Benutzer:Schwedenhagen/Baustelle

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Oberflächenwellen

Grundlegende Eigenschaften

Die Elementarkomponente einer propagierenden freien Auslenkung der Wasseroberfläche kann als Funktion der horizontalen Entfernung x von einem Koordinatenursprung und der Zeit t durch eine Sinus- oder Cosinusfunktion beschrieben werden:

$\eta =a\cdot \cos(kx-\omega t)$

dabei ist

• a die Wellenamplitude
• cos die Cosinusfunktion
• k die Wellenzahl in Radian pro Längeneinheit. Sie ist bestimmt durch die Wellenlänge L

$k={\frac {2\pi }{L}}$

• ω ist die Kreisfrequenz der Welle in Radian pro Zeiteinheit. Sie ist bestimmt durch die Periode T oder die Frequenz f

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f$.

Die Welle propagiert an der Meeresoberfläche mit der Phasengeschwindigkeit c:

$c={\frac {\omega }{k}}={\frac {L}{T}}$.

Die Kreisfrequenz ω und die Wellenzahl k einer Welle sind nicht unabhängig von einander und somit stehen auch die Periode und die Wellenlänge in einer bestimmten Beziehung zueinander. Jeder Wellentyp, und damit auch die Wasserwelle, ist chrakterisiert durch einen bestimmten funktionellen Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz und Wellenzahl $\omega =f(k)$, der als Dispersionsrelation bezeichnet wird. Die Dispersionsbeziehung beschreibt, auf welche Frequenz- Wellenzahlkombinationen der Anregung das schwingungsfähige Medium resonant reagiert. Aus der Dispersionsrelation kann auch die Gruppengeschwindigkeit von Wellenpaketen bestimmt werden durch:

$c_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}$.

Die Gruppengeschwindigkeit beschreibt die Geschwindigkeit des Energietransports durch den entsprechenden Wellentyp.

Reale Wasserwellen lassen sich gewöhnlich nicht durch eine Elementarkomponente des entprechenden Wellentyps darstellen. Jedoch kann man eine beliebige periodische Form durch die summenförmige Überlagerung von Vielfachen der Elementarschwingung erzeugen, Fourierreihe. Bei realen Wellen wird auch anstelle der Amplitude die Wellenhöhe H, die Differenz zwischen einer maximalen und der darauf folgenden minimalen Auslenkung der Wasseroberfläche, genommen. Für die Elementarkomponente der Welle gilt $H=2a$. Der Quotient aus Wellenhöhe und Wellenlänge ist ein wichtiges Kennzeichen für die Beurteilung der Linearität und Stabilität von Wellen und wird als Wellensteilheit S bezeichnet.

$S={\frac {H}{L}}={\frac {ka}{\pi }}$.

Orbitalbewegung

Trochoidale Tiefwasserwelle: Momentane Richtungen der Orbitalgeschwindigkeit $w={\frac {2\cdot \pi \cdot r}{T}}={\frac {\pi \cdot H}{T}}$ an verschiedenen Positionen der Wellenoberfläche.

Tiefwasserwelle nach Stokes: Orbitalbahnen der Wasserteilchen beginnend an zwei Positionen mit dem Abstand einer halben Wellenlänge.

Aus den hydrodynamischen Grundgleichungen, den Eulerschen Gleichungen, der Kontinuitätsgleichung und den kinematischen und dynamischen Randbedingungen an der Wasseroberfläche können die Dispersionbeziehung, das Druckfeld, und das Strömungsfeld, das mit einer wellenförmigen Störung der Wasseroberfläche in einem Wasserkörper der Tiefe d verbunden ist, abgeleitet werden. Da das Gleichungssystem nichtlinear ist, nähert man die Lösungen in einer Potenzreihe bezüglich der Wellensteilheit, siehe z. B. Phillips, O. M. (1966).

Die Auslenkung der Meeresoberfläche sei

$\eta =a\cdot \cos(kx-\omega t)$

Dann ist die Dispersionsgleichung für die Wasserwellen

$\omega ^{2}=gk\cdot \tanh(kd)$

Das Druckfeld p unterhalb einer wellenförmigen Auslenkung der Meeresoberfläche mit kleiner Steilheit wird

$p=-\rho gz+\rho ga{\frac {\cosh k(z+d)}{\cosh(kd)}}\cos(kx-\omega t)$

Dem hydrostatischen Druck überlagert sich ein mit der Phasenlage der Oberfläche oszillierendes Druckfeld, dessen Amplitude mit zunehmender Wassertiefe abklingt.

Die Formeln für die Geschwindigkeiten der Flüssigkeitselemente in einem Wellenfeld lauten für die horizontale Geschwindigkeitskomponente u

$u=\omega a{\frac {\cosh k(z+d)}{\sinh(kd)}}\cos(kx-\omega t)$

und für die vertikale Komponente w

$w=\omega a{\frac {\sinh k(z+d)}{\sinh(kd)}}\sin(kx-\omega t)$

In dieser linearen Näherung bewegen sich die Flüssigkeitselemente auf geschlossenen elliptischen Bahnen, deren horizontale Halbachse $a{\frac {\cosh k(z+d)}{\sinh(kd)}}$ und deren vertikale Halbachse $a{\frac {\sinh k(z+d)}{\sinh(kd)}}$ ist.

Im Gegensatz zur linearen Näherung bezüglich der Wellensteilheit, hat die zweite Näherung der horizontalen Geschwindigkeitskomponente einen nicht verschwindenden Mittelwert

$<u>=\omega a\cdot {\frac {ka}{2}}\cdot {\frac {\cosh 2k(z+d)}{(\sinh(kd))^{2}}},<w>=0$

Die Flüsssigkeitselemente von steileren Wellen bewegen sich also nicht mehr auf geschlossenen elliptischen Bahnen, sondern sind nach einer Wellenperiode um einen gewissen Betrag in Ausbreitungsrichtung gegenüber der Ausgangslage horizontal verschoben. Diese Verschiebung wird Stokesdrift genannt. Die Existenz dieses Massentransports in einem Wellenfeld mit endlicher Amplitude wurde durch Stokes (1847) gezeigt.

Nach den Wellentheorien von Gerstner und Airy-Laplace werden über großer Wassertiefe die Wasserteilchen beim Passieren einer Welle näherungsweise auf Kreisbahnen (Orbitalbahnen) bewegt, deren Radien im Strömungsfeld unterhalb der Wasseroberfläche bis zu einer Tiefe, die etwa der halben Wellenlänge entspricht, nach einem Exponentialgesetz etwa auf Null abnehmen.
Dabei ist die Kreisperiode T (= 1/f; Kehrwert der Frequenz f) die Umlaufzeit, die dem Vorrücken der Welle um eine volle Wellenlänge L entspricht. Somit ist die Orbitalgeschwindigkeit an der Wasseroberfläche

$w={\frac {2\cdot \pi \cdot r}{T}}$

und die Wellenfortschrittsgeschwindigkeit

$c={\frac {L}{T}}$.

Demgegenüber sind die Bahnlinien der Wasserteilchen gemäß der Theorie von Stokes nach einer Wellenperiode nicht geschlossen. Nach dieser Theorie ist der zirkularen Orbitalbewegung eine horizontale Driftgeschwindigkeit U in Richtung der Wellenfortschrittsgeschwindigkeit c überlagert, die Massentransportgeschwindigkeit genannt wird. In der nebenstehenden Animation bezeichnen die roten Punkte die augenblicklichen Positionen der masselosen Teilchen, die sich mit der Strömungsgeschwindigkeit bewegen. Die hellblauen Linien sind die Bahnlinie dieser Teilchen und die hellblauen Punkte bezeichnen die Partikelpositionen nach jeder Wellenperiode. Die weißen Punkte sind gleichsinnig bewegte Flüssigkeitsteilchen. Man beachte, dass sich die Wellenperiode der Flüssigkeitsteilchen nahe der freien Oberfläche von derjenigen bezüglich einer festen Position (bezeichnet durch die hellblauen Punkte) unterscheidet. Dies ist auf den Dopplereffekt zurückzuführen.
(zu ergänzen für begrenzte Wassertiefe)

Die Energiedichte proFlächeneinheit einer sinusförmigen Welle hängt von der Wasserdichte ρ, der Erdbeschleunigung g und der Wellenamplitude a ab und beträgt

$E={\frac {1}{2}}\rho ga^{2}$ .

Die Geschwindigkeit, mit der diese Energie entlang der Wasseroberfläche propagiert, ist die Gruppengeschwindigkeit.

Kapillarwellen

Die Oberflächenspannung des Wassers σ, mit der SI Einheit [N/m], beeinflusst die Randbedingung für den Druck an der Wasseroberfläche. Dadurch ändert sich die Dispersionsbeziehung der Wasserwellen zu

$\omega ^{2}=gk(1+{\frac {\sigma }{g\rho }}k^{2})\cdot \tanh(kd)$

Die Oberflächenspannung hat nur Einfluss auf kurze Wellen, bei denen die Effekte der Oberflächenspannung grösser als die der Erdbeschleunigung sind, d.h. für $g<{\frac {\sigma }{\rho }}k^{2}$. Für die Grenzfläche Wasser-Luft ist die entsprechenden kritische Wellenlänge in der Größenordnung von Zentimetern. Kapillarwellen sind die ersten Wellen die sich durch auffrischenden Wind an der Wasseroberfläche bilden. Darüber hinaus haben sie durch ihre kurze Wellenlänge und ihre extreme Steilheit einen starken Einfluß auf die Reflektionseigenschaften der elektromagnetischen Strahlung an der Wasseroberfläche im spektralen Bereich vom sichbaren Licht und auf die Rückstreuung von Radarstrahlung mit Wellenlängen im cm-Bereich durch resonante Bragg-Streuung. Der letztere Effekt spielt bei der Messung des Windes und des Seegangs mit Scatterometern von Bord eines Satelliten eine Rolle.

Tiefwasserwellen

Tiefwasserwellen sind dadurch definiert, dass ihre Wellenlänge klein gegen die Wassertiefe ist. Beispiele für diesen Wellentyp sind Windwellen und von fahrenden Schiffen erzeugte Wellen an der Oberfläche eines tiefen Wasserkörpers. Kapillarwellen sind auf Grund ihrer kurzen Wellenlänge fast auf jedem Wasserkörper Tiefwasserwellen. Für diesen Fall gilt $kd>>1$ und mit dem asymptotischen Wert des Tangenshyperbolicus für große Argumente, $\lim _{kd\to \infty }\tanh(kd)=1$, ergibt sich für die Dispersionsrelation der Tiefwasserwellen

$\omega ^{2}=gk$, oder $c^{2}={\frac {g}{k}}$.

Die Gruppengeschwindigkeit der Tiefwasserwellen beträgt

$c_{g}={\frac {c}{2}}$.

Tiefwasserwellen sind im Gegensatz zu Flachwasserwellen dispersiv, da ihre Phasengeschwindigkeit eine Funktion der Wellenzahl oder der Kreisfrequenz ist. Bei Tiefwasserwellen breiten sich ihre langwelligen Anteile schneller aus als ihre kurzwelligen. Dies führt dazu, dass die langwelligen Anteile der Windwellen aus einem Sturmgebiet als Dünung heraus propagieren, wenn ihre Phasengeschwindigkeit größer als die Zuggeschwindigkeit des anregenden Sturmgebietes ist, und die vorauseilende Dünung somit einen kommenden oder vorbeiziehenden Sturm ankündigt. Auf Grund der schwachen Dämpfung breitet sich die Dünung im Ozean über tausende von Kilometern aus und bildet die Grundlage für das Wellenreitens in vielen Surfgebieten an den Küsten der Ozeane.

Für das Druckfeld ergibt sich näherungsweise

$p=-\rho gz+\rho ga\cdot e^{kz}\cos(kx-\omega t)$

In diesem Fall klingen die wellenbedingten Druckschwankungen unterhalb der Meeresoberfläche entsprechend $\exp({\frac {2\pi z}{L}})$ mit der Tiefe ab, und bei z=-L/2 ist die Amplitude der Druckschwankungen auf rund 4% des Wertes an der Meeresoberfläche abgefallen. Mit anderen Worten die perodischen Druckschwankungen von kurzen Wasserwellen wirken nur bis zu einer Wassertiefe, die näherungsweise der halben Wellenlänge entspricht. Unterhalb dieser Tiefe sind sie nicht mehr zu spüren und es wirkt nur der reine hydrostatischen Druck.

Tiefwasserwelle nach Stokes: Orbitalbahnen der Wasserteilchen beginnend an zwei Positionen mit dem Abstand einer halben Wellenlänge.

Die Komponenten des Strömungsfeldes von Tiefwasserwellen sind dann

$u=cak\cdot e^{kz}\cos(kx-\omega t)$

für die horizontale Komponente und

$w=cak\cdot e^{kz}\sin(kx-\omega t)$

für die vertikale Komponente.

Der Stokestransport der Tiefwasserwellen beträgt

$<u>=c(ak)^{2}\cdot e^{2kz}$.

Der Stokestransport klingt deutlich schneller mit zunehmender Wassertiefe ab als die Partikelgeschwindigkeit der Wellen.

Flachwasserwellen

Für Wellen, deren Wellenlänge lang gegenüber der Wassertiefe ist gilt, $kd<<1$ und da -z<=d ist, gilt $-kz<<1$ ebenfalls. Damit ergibt sich näherungsweise mit Hilfe der asymptotischen Eigenschaften des hyperbolischen Tangens für kleine Argumente $\lim _{kd\to 0}\tanh(kd)=kd$ für die Dispersionsbeziehung

$\omega ^{2}=gdk^{2}$, oder $c^{2}=gd$.

Die Gruppengeschwindigkeit der Flachwasserwelle beträgt

$c_{g}=c$.

Das bedeutet, dass Flachwasserwellen in der linearen Näherung keine Dispersion aufweisen und somit ihre ursprüngliche Form entlang ihres Ausbreitungsweges im Falle kleiner Amplituden behalten. Darüber hinaus hat die Flachwasserwelle die höchste Gruppengeschwindigkeit und somit den schnellsten Energietransport aller Wellentypen.

Das Druckfeld einer Flachwasserwelle ist

$p=-\rho gz+\rho ga\cdot \cos(kx-\omega t)$.

Das bedeutet, dass die durch die Welle erzeugten periodischen Druckschwankungen sich quasi hydrostatisch dem stationären hydrostatischen Druck in der Wassersäule überlagern. Die Druckschwankungen langer Wellen, z. B. von Tsunamis und Gezeitenwellen, können daher am Meeresboden mit hochgenauen Druckmessern erfasst werden. Auf der Grundlage dieser Tatsache arbeiten Tsunami-Frühwarnsysteme.

Flachwasserwelle nach Stokes: Orbitalbahnen der Wasserteilchen beginnend an zwei Positionen mit dem Abstand einer halben Wellenlänge.

Das horizontale Geschwindigkeitsfeld der Flachwasserwelle ist in erster Näherung

$u=c{\frac {a}{d}}\cos(kx-\omega t)$.

In Flachwasserwellen mit geringer Amplitude beträgt die Geschwindigkeit der Flüssigkeitselemente nur einen Bruchteil der Phasengeschwindigkeit, während sie im Falle einer Amplitude, deren Höhe vergleichbar mit der Wassertiefe ist, annähernd der Phasengeschwindigkeit entspricht. Da die Phasengeschwindigkeit bei einer Wassertiefe von d = 10 m ungefähr c = 10 m/s beträgt, wird hieraus die zerstörerische Kraft der starken Tsunamis verständlich.

Die Vertikalkomponente des Geschwindigkeitfeldes einer Flachwasserwelle ist

$w=cak(1+{\frac {z}{d}})\cos(kx-\omega t)$.

und die Stokesdrift

$<u>={\frac {c}{2}}({\frac {a}{d}})^{2}(1+4kz\cdot kd)$.

Sie beträgt an der Meeresoberfläche deutlich weniger als die horizontale Geschwindigkeit der Flüssigkeitselemente, und nimmt linear zum Meeresboden ab. Wenn jedoch im flachen Wasser Amplitude und Wassertiefe annähernd gleich sind, beträgt der Stokestransport an der Wasseroberfläche immer noch 50% der Horizontalgeschwindigkeit der Flüssigkeitselemente und trägt somit in Ufernähe entscheidend zur landwärtigen Versetzung von partikulärem Material im Wasser bei.

Anregung und Erzeugung von Wellen

Wasserwellen werden durch jede instationäre Druckstörung oder Auslekung der Wasseroberfläche erzeugt, deren räumliche Ausdehnung kleiner ist als die horizontale Abmessung des Gewässers. Die Anregung von Wellen erfolgt sowohl durch Druckstörungen unter der Wasseroberfläche als auch durch Druckstörungen in der Luft, wenn das jeweilige Druckfeld sich bis an die Wasseroberfläche ausbreitet. Das Spektrum der angeregten Elementarwellen ist umso breiter, je geringer (punktförmiger) die charakteristische Abmessung der Druckstörung ist. Beispiele solcher Anregungsprozesse sind Einschläge von festen Körpern in die Wasseroberfläche, ein fahrendes Schiff, das ein System von Bug- und Heckwellen erzeugt und explodierende Wasserbomben. Darüber hinaus können instationäre Bewegungen des ganzen Wasserkörpers, wenn z.B. ein Erdbeben einen See bewegt, oder wenn Teile der seitlichen oder unteren Berandung des Wasserkörpers bewegt werden, Wasserwellen auf dem entsprechenden Wasserkörper erzeugen. Gezeitenwellen werden auf der Erde durch räumliche und zeitliche Variationen der Gezeitenkräfte, die quasi eine schwache Variation des Schwerkraftpotentials darstellen, angeregt.

Ein mit zunehmender Geschwindigkeit über eine glatte Wasseroberfläche wehender Wind regt zuerst Kapillarwellen und danach Schwerewellen an. Der Anregung von Schwerewellen durch den Wind liegen mehrere verschiedene physikalische Prozesse zugrunde. Der Beginn der Anregung der Schwerewellen besteht darin, dass die Turbulenz im Wind zufällige Druckschwankungen an der Meeresoberfläche erzeugt, die kleine Wellen mit einer Wellenlänge von einigen Zentimetern mit kleinen Amplituden anregen, Phillips (1957). Der über diese Wellen wehende Wind verstärkt sie, solange die Phasengeschwindigkeit der Wellen nicht schneller als die Windgeschwindigkeit ist. Der über das propagierende Wellenprofil wehende scheinbare Wind erzeugt ein kohärentes Druckmuster mit einem Überdruck über dem Wellental und Unterdruck über dem Wellenberg, das die Amplitude der Welle mit der Zeit anwachsen lässt. Da größere Wellenamplituden größere Druckdifferenzen zur Folge haben, erzeugt dieser Prozess ein exponentielles Wachtum der Wellen, Miles (1957). Das Wachstum der Amplitude einer spektralen Wellenkomponente wird duch das Erreichen ihrer maximalen Steilheit begrenzt, wodurch das Brechen der entsprechenden Welle eingeleitet wird . Es bilden sich weisse Schaumkämme auf den Wellenkämmen. Beim Brechen der Wellen wird die überschüssige Energie der Wellenkomponente in turbulente kinetische Energie umgewandelt, die zu einer starken Vermischung in der Deckschicht des Meeres führt. Die turbulente kinetische Energie wandelt sich durch die Viskosität des Wassers zum Teil in Wärme und im Falle einer stabilen Schichtung des Wasserkörpers vermischt die verbleibende Turbulenz die Wasserschichten und erhöht die potentielle Energie der Wassersäule auf Kosten der turbulenten kinetischen Energie. Darüber hinaus erzeugt die schwache nichtlineare Wechselwirkung zwischen den durch den Wind angeregten Wellen längerer als die direkt durch den Wind angeregten Wellen, Hasselmann et al. (1973). Die Amplituden dieser längeren Wellen wachsen nun ebenfalls durch den Miles-Mechanismus. Die Kette dieser beiden Mechanismen verbreitert das Wellenspektrum, bis die durch die nichtlineare Wechselwirkung erzeugten längeren Wellen eine höhere Phasengeschwindigkeit als die Windgeschwindigkeit besitzen. Für diese Wellen wirkt der Miles-Mechanismus nicht mehr, und das Wellenspektrum hat die der Windgeschwindigkeit entprechende maximale spektrale Bandbreite erreicht.

Welleneffekte

Wasserwellen weisen auf Grund ihres nur schwach nichtlinearen Verhaltens aller Eigenschaften linearer Wellentypen physikalischer Systeme auf. Dazu gehören:

Interferenz

Durchdringen sich ein oder mehrere Wellenzüge räumlich entlang ihrer Ausbreitungswege, so entstehen in den Gebieten ihrer Überlagerung resultierende Wellenzüge nach dem Superpositionsprinzip. Bei irregulären Wellen führt die Superposition an Positionen mit entgegengesetzter Phase zur reduzierung ihrer Amplituden und an Stellen mit gleicher Phase zur Verstärkung der resultierenden Amplitude. Bei Wellen mit gleicher Wellenlänge und entgegengesetzter Ausbreitung resultieren stehenden Wellen aus der Überlagerung. Die Interferenz von Wellen mit geringen Frequenzunterschieden führt zu Wellenpaketen mit Schwebungen.

Reflexion

Kreiswellen werden am Rand reflektiert und überlagern sich

Heckwelle eines Schiffes.

Wasserwellen laufen parallel zum Strand auf

Wellenreflexion bedeutet die Richtungsänderung einer fortschreitenden Wasserwellen beim Auftreffen auf ein glattes Hindernis, das sehr ausgedehnt gegenüber dem Wellenfeld ist. Die Richtungsänderung der einlaufenden Welle erfolgt nach dem Reflexionsgesetz. Die einlaufende und die reflektierte Welle überlagern sich durch Interferenz. Typische Hindernisse an denen Reflexionen von Wasserwellen erfolgen sind Bauwerke wie (Molen, Ufermauer, Uferböschung) oder Orte, an denen sich die Konfiguration des natürlichen Meeresgrundes auf kurze Distanz stark ändert. Es gibt Relextionen, bei denen die einlaufende Wellenenergie vollständig reflektiert wird, z. B. an Ufermauern. An anderen Hindernissen, wie z. B. starken Änderungen der Bodentopographie, wird die Welle nur teilweise reflektiert, während der andere Teil der Welle unter geringer Richtungsänderung das Hinderniss passieren kann. Abweichungen von den Reflektionsgesetzen linearen Wellentypen können bei der Reflektion von Wasserwellen auftreten, wenn durch nichtlineare Effekte wie die Prozesse des Wellenbrechens und der Erzeugung turbulenter Strömungen durch Umströmung von Hindernissen und durch Bodenreibung etc. Wellenenergie dissipiert, vergl. Wellentransformation, Wellenabsorption.

Refraktion

Unter Refraktion wird die durch eine räumlich variierende Phasengeschwindigkeit der Welle verursachte Änderung ihrer Laufrichtung verstanden. Da die Phasengeschwindigkeit der intermediären und Flachwasserwellen direkt von der Wassertiefe abhängt, tritt die Refraktion bevorzugt in einer Uferzone auf, deren Breite durch die Wellenlänge bestimmt ist. Bei flach ansteigenden Stränden führt ihre Wirkung dazu, dass sich Wellenkämme und -Täler zunehmend parallel den zu den Tiefenlinien und letzendlich zur Uferlinie einbeugen und der Beobachter am Strand die Wellen auf sich zukommen sieht. Wie bei der Brechung des Lichts ist auch hier das Snelliussche Brechungsgesetz auf der Grundlage des Huygensschen Prinzips anwendbar und beschreibt die Richtungsänderung der Wellenausbreitung. Ein spezieller Verlauf der Tiefenlinien kann zu einer Linsenwirkung für die Wellen führen und die Wellenenergie in einem Uferabschnitt bei konvexer Linsenwirkung fokussieren und bei konkaver Linsenwirkung abschwächen. Dieser Effekt ist ein Grund für lokale Variationen von Abtragungen und Anlagerungen an Sandstränden, sowie für entsprechende Variationen der Stärke von Tsunamis entlang von Küsten.

Diffraktion

Unter Diffraktion oder Beugung versteht man eine Anzahl von Erscheinungen, die beim Auftreffen von Wellenfronten auf ein natürliches oder künstliches Hindernis entstehen. Die Diffraktion äußert sich darin, dass das sich hinter dem Hindernis ausbreitende Wellenmuster deutlich von dem auf das Hindernis treffende Wellenmuster verschieden ist. Die Diffraktion ist am deutlichsten an Hindernissen ausgebildet, deren Abmessungen und deren Kanten Krümmungsradien haben, die klein gegenüber der Wellenlänge der einfallenden Welle sind. Wie bei der Beugung des Lichtes an Kanten und Spalten ist auch hier das Huygenssche Prinzip anwendbar. Bei Schutzbauwerken (Wellenbrechern und Molen) hat die Diffraktion der Wellenfronten die Folge, dass ein Teil der Energie der auflaufenden Wellen sich auch hinter dem Schutzbauwerk bzw. in den durch Molen gegen Wellenwirkungen zu schützenden Bereich einer Hafeneinfahrt ausbreitet.

Wellenbrechen

Wellenbrechen bezeichnet den kritischen Grad der Wellentransformation, bei dem die Oberflächenspannung am Wellenkamm überwunden wird, die Orbitalbewegung ihre charakteristische Form verliert und aus der Wellenkontur austretendes Wasser in den Vorderhang fällt. Hinsichtlich ihrer Geometrie können etwa vier Brecherformen unterschieden werden.

Beispiele für das Verhalten von Wellen beim Auflaufen auf einen Strand

Beispiel 1: Wellenbrechen

Nähert sich eine Welle einem langsam ansteigenden Ufer, verringert sich mit abnehmender Wassertiefe die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellenfront. Die nachfolgenden Wellen überrollen die Wellenfront, bis auch sie abgebremst werden. Die Wellenlänge nimmt ab, als Folge der Energieerhaltung vergrößert sich die Wellenhöhe bis das Wellenbrechen eintritt.

Beispiel 2: Refraktion

Nähert sich eine Wellenfront einem langsam ansteigenden Ufer im schrägen Winkel, verlangsamen sich die Wellen im flachen Bereich. Die weiter außerhalb liegenden behalten ihre Geschwindigkeit bei. Ähnlich wie bei der Brechung von Licht an Glas dreht sich dadurch die Wellenfront, bis sie parallel zur Strandlinie verläuft.

Nichtlineare Wechselwirkung

Üblicherweise werden die Eigenschaften der Wasserwellen mathematisch hergeleitet unter der Annahme, dass ihre Steilheit ka = O(0) unendlich klein ist. Wenn die Steilheit der Wellen klein ka << 1 jedoch nicht unendlich klein ist, können die Welleneigenschaften in eine Potenzreihe nach der Wellensteilheit entwickelt werden. Stokes (1847) berechnete die Eigenschaften einer Wasserwelle mit endlicher Amplitude und erhielt

$\eta =a\cos(kx-\omega t)+{\frac {1}{2}}ka^{2}\cos 2(kx-\omega t)+{\frac {3}{8}}k^{2}a^{3}\cos 3(kx-\omega t)+\cdot \cdot \cdot$

Die Überlagerung der verschiedenen Anteile der nichtlinearen Welle führt dazu, daß sich die Form der Wellenkämme zuspitzt und die Täler sich verflachen. Die Stokeswelle hat eine maximale Amplitude, bei der die Partikelgeschwindigkeit der Welle an der Meeresoberfläche gleich ihrer Phasengeschwindigkeit ist und sie zu brechen beginnt. Die kritische Steilheit für die brechende Welle ist nach Stokes ka = 0.44 oder 2a=H=L/7.

Ein weiterer Eigenschaft nichtlinearer Wellen ist, dass durch schwach nichtlineare Wechselwirkung von drei Wellen mit bestimmten Frequenzen und Wellenzahlen eine vierte freie Welle erzeugt werden kann, Hasselmann (1961), Phillips (1960) und Longuet-Higgins and Phillips (1962). Diese Wechselwirkung ist schwach und Wellen müssen über hunderte von Perioden und Wellenlängen wechselwirken, um eine vierte Welle mit vergleichbarer Amplitude zu erzeugen. Der Prozess der schwachen nichtlinearen Wechselwirkung ist dennoch wichtig für den Seegang, weil er durch Energieentnahme aus dem durch Wind erzeugten Seegangsspektrum Wellen mit Perioden erzeugt, die sich an das niederfrequente Ende des Windwellenspektrums anschließen. Diese Wellen bilden sozusagen Keime für den winderzeugten Seegang, falls die Windgeschwindigkeit sich vergrößert.

Solitärwellen oder Solitonen sind eine weitere Klasse nichtlinearer Wellen. Sie propagieren ohne Änderung ihrer Wellenform über die Wasseroberfläche. Zwei Solitonen können sich kreuzen, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Ihre Eigenschaften resultieren aus der exakten Balance zwischen der Dispersion, die das Soliton in einen Wellenzug umwandeln würde, und den nichtlinearen Effekten, mit ihrer Tendenz, die Welle zu kürzen und steiler zu machen.

Das Seegangsspektrum

Der Anblick einer Wasseroberfläche mit vom Wind angeregten Wellen zeigt offensichtlich, dass sie nicht aus einfachen sinoudalen Wellen bestehen. Die Wasseroberfläche erscheint als eine Überlagerung aus Wellen unterschiedlicher Periode und Wellenlänge mit zufälliger Amplitude und Phase. Die Auslenkung der Wasseroberfläche an einem Punkt kann daher nicht durch eine deterministische Funktion, wie zum Beispiel eine Sinusfunktion, sondern als ein stochastischer Prozess beschrieben werden. Das Konzept der quantitativen Beschreibung des zufälligen Seegangs besteht in der Bestimmung des Seegangsspektrums. Das Seegangsspektrum beschreibt die Verteilung der Varianz der Auslenkung der Wasseroberfläche und damit der Wellenenergie zwischen den verschiedenen Frequenzen und Wellenlängen des Seegangs. Die Summe der Anteile der Varianz über alle Frequenzen und Wellenzahlen ergibt die Varianz der Auslenkung der Wasseroberfläche an einem Punkt. Das Seegangspektrum gehört zu der Klasse der Leistungsspektren und ist eng mit dem Fourierspektrum verwandt.

Das erste Seegangsspektrum wurde von Pierson and Moskowitz (1964) auf der Grundlage des Konzepts des ausgereiften Seegangs und Messungen von Seegangsspektren im offenen Atlantik unter verschiedenen Windbedingungen vorgeschlagen. Ein ausgereifter Seegang entsteht, wenn die Winddauer und die Streichlänge des Windes hinreichend groß sind. Das Pierson-Moskowitz Spektrum des Seegangs ist

$S(\omega )={\frac {\alpha g^{2}}{\omega ^{5}}}exp(-\beta ({\frac {\omega _{0}}{\omega }})^{4})$

mit ω = 2π f, f ist die Frequenz der Welle in Hertz, α = 8.1 × $10^{-3}$, β = 0.74, ω$_{0}$ = g/$U_{19.5}$ und $U_{19.5}$ ist die Windgeschwindigkeit in 19.5 m Höhe über der Meeresoberfläche, der Höhe in der das Anemometer des Wetterschiffes montiert war.

Die Varianz des Seegang wird berechnet aus dem Integral des Seegangspektrums über die Frequenz:

${\bar {\eta ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }S(\omega )d\omega =2.74\cdot 10^{-3}{\frac {(U_{19.5m})^{4}}{g^{2}}}$

Mit $H_{1/3}=4<\eta ^{2}>^{1/2}$ für die signifikante Wellenhöhe ergibt sich aus dem Pierson-Moskowitz Spectrum:

$H_{1/3}=0.21{\frac {(U_{19.5m})^{2}}{g}}$

Die signifikante Wellenhöhe wächst also mit dem Quadrat der Windgeschwindigkeit.

Die sogenannte 'Peak'-Frequenz ω$_{p}$ des Spektrums wird bestimmt durch die Lösung der Gleichung dS/dω = 0 und ergibt

$\omega _{p}=0.877{\frac {g}{U_{19.5m}}}$.

Die Periode des spektralen Peaks des Seegangsspektrums wächst also linear mit der Windgeschwindigkeit an.

Mit der Dispersionsrelation für Tiefwasserwellen ergibt sich für die Phasengeschwindigkeit der Peakfrequenz

$c_{p}={\frac {g}{\omega _{p}}}=1.14U_{19.5m}$

Die Wellen mit der Frequenz ω$_{p}$ propagieren ungefähr 14% schneller als der Wind in 19.5 m Höhe. Dieses Ergebnis steht scheinbar im Widerspruch über die Vorstellungen der Anregung von Wellen durch den Wind, resultiert jedoch aus dem schwach nichtlinearen Energietransfer vom hochfrequenten in den niederfrequenten Teil des Wellenspektrums.

Wellenmessungen

Angesichts der Bedeutung von Wasserwellen für die Schifffahrt und für die Sicherheit von Wasserbauten und Uferbefestigungen sind eine Vielzahl verschiedener Methoden für Wellenmessungen entwickelt worden. Einen genaueren Überblick über diese Methoden gibt. Stewart (1980). Hier seien einige der gegenwärtig gebräuchlichen Meßverfahren genannt.

Die einfachste Methode ist die Schätzung der Seegangsstärke auf der offenen See nach einer mit der Beaufort-Skale für Windstärken vergleichbaren Beschreibung der Windsee.

In Küsten- und Schelfgewässern werden Seegangssonden an festen Plattformen in geeignetem Abstand über oder unter dem Meeresspiegel an einem Referenzpunkt befestigt und von dort der Abstand zur Meeresoberfläche als Funktion der Zeit registriert. Zur Abstandsmessung werden Schallwellen, Lichtstrahlen oder Radiowellen genutzt. Messungen der Druckschwankungen unterhalb der Meeresoberfläche können die Wellenhöhe von Wellen erfassen, deren Wellenlänge wesentlich größer ist als die Messtiefe des Drucksensors. Durch die räumliche Anordnung mehrerer benachbarter parallel messender Wellensonden kann man die Ausbreitungsrichtung der Wellen messen.

Auf offener See werden durch Kreisel vertikal stabilisierte Beschleunigungsmesser an Bord von Bojen, die der Auslenkung der Wasseroberfläche folgen, zur Messung des Seegangs eingesetzt. Die zweifache Integration der Beschleunigung ergibt die vertikale Auslenkung der Meeresoberfläche. Diskusförmige Bojen, die zusätzlich mit Kompass und zweidimensionalen Neigungsmessern ausgerüstet sind, gestatten die Messung der Ausbreitungsrichtung des Seegangs. Es können natürlich nur Wellen mit dieser Methode erfasst werden, deren Länge größer als der Durchmesser der Boje ist.

Die globale Wellenmessung wird mit Altimetern an Bord von Satelliten durchgeführt. Altimeter senden Impulse mit sehr kurzwelliger elektromagnetischer Strahlung auf die Meeresoberfläche. Der Impuls wird zuerst vom Wellenkamm und danach vom Wellental reflektiert. Die Überlagerung der von der Meeresoberfläche reflektierten Strahlung verringert die Steigung der Impulsflanken in Abhängigkeit von der Wellenhöhe. Altimeter waren und sind an Bord von Seasat seit 1978, Geosat von 1985 bis 1988, ERS 1 und ERS 2 von 1991, Topex-Poseidon von 1992, Jason von 2001 und Envisat. Mit Altimeterdaten werden Karten der globalen Verteilung der Wellenhöhen und der Wellenenergie erzeugt. Darüber hinaus werden ihre Daten in Vorhersagemodelle für Seegang assimiliert, um die Genauigkeit ihrer Vorhersage zu verbessern.

Seegangsvorhersage

Der aktuelle Stand der Kenntnisse über den Seegang, seine Spektren, seine Anregung durch den Wind, seine Dämpfung durch Brechen und Bodenreibung, seine nichtlineare Wechselwirkung, ist ausreichend, um das Wellenspektrum an einem Punkt auf dem Ozean auf der Grundlage der aus numerischen Wettermodellen resultierenden Windfeldern vorherzusagen. Da an jedem Punkt des Ozeans Dünung aus weit entfernten Gebieten eintreffen kann, Munk et al. (1963), und sich mit dem lokal erzeugten Seegang überlagert, ist die Seegangsvorhersage kein lokales, sondern ein globales Problem.

Die Existenz des Seegangsspektrums erlaubt es, die Entwicklung individueller Wellenkomponenten mit einer Frequenz f in der Ausbreitungsrichtung Θ des Richtungsspektrums des Seegangspektrum Φ(f,Θ,x,t) als Funktion des Ortes x und der Zeit t nach der Gleichung für die Energiepropagation

${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\mathbf {c} _{g}\cdot \nabla \Phi =S_{f}+S_{nl}+S_{d}$

berechnet wird. Hier ist S_f die Anregung der Wellenkomponente durch den Wind nach dem Phillips (1957) und Miles (1957) Mechanismus, Snl der nichtlineare Energietransfer zwischen den Wellenkomponenten auf der Grundlage von Hasselmann (1961) und Sd die Dissipation der Wellen durch Brechen und Bodenreibung.

Einen Überblick über den Stand der Entwicklung von Wellenmodellen geben Komen et al. (1994). Die Vorhersagen folgen den individuellen Komponenten des Wellenspektrums in Raum und Zeit, erlauben jeder Komponente in Abhängigkeit vom lokalen Wind zu wachsen und zu dissipieren, und mit anderen Wellenkomponenten in Wechselwirkung zu treten. Die Modelle berechnen die Richtungs-Frequenzspektren in 12 Richtungen (30°) und 25 Frequenzbereichen in 3-Stundenintervallen bis zu 72 Stunden im Voraus mit einer räumlichen Auflösung von ungefähr 1°. Die Weiterentwicklung der Seegangmodelle führte zur Assimilation von Wellenbeobachtungen mit Altimetern und Windbeobachtungen mit Streuungsmessern von Satellitenplattformen. Ein Beispiel für die Ergebnisse eines operationellen Modells der Seegangsvorhersage findet man auf der NOAA Website.

Herleitung

Bei der Herleitung der Sverdrup Relation gehen wir von der beschriebenen physikalischen Interpretation aus und werden die Divergenz der subinertialen

Strömung auf einer rotierenden Kugel in der Näherung der beta-Ebene berechnen. Für die mathematische Beschreibung des subinertialen Massentransports im Ozean können die lokalen Beschleunigungen vernachlässigt werden, da die

Strömung unter Abstrahlung von Trägheitswellen (Poincare-Welle) geostrophisch an das Druckfeld angepasst ist. Wir gehen dabei von den linearisierten

Bewegungsgleichungen aus. Sie lauten in einem kartesischen Koordinatensystem

$-fv=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \tau ^{x}}{\partial z}}$,

$+fu=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \tau ^{y}}{\partial z}}$,

$0=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}-g$.

Für die Kontinuitätsgleichung der als inkompressibel angesehenen Flüssigkeit erhalten wir

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0$.

In den Gleichungen sind:

• t: die Zeit
• x, y, z: die Koordinaten eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit dem Nullpunkt im Meeresspiegel auf der geographischen Referenzbreite $\varphi _{0}$, z.B. positiv nach Osten, positiv nach Norden und positiv entgegen der Schwerkraft gerichtet.
• u, v, w: die horizontalen und vertikale Komponenten des Geschwindigkeitsvektors in Richtung der x-, y- und z-Achse.
• p: der Druck im Ozean.
• $\rho$: die Dichte des Meerwassers.
• $\tau ^{x},\tau ^{y}$: die horizontalen Komponenten des turbulenten Schubspannungsvektors.
• $\eta$: die Auslenkung der Meeresoberfläche aus der Ruhelage.
• $f=2\Omega \sin \varphi$, der Coriolisparameter.

Den Druck p(t,x,y,z) können wir in die Summe des barotropen und des baroklinen Drucks aufspalten. Der barotrope Druck resultiert aus den Auslenkungen

der Meeresoberfläche $\eta (t,x,y)$ aus der Ruhelage(Geoid). Er beträgt $p_{bt}=\rho _{0}g\eta$ und ist konstant über die ganze

Wassersäule, da die horizontalen Skalen subinertialen Prozesse größer als der Rossbyradius sind, der wiederum größer als die Wassertiefe H ist. Somit

werden diese Prozesse durch die Dynamik langer Wellen beschrieben, deren Druckfelder konstant von der Meeresoberfläche bis zum Meeresboden sind. Der

barokline Druck ergibt sich aus der Variabilität der Dichte in der Wassersäule und wird bestimmt durch die Integration der hydrostatischen Gleichung

$p_{bc}=\int _{z}^{0}g\rho (t,x,y,z')dz'$.

Der kleine Anteil, den die Wassersäule im Bereich zwischen z=0 und der Auslenkung der Meeresoberfläche η zum baroklinen Druck beiträgt, kann bei großräumigen Prozessen vernachlässigt werden. Die barotrope Komponente der Strömung ist durch ihr vertikaler Mittelwert über die Wassersäule definiert

$(u,v)_{bt}=\int _{-H}^{0}(u,v)dz={\frac {1}{H}}(U,V)$.

wobei (U,V) die Komponenten des Massentransports sind. Die barokline Komponente der Strömung ist dann $(u,v)_{bc}=(u,v)-(u,v)_{bt}$. Die barokline Strömung trägt also nichts zum Massentransport bei. Es zeigt sich jedoch, daß der barokline Druck durchaus den Massentransport beeinflußt. Zur Entwicklung der Bewegungsgleichungen für den Massentransport integrieren wir die Gleichungen der Impulbilanz über die Wassersäule und spalten den Druck in den barotropen und baroklinen Anteil auf. Zur Berechnung des vertikalen Integrals über den baroklinen Druckgradienten benutzen wir die Beziehung zur Differentiation eines Integrals mit variablen Grenzen nach einem Parameter, die Regeln der partiellen Integration, sowie die Gleichung für den hydrostatischen Druck, siehe Müller (2006) für Einzelheiten. Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichungen der Komponenten des horizontalen Massentransports

$-fV=-{\frac {1}{\rho _{0}}}(\rho _{0}gH{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+H{\frac {\partial p_{bc}(z=-H)}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{pot}}{\partial x}})+{\frac {1}{\rho _{0}}}(\tau _{0}^{x}-\tau _{H}^{x})$,

$+fU=-{\frac {1}{\rho _{0}}}(\rho _{0}gH{\frac {\partial \eta }{\partial y}}+H{\frac {\partial p_{bc}(z=-H)}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{pot}}{\partial y}})+{\frac {1}{\rho _{0}}}(\tau _{0}^{y}-\tau _{H}^{y})$,

mit $E_{pot}=\int _{-H}^{0}zg\rho (t,x,y,z)dz$. Aus den obigen Gleichungen folgt, daß der Massentransport der subinertialen Bewegungen im Ozean sowohl durch den barotropen Druckgradienten als auch durch das barokline Druckfeld beeinflußt wird. Die Windschubspannung an der Meeresoberfläche ${\vec {\tau }}_{0}$ treibt die Strömung an, und die Bodenschubspannung ${\vec {\tau }}_{H}$ bremst sie ab. Letzterer ist durch die Summe der barotropen und baroklinen Geschwindigkeit am Meeresboden bestimmt. Das bedeutet, dort wo die Summe von barokliner und barotroper Geschwindigkeit am Boden sehr klein ist, ist die Bodenreibung vernachlässigbar. Dies gilt im Allgemeinen für die Ozeane außerhalb der Schelfgebiete. Die Divergenz des Massentransports der subinertialen Bewegungen im Ozean kann durch Ableitung der Gleichungen für die Komponenten des Massentransports nach y und nach x sowie der anschließenden Subtraktion der abgeleiteten Gleichungen voneinander berechnet werden. Es ergibt sich danach unter Berücksichtigung der Breitenabhängigkeit des Coriolisparameters f(y) und der vertikal integrierten Koninuitätsgleichung, siehe z.B. Müller (2006)

${\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}=0$,

die folgende Gleichung für die zeitliche Änderung des Meeresspiegels durch die verschiedenen Beiträge zur Divergenz des Messentransports

$f{\frac {\partial \eta }{\partial t}}=\beta V-{\frac {1}{\rho _{0}}}rot_{z}(\tau _{0}-\tau _{H})-{\frac {1}{\rho _{0}}}J[p_{H},H]$.

Hier ist $J[p_{H},H]={\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {\partial H}{\partial y}}-{\frac {\partial p}{\partial y}}{\frac {\partial H}{\partial x}}$ die Determinante der Jacobi-Matrix und beschreibt physikalisch das horizontale Moment, welches der Druck auf den Meeresboden ausübt, im Englischen als Bottomtorque bezeichnet. Physikalisch bedeutet die obige Beziehung, daß der Meeresspiegel sich durch die planetare Divergenz der meridionalen Strömung, die Divergenzen des Ekmantransport an der Meeresoberfläche und der Divergenz des Ekmantransports in der Bodenreibungsschicht, sowie durch einen von Null verschiedenen Bottomtorque verändert. Der Bottomtorque wird dann Null, wenn der Meeresboden flach ist, am Meeresboden die Summe von barotropen und baroklinen Druckgradienten verschwindet, oder der Druckgradient am Meeresboden und der Gradient des Meeresbodens parallel sind. Ein stationärer Zustand kann sich im Ozean nur durch eine Ausbalancierung der verschiedenen Terme auf der rechten Seite der obigen Gleichung einstellen.

Für den zentralen Ozean gilt, daß in größeren Tiefen der barotrope Druckgradient durch den baroklinen kompensiert wird. Damit werden dort die Bodenreibung und der Bottomtorque vernachlässigbar klein. Der Wasserstand wird dann durch die Divergenz des Ekmantransports in der Deckschicht zeitlich verändert. Sein Anwachsen wird beendet, wenn die Front der vom Ostufer abgestrahlten langen Rossby-Welle an einer Position im Inneren des Ozeans eintrifft, siehe Gill (1982). Mit dem Eintreffen der Front wird die Divergenz des Ekmantransports durch die planetare Divergenz kompensiert und das Anwachsen des Meeresspiegels gestoppt. Durch das spätere Eintreffen der Rossby-Wellenfront auf weiter westlich liegenden Positionen hält das Anwachsen des Meeresspiegels dort länger an. Der Meeresspiegel des Ozeans wächst von Ost nach West linear an. Dieser stationäre Zustand der Ozeanzirkulation ist das Sverdrupregime, Sverdrup (1947), in dem die Sverdruprelation

$0=\beta V-{\frac {1}{\rho _{0}}}rot_{z}\tau _{0}$

gilt.

Weiterentwicklung der Theorie

Im Gebiet des westlichen Randstroms ist die Strömung in Form eines starken Strahlstroms bis zum Boden überwiegend meridional ausgerichtet (polwärts im subtropischen Gyre). Die planetare Divergenz ist dann wesentlich größer als die Divergenz des vom Wind angeregten Ekmantransports. Die starke Bodenströmung hat eine Divergenz in der Bodenreibungsschicht und einen von Null verschiedenen Bottomtorque zur Folge. Die planetare Divergenz wird daher im Bereich der westlichen Randströmung im Wesentlichen durch die Rotation der Bodenschubspannung und den Bottomtorque ausbalanciert.

$0=\beta V-{\frac {1}{\rho _{0}}}rot_{z}(\tau _{0}-\tau _{H})-{\frac {1}{\rho _{0}}}J[p_{H},H]$.

Stommel (1948) parametrisierte die Terme für Bodenreibung und Bottomtorque so, dass aus obiger Gleichung eine Gleichung für den Druck entstand, die die Randbedingungen für eine geostrophische Strömung in einem zonal begrenztem Ozeanbecken mit flachem Boden erfüllte. Seine Lösung beschrieb erstmals einen geschlossenen asymmetrischen Ozeanwirbel mit einem schmalen, intensiven westlichen Randstrom und einem breiten, schwachen Sverdrupstrom außerhalb des westlichen Randstroms. Der von Stommel (1948) beschriebene westliche Randstrom war jedoch zu schmal. Munk (1950) verbesserte die Stommelsche Parametrisierung unter Berücksichtigung horizontaler turbulenter Reibung und erhielt eine Lösung mit einem westlichen Randstrom der den Beobachtungen in stärkerem Maße entsprach.

In den folgenden Jahrzehnten entwickelte sich die Leistungsfähigkeit der Supercomputer derart, daß die numerische Lösung der Erhaltungsgleichungen für Impuls, Masse und Energie im Ozean in Form eines Systems nichtlinearer partieller Differentialgleichungen mit realistischer Bodentopographie und realistischen meteorologischen Antrieben durch Wind, Wärme und Frischwasserflüsse an der Meeresoberfläche zu realistischen Feldern von Temperatur, Salzgehalt und Strömung führten. Da eine enge Kopplung zwischen Ozean und Atmosphäre das Klima der Erde bestimmt, erfordert eine Klimasimulation noch leistungsfähigere Computer als die Simulation der Bewegungs- und Transportprozesse im Ozean oder der Atmosphäre alleine. Ein Beispiel für ein Supercomputer, der der Lösung vom Fragestellungen im Rahmen des Klimawandels gewidmet ist, ist der in Japan eingerichtete Earth Simulator.

Beobachtungen der Ozeanzirkulation

Die Theorien von Sverdrup, Stommel und Munk beschreiben eine relativ einfache Strömung. Die reale Strömung im Ozean ist jedoch weitaus komplizierter. Um die bestehenden Theorien zu verbessern, ist ihr Vergleich mit den Beobachtungen unter Berücksichtigung der Beobachtungsfehler erforderlich. Da die Beobachtungsdichte im Atlantik relativ hoch ist und seine Zirkulation der der anderen Ozeane ähnelt, wählen wir als Beispiel beobachtete Eigenschaften der Zirkulation mittlerer Breiten im Atlantik und insbesondere des Golfstroms aus.

Dynamische Topographie des Atlantiks gemittelt über die Jahre 1992-2002 aus Daten von Nikolai Maximenko (IPRC) and Peter Niiler (SIO). Gezeichnet mit dem APDRC LAS7 for public.

Die dynamische Topographie des Atlantischen Ozeans wurde aus Messungen der Topographie der Meeresoberfläche von Bord von Satelliten aus zusammengestellt und mit Hilfe von gemessenen Bahnen von Oberflächendriftern abgesichert. Sie liefert sowohl Informationen über den mittleren Wasserstand als auch, außerhalb der unmittelbaren äquatorialen Region von ungefähr 2° Breite, über die Strömung, die geostrophisch an den Wasserstand angepaßt ist. Die Abbildung zeigt in den subtropischen Breiten einen vom Ostufer zum Westufer allmählich um 0.75 m ansteigenden Wasserstand, wie es die Sverdruptheorie beschreibt. Der Wasserstand fällt von seinem Maximum, welches dicht unter der amerikanischen Küste liegt, bis zur Westküste auf einen Wert ab, der dem an der Ostküste entspricht. An diesem steilen Hang ist der jeweilige intensive westliche Randstrom lokalisiert. Die Verteilung des Wasserstands zeigt breite, beckenweite Wirbel (Gyren) in den mittleren Breiten sowohl im Nordatlantik als auch im Südatlantik entprechend der Sverdruptheorie. An den westlichen Küsten des Atlantiks schließt jeweils ein westlicher Randstrom, der Golfstrom im Nord- und der Brasilstrom im Südatlantik, den jeweiligen Wirbel (Gyren). Polwärts dieser Wirbel schließen sich subpolare Wirbel an, die als westlichen Randstrom den Labradorstrom im Norden und den Falklandstrom im Süden enthalten. Die subpolaren Wirbel entstehen durch die Divergenz des Ekmantransports zwischen dem Westwindgürtel und dem Bereich der polaren Ostwinde in Form eines erniedrigten Wasserstandes. In der Nähe des Äquators, auf ungefähr ± 5° Breite, bilden sich schmale Rücken mit höherem Wasserstand durch die Konvergenz des Ekmantransports am äquatorwärtigen Rand des Passatgürtels heraus, an deren polwärtiger Flanke der Nord- bzw. Südäquatoriale Gegenstrom fließen. Zwischen den Rücken befindet sich der westwärts strömende Südäquatorialstrom. Zu beachten ist, daß ein starker Strom an der NE-Küste Südamerikas aus dem tropischen Bereich in die Karibik fließt.

Vertikaler Schnitt der klimatische gemittelten Wassertemperatur zwischen der Meeresoberfläche und 1500 m Tiefe im Nordatlantik auf 30°N. Die Daten entstammen dem NODC World Ocean Atlas 2009 und wurden mit APDRC LAS7 for public gezeichnet.

Die vertikale Temperaturverteilung entlang eines Breitenkreises durch denn Kern des subtropischen Wirbels liefert Information über seine vertikale Ausbreitung in der Wassersäule und über die baroklinen Druckgradienten. Ein solcher Temperaturschnitt durch den subtropischen Wirbel im Nordatlantik, den Golfstrom, zeigt eine sich nahezu linear von Ost nach West verdickende oberflächennahe Warmwasserschicht, deren Dicke kurz vor der Küste Floridas ihr Maximum von annähernd 800 m erreicht. Dies ist der Bereich des Sverdrupregimes. Von der Stelle der maximalen Dicke wird die Warmwasserschicht bis zur Küste Floridas im Bereich des westlichen Randstroms wieder dünner.