Benutzer:WolKouk/Boussinesq-Approximation

Die Boussinesq-Approximation (nach Valentin Joseph Boussinesq) ist eine Vereinfachung der hydrodynamischen Navier-Stokes-Gleichungen. Sie beschreibt gravitationsabhängige Strömungen, bei denen Dichtevariationen klein sind im Verhältnis zu einer konstanten Referenzdichte.

Formale Herleitung

Grundlagen der Approximation

Definiert man aus dem Kehrwert der Dichte das spezifische Volumen:

$\alpha ={\rho }^{-1}$,

und schreibt formal (Dutton, 1995):

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi _{0}(z)+\Psi ^{\prime }(\mathbf {r} ,t)$

mit $\Psi =\{\alpha ,p,T\}$ und $\Psi ^{\prime }\ll \Psi _{0},$. Hier sind r der Ortsvektor, t die Zeit, p der Druck, T die Temperatur, z die Höhe. Die Grundgrößen $\Psi _{0}$ genügen sowohl der hydrostatischen Grundgleichung wie auch der idealen Gasgleichung:

$\alpha _{0}{\frac {\partial p_{0}}{\partial z}}=-g;\ \ \alpha _{0}p_{0}=RT_{0}$

mit der Gaskonstanten R und der Erdgeschleunigung g. Mit diesen Annahmen werden die Euler Gleichungen wie folgt formuliert.

Die Bewegungsgleichung

Die Summe von Druckgradient und Schwerkraft vereinfacht sich durch Linearisierung in den Störgrößen zu:

$-\alpha \nabla p-g\mathbf {k} =-\alpha _{0}\nabla p^{\prime }+g{\frac {\alpha ^{\prime }}{\alpha _{0}}}\mathbf {k}$

Hier ist k der vertikale Einheitsvektor. Hier zeigt sich als wichtigstes Ergebnis dieser Approximation, dass Dichtevariationen nur noch im Auftriebsterm der Vertikalkomponente der Bewegungsgleichung erscheinen. Die Bewegungsgleichung wird damit unter Beachtung der Corioliskraft:

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-\alpha _{0}\nabla p^{\prime }+g{\frac {\alpha ^{\prime }}{\alpha _{0}}}\mathbf {k} -2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v}$

wobei $\mathbf {\Omega }$ die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist.

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik

Für die Störgrößen $\Psi ^{\prime }$ erhält man durch Linearisierung aus der Gasgleichung:

${\frac {p^{\prime }}{p_{0}}}+{\frac {\alpha ^{\prime }}{\alpha _{0}}}={\frac {T^{\prime }}{T_{0}}}$

Weiter alter Text

to be cont'd

Die Eulersche Bewegungsgleichung schribt sich damit unter Einschluss der Gravitationskraft:

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} +\alpha _{0}\nabla p=\mathbf {0}$,

Boussinesqe Strömungen sind relativ häufig in der Natur (zum Beispiel Fronten, Meeresströmungen und Katabatische Winde), Industrie (Dispersion dichter Gase) und bei Häusern (Natürliche Ventilation, Zentralheizung).

Die Näherung ist sehr genau für viele solcher Strömungen und vereinfacht die Mathematik und Physik des Problems deutlich. Der Vorteil liegt darin, dass bei einem Problem mit mehreren Strömen nur noch eine Dichte berücksichtigt werden muss, weil die Differenz der Dichten vernachlässigt und das Verhältnis der Dichten mit eins angenähert wird.

Eine Dimensionsanalyse zeigt, dass unter diesen Umständen die Gravitation nur als reduzierte Gravitation g' eingehen sollte:

$g'=g{\rho _{1}-\rho _{2} \over {\rho }}$.

Hierbei ist es im Nenner unerheblich, welche der beiden Dichten gewählt wird, da diese fast identisch sind.

Literatur

• Dutton, J.A.: Dynamics of the atmospheric motions (The ceaseless wind), Dover Publications, New York, 1995 ISBN 9780123543554.
• Holton, J.R.: An introduction to dynamic meteorology, 3rd ed., Academic Press, 1992.