Benutzer:Waldmannheinrich/Die Mandelknolle

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Als Mandelknolle wird die 3-dimensionale Erweiterung des 2-dimensionalen Fraktals der Mandelbrot-Menge (Apfelmännchen) bezeichnet. Im Internet kursieren bisher zwar Abbilder der Mandelknolle, die deren Struktur aber nicht exakt wiedergeben, weil sie über Näherungsverfahren erstellt wurden (z.B. Ray Tracing) - sie sind daher "nicht ganz echt". Ein detailreiches Beispiel findet sich in der englischen Version von Wikipedia im Artikel "Mandelbulb" (rechts). Mit einem exakten (aber rechnerisch sehr aufwändigen) Abbildungsverfahren wird die Mandelknolle geometrisch und perspektivisch korrekt abgebildet und zeigt sich vom Punkt $P(0/\!\!-\!10/10)$ aus "aufgenommen" auf schwarzem Hintergrund in ihrer ganzen Schönheit:

So entsteht die Mandelknolle:
Es wird das gleiche Verfahren angewendet wie beim Apfelmännchen, aber mit der 8-ten Potenz ${\vec {z}}_{n}\!\!^{8}$ eines 3-dimensionalen Vektors ${\vec {z}}_{n}$ statt der 2-ten Potenz $z_{n}^{2}$ einer 2-dimensionalen komplexen Zahl $z_{n}$. Die Definition von ${\vec {z}}_{n}\!\!^{8}$ erfolgt über Polarkoordinaten, beim Apfelmännchen sähe das so aus: Man schreibt $z_{n}=x_{n}+iy_{n}=r_{n}\,e^{i\varphi _{n}}$ und $z_{n}^{2}=r_{n}^{2}e^{i2\varphi _{n}}$ - oder in Paar-Schreibweise: $z_{n}=(r_{n},\varphi _{n}),\ z_{n}^{2}=(r_{n}^{2},2\varphi _{n}).$. Bei einem 3-dimensionalen Vektor ${\vec {z}}_{n}$ werden zwei Polarwinkel benötigt; damit wird analog in Tripel-Schreibweise definiert: ${\vec {z}}^{n}:=(r_{n},\vartheta _{n}\varphi _{n}),\ {\vec {z}}_{n+1}=(r_{n+1},\vartheta _{n+1},\varphi _{n+1}):=(r_{n}^{8},8\vartheta _{n},8\varphi _{n})$. Dies ist ein Glasperlenspiel ohne praktische Anwendung, erzeugt aber die Mandelknolle. Folglich: Zur Mandelknolle gehören alle Punkte $c$ des 3-dimensionalen Raumes $\mathbb {R} ^{3}$, für die die Glieder ${\vec {z}}_{n}$ der Iterationsfolge {${\vec {z}}_{n}$} mit ${\vec {z}}_{n+1}={\vec {z}}_{n}^{8}+{\vec {c}}$ ($c$ hier als Ortsvektor betrachtet) bei $n\rightarrow \infty$ beschränkt bleiben ($|{\vec {z}}_{n}|=r_{n}<\infty$). Es kommen nur Punkte $c$ infrage, deren Abstand $r$ vom Nullpunkt kleiner gleich ${\sqrt[{7}]{2}}=1{,}1040895...$ ist, weil ${\sqrt[{7}]{2}}^{\,8}-{\sqrt[{7}]{2}}={\sqrt[{7}]{2}}$. Leider ist diese Definition extrem rechenaufwändig, weil bei jeder Rechnung ${\vec {z}}_{n+1}={\vec {z}}_{n}^{8}+{\vec {c}}$ wegen der Potenzierung zuerst ${\vec {z}}_{n}$ in Polarkoordinaten umgerechnet werden muss und dann ${\vec {z}}_{n}^{8}$ wegen der folgenden Vektor-Addition wieder zurück in cartesische Koordinaten.
Um ein Bild der Mandelknolle zu erzeugen, ist jeder eventuell abzubildende Punkt $c\epsilon \mathbb {R}$ zunächst auf seine Zugehörigkeit zu ihr zu untersuchen. Dazu kann man die Iterationsfolge {${\vec {z}}_{n}$} natürlich nicht bis ins Unendliche verfolgen; man bricht ab, wenn $|{\vec {z}}_{n}|=r_{n}>{\sqrt[{7}]{2}}$ ist oder die Folgenglied-Nummer $n$ eine bestimmte Grenze $n_{max}$ überschreitet - auch im letzteren Fall wird der betrachtete Punkt $c$ für diese Abbildung als zur Mandelknolle gehörend gezählt. $n_{max}$ ist für alle $c\epsilon \mathbb {R}$ gleich und wird abhängig von der Bildauflösung empirisch so bestimmt, dass sich das Mandelknollen-Abbild bei höheren $n_{max}$ "praktisch" nicht mehr ändert. Beim obigen Bild wurde $n_{max}=300$ gesetzt. Die auf diese Weise als Elemente der Mandelknolle gezählten Punkte $c$ werden dann rechnerisch exakt, daher geometrisch und perspektivisch korrekt abgebildet und ergeben auf diese Weise das obige Abbild ("Standardsicht") der Mandelknolle.

Weitere Bilder:

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Links: Die Mandelknolle aus halber Höhe vom Punkt $P(0/\!-\!14{,}14/0)$ aus gesehen. Rechts: Die Mandelknolle von oben vom Punkt $P(0/0/14{,}14)$ aus gesehen. Beide Ansichten aus gleicher Entfernung abgebildet wie aus Standardsicht.

Detail-Vergrößerungen:

$\qquad \quad$

Links eine tiefe Einsicht in die "Schlucht" links neben dem Kopf der Mandelknolle. Rechts eine Nahaufnahme der am linken Rand der Mandelknolle auf halber Höhe der Standardsicht am weitesten nach links herausragenden Ausstülpung ("Beule"). Neue Farbgebung: grün = hinten, rotbraun = vorn. Diese und die folgenden 6 Nahaufnahmen sind vom Punkt $P(0/\!\!-\!17/10)$ aus abgebildet; aus Standardsicht stünden die Kügelchen der mittleren Dreiergruppe zum Teil hintereinander.