} \,$ um die Anzahl aller Möglichkeiten, $\,n\,$ in Form einer perfekten Partition darzustellen.

Diese Zahlenfolge der $\,\mathrm {Per} (n)\,$ beginnt mit folgenden Werten:

$(\mathrm {Per} \left(n\right))_{n=1,2,3,\ldots }=\left(1,1,2,1,3,1,4,2,3,1,8,\dotsc \right)$ (Folge A002033 in OEIS).

Dabei gelten für diese Anzahlen oft interessante Kongruenzbeziehungen, die denen ähneln, die schon Srinivasa Ramanujan für die gewöhnliche Partitionsfunktion gefunden hat. So ist etwa für je zwei natürliche Zahlen $\,k\geq 2\,,\,n\,$ und jede Primzahl $\,p\,$ stets die Kongruenz

${\mathrm {Per} ({n\cdot p^{k}-1})}\equiv 0{\pmod {2^{k-1}}}$

gegeben.

Verallgemeinerungen

Das Konzept der perfekten Partition ist weiter verallgemeinert worden. So legten etwa A. K. Agarwal und R. Sachdeva in 2018 die sogenannten n-color perfect partitions (deutsch etwa: n-gefärbte perfekte Partitionen) vor.

Literatur

• Martin Aigner: Combinatorial Theory (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 234). Springer-Verlag, Berlin, New York 1979, ISBN 0-387-90376-3 (MR0542445). 
• A. K. Agarwal, M. V. Subbarao: Some properties of perfect partitions. In: Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. Band 22, 1991, S. 737–743 (MR1128892). 
• A. K. Agarwal, R. Sachdeva: Combinatorics and n-color perfect partitions. In: Ars Combinatoria. Band 136, 2018, S. 29–43 (MR3752586). 
• Heinz-Richard Halder, Werner Heise: Einführung in die Kombinatorik (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Hanser Verlag, München, Wien 1976, ISBN 3-446-12140-4 (MR0498160). 
• P. A. MacMahon: Combinatory Analysis. Cambridge University Press, Cambridge 1915. 
• Augustine O. Munagi: Perfect compositions of numbers. Art. 20.5.1. In: Journal of Integer Sequences. Band 23, 2020 (MR4115755). 
• John Riordan: An Introduction to Combinatorial Analysis. Princeton University Press, Princeton 1978, ISBN 0-691-08262-6. 
• James J. Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-58531-7 ([1]). 
• Wang, E Fang: Perfect partitions. In: Chinese Annals of Mathematics. Series B. Band 7, 1986, S. 267–272 (MR0867751). 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Perfect Partition. In: MathWorld (englisch).
• Eintrag Perfekte Partition im Lexikon der Mathematik (2017)

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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KKKategorie:Zahlentheorie]] KKKategorie:Kombinatorik]]

Einfache Partition mit Primzahlen (bislang nicht veröffentlicht)

In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, untersucht man neben der einfachen Partitionsfunktion eine verwandte arithmetische Funktion, welche sich ergibt, dass man nach den Möglichkeiten fragt, eine natürliche Zahl $\,n\,$ in primzahlige Summanden zu zerlegen, wobei Wiederholungen von Summanden zugelassen sind, die Reihenfolge dieser Summanden jedoch ohne Belang ist. Erste Resultate zu dieser Partition in Primzahlen (englisch Partition into primes) gehen auf die drei Mathematiker Paul Erdős, Paul Trevier Bateman und Jerzy Browkin zurück.

Bezeichnet man für eine natürliche Zahl $\,n\in \mathbb {N} \,$ die oben genannte Anzahl mit $\,P_{\text{prim}}(n)\,$, so lassen sich diese Resultate wie folgt angeben:

(1a) $P_{\text{prim}}(n+1)\geq P_{\text{prim}}(n)\,(\,n=1,2,3,\ldots \,)\,$ (Erdős–Bateman 1956)

(1b) $P_{\text{prim}}(n+1)>P_{\text{prim}}(n)\,(\,n=8,9,10,\ldots \,)\,$ (Browkin 1958)

(2) $\lim _{n\to \infty }{\left(P_{\text{prim}}(n+1)-P_{\text{prim}}(n)\right)}=\infty$ (Erdős–Bateman 1956)

Literatur

• J. Browkin: Sur les décompositions des nombres naturels en sommes de nombres premiers. In: Colloquium Mathematicum. Band 5, 1958, S. 205–207 (MR0079013). 
• P. Erdős, P. T. Bateman: Partitions into primes. In: Publicationes Mathematicae Debrecen. Band 4, 1956, S. 198–200 (MR0079013). 
• P. Erdős, P. T. Bateman: Monotonicity of partition functions. In: Mathematika. Band 3, 1956, S. 1–14 (MR0080121). 
• S. M. Kerawala: On the asymptotic values of ln_pA(n) and ln_pA^(d)(n) with A as the set of primes. In: The Journal of Natural Sciences and Mathematics. Band 9, 1969, S. 209–216 (MR0263769). 
• József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Chapter IX: Additive and Diophantine Problems Involving Primes. Springer, Dordrecht 2006, ISBN 978-1-4020-4215-7 (MR2186914 – Second printing of the 1996 original). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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KKKategorie:Zahlentheorie)]]

Satz von Richert

Der Satz von Richert (englisch theorem of H.-E. Richert) ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Zahlentheorie, der von dem Mathematiker Hans-Egon Richert (1924–1993) im Jahr 1949 vorgelegt wurde. Der Satz behandelt die Frage der Summendarstellung von natürlichen Zahlen durch Primzahlen und gab Anlass zu einer Anzahl weiterführender Untersuchungen.

Formulierung des Richert'schen Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:

Jede natürliche Zahl $>6$ lässt sich als Summe von verschiedenen Primzahlen darstellen.

Mit anderen Worten:

Ist $N\in \mathbb {N}$ und $N>6$, so existieren stets ein $n\in \mathbb {N}$ und ein Tupel $(p_{1},\ldots ,p_{n})$ von $\,n\,$ paarweise verschiedenen Primzahlen, so dass die Summendarstellung $N=p_{1}+\ldots +p_{n}$ gegeben ist.

Beispiele

Folgende Beispiele für den Zahlbereich unterhalb von $20$ lassen sich nennen:

• $7=2+5$
• $8=3+5$
• $9=2+7$
• $10=3+7$
• $11=11$
• $12=5+7$
• $13=2+11$
• $14=3+11$
• $15=3+5+7$
• $16=5+11$
• $17=2+3+5+7$
• $18=7+11$
• $19=3+5+11$

Verschärfungen

Bei Hinzunahme weiterer Bedingungen lässt sich der Richert'sche Satz verschärfen:

Jede natürliche Zahl $\geq 10$ lässt sich als Summe von verschiedenen ungeraden Primzahlen darstellen. Wird jedoch auch die Primzahl $2$ zugelassen, so ist jede natürliche Zahl $\geq 12$ sogar als Summe von zwei oder mehr verschiedenen Primzahlen darstellbar.

Im Jahre 1974 legten die drei Mathematiker Robert E. Dressler, Andrzej Mąkowski und S. Thomas Parker eine Arbeit vor, wonach bei Einschränkung des Zahlbereichs weitere Präzisierungen hinsichtlich der ${\bmod {12}}$-Kongruenzklassen der benutzten Primzahlen möglich sind:

Sei $\,a\in \{1,5,7,11\}\,$ und sei dazu

$L(a):=\left\{{\begin{matrix}1969&&{\text{falls }}n=1\\1349&&{\text{falls }}n=5\\1387&&{\text{falls }}n=7\\1475&&{\text{ falls }}n=11\\\end{matrix}}\right.$

Dann gilt:

Für jede dieser vier Zahlen $a$ ist jede beliebige natürliche Zahl $>L(a)$ stets als Summe von verschiedenen Primzahlen der Form $\,12k+a\,\,\left(k\in \mathbb {N} \right)\,$ darstellbar.

Weitere Resultate

Im Jahre 1976 lieferten Robert E. Dressler, Louis Pigno und Robert Young einen verwandten Satz, wonach die in den obigen Sätzen behandelte Frage der Summendarstellung auf Summen von Quadraten verschiedener Primzahlen übertragbar ist. Es gilt nämlich:

Jede natürliche Zahl $\,>17163\,$ ist als Summe von Quadraten paarweise verschiedener Primzahlen darstellbar.

Dieser Satz basiert auf einem von Hans-Egon Richert im Jahre 1949 vorgelegten Lemma sowie auf der von Dressler, Pigno und Young formulierten Ungleichung ${p_{i+1}}^{2}\leq 2\cdot {p_{i}}^{2}\,(i=5,6,7,\ldots )\,$, welche ab der fünften Primzahl $\,p_{5}=11\,$ Gültigkeit hat. Weiter zu nennen ist in diesem Zusammenhang auch der ein verwandter Satz, der auf eine Arbeit des Mathematikers Roland Sprague (1894–1967) aus dem Jahre 1948 zurückgeht und wie folgt lautet:

Jede natürliche Zahl $\,>128\,$ ist als Summe von verschiedenen Quadratzahlen darstellbar.

Partition in verschiedene Primzahlen

Mit dem Richert'schen Satz verbunden ist die Frage nach der Anzahl der Möglichkeiten, eine natürliche Zahl $\,n=0,1,2,3,4,\ldots \,$ als Summe von paarweise verschiedenen Primzahlen darzustellen, wobei die Reihenfolge dieser Summanden ohne Belang sein soll. Auf diesem Wege ergibt sich die Zahlenfolge all dieser Anzahlen, die man mit $(P^{d}\left(n\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ bezeichnet.

Diese Zahlenfolge beginnt mit folgenden Anzahlen:

$(P^{d}\left(n\right))_{n\in \mathbb {N} _{0}}=\left(1,0,1,1,0,2,0,2,1,1,2,1,2,2,2,2,3,\dotsc \right)$ (Folge A000586 in OEIS).

Es ist also – etwa – $P^{d}(16)=3$, denn man hat ja die Gleichungen $16=2+3+11=3+13=5+11$, wobei weitere Möglichkeiten, $16$ mit verschiedenen Primzahlen aufzusummieren offenbar nicht gegeben sind.

Darüber hinaus hat man Resultate über das asymptotische Verhalten der Zahlenfolge wie etwa das folgende, welches auf Klaus Friedrich Roth und George Szekeres zurückgeht:

$\ln \left(P^{d}(n)\right)=\pi \cdot {\sqrt {{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {n}{\ln(n)}}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {\ln(\ln(n))}{\ln(n)}}\right)\right)$ .

Literatur

• S. M. Kerawala: On the asymptotic values of ln_pA(n) and ln_pA^(d)(n) with A as the set of primes. In: The Journal of Natural Sciences and Mathematics. Band 9, 1969, S. 209–216 (MR0263769). 
• Herbert Meschkowski (Hrsg.): Lust an der Erkenntnis: Moderne Mathematik. Ein Lesebuch (= Serie Piper. Band 1089). Piper Verlag, München (u. a.) 1991, ISBN 3-492-11089-4. 
• Robert E. Dressler, Louis Pigno, Robert Young: Sums of squares of primes. In: Nordisk Matematisk Tidskrift. Band 24, 1976, S. 39–40 (MR0419352). 
• Hans-Egon Richert: Über Zerfällungen in ungleiche Primzahlen. In: Mathematische Zeitschrift. Band 52, 1949, S. 342–343 (MR0033856). 
• Hans-Egon Richert: Über Zerlegungen in paarweise verschiedene Zahlen. In: Norsk Matematisk Tidsskrift. Band 31, 1949, S. 120–122 (MR0034807). 
• K. F. Roth, G. Szekeres: Some asymptotic formulae in the theory of partitions. In: The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series. Band 5, 1954, S. 241–259 ([2]). 
• József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Chapter IX: Additive and Diophantine Problems Involving Primes. Springer, Dordrecht 2006, ISBN 978-1-4020-4215-7 (MR2186914 – Second printing of the 1996 original). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 
• Roland Sprague: Über Zerlegungen in ungleiche Quadratzahlen. In: Mathematische Zeitschrift. Band 51, 1948, S. 289–290 (MR0027285). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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KKKategorie:Satz (Zahlentheorie)|Richert]]

Divisionslemma (gibt es schon als "Lemma von Euklid")

Das Divisionslemma (englisch division lemma) ) ist ein fundamentaler Lehrsatz auf dem mathematischen Teilgebiet der Elementaren Zahlentheorie und eine direkte Folgerung aus dem euklidischen Algorithmus.

Formulierung des Divisionslemmas

Das Lemma lässt sich folgendermaßen angeben:

Gegeben seien drei ganze Zahlen $a,\,b,\,c$ und dabei soll das Produkt $a\cdot c$ durch $b$ teilbar sein.

Weiterhin seien $a$ und $b$ teilerfremd.

Dann gilt:

Bereits $c$ ist durch $b$ teilbar.

Literatur

• Øystein Ore: Number Theory and its History. Reprint of the 1948 original. Dover Publications, New York 1988, ISBN 0-486-65620-9 (MR0939614). 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Satz (Zahlentheorie)|Divisionslemma]]

Satz von Tijdeman

In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, ist der Satz von Tijdeman ein von dem Mathematiker Robert Tijdeman im Jahre 1976 vorgelegter Lehrsatz, der sich mit der Frage der Lösbarkeit der catalanschen Gleichung befasst.

Formulierung des Tijdeman'schen Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:

In der Menge ${\mathcal {P}}:=\left\{b^{e}\;{\Big |}\;b\in \mathbb {N} \;,e\in \mathbb {N} \;,\;e>1\right\}=\left\{1,4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,81,100,121,125,128,144,169,\ldots \right\}$ der natürlichen Potenzzahlen gibt es nur endlich viele Paare $(x,y)\in {\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}$, welche die diophantische Gleichung $y=x+1$ erfüllen.

Weitere Ergebnisse

Im Zusammenhang mit der Vermutung von Catalan ist der folgende klassische Lehrsatz erwähnenswert:

In der Menge $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen gibt es kein Tripel $(x,y,z)\in {\mathbb {Z} }\times {\mathbb {Z} }\times {\mathbb {Z} }$ mit $x\neq y$ und $z\neq 0$, welches die diophantische Gleichung $x^{3}+y^{3}=2z^{3}$ erfüllt.

Für diesen Satz hat unter anderem der polnische Mathematiker Antoni Wakulicz im Jahre 1957 einen Beweis gegeben hat. Aus ihm lässt sich folgern, dass die diophantische Gleichung $x^{2}-y^{3}=1$ innerhalb der natürlichen Zahlen, von $x=3\;,\;y=2$ abgesehen, keine Lösung hat.

Hinzuweisen ist hier weiter auf ein Resultat, das V. A. Lebesgue bereits im Jahre 1850 vorlegte:

Wenn eine beliebige Hochzahl $m\in \mathbb {N}$ mit $m\geq 2$ gegeben ist, so existiert dazu nie ein geordnetes Paar $(x,y)$ von ganzen Zahlen mit $x\neq 0$ und $y\neq 0$, welches die diophantische Gleichung $x^{m}=y^{2}+1$ erfüllt.

In diesem Kontext ist ebenfalls ein Resultat von Ko Chao aus dem Jahre 1965 bedeutsam:

Wenn eine beliebige Primzahl $p\in \mathbb {N}$ mit $p\geq 5$ als Hochzahl gegeben ist, so existiert dazu nie ein geordnetes Paar $(x,y)$ von ganzen Zahlen mit $x\neq 0$ und $y\neq 0$, welches die diophantische Gleichung $x^{2}-y^{p}=1$ erfüllt.

Im Jahre 2002 bewies Preda Mihăilescu schließlich den über das Tijdemansche Resultat hinausgehenden Satz von Mihăilescu, demzufolge die catalansche Vermutung richtig ist. Danach ist die oben angesprochene Lösungsmenge sogar einelementig: $\{(x,y)\in {\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}\,\mid \,y=x+1\}=\{(8,9)\}$. Der Satz von Tijdeman ist insofern als ein Vorläufer auf dem Weg zur Bestätigung der catalanschen Vermutung anzusehen.

Hinzuweisen ist auch auf die Fermat-Catalan-Vermutung, die ähnlich wie der Tijdeman'sche Satz eine Endlichkeitsaussage in den Raum stellt. Hiernach sollen nur endlich viele natürliche Potenzzahlentripel $(x,y,z)\in {\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}$ existieren, welche die Gleichung $x+y=z$ erfüllen und dabei noch gewisse Nebenbedingungen erfüllen. Hier gibt es neben den bekannten nichttrivialen Lösungen vor allem den Satz, dass die abc-Vermutung die Fermat-Catalan-Vermutung impliziert.

Literatur

• René Schoof: Catalan's Conjecture (= Universitext). Springer Verlag, London 2008, ISBN 978-1-84800-184-8 (MR2459823). 
• Gerhard Frey: Der Satz von Preda Mihăilescu: die Vermutung von Catalan ist richtig! In: Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 2002, S. 8–13 (MR1946852). 
• Chao Ko: On the Diophantine equation x²=yⁿ + 1, xy≠0. In: Scientia Sinica. Band 14, 1965, S. 457–460 (MR0183684). 
• V. A. Lebesgue: Sur l’impossibilité en nombres entiers de l’équation x^m=y² + 1. In: Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. Band 9, 1950, S. 178–181 ([3]). 
• Ian Stewart: Die letzten Rätsel der Mathematik. 2. Auflage. Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg 2015, ISBN 978-3-499-61694-5. 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. Edited and with a preface by Andrzej Schinzel (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 
• Robert Tijdeman: On the equation of Catalan. In: Acta Arithmetica. Band 29, 1976, S. 197–209 (MR0404137). 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Satz (Zahlentheorie)|Tijdeman]]

Satz von Warning

In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, ist der Satz von Warning ein von dem Mathematiker Ewald Warning im Jahre 1935 vorgelegter Lehrsatz, der eine Teilbarkeitseigenschaft der Nullstellenmengen gewisser Polynome über endlichen Körpern beschreibt. Der Satz umfasst nicht zuletzt einen ebenfalls im Jahre 1935 vorgelegten Satz des französischen Mathematikers Claude Chevalley (1909–1984). Der Satz von Warning zog eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen nach sich.

Formulierung des Warning'schen Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien eine Primzahl $p$ sowie der zugehörige endliche Körper $\mathbb {K} =\operatorname {GF} (p)$ und weiter eine natürliche Zahl $n\geq 1$ sowie ein Polynom $f\in \mathbb {K} [x_{1},\dotsc ,x_{n}]$ und es gelte die Ungleichung $\deg(f)<n$.

Weiter sei $N_{f}\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ die Menge der Nullstellen von $f$ .

Dann ist $|N_{f}|$ ist durch $p$ teilbar. Mit anderen Worten: $|N_{f}|\equiv 0{\pmod {p}}$.

Verallgemeinerung

Der Satz von Warning ist enthalten in dem folgenden allgemeineren Satz:

Es seien die allgemeinen Voraussetzungen von oben gültig. Dabei seien jedoch – anstelle eines einzigen Polynoms – für eine beliebige natürliche Zahl $m\geq 1$ mehrere Polynome $f_{1},\dotsc ,f_{m}\in \mathbb {K} [x_{1},\dotsc ,x_{n}]$ gegeben, welche der Ungleichung $\deg(f_{1})+\cdots +\deg(f_{m})<n$ genügen sollen.

Dann ist für die Menge $N=\bigcap _{j=1}^{m}{N_{f_{j}}}\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ der gemeinsamen Nullstellen der $f_{j}(j=1,\dotsc ,m)$ deren Anzahl $|N|$ durch $p$ teilbar.

Insbesondere gibt es stets eine weitere gemeinsame Nullstelle, falls die $f_{j}(j=1,\dotsc ,m)$ mindestens eine gemeinsame Nullstelle haben.

Erläuterungen und Hinweise

• Für eine Menge $X$ bezeichnet man mit $|X|$ die Mächtigkeit dieser Menge.
• Zu einer Primzahl $p$ gehört stets der Galoiskörper $\mathbb {K} =\operatorname {GF} (p)$ mit der Charakteristik $\operatorname {char} (\mathbb {K} )=|\mathbb {K} |=p$.
• Zu einem gegebenen Körper $\mathbb {K}$ und einer gegebenen natürlichen Zahl $n\geq 1$ gehört stets der Polynomring $\mathbb {K} [x_{1},\dotsc ,x_{n}]$ in $n$ Veränderlichen $x_{1},\dotsc ,x_{n}$.
• $\deg(f)$ bezeichnet den Grad des Polynoms $f$.
• Für den Galoiskörper $\mathbb {K} =\operatorname {GF} (p)$ ist $(a_{1},\dotsc ,a_{n})\in {\mathbb {K} }^{n}$ genau dann Nullstelle des Polynoms $f$, wenn $f(a_{1},\dotsc ,a_{n})\equiv 0{\pmod {p}}$.
• Man bezeichnet in der englischsprachigen Fachliteratur die genannte Verallgemeinerung des Warning'schen Satzes auch als Chevalley–Warning theorem (deutsch Chevalley–Warning'scher Satz).
• Der von Chevalley vorgelegte Satz wurde parallel zum Satz von Warning in derselben Zeitschrift publiziert und besagt, dass die im Chevalley–Warning'schen Satz genannte Polynome $f_{j}(j=1,\dotsc ,m)$ unter der genannten Gradbedingung im Falle $(0,\dotsc ,0)\in N$ mindestens noch eine weitere gemeinsame Nullstelle $(a_{1},\dotsc ,a_{n})\in N\setminus \{(0,\dotsc ,0)\}$ haben. Hier ist zu beachten, dass $p\geq 2$ ist.
• Der Satz von Warning und die oben genannte Verallgemeinerung lassen sich nicht zuletzt sich auch mit Hilfe des Kombinatorischen Nullstellensatzes ableiten.
• Der von Koch und Pieper in ihrer Zahlentheorie (s. u.) dargestellte „schöne Beweis“ des Satzes von des Warning beruht auf der Publikation von James Ax aus dem Jahre 1964 (s. u.).

Literatur

• Erhard Aichinger, Jakob Moosbauer: Chevalley-Warning type results on abelian groups. In: Journal of Algebra. Band 569, 2021, S. 30–66 (MR4183858). 
• Noga Alon: Zeroes of polynomials over finite fields. In: Handbook of Combinatorics. Vol. 1, 2. Edited by R. L. Graham, M. Grötschel and L. Lovász. Elsevier Science B.V., Amsterdam 1995, ISBN 0-444-88002-X, S. 1749–1783 (MR1373688). 
• James Ax: Tools from higher algebra. In: American Journal of Mathematics. Band 86, 1964, S. 255–261 (MR0160775). 
• Claude Chevalley: Démonstration d'une hypothèse de M. Artin. In: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. Band 11, 1935, S. 73–75, doi:10.1007/BF02940714 (MR3069644). 
• Stasys Jukna: Extremal Combinatorics (= Texts in Theoretical Computer Science). 2. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2011, ISBN 978-3-642-17363-9 (MR2865719). 
• Helmut Koch, Herbert Pieper: Zahlentheorie. Ausgewählte Methoden und Ergebnisse (= Studienbücherei). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976. 
• Ewald Warning: Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Chevalley. In: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. Band 11, 1935, S. 76–83, doi:10.1007/BF02940715 (MR3069645). 
• Gerda Warning-Rippen ; Heiko Rippen: Ewald Warning 1910–1999. In: Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg. Band 19, 2000, S. 5–6 (MR1805583). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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KKKategorie:Satz (Zahlentheorie)|Warning]]

Hilberts Lemma (unfertig)

In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, wird durch das Hilberts Lemma eine auf den Mathematiker David Hilbert (1862–1943) zurückgehende Polynomgleichung geliefert, die eine wesentliche Rolle beim Beweis des Hilbert-Waring'schen Satzes zukommt.

Formulierung des Lemmas

Es lässt sich folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ...

Dann gilt:

...

Literatur

• Helmut Koch, Herbert Pieper: Zahlentheorie. Ausgewählte Methoden und Ergebnisse (= Studienbücherei). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976. 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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KKKategorie:Satz (Zahlentheorie)|Hilberts Lemma]]

Satz von Minkowski über Linearformen (noch unfertig)

In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, ist der Satz von Minkowski über Linearformen (englisch Minkowski ’s theorem on linear forms) ein von dem Mathematiker Hermann Minkowski (1864–1909) gegebener Lehrsatz, der eine Existenzaussage zur Frage Lösbarkeit gewisser linearer Ungleichungen aus Linearformen liefert. Er ist verwandt mit dem bekannten Gitterpunktsatz von Minkowski und gehört wie dieser in das Gebiet der Geometrie der Zahlen .

Formulierung des Minkowski'schen Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ...

Dann gilt:

...

Anmerkungen und Erläuterungen

1. Man ...

Siehe auch

• Minkowskischer Gitterpunktsatz

Literatur

• Erich Hecke: Analysis und Zahlentheorie. Vorlesung Hamburg 1920 (= Dokumente zur Geschichte der Mathematik. Band 3). Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, Wiesbaden 1987, ISBN 3-528-08997-0 (MR0908691). 
• Winfried Scharlau, Hans Opolka: From Fermat to Minkowski. Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development (= Undergraduate Texts in Mathematics). Springer Science+Business Media, LLC, New York 1985, ISBN 0-387-90942-7 (MR0770936). 

Einzelnachweise

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Notizen

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KKKategorie:Satz (Zahlentheorie)|Legendre, Satz von Legendre (Diophantische Gleichungen)]]

Satz von Legendre (Diophantische Gleichungen)

In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, ist der Satz von Legendre (englisch Legendre’s theorem) über diophantische Gleichungen ein etwa um das Jahr 1785 von dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre (1752–1833) vorgelegter Lehrsatz, der die Lösbarkeit solcher Gleichungen aus ternären quadratischen Formen ohne gemischte Glieder behandelt.

Formulierung des Legendre'schen Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien drei quadratfreie und paarweise teilerfremde ganze Zahlen $a,b,c\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$.

Dann gilt:

Die diophantische Gleichung

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$

ist in ganzen Zahlen $x,y,z$ nichttrivial lösbar dann und nur dann , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(I) $a,b,c$ haben nicht alle dasselbe Vorzeichen.

(II_1) $-bc$ ist quadratischer Rest $\mod a$.

(II_2) $-ac$ ist quadratischer Rest $\mod b$.

(II_3) $-ab$ ist quadratischer Rest $\mod c$.

Anmerkungen und Erläuterungen

1. Man bezeichnet die oben auftretende Gleichung auch als Legendre'sche Gleichung (englisch Legendre's equation).
2. Da $x=y=z=0$ stets eine Lösung der Legendre'schen Gleichung liefern (nämlich die sogenannte triviale Lösung), bedeutet die obige Fragestellung nichts anderes als die Frage nach den Bedingungen, unter denen eine nichttriviale Lösung vorliegt, also ein Tripel $(x,y,z)\in {\mathbb {Z} }^{3}\setminus \{(0,0,0)\}$, so dass $x,y,z$ die Legendre'sche Gleichung erfüllen.
3. Der Satz von Legendre ist – wie auch der Vier-Quadrate-Satz von Lagrange – einer von mehreren Sätzen der Zahlentheorie, die sich auf den Gitterpunktsatz von Hermann Minkowski (1864–1909) zurückführen lassen.
4. Nach den obigen Bedingungen zu den quadratischen Reste gilt (bei Anwendung des Legendre-Jacobi-Symbols) also $\left({\frac {-ab}{c}}\right)=\left({\frac {-bc}{a}}\right)=\left({\frac {-ca}{b}}\right)=+1$.

Siehe auch

• Minkowskischer Gitterpunktsatz
• Vier-Quadrate-Satz

Literatur

• Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokio 1985, ISBN 0-387-96126-7 (MR0803155). 
• Richard H. Hudson, Kenneth S. Williams: On Legendre's equation ax² +by²+cz²=0. In: Journal of Number Theory. Band 16, 1983, S. 100–105 (MR0693397). 
• Winfried Scharlau, Hans Opolka: From Fermat to Minkowski. Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development (= Undergraduate Texts in Mathematics). Springer Science+Business Media, LLC, New York 1985, ISBN 0-387-90942-7 (MR0770936). 
• Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, ISBN 3-8274-1365-6. 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Satz (Zahlentheorie)|Legendre, Satz von Legendre (Diophantische Gleichungen)]]

Satz von Hurwitz (Quadratsummen)

Der Satz von Hurwitz (englisch Hurwitz’s theorem) über Quadratsummen ist ein von dem Mathematiker Adolf Hurwitz (1859–1919) im Jahre 1907 vorgelegter Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Zahlentheorie, der sich mit der Frage der Darstellung von Quadratzahlen als Summe dreier anderer Quadratzahlen befasst.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:

Die einzigen Quadratzahlen in der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$, welche keine Darstellung als Summe dreier anderer Quadratzahlen aus der Menge der natürlichen Zahlen haben, sind die Zahlen der Form

$4^{m}\ (m\in \mathbb {N} _{0})$

sowie die Zahlen der Form

$4^{m}\cdot 25\ (m\in \mathbb {N} _{0})$ .

Satz von Pall

Der Mathematiker Gordon Pall publizierte im Jahre 1933 ein zugehöriges Resultat, auf das man den Quadratsummensatz von Hurwitz zurückführen kann. Dieses besagt:

Für eine natürliche Zahl $N\in \mathbb {N}$ gilt stets die folgende Äquivalenz:

$N$ ist darstellbar als Summe von vier Quadratzahlen in der Form $N=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\ (a,b,c,d\in \mathbb {N} )$. $\Longleftrightarrow$ $N\notin {\bigl (}\{1,3,5,9,11,17,29,41\}\cup \{4^{m}\cdot F\mid \ m\in \mathbb {N} _{0}\ ,\ F=2,6,14\}{\bigr )}$ .

In seiner Publikation aus dem Jahre 1933 behandelte Pall auch den Fall von vier verschiedenen Quadratzahlen:

Die einzigen natürlichen Zahlen $N\in \mathbb {N}$ , für die keine Darstellung als Summe von vier verschiedenen ganzen Quadratzahlen $\geq 0$ existiert, sind die Zahlen der Form $4^{m}\cdot F$ mit $m\in \mathbb {N} _{0}\ ,\ F\in {\bigl (}\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,23,25,27,31,33,37,43,47,55,67,73,97,103\}\cup \{2,6,10,18,22,34,58,82\}{\bigr )}$ .

Satz von Gauß

Der Beweis des ersten Satzes von Pall (s. o.) lässt sich zurückführen auf ein klassisches Resultat der Zahlentheorie, welches zuerst von Carl Friedrich Gauß gezeigt wurde und wie folgt lautet:

Eine jede natürliche Zahl $N\in \mathbb {N}$ mit $N\notin \{4^{m}\cdot (8k+7)\mid \ m\in \mathbb {N} _{0}\ ,\ k\in \mathbb {N} _{0}\}$ ist stets als Summe dreier (nicht notwendig verschiedener) ganzer Quadratzahlen $\geq 0$ darstellbar.

Siehe auch

• Vier-Quadrate-Satz von Lagrange
• Drei-Quadrate-Satz

Literatur

• Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokio 1985, ISBN 0-387-96126-7 (MR0803155). 
• Adolf Hurwitz: Sommes de trois carrés. In: L’Intermédiaire des mathématiciens. Band 14, 1907, S. 106–107. 
• Gordon Pall: On Sums of Squares. In: American Mathematical Monthly. Band 40, 1933, S. 10–18 (MR1522677). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. Edited and with a preface by Andrzej Schinzel (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Anmerkungen

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KKKategorie:Satz (Zahlentheorie)|Hurwitz, Satz von Hurwitz (Quadratsummen)]]

Satz von Clement

Der Satz von Clement (englisch Clement’s theorem) ist ein von dem Mathematiker Paul Arnold Clement im Jahre 1949 vorgelegter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie, der sich mit der Untersuchung von charakteristischen Teilbarkeitseigenschaften bei Primzahlzwillingen befasst. Er ist eng verbunden mit dem Satz von Wilson und wie dieser mit elementaren Methoden beweisbar, wobei sich sogar zeigt, dass der Clement'sche Satz eine Verallgemeinerung gestattet, welche den Wilson'schen Satz miteinschließt.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen angeben:

Für eine gegebene natürliche Zahl $n\in \mathbb {N} \ \mathrm {mit} \ n\geq 2$ ist das Paar $(n,n+2)$ genau dann ein Primzahlzwilling, wenn die zugehörige natürliche Zahl ${4\cdot {\bigl (}(n-1)!+1{\bigr )}}+n$ durch $n\cdot (n+2)$ teilbar ist.

Mit anderen Worten: Es gilt für gegebenes $n\in \mathbb {N} \ \mathrm {mit} \ n\geq 2$ stets

${4\cdot {\bigl (}(n-1)!+1{\bigr )}}+n\equiv 0{\pmod {n\cdot (n+2)}}\Longleftrightarrow (n,n+2)\ \mathrm {ist} \ \mathrm {Primzahlzwilling}$.

Beispiele

1. $(n_{1},n_{1}+2)=(3,5)$ ist ein Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{1}-1)!+1{\bigr )}}+n_{1}=15$ von $n_{1}\cdot (n_{1}+2)=15$ geteilt wird.
2. $(n_{2},n_{2}+2)=(5,7)$ ist ein Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{2}-1)!+1{\bigr )}}+n_{2}=105$ von $n_{2}\cdot (n_{2}+2)=35$ geteilt wird.
3. $(n_{3},n_{3}+2)=(7,9)$ ist KEIN Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{3}-1)!+1{\bigr )}}+n_{3}=2.891$ von $n_{3}\cdot (n_{3}+2)=63$ NICHT geteilt wird.
4. $(n_{4},n_{4}+2)=(9,11)$ ist KEIN Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{4}-1)!+1{\bigr )}}+n_{4}=161.293$ von $n_{4}\cdot (n_{4}+2)=99$ NICHT geteilt wird.
5. $(n_{5},n_{5}+2)=(11,13)$ ist ein Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{5}-1)!+1{\bigr )}}+n_{5}=14.515.215$ von $n_{5}\cdot (n_{5}+2)=143$ geteilt wird.
6. $(n_{6},n_{6}+2)=(13,15)$ ist KEIN Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{6}-1)!+1{\bigr )}}+n_{6}=1.916.006.417$ von $n_{6}\cdot (n_{6}+2)=195$ NICHT geteilt wird.

Elementarer Beweis

Der Darstellung in der Monographie von Wacław Sierpiński (s. u.) folgend lässt sich für den Satz ein elementarer Beweis angeben. Als wesentlich erweist sich hierbei der Satz von Wilson sowie die Tatsache, dass für $n\in \mathbb {N}$ stets die Kongruenz $(n+1)!\equiv 2\cdot (n-1)!{\pmod {n+2}}$ und damit auch die Kongruenz

(K) ${4\cdot {\bigl (}(n-1)!+1{\bigr )}}+n\equiv 2\cdot 2\cdot (n-1)!+4+n\equiv 2\cdot (n+1)!+2\equiv 2\cdot {\bigl (}(n+1)!+1{\bigr )}{\pmod {n+2}}$

Gültigkeit hat.

Der Beweis vollzieht sich dann in zwei Schritten wie folgt:

Beweisschritt 1

Zunächst sei vorausgesetzt, dass $n\in \mathbb {N} \ \mathrm {mit} \ n\geq 2$ ist und dabei $n$ und $n+2$ beide prim sind.

Dann gilt nach Wilson

$(n-1)!+1\equiv 0{\pmod {n}}$

und damit

${4\cdot {\bigl (}(n-1)!+1{\bigr )}}+n\equiv 0{\pmod {n}}$.

Zugleich gilt aber wegen (K) und wieder nach Wilson auch die Kongruenz

${4\cdot {\bigl (}(n-1)!+1{\bigr )}}+n\equiv 0{\pmod {n+2}}$.

Also sind die Primzahlen $n$ und $n+2$ beide Teiler von ${4\cdot {\bigl (}(n-1)!+1{\bigr )}}+n$, was dann aber auch für ihr Produkt $n\cdot (n+2)$ gilt.

Beweisschritt 2

Es sei nun andererseits vorausgesetzt, dass für $n\in \mathbb {N} \ \mathrm {mit} \ n\geq 2$ die Kongruenz ${4\cdot {\bigl (}(n-1)!+1{\bigr )}}+n\equiv 0{\pmod {n\cdot (n+2)}}$ Gültigkeit habe.

Dies impliziert zunächst einmal, dass $n$ ungerade sind: Denn nähme man $n=2\cdot k$ für ein $k\in \mathbb {N}$ als gegeben an, so wäre $n-1=k+k-1\geq k$ und damit $k$ ein Teiler von $(n-1)!$ und ebenso $n=2\cdot k$ ein Teiler von $2\cdot (n-1)!$, was unmittelbar zu der Kongruenz $4\cdot (n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}$ führt. Dies bedeutet jedoch voraussetzungsgemäß $4\equiv 0{\pmod {n}}$ und damit $n=2$ oder $n=4$, was jedoch einen Widerspruch bedeutete, da doch beide Zahlen die obige Kongruenz offenbar nicht erfüllen.

Also impliziert die obige Voraussetzung, dass $n$ sogar ein Teiler von $(n-1)!+1$ ist und folglich nach dem Wilson'schen Satz eine Primzahl sein muss.

Die obige Voraussetzung besagt indes ebenfalls, dass

${4\cdot {\bigl (}(n-1)!+1{\bigr )}}+n\equiv 0{\pmod {n+2}}$

gelten muss und damit wegen (K) auch, dass $n+2$ ein Teiler von $2\cdot {\bigl (}(n+1)!+1{\bigr )}$ ist.

Da jedoch mit $n$ auch $n+2$ eine ungerade Zahl ist, muss $n+2$ dann sogar ein Teiler von $(n+1)!+1$ und folglich nach dem Wilson'schen Satz eine Primzahl sein.

Literatur

• P. A. Clement: Congruences for sets of primes. In: American Mathematical Monthly. Band 56, 1949, S. 23–25 (MR0027771). 
• Valeriu Popa: On a generalization of Clement's theorem. In: Studii şi Cercetări Matematice. Band 24, 1972, S. 1435–1440 (MR0354518). 
• Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer Science+Business Media, New York 1996, ISBN 978-1-4612-6892-5, doi:10.1007/978-1-4612-0759-7 (MR1377060). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. Edited and with a preface by Andrzej Schinzel (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 
• Rebecca Waldecker, Lasse Rempe-Gillen: Primzahltests für Einsteiger: Zahlentheorie–Algorithmik–Kryptographie. 2. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-11216-5, doi:10.1007/978-3-658-11217-2. 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Satz (Zahlentheorie)|Clement]]

Satz von Cauchy-Davenport

Der Satz von Cauchy-Davenport, englisch Cauchy–Davenport theorem, benannt nach den Mathematikern Augustin-Louis Cauchy und Harold Davenport, ist ein mathematischer Lehrsatz, der dem Übergangsfeld zwischen Additiver Zahlentheorie, Ramseytheorie und Gruppentheorie angehört und Anlass zu einer Anzahl weiterführender Untersuchungen gab. Der Satz behandelt Mächtigkeitsfragen zu Teilmengen von zyklischen Gruppen primer Gruppenordnung.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen angeben:

Gegeben seien eine Primzahl $p$ und dazu in der zyklischen Gruppe $\mathbb {Z} _{p}$ zwei nichtleere Teilmengen $A,B\subseteq \mathbb {Z} _{p}$ sowie die zugehörige Teilmenge $A+B:=\{a+b\mid a\in A\;,\;b\in B\}$.

Dann gilt die Ungleichung

$|A+B|\geq \min \left(p,|A|+|B|-1\right)$.

Zugehörige Sätze

Zum Umfeld des Satzes von Cauchy-Davenport gehören zahlreiche Resultate und nicht zuletzt vier Sätze, die mit den Namen der Mathematiker Martin Kneser, Henry B. Mann, Paul Erdős, Abraham Ginzburg, Abraham Ziv und Noga Alon verbunden sind.

Knesers Satz

Dieser Satz von Martin Kneser (englisch Kneser's theorem) aus dem Jahre 1955 hat zahlreiche Anwendungen in der Additiven Zahlentheorie und schließt insbesondere den Satz von Cauchy-Davenport in sich ein. Er lässt sich folgendermaßen angeben:

Gegeben seien eine abelsche Gruppe $(G,+)$, welche nicht allein aus dem neutralen Element bestehen soll, und darin zwei nichtleere endliche Teilmengen $A,B\subseteq G$ sowie die zugehörige Teilmenge $A+B:=\{a+b\mid a\in A\;,\;b\in B\}$.

Dabei soll

$|A|+|B|\leq |G|$

gelten.

Dann gibt es eine echte Untergruppe $H<G$ mit

$|A+B|\geq |A|+|B|-|H|$.

Manns Satz

Dieser Satz, den man (etwa) in Henry B. Manns Monographie Addition theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory aus dem Jahre 1965 findet, behandelt Mächtigkeitsfragen zu Teilmengen beliebiger Gruppen und beinhaltet ebenfalls eine grundlegende Abschätzung:

Gegeben seien eine (nicht notwendig abelsche!) Gruppe $(G,\cdot )$ und darin zwei Teilmengen $A,B\subseteq G$ sowie die zugehörige Teilmenge $A\cdot B:=\{a\cdot b\mid a\in A\;,\;b\in B\}$.

Dann gilt

$A\cdot B=G$ oder $|A|+|B|\leq |G|$.

Beweis des Satzes von Mann

Manns Satz beruht auf einem einfachen Gedankengang:

Im Falle $A\cdot B\neq G$ existiert ein Element $c_{0}\in G\setminus {A\cdot B}$. Damit bildet man die Teilmenge

$c_{0}\cdot B^{-1}=\{c_{0}\cdot b^{-1}\mid b\in B\}$

und schließt, dass

$A\cap {c_{0}\cdot B^{-1}}=\emptyset$

gelten muss, da nämlich bei Vorliegen eines $b\in B$ mit $c_{0}\cdot b^{-1}\in A$ unmittelbar $c_{0}=\left(c_{0}\cdot b^{-1}\right)\cdot b\in {A\cdot B}$ folgte, was jedoch unmöglich ist.

Mit dieser Disjunktheit ergibt sich dann sogleich

$|A|+|B|=|A|+|c_{0}\cdot B^{-1}|=|A\;{\dot {\cup }}\;{c_{0}\cdot B^{-1}}|\leq |G|$.

Kombinatorischer Nullstellensatz

Der kombinatorische Nullstellensatz, englisch Combinatorial Nullstellensatz [sic!], den Noga Alon im Jahre 1999 veröffentlichte, ist – wie der Name bereits vermuten lässt – eng verbunden mit dem hilbertschen Nullstellensatz und aus diesem direkt ableitbar. Er zieht in der Kombinatorik und angrenzenden Gebieten eine Anzahl von Folgesätzen nach sich – insbesondere den Satz von Cauchy-Davenport – und lässt sich folgendermaßen darstellen:

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ sowie ein Körper $K$ und dazu der Polynomring $K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$.

Weiter gegeben seien eine natürliche Zahl $d\in \mathbb {N} _{0}$ sowie ein Polynom $f\in K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$ vom Grade $d$, wobei es unter den Monomen von $f$ eines geben soll von der Gestalt $a_{t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}\cdot x_{1}^{t_{1}}x_{2}^{t_{2}}\cdots x_{n}^{t_{n}}$ mit $d=t_{1}+t_{2}+\cdots +t_{n}$ und $a_{t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}\neq 0$.

Gegeben seien schließlich noch endliche Mengen $S_{1},S_{2}\ldots ,S_{n}\subseteq K$ mit $|S_{1}|\geq {t_{1}+1},|S_{2}|\geq {t_{2}+1},\ldots ,|S_{n}|\geq {t_{n}+1}$.

Dann gilt:

Es existieren Elemente $s_{1}\in S_{1},s_{2}\in S_{2}\ldots ,s_{n}\in S_{n}$ mit $f(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})\neq 0$.

Satz von Erdős-Ginzburg-Ziv

Dieser Satz (englisch Erdős-Ginzburg-Ziv theorem), den Erdős, Ginzburg und Ziv im Jahre 1961 vorlegten und mit Hilfe des Satzes von Cauchy-Davenport bewiesen, besagt Folgendes:

Zu jeder natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N}$ und zu jeder dazu gegebenen endlichen Folge $\left(a_{i}\right)_{i=1,\dots ,{2n-1}}$ von $2n-1$ (nicht notwendig verschiedenen) ganzen Zahlen gibt es eine Teilfolge $\left(a_{i_{k}}\right)_{k=1,\dots ,n}$, deren Summe $\sum _{k=1}^{n}a_{i_{k}}$ durch $n$ teilbar ist.

Siehe auch

• Verwandter Artikel "Restricted sumset" (englischsprachige Wikipedia)
• Verwandter Artikel "Zero-sum problem" (englischsprachige Wikipedia)
• Liste einer Auswahl von Arbeiten zum Satz von Cauchy-Davenport

Literatur

• Noga Alon: Combinatorial Nullstellensatz. In: Combinatorics, Probability and Computing. Band 8, 1999, S. 7–29 (MR1684621). 
• P. Erdős, A. Ginzburg, A. Ziv: Theorem in the additive number theory. In: Bulletin of the Research Council of Israel. Section F. 10F, 1961, S. 41–43 (MR3618568). 
• Stasys Jukna: Extremal Combinatorics (= Texts in Theoretical Computer Science). 2. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2011, ISBN 978-3-642-17363-9 (MR2865719). 
• Martin Kneser: Abschätzung der asymptotischen Dichte von Summenmengen. In: Mathematische Zeitschrift. Band 58, 1953, S. 459–484 (MR0056632). 
• Martin Kneser: Ein Satz über abelsche Gruppen mit Anwendungen auf die Geometrie der Zahlen. In: Mathematische Zeitschrift. Band 61, 1955, S. 429–434 (MR0068536). 
• Henry B. Mann: Addition theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (= Interscience Publishers Tracts. Band 18). Interscience Publishers John Wiley & Sons , New York, London, Sydney 1965 (MR0181626). 
• Harald Niederreiter, Arne Winterhof: Applied Number Theory. Springer Verlag, Cham 1976, ISBN 978-3-319-22320-9, doi:10.1007/978-3-319-22320-6 (MR3364863). 
• Hans Schwerdtfeger: Introduction to Group Theory. Noordhoff International Publishing, Leyden 1976, ISBN 90-286-0495-2 (MR0435190). 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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Satz von Leibniz (Zahlentheorie) [Veröffentlichung abgelehnt!]

KKQS-Mathematik}}

Zu den zahlreichen Beiträgen, die der Universalgelehrte Gottfried Wilhelm Leibniz auf verschiedenen Feldern der Mathematik geliefert hat, gehört in der Zahlentheorie ein als Satz von Leibniz (englisch Leibniz's theorem) bezeichneter Lehrsatz, der den Satz von Wilson vorwegnimmt. Dem Zahlentheoretiker Peter Bundschuh zufolge ist den Manuskripten von Leibniz zu entnehmen, dass Leibniz den Satz bereits vor dem Jahr 1683 gekannt haben muss.

Formulierung

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ ist eine Primzahl dann und nur dann, wenn sie die Kongruenz

$(n-2)!\equiv 1{\pmod {n}}$

erfüllt.

Direkter Beweis

... (NICHT von mir!)

Allgemeiner Satz

Den beiden genannten Sätzen liegt ein allgemeiner Satz aus der Theorie der endlichen Körper zugrunde, der sich wie folgt angeben lässt:

Ist $K$ ein endlicher Körper und $K^{*}$ seine Einheitengruppe,

so ist stets die Gleichung

$\prod \limits _{a\in K^{*}}{a}=-1$

erfüllt.

Beweis des allgemeinen Satzes

Der Darstellung von Fischer/Sacher folgend kann man wie folgt argumentieren:

Die die in $K^{*}$ gelegene Teilmenge

$M:=\{a\in K^{*}\mid a=a^{-1}\}=\{a\in K^{*}\mid a^{2}=1\}=\{a\in K^{*}\mid a^{2}-1=0\}$

ist die Nullstellenmenge des Polynoms $X^{2}-1\in K[X]$ und wegen $(X-1)(X+1)=X^{2}-1$ gilt

$M=\{1,-1\}$.

Andererseits ist offenbar

$\prod \limits _{a\in K^{*}}{a}=\prod \limits _{a\in M}{a}$,

denn jedes Körperelement $a\in K^{*}\setminus M$ liefert in dem Produkt zusammen mit seinem Inversen stets den Beitrag $1$.

Also gilt die behauptete Gleichung.

Anmerkungen und Erläuterungen

• Mit $(\cdot )!$ ist die Fakultätsfunktion gemeint.
• Für jede natürliche Zahl $n\geq 2$ ist jede der beiden Kongruenzen $(n-2)!\equiv 1{\pmod {n}}$ und $(n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}$ genau dann erfüllt, wenn die jeweils andere erfüllt ist. Man gewinnt dabei die eine aus der anderen (und vice versa) durch Rechtsmultiplikation mit $-1$, indem man berücksichtigt, dass für $n\in N$ und $n\geq 2$ stets die Kongruenzen $n-1\equiv -1{\pmod {n}}$ und $(n-1)\cdot (-1)\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {n}}$ gelten. Der leibnizsche und der wilsonsche Satz sind also gleichwertig.
• Für eine zusammengesetzte Zahl $n\in \mathbb {N}$ kann die Kongruenz $(n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}$ nicht gelten. (Man erkennt dies, indem man den kleinsten Primfaktor von $n$ heranzieht.)
• Von Fischer/Sacher – wie auch von anderen Autoren – wird als Satz von Wilson lediglich die Kongruenzaussage für Primzahlen $p\in \mathbb {N}$ zitiert.
• Wenn man $\mathbb {Z} /{p{\mathbb {Z} }}$ für eine Primzahl $p\in \mathbb {N}$ als endlichen Körper $K$ nimmt, folgert man aus dem allgemeinen Satz unmittelbar die beiden genannten Sätze.

Literatur

• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie (= Springer-Lehrbuch). 6., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76490-8, doi:10.1007/978-3-540-76491-5. 
• Gerd Fischer, Reinhard Sacher: Einführung in die Algebra (= Teubner Studienbücher: Mathematik). 2. überarbeitete Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1978, ISBN 3-519-12053-4 (MR0492996). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 

Einzelnachweise

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Satz von Delange

Der Satz von Delange (englisch Delange’s theorem) ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Analytischen Zahlentheorie, der auf eine Arbeit des französischen Mathematikers Hubert Delange aus dem Jahre 1961 zurückgeht und auf die Frage eingeht, unter welchen Bedingungen Aussagen über Mittelwerte zahlentheoretischer Funktionen gemacht werden können. In 1965 lieferte Alfréd Rényi einen vereinfachten Beweis des Satzes, der sich wesentlich auf eine von Jonas Kubilius und Paul Turán formulierte Ungleichung stützt.

Formulierung des Satzes

Delanges Satz lässt sich zusammengefasst formulieren wie folgt:

Gegeben sei eine multiplikative zahlentheoretische Funktion $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}$, welche nicht die Nullfunktion sein soll und welche dabei für jede natürliche Zahl $n$ hinsichtlich des Betrags des Funktionswertes die Ungleichung

$|f(n)|\leq 1$

erfülle.

Dann gilt:

I

$\operatorname {M} (f)$ existiert mit $\operatorname {M} (f)\neq 0$ genau dann, wenn $f$ den beiden folgenden Bedingungen genügt:

(1) Die Reihe $\sum _{p\;{\text{Primzahl}}}{\frac {1-f(p)}{p}}$ konvergiert.

(2) Es gibt mindestens eine natürliche Zahl $r$ mit $f(2^{r})\neq -1$.

II

Genügt $f$ den beiden genannten Bedingungen, so gilt:

$\operatorname {M} (f)=\prod _{p\;{\text{Primzahl}}}\left({\bigl (}1-{\frac {1}{p}}{\bigr )}\cdot {\bigl (}1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{k}}}{\bigr )}\right)$

Hintergrund: Die Ungleichung von Turán und Kubilius

Die erwähnte Turán-Kubilius'sche Ungleichung (englisch Turán-Kubilius inequality) kann in Anschluss an die Monographie von Wolfgang Schwarz folgendermaßen formuliert werden:

Zu einer gegebenen additiven zahlentheoretischen Funktion $a\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}$ seien für $N\in \mathbb {N}$

$A(N):=\sum _{p\;{\text{Primzahl}}\;,\;p\leq N}{\frac {a(p)}{p}}$

und

$B(N):=\sum _{p\;{\text{Primzahl}}\;,\;k\in \mathbb {N} \;,\;p^{k}\leq N}{\frac {|a(p^{k})|^{2}}{p^{k}}}$

gesetzt.

Dann gibt es eine von der zahlentheoretischen Funktion $a$ unabhängige absolute Konstante $K>0$ derart, dass für $N\in \mathbb {N}$ stets die Ungleichung

$\sum _{n=1}^{N}{|a(n)-A(N)|^{2}}\leq K\cdot N\cdot B(N)$

erfüllt ist.

Erläuterungen

• Man sagt in Bezug auf eine gegebene zahlentheoretische Funktion $g\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}$, der (zugehörige) Mittelwert $\operatorname {M} (g)$ existiert, wenn in der komplexen Zahlenebene $\mathbb {C}$ der folgende Grenzwert existiert:

$\lim _{x\in \mathbb {R} \;,\;x\to \infty }{{\frac {1}{x}}{\sum _{n\in \mathbb {N} \;,\;n\leq x}g(n)}}=:\operatorname {M} (g)$

• Zu der oben dargestellten Ungleichung von Turán-Kubilius findet man weitere und bessere Versionen, die einerseits das obige Abzugsglied $A(N)$ und andererseits die erwähnte Konstante $K$ variieren.

Siehe auch

• Artikel Turán–Kubilius inequality in der englischsprachigen Wikipedia

Literatur

• Jean-Marie De Koninck, Florian Luca: Analytic Number Theory. Exploring the Anatomy of Integers (= Graduate Studies in Mathematics. Band 134). American Mathematical Society, Providence, R.I. 2012, ISBN 978-0-8218-7577-3 (MR2919246). 
• Hubert Delange: Sur les fonctions arithmétiques multiplicatives. In: Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série. Band 78, 1961, S. 273–304 (MR0169829). 
• J. Kubilius: Probabilistic Methods in the Theory of Numbers (= Translations of Mathematical Monographs. Band 11). American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 (MR0160745). 
• Alfréd Rényi: A new proof of a theorem of Delange. In: Publicationes Mathematicae Debrecen. Band 12, 1965, S. 323–329 (MR0190124). 
• József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 978-1-4020-4215-7, XVI.27, S. 584 ff. (MR2186914). 
• Wolfgang Schwarz: Einführung in die Zahlentheorie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1975 (MR0434930). 

Einzelnachweise

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Lemma von Thue

Das Lemma von Thue, bei manchen Autoren auch Satz von Thue genannt, ist ein Lehrsatz der Elementaren Zahlentheorie, eines Teilgebiets der Mathematik. Es geht auf den norwegischen Mathematiker Axel Thue zurück und spielt eine Rolle bei Untersuchungen zu diophantischen Gleichungen. Der Beweis beruht auf dem dirichletschen Schubfachprinzip.

Formulierung des Lemmas

Thues Lemma lässt sich zusammengefasst formulieren wie folgt:

Sind eine ganze Zahl $l$ und eine zu dieser teilerfremde positive natürliche Zahl $m$ gegeben, so gibt es stets ein Paar $(x,y)$ von positiven natürlichen Zahlen, welches einerseits den Ungleichungen

(U)   $x,y<{\sqrt {m}}$

genügt sowie andererseits mindestens eine der beiden Kongruenzrelationen

(K₁)   $l\cdot y\equiv x{\pmod {m}}$

bzw.

(K₂)   $l\cdot y\equiv -x{\pmod {m}}$

erfüllt.

Insbesondere gilt:

Zu einer ganzen Zahl $l$ und einer Primzahl $m$ , welche $l$ nicht teilt, findet man stets ein Paar $(x,y)$ von ganzen Zahlen, welches den Ungleichungen

(U^*)   $0<|x|,|y|<{\sqrt {m}}$

genügt und zugleich die Kongruenzrelation

(K^*)   $l\cdot y\equiv x{\pmod {m}}$

erfüllt.

Darüber hinaus gilt sogar allgemeiner:

Seien $l,m,u,v$ ganze Zahlen und dabei $l$ und $m$ teilerfremd und zugleich die Ungleichungen $0<u,v\leq m<u\cdot v$ erfüllt.

Dann gibt es ein Paar $(x,y)$ von ganzen Zahlen, welches den Ungleichungen $0<x<u$ und $0<y<v$ genügt und zugleich eine der beiden obigen Kongruenzrelationen K_i erfüllt.

Folgesatz

Mit dem thueschen Lemma (und unter Zuhilfenahme des Ersten Ergänzungssatzes zum quadratischen Reziprozitätsgesetz) lässt sich ein bekannter Satz über die Darstellbarkeit gewisser Primzahlen als Quadratsummen beweisen, welcher zuerst von Leonhard Euler bewiesen wurde (jedoch auch schon Albert Girard und Pierre de Fermat bekannt gewesen sein soll):

Eine Primzahl $p$, welche der Kongruenzrelation $p\equiv 1{\pmod {4}}$ genügt, hat stets eine Summendarstellung $p=a^{2}+b^{2}\;(a,b\in \mathbb {N} )$ und diese Darstellung ist, von der Reihenfolge der beiden Summanden abgesehen, sogar eindeutig.

Historische Anmerkung

Axel Thues Lemma geht auf eine seiner Arbeiten aus Jahre 1915 zurück. Schon im Jahre 1913 hatte ein(e) Mathematiker(in) namens L. Aubry ein verwandtes Resultat vorgelegt. Zu beiden wurde in der Folge von diversen Autoren eine Anzahl von Verallgemeinerungen geliefert.

Literatur

• Alfred Brauer, R. L. Reynolds: On a theorem of Aubry-Thue. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 3, 1951, S. 367–374 (MR0048487). 
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie (= Springer-Lehrbuch). 6., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76490-8. 
• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds, Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9.  MR1089881
• Hartmut Menzer: Zahlentheorie. Fünf ausgewählte Themenstellungen der Zahlentheorie. Oldenbourg Verlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59674-8. 
• Trygve Nagell, Atle Selberg, Sigmund Selberg, Knut Thalberg (Hrsg.): Selected Mathematical Papers of Axel Thue. With an introduction by Carl Ludwig Siegel. Universitetsforlaget, Oslo / Bergen / Tromsø 1977, ISBN 82-00-01649-8 (MR1567083). 
• Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics (= Discrete Mathematics and its Applications). CRC Press, 2000, ISBN 0-8493-0149-1. 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 
• A. Scholz, B. Schoeneberg (Hrsg.): Einführung in die Zahlentheorie (= Sammlung Göschen. Band 1131). Walter de Gruyter, Berlin 1966 (MR0071438). 

Einzelnachweise und Notizen

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Satz von Rédei

Der Satz von Rédei ist ein Lehrsatz der Elementaren Zahlentheorie, eines Teilgebiets der Mathematik. Er geht auf den ungarischen Mathematiker László Rédei zurück und ist eng verwandt mit dem Satz von Euler-Fermat, welchen er sogar nach sich zieht.

Formulierung des Satzes

Der rédeische Satz besagt folgendes:

Für jede natürliche Zahl $m\geq 2$ und jede ganze Zahl $a$ ist

$a^{m}-a^{m-\phi (m)}$

durch $m$ teilbar, wobei $\phi (m)$ für die Anzahl der natürlichen Zahlen unterhalb von $m$ steht, welche zu $m$ teilerfremd sind.

Es ist damit stets die Kongruenz

$a^{m}\equiv a^{m-\phi (m)}\mod {m}$

gültig.

Quellen und Literatur

• H. Alzer: The Euler-Fermat theorem. In: International Journal of Education in Mathematics, Science and Technology. Band 18, 1987, S. 635–636. 
• József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Chapter 3: The Many Facets of Euler’s Totient. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7.  MR2119686
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u.a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0.  MR0930670

Einzelnachweise

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Satz von Hasse-Minkowski (Unfertig)

Der Satz von Hasse-Minkowski (oder Satz von Minkowski-Hasse) ist ein fundamentales Theorem aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie, welches aus Arbeiten der beiden Mathematiker Hermann Minkowski und Helmut Hasse hervorgegangen ist und daher mit deren Namen verknüpft wird. Der Satz formuliert die exakten Bedingungen, unter denen einen quadratische Form über den rationalen Zahlen der Eigenschaft der Isotropie genügt, und bildet das Kernstück des sogenannten Lokal-Global-Prinzips (bzw. Hasse-Prinzips) für quadratische Formen. Als Anwendung des Satzes ergeben sich andere wichtige Sätze wie der etwa eine Verallgemeinerung des Vier-Quadrate-Satzes von Lagrange oder der Satz von Bruck-Ryser-Chowla. Zur Herleitung des Satzes von Hasse-Minkowski werden tiefliegende Resultate der Zahlentheorie benötigt, nicht zuletzt der Primzahlsatz von Dirichlet.

Literatur

• Gerhard Frey: Elementare Zahlentheorie (= Vieweg-Studium. Band 56). Vieweg-Verlag, Braunschweig (u. a.) 1984, ISBN 3-528-07256-3. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Formel von Gauß (Unfertig)

Die Formel von Gauß ist eine elementare Formel der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, welche nach Carl Friedrich Gauß benannt ist. Die Formel behandelt die Anzahl der möglichen Darstellungen einer natürlichen Zahl als Quadratsumme zweier ganzer Zahlen.

Die Formel

Die Formel lässt sich angeben wie folgt::

Es sei $n$ eine natürliche Zahl mit der Primfaktorzerlegung

$n=2^{h}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\cdot q_{1}^{m_{1}}\cdots q_{s}^{m_{s}}$   ,

wobei $p_{i}\equiv 1{\pmod {4}}$   $(i=1,2,\dots ,r)$   sei und   $q_{j}\equiv 3{\pmod {4}}$   $(j=1,2,\dots ,s)$   .

Sei weiter

$r(n)=\#{\{(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} :x^{2}+y^{2}=n\}}$

Dann gilt:

$r(n)={\begin{cases}4(k_{1}+1)(k_{2}+1)\dots (k_{r}+1)&{\text{falls }}m_{1}\equiv m_{2}\equiv \dots \equiv m_{s}\equiv 0{\pmod {2}}\\0&{\text{falls }}\exists j\in \{1,2,\dots ,s\}:m_{j}\not \equiv 0{\pmod {2}}\end{cases}}$

Literatur

• François Fricker: Einführung in die Gitterpunktlehre (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 73). [Birkhäuser Verlag], Basel 1982, ISBN 3-7643-1236-X. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Landau-Ramanujan-Konstante

Die Landau-Ramanujan-Konstante ist eine der mathematischen Konstanten und gehört als solche in die Zahlentheorie. Ihr Name verweist auf die beiden bedeutenden Mathematiker Edmund Landau und Srinivasa Ramanujan, welche unabhängig voneinander ihre Existenz nachwiesen. Die Landau-Ramanujan-Konstante wird mit $K$ bezeichnet und hat angenähert die Dezimalzahldarstellung $K=0{,}7642236535892206\ldots$

Die Untersuchung der Landau-Ramanujan-Konstanten hängt zusammen mit der Frage, welche natürlichen Zahlen sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen, und dem daraus resultierenden Problem, den Anteil dieser Zahlen an den natürlichen Zahlen asymptotisch zu bestimmen.

Formeln

Sei $B(x)$ für eine positive reelle Zahl $x$ die Anzahl der natürlichen Zahlen $n\leq x$, welche sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen. Landau und Ramanujan bewiesen unabhängig voneinander, dass $B(x)$ asymptotisch proportional zu ${\frac {x}{\sqrt {\ln(x)}}}$ ist, d. h., es existiert der Grenzwert

(I) $K=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {B(x)}{x}}{\sqrt {\ln(x)}}$,

wobei $\ln(x)$ für den natürlichen Logarithmus von $x$ steht. Der Grenzwert $K$ wird als Landau-Ramanujan-Konstante bezeichnet.

Es gilt weiter:

(II) ${\begin{aligned}K&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot \prod \limits _{p\;{\text{Primzahl mit}} \atop \;\ p\equiv 3\;({\text{mod}}\;4)}{\bigl (}1-{\frac {1}{p^{2}}}{\bigr )}^{-{\frac {1}{2}}}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot \prod \limits _{p\;{\text{Primzahl mit}} \atop \;\ p\equiv 1\;({\text{mod}}\;4)}{\bigl (}1-{\frac {1}{p^{2}}}{\bigr )}^{\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$

Darüber hinaus gibt es weitere Formeln, welche die Landau-Ramanujan-Konstante in Beziehung bringen etwa mit der riemannschen Zetafunktion, der dirichletschen Betafunktion, der Euler-Mascheroni-Konstanten sowie der lemniskatischen Konstanten.

Herleitung der zweiten Gleichung bei II

Die zweite Gleichung bei II ergibt sich aus der Euler-Produktdarstellung der riemannschen Zetafunktion $\zeta (z)$ auf der Halbebene $\operatorname {Re} (z)>1$. Denn aus ihr folgt für   $z=2$   mithilfe einer bekannten Kreiszahlformel der Analysis:

${\begin{aligned}{\frac {{\pi }^{2}}{6}}&={\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}\\&=\zeta (2)\\&={\prod \limits _{p\;{\text{Primzahl}}}{\bigl (}1-{\frac {1}{p^{2}}}{\bigr )}^{-1}}\\&={\frac {4}{3}}\cdot A\cdot B\\\end{aligned}}$

mit

${\begin{aligned}A&=\prod \limits _{p\;{\text{Primzahl mit}} \atop \;\ p\equiv 1\;({\text{mod}}\;4)}{\bigl (}1-{\frac {1}{p^{2}}}{\bigr )}^{-1}\\\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}B&=\prod \limits _{p\;{\text{Primzahl mit}} \atop \;\ p\equiv 3\;({\text{mod}}\;4)}{\bigl (}1-{\frac {1}{p^{2}}}{\bigr )}^{-1}\\\end{aligned}}$

Dabei geht in die letzte Gleichung der obigen Gleichungskette ein, dass eine Primzahl entweder gleich 2 oder ungerade ist und dabei letzterenfalls modulo 4 entweder den Rest 1 oder 3 hat.

Also ergibt sich

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\cdot B&={\frac {{\pi }^{2}}{16\cdot A}}\\\end{aligned}}$

und damit

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot B^{\frac {1}{2}}&={{\bigl (}{\frac {1}{2}}\cdot B{\bigr )}}^{\frac {1}{2}}\\&={\frac {\pi }{4\cdot A^{\frac {1}{2}}}}={\frac {\pi }{4}}\cdot {A^{-{\frac {1}{2}}}}\\\end{aligned}}$ 

und schließlich die zu zeigende Gleichung.

Siehe auch

• Mathematische Konstante
• Liste besonderer Zahlen

Literatur

• Steven R. Finch: Mathematical Constants (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 94). Cambridge University Press, Cambridge [u. a.] 2003, ISBN 0-521-81805-2 (MR2003519). 
• Siegfried Gottwald (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9. 
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1964, ISBN 3-540-03138-3. 
• Daniel Shanks: The Second-Order Term in the Asymptotic Expansion of B(x). In: Mathematics of Computation. Band 18, 1964, S. 75–86, JSTOR:2003407. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Landau-Ramanujan Constant. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

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Konvergenzkriterium von Pringsheim

Die Konvergenzkriterium von Pringsheim oder auch Hauptkriterium von Pringsheim ist ein Kriterium über das Konvergenzverhalten von unendlichen Kettenbrüchen. Es geht zurück auf den deutschen Mathematiker Alfred Pringsheim und gehört zu den klassischen Lehrsätzen der Kettenbruchlehre innerhalb der Analytischen Zahlentheorie. In der englischsprachigen Fachliteratur wird das Kriterium auch unter dem Namen Śleszyński-Pringsheim's theorem (u. ä.) geführt, wobei der erstgenannte Name auf den polnisch-russischen Mathematiker Ivan Śleszyński (1854–1931) verweist, welcher dieses Kriterium ebenfalls und schon vor Pringsheim gefunden hatte. Es gibt Hinweise darauf, dass Alfred Pringsheim die entsprechende Veröffentlichung von Ivan Śleszyński möglicherweise kannte, als er seine Veröffentlichung im Jahre 1898 machte. Anzufügen ist hier aber auch der Hinweis von Oskar Perron im Band II seiner Lehre von den Kettenbrüchen, wonach der wesentliche Inhalt dieses Satzes schon in dem Lehrbuch der algebraischen Analysis von Moritz Abraham Stern (Leipzig 1860) zu finden ist.

Formulierung der Kriteriums

Teil I

Für zwei Zahlenfolgen komplexer Zahlen   $(a_{i})_{i=1,2,3\dots }$   und   $(b_{i})_{i=1,2,3\dots }$   mit der Eigenschaft, dass die Ungleichungen

$|b_{i}|\geq |a_{i}|+1$   $(i=1,2,3\dots )$

erfüllt sind, ist der zugehörige Kettenbruch

${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}$

stets konvergent. Das bedeutet:

Die Folge der Näherungsbrüche

$f_{n}={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{\ddots +{\cfrac {a_{n}}{b_{n}}}}}}}}}$   $(n=1,2,3,\dots )$

ist eine konvergente Folge und der durch sie eindeutig bestimmte Grenzwert $f\in \mathbb {C}$ mit

  $f=\lim _{n\to \infty }f_{n}={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}$  .

ist der Wert des zugehörigen Kettenbruchs.

Teil II

Im Falle, dass die oben genannte Bedingung erfüllt ist, gilt stets

$|f_{n}|<1$   $(n=1,2,3\dots )$   und damit   $|f|\leq 1$.

Teil III

Der Grenzfall   $|f|=1$   liegt dann und nur dann vor, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

(IIIa)   $|b_{i}|={|a_{i}|+1}$   $(i=1,2,3\dots )$

(IIIb)   Alle   ${\frac {a_{i+1}}{{b_{i}}\cdot {b_{i+1}}}}$   $(i=1,2,3\dots )$ sind negative reelle Zahlen.

(IIIc) Die Reihe   ${\sum _{i=1}^{\infty }{|a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{i}|}}$   ist divergent.

In diesem Grenzfall hat der Kettenbruch den Wert  $f={\frac {a_{1}\cdot |b_{1}|}{|a_{1}|\cdot b_{1}}}$

Folgerungen

Aus dem Konvergenzkriterium von Pringsheim lassen sich die mehrere weitere Konvergenzkriterien ableiten. Dazu zählen die folgenden:

Folgerung I: Der Satz von Worpitzky

Für eine Zahlenfolge komplexer Zahlen   $(a_{i})_{i=1,2,3\dots }$  , welche in allen Folgengliedern die Ungleichung

$|a_{i}|\leq {\frac {1}{4}}$   $(i=1,2,3\dots )$

erfüllt, ist der Kettenbruch

${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{1}}={\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{1+\ddots }}}}}}$

stets konvergent.

Dabei gilt für die Näherungsbrüche   $f_{n}$   $(i=1,2,3\dots )$   stets

$|f_{n}|<{\frac {1}{2}}$

und dementsprechend für den Wert   $f$   des Kettenbruchs

$|f|\leq {\frac {1}{2}}$

Der Satz von Worpitzky wurde im Jahre 1865 von Julius Worpitzky veröffentlicht und gilt als das erste Konvergenzkriterium für Kettenbrüche mit Elementen der komplexen Ebene.

Folgerung II: Weiteres Konvergenzkriterium von Pringsheim

Durch Spezialisierung findet man mit dem Konvergenzkriterium von Pringsheim ein weiteres, welches Alfred Pringsheim in seiner Arbeit Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche in den Sitzungsberichten der Bayerischen Akademie der Wissenschaften von 1898 selbst formuliert hat und welches wie folgt lautet:

Für eine Zahlenfolge komplexer Zahlen   $(b_{i})_{i=1,2,3\dots }$  , welche in allen Folgengliedern die Ungleichung

${{\frac {1}{|b_{2i-1}|}}+{\frac {1}{|b_{2i}|}}}\leq 1$   $(i=1,2,3\dots )$

erfüllt, ist der reguläre Kettenbruch

${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{b_{i}}}={\cfrac {1}{b_{1}+{\cfrac {1}{b_{2}+{\cfrac {1}{b_{3}+\ddots }}}}}}$

stets konvergent.

Dieses weitere Konvergenzkriterium von Pringsheim ist beispielsweise immer anwendbar für den Fall, dass alle Teilnenner   $b_{i}$   $(i=1,2,3\dots )$ mindestens den Betrag 2 haben.

Zugehörige Kriterien: Die Sätze von Stern-Stolz und von Seidel-Stern sowie der Konvergenzsatz von Tietze

Im Falle der regulären unendlichen Kettenbrüche existieren hinsichtlich der Frage der Konvergenz und Divergenz einige Kriterien, welche als Ergänzung zum pringsheimschen Konvergenzkriterium immer wieder zum Tragen kommen. Dazu zählen die im Folgenden dargestellten Sätze, welche neben diesem zu den klassischen Resultaten der Kettenbruchkonvergenztheorie zählen.

Satz von Stern-Stolz

Der Satz von Stern-Stolz formuliert eine sehr allgemeine Bedingung für die Divergenz regulärer unendlicher Kettenbrüche und lautet wie folgt:

Ein beliebiger komplexer Kettenbruch

${{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{b_{i}}}}$

zu einer Zahlenfolge komplexer Zahlen   $b_{i}\in \mathbb {C}$   $(i=1,2,3\dots )$  

ist in jedem Falle divergent, wenn die zugehörige Reihe

$\sum _{i=1}^{\infty }b_{i}$

absolut konvergent ist. D. h.: Für die Konvergenz des Kettenbruchs ist es stets notwendig, dass

$\sum _{i=1}^{\infty }{|b_{i}|}=\infty$

gilt.

Dieses Kriterium geht auf Moritz Abraham Stern und Otto Stolz zurück.

Satz von Seidel-Stern

Der Satz von Seidel-Stern verschärft den Satz von Stern-Stolz für den Fall regulärer unendlicher Kettenbrüche mit durchweg positiven Teilnennern, indem er die zuletzt genannte Bedingung sogar als notwendige und hinreichende Bedingung ausweist. Er lautet also:

Für eine Zahlenfolge positiver reeller Zahlen   $(b_{i})_{i=1,2,3\dots }$   konvergiert der Kettenbruch

${{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{b_{i}}}}$

dann und nur dann, wenn die zugehörige Reihe

$\sum _{i=1}^{\infty }b_{i}$

divergiert.

Dieses Kriterium geht auf Philipp Ludwig von Seidel und Moritz Abraham Stern zurück. Es kommt zum Tragen, wenn die in Teil I des pringsheimschen Kriteriums genannte Ungleichung nicht durchgängig erfüllbar ist, jedoch in Verbindung mit der vorausgesetzten Positivität der Teilnenner durch die Reihendivergenzbedingung ersetzt werden kann.

Konvergenzsatz von Tietze

Der Konvergenzsatz von Tietze behandelt ebenfalls das Konvergenzverhalten unendlicher Kettenbrüche. Er geht zurück auf den deutschen Mathematiker Heinrich Tietze und besagt folgendes:

Es seien zwei Zahlenfolgen reeller Zahlen   $(a_{i})_{i=1,2,3\dots }$   und   $(b_{i})_{i=0,1,2,3\dots }$   gegeben, welche für alle Indizes   $i\in \mathbb {N}$   den folgenden drei Bedingungen genügen:

  (I)   $|a_{i}|=1$

  (II)   $b_{i}\geq 1$

  (III)   $b_{i}+a_{i+1}\geq 1$

Dann ist der zugehörige Kettenbruch

  (*)   $b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}$

stets konvergent. Die Folge der Näherungsbrüche

$f_{n}=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{\ddots +{\cfrac {a_{n}}{b_{n}}}}}}}}}$   $(n=0,1,2,3,\dots )$

konvergiert dabei in   $\mathbb {R}$   gegen den Grenzwert

$f=\lim _{n\to \infty }f_{n}=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}$

und dabei gilt

$b_{0}<f\leq b_{0}+1$, falls   $a_{1}=1$,

bzw.

$b_{0}-1\leq f<b_{0}$, falls   $a_{1}=-1$   .

Darüber hinaus erfüllen die Nenner   $B_{n}$   der Näherungsbrüche   $f_{n}$     $(n=0,1,2,3\dots )$   stets die Ungleichung

$B_{n}\geq 1$

und es ist

$\lim _{n\to \infty }B_{n}=\infty$

Zusammenhang mit Irrationalität

Ausgehend vom Konvergenzsatz von Tietze lassen sich Irrationalitätsaussagen erzielen. Wie schon Heinrich Tietze selbst bewies, konvergiert jeder unendliche Kettenbruch der Form   (*)   stets – mit einer einzigen Ausnahme! – gegen eine irrationale Zahl   $f$ , sofern man die Bedingungen wie folgt verschärft:

  (Ia)   $|a_{i}|=1$

  (IIb)   $b_{0}\in \mathbb {Z}$  ,   (IIa)   $b_{i}\in \mathbb {N}$

  (IIIa)   $a_{i+1}=1$  , sofern   $b_{i}=1$

  $(i=1,2,3\dots )$

Die Ausnahme liegt dann vor, wenn ab einem Index   $i_{0}$   für alle Indizes   $i>i_{0}$   zusätzlich die folgende Ausnahmebedingung   (A)   erfüllt ist:

  (A)   $a_{i}=-1$,   $b_{i}=2$

In diesem Ausnahmefall ist der Grenzwert   $f$   eine rationale Zahl.

Beispiele und Anwendung

Beispiel I

Nach dem Konvergenzkriterium von Pringsheim konvergiert der folgende unendliche Kettenbruch:

${\begin{aligned}g&={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {i}{i+1}}\\&={\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\;\,\ddots }}}}}}}}\\\end{aligned}}$

Da   (IIIb)   nicht erfüllt ist, ist   Teil III   nicht anwendbar. Vielmehr ist

$g={\frac {1}{e-2}}-1=0{,}3922111911773330\dotso$  ,

wie sich aus den von Leonhard Euler und Ernesto Cesàro gefundenen Kettenbruchentwicklungen der eulerschen Zahl   $e$   ergibt. Daher ist wegen der Transzendenz der eulerschen Zahl die Zahl   $g$   ebenfalls eine transzendente Zahl.

Beispiel II

Nach dem Konvergenzkriterium von Pringsheim und sogar nach der oben genannten Folgerung II konvergiert genauso der reguläre Kettenbruch

${\begin{aligned}h&={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{i+1}}\\&={\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\;\,\ddots }}}}}}}}\\\end{aligned}}$ .

Hier ist

$h={\frac {1}{c_{1}}}-1=0{,}433127426\dotso$  ,

wobei   $c_{1}=0{,}6977746579\dotso$   eine Konstante darstellt, welche mit der sogenannten Euler-Gompertz-Konstanten verwandt ist. Wie Carl Ludwig Siegel gezeigt hat, gehört auch   $c_{1}$   zu den transzendenten Zahlen. Also ergibt sich auch hier, dass die Zahl   $h$   transzendent ist.

Beispiel III

Nach der oben genannten Folgerung II konvergiert schließlich auch für beliebiges $z\in \mathbb {C}$ ,   $|z|\geq 2$   immer der folgende unendliche Kettenbruch:

${\begin{aligned}f(z)&={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{z}}\\&={\cfrac {1}{z+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {1}{z+\ddots }}}}}}\\\end{aligned}}$

Hierfür gilt:

${\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{z+f(z)}}\\&={\frac {{\sqrt {z^{2}+4}}-z}{2}}\\\end{aligned}}$   .

Insbesondere ergibt sich für   $z=2$  :

${\begin{aligned}f(2)&={\frac {{\sqrt {8}}-2}{2}}\\&={\sqrt {2}}-1\\\end{aligned}}$  

und so

${\begin{aligned}{\sqrt {2}}&=1+{{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{2}}}\\&=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}\\\end{aligned}}$   .

Beispiel IV

Wenn man in Beispiel III   $z=1$   einsetzt, so erhält man ebenfalls einen konvergenten unendlichen Kettenbruch   $\psi$, wobei hier die Konvergenz zwar nicht durch das Konvergenzkriterium von Pringsheim, jedoch durch das Seidel-Sternsche Kriterium gesichert ist.

Es gilt nämlich

${\begin{aligned}\psi &={{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{1}}}\\&=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}\\&={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\\&={\frac {1}{\Phi }}\\\end{aligned}}$,

wobei   $\Phi$   für die Goldene Zahl steht.

Gegenbeispiel

Wird in Beispiel III   $z={\mathrm {i} }$   gesetzt, also gleich der imaginären Einheit, so erhält man keinen konvergenten unendlichen Kettenbruch. Der unendliche Kettenbruch

${\begin{aligned}f(z)&={\underset {n=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{\mathrm {i} }}\\&={\cfrac {1}{{\mathrm {i} }+{\cfrac {1}{{\mathrm {i} }+{\cfrac {1}{{\mathrm {i} }+\ddots }}}}}}\\\end{aligned}}$

ist also divergent, obwohl die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$

mit   $b_{n}={\mathrm {i} }$   $(n=1,2,3\dots )$   selbst auch divergiert.

Dies zeigt, dass der Satz von Stern-Stolz im Allgemeinen nur eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von regulären unendlichen Kettenbrüchen angibt.

Anwendung: Darstellung reeller Zahlen durch negativ-regelmäßige Kettenbrüche

Ein unendlicher reeller Kettenbruch der Form

(*) $b_{0}+{{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {-1}{b_{i}}}}=b_{0}-{\cfrac {1}{b_{1}-{\cfrac {1}{b_{2}-{\cfrac {1}{b_{3}-\ddots }}}}}}$

zu natürlicher Zahlen     $b_{i}\in \mathbb {N}$   mit   $b_{i}\geq 2$   $(i=1,2,3\dots )$   und zu ganzzahligem Anfangsglied  $b_{0}\in \mathbb {Z}$   heißt nach Alfred Pringsheim negativ-regelmäßig.

Die Namensgebung erklärt sich aus der engen Verwandtschaft mit den regelmäßigen Kettenbrüchen, welche Pringsheim in seinen Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre ebenfalls behandelt.

Jeder unendliche negativ-regelmäßige Kettenbruch ist nach dem pringsheimschen Konvergenzkriterium konvergent.

Ausgehend davon erhält man den folgenden Darstellungssatz:

Formulierung des Darstellungssatzes

Die Menge der unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbrüche und die Menge der reellen Zahlen stehen in Bijektion zueinander in der Weise, dass jede reelle Zahl   $\xi \in \mathbb {R}$   durch einen unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbruch der Form (*) darstellbar ist, wobei die Folge der Teilnenner   $(b_{i})_{i=0,1,2,3\dots }$   durch   $\xi$   eindeutig bestimmt ist.

Zusatz I: Algorithmus zur Bestimmung der Teilnenner

Die Teilnenner lassen sich durch folgenden Algorithmus gewinnen:

Für allgemeines   $x\in \mathbb {R}$   sei

$G(x)$  

die kleinste ganze Zahl größer   $x$   . Man hat also stets

$x<G(x)\leq x+1$  

und damit unter Benutzung der Gaußklammerfunktion

$G(x)={\lfloor x\rfloor }+1$   .

Folglich ist stets

${\frac {1}{G(x)-x}}\geq 1$   .

Damit wird zunächst mittels Rekursion eine Folge   $(x_{i})_{i=0,1,2,3\dots }$   definiert:

$x_{0}:=\xi$

$x_{i}:={\frac {1}{G(x_{i-1})-x_{i-1}}}$   $(i=1,2,3\dots )$  

Dann setzt man

$b_{i}:=G(x_{i})$   $(i=0,1,2,3\dots )$  .

Zusatz II: Unterscheidung rationaler und irrationaler Zahlen

Eine rationale Zahl   $\xi \in \mathbb {Q}$   ist dadurch gekennzeichnet, dass in ihrer Darstellung (*) ab einem gewissen Index   $i_{\xi }\in \{0,1,2,3\dots \}$ für   $i\geq i_{\xi }$     jeder Teilnenner   $b_{i}=2$   ist, während sich eine irrationale Zahl   $\xi \in {\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$   dadurch auszeichnet, dass in ihrer Darstellung (*) unendlich viele Teilnenner   $b_{i_{k}}\geq 3$   sind   $(k=0,1,2,3\dots )$.

Beispiele für negativ-regelmäßige Kettenbruchdarstellungen

Folgende Beispielen lassen sich angeben:

1. Darstellung der 1

$1=2-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{2-\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}}$

Dies folgt wegen $-1=1-2$ direkt aus Teil III des pringsheimschen Kriteriums.

2. Darstellung der Wurzel aus 2

${\sqrt {2}}=2-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{4-\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}}$

3. Darstellung der Wurzel aus 3

${\sqrt {3}}=2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}}$

4. Darstellung der Wurzel aus 7

${\sqrt {7}}=3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{6-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{6-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{6-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{6-\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}}$

5. Darstellungen zur goldenen Zahl

(a) ${\begin{aligned}{\Phi }&={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&=2-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}}\\\end{aligned}}$  

(b) ${\begin{aligned}{\frac {1}{\Phi }}&={\Phi }-1\\&={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\\&=1-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3-\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}}\\\end{aligned}}$  

Anmerkungen

1. Auf Alfred Pringsheim gehen noch weitere Konvergenzkriterien für unendliche Kettenbrüche zurück. Darüber hinaus gibt es noch eine erhebliche Anzahl anderer Konvergenzkriterien.
2. Aus dem Darstellungssatz folgt unmittelbar, dass die Menge der reellen Zahlen von überabzählbarer Mächtigkeit ist.

Literatur

• Steven R. Finch: Mathematical Constants (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 94). Cambridge Univity Press, Cambridge u. a. 2003, ISBN 0-521-81805-2. 
• Lisa Lorentzen, Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications (= Studies in computational mathematics. Band 3). Elsevier, Amsterdam u. a. 1992, ISBN 0-444-89265-6. 
• William B. Jones, W. J. Thron: Continued Fractions. Analytic Theory and Applications (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 11). Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Mass. u. a. 1980, ISBN 0-201-13510-8. 
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band I: Elementare Kettenbrüche.. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02021-1 (Reprografischer Nachdruck der 3., verbesserten und erweiterten Auflage, Stuttgart 1954). 
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche.. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02022-X (Reprografischer Nachdruck der 3., verbesserten und erweiterten Auflage, Stuttgart 1957). 
• Alfred Pringsheim: Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche. In: Sitzungsberichte der (kgl.) Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. Mathematisch-physikalische (naturwissenschaftliche) Klasse. Band 28, 1898, S. 295–324 (zbmath.org). 
• Alfred Pringsheim: Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre. Erster Band: Zahlenlehre. Dritte Abteilung: Komplexe Zahlen – Reihen mit komplexen Gliedern – Unendliche Produkte und Kettenbrüche (= B. G. Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. XL, I.3). Teubner Verlag, Leipzig und Berlin 1921. 
• W. J. Thron: Should the Pringsheim criterion be renamed the Śleszyński criterion? In: Comm. Anal. Theory Contin. Fractions. Band 1, 1992, S. 13–20 (MR1192192). 
• Heinrich Tietze: Über Kriterien für Konvergenz und Irrationalität unendlicher Kettenbrüche. In: Math. Ann. Band 70, 1911, S. 236–265 (digizeitschriften.de). 
• Alfred Pringsheim: Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche. In: Sitzungsberichte der (kgl.) Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. Mathematisch-physikalische (naturwissenschaftliche) Klasse. Band 28, 1898, S. 295–324 (zbmath.org). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Elsevier, Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0. 
• Hubert Stanley Wall: Analytic Theory of Continued Fractions. (= Chelsea Scientific Books. Band 207). Chelsea Publishing Company, Bronx, N. Y. 1967, ISBN 0-8284-0207-8 (Reprint der Auflage von Van Norstrand, New York 1948). 
• J. Worpitzky: Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche. In: Friedrichs-Gymnasium und Realschule: Jahresbericht. 1865, S. 3–39. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Zahlentheorie]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Pringsheim, Konvergenzkriterium von]]

Satz von Hurwitz (Zahlentheorie)

Die Mathematik kennt eine Anzahl von Sätzen, welche mit dem Namen von Adolf Hurwitz verknüpft sind. Der Satz von Hurwitz der Zahlentheorie betrifft die sogenannte diophantische Approximation irrationaler Zahlen, also die Approximation irrationaler Zahlen durch Bruchzahlen. Der Satz gibt eine Obergrenze für die Güte der Approximation an.

Der Satz

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Für jede irrationale Zahl $\alpha$ existieren unendlich viele voll gekürzte Brüche ${\tfrac {p}{q}}$, welche

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\cdot q^{2}}}$

erfüllen.

Im von Scheid entwickelten Beweis des Satzes werden in entscheidender Weise Eigenschaften der Farey-Folgen genutzt.

Güte der Obergrenze

Die Konstante ${\sqrt {5}}$ ist scharf, also im Allgemeinen nicht zu ersetzen durch eine bessere Konstante. Dies lässt sich nachweisen anhand der irrationalen Zahl ${\mathcal {\alpha }}=(1+{\sqrt {5}})/2$ (bekannt im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt).

Für eine einzelne Zahl $\alpha$ kann es bessere Approximationen geben, z. B. für Liouville-Zahlen. Ist $\alpha$ eine algebraische Zahl, lässt sich der Exponent von $q$ nach dem Satz von Thue-Siegel-Roth aber nicht verbessern.

Verwandte Ergebnisse

• Dirichletscher Approximationssatz

Literatur

• Adolf Hurwitz: Über die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche. In: Math. Ann., 39, 1891, S. 279–284
• Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2003, ISBN 3-8274-1365-6. 
• Jurjen Ferdinand Koksma: Diophantische Approximationen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1936. 
• William Judson LeVeque: Fundamentals of Number Theory. Addison-Wesley, Reading MA 1977, ISBN 0-201-04287-8. 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Satz (Zahlentheorie)|Hurwitz, Satz von Hurwitz (Zahlentheorie)]]

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