Benutzer Diskussion:Wilfried Neumaier/Archiv

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Wahrheitstabellen

Hallo!

Ich habe mit großem Genuss deine Beiträge der letzten Wochen gelesen, die die Artikel über Peano, Boole und Boolesche Algebra ganz wesentlich aufwerten. Im Zusammenhang mit der Genese der Wahrheitstabellen hätte ich allerdings die Frage bzw. Bitte, ob sich die recht apodiktische Zuschreibung auf Boole noch mit einem Beleg ergänzen oder gegebenenfalls die unterschiedlichen Sichten etwas breiter ausführen ließen.

Mein eigener Wissensstand in diesem Punkt ist nämlich noch der, dass es verschiedene Meinungen zur Frage gibt (und dass es wohl darauf rekurriert, ab wann man was genau als Wahrheitstafel ansehen möchte). So schreiben z.B. Berke/Kreiser in den Logik-Texten gerade im Kommentar unmittelbar vor ihrer Übersetzung der Mathematical Analysis of Logic, dass Peirce in "Arbeiten aus 1880, 1885 und 1896'Fetter Text' die Wahrheitsmatrizen ein[geführt]" (S.23) habe. Kneale/Kneale schreiben Boole die "interpretation by reference to proposition [...] though without the use of the prase 'truth-value'" (S.413) zu, finden aber (S.414) kombinatorisch nur die Passage aus der Mathematical Analysis of Logic, S.49-50, "Thus if we associate the Propositions X and Y, the total number of conceivable cases will be found as exhibited in the following scheme: 1st X true, Y true .... xy [;] 2nd X true, Y false x(1-y) [...]". Das Aufzählen dieser vier Fälle scheint mir nicht wesentlich unterschiedlich von den stoischen Ideen, und Kneale/Kneale haben den zusätzlichen Vorbehalt "In the Laws of Thought Boole abandons this very promising suggestion [...] [I]n both works he seems to be preparing the way for a scheme in which the symbols 1 and 0 would not merely stand for truth and falsity but represent rather necessary truth and impossibilty [...] [which would not] require that every elective expression be equated either to 1 or to 0." (auch wieder S.414) Zur positiven Zuschreibung (in ihrem Fall an Frege) kommen Kneale/Kneale dann auf S.420: "We have quoted a passage of the Mathematical Analysis of Logic from which it was a short step to Frege's use of truth-tables (i.e. tabulations of alternative truth-possibilites) in his Begriffsschrift of 1879 for the clear exhibition of Boolean developments" (in der Fußnote zu den "Boolean developments" beziehen sie sich auf Jevons Tabellen, und tatsächlich sind seine "Abecedaria" zwar kombinatorisch den modernen Wahrheitstabellen gleichwertig, werden sie aber anders benutzt, nämlich zum Eliminieren - Durchstreichen - inkonsistenter Kombinationen, und sind sie damit keine W. im modernen Sinn). Die Tautologieprüfung mit Wahrheitstabellen schreiben sie dann klar Peirce zu: "In a paper of 1885 [...] Peirce added the remark that a necessarily true formula was one which remained true under all assignments [...]" (ebenfalls S.420). Zu Wahrheitstafeln im modernen Sinn kommen sie dann gleich im Anschluss auf derselben Seite: "And with these two notions we have all the essentials for the tabular method in primary logic which was popularized by Post and Wittgenstein in 1920".

Viele Grüße, --GottschallCh 15:39, 18. Nov. 2006 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 11:40, 19. Jul. 2010 (CEST)

Tabellen

Hallo, ich hab deine Frage gelesen und ein bisschen experimentiert. Ergebnis: Benutzer:Nightflyer/spielwiese. Statt drei Tabellen ist es nun eine. Sag Bescheid, ab wann ich sie löschen kann. Grüsse --Nightflyer 15:12, 26. Nov. 2006 (CET)

Fertig. Grüsse --Nightflyer 13:25, 27. Nov. 2006 (CET)

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"Viel Feind viel Ehr"

Hallo Wilfried Neumaier, es ist an der Zeit, dass ich ein paar Zeilen an dich richte. Keinesfalls bin ich der Meinung, die in der Überschrift steht und in einem Beitrag von dir bei Thornard anklingt. Wenn mehrere Leute z. B. in Bezug auf die Inhalte des Artikels Intervall (Musik) anderer Meinung als du sind, kann das ja durchaus sachliche Gründe haben. Aus sachlichen Gründen habe ich auch zunächst Vorbehalte gegen deine Wikipediaarbeit:

• 1. Es ist nicht vordringlich, in musikalischem Kontext, wo nur möglich, mathematische Sichtweisen einzubringen. Dass du dich auf deine Fachrichtung berufst, mag angehen, doch bringen Selbstreferenzen eher negative Wirkungen zustande.
• 2. Du hinterlässt Einträge mit Rechtschreib- und Grammatikfehlern, die oft aber nicht nur auf Flüchtigkeit zurückzuführen sind.

Dass all das zu persönlich wirkenden Vorbehalten führt, sollte dich nicht wundern. Es liegt an dir, das zu ändern; denn es geht ja eigentlich um die Sache, nicht wahr? Beste Grüße --Wetwassermann 09:07, 7. Dez. 2006 (CET)

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Lautenstimmung

Hallo, W.N., du hast ein Lemma Lautenstimmung angelegt und von da eine Weiterleitung zu Wohltemperierte Stimmung eingerichtet. Das halte ich für zumindest ungeschickt und eigentlich gegen die üblichen Verfahren in Wikipedia; denn Lautenstimmung und wohltemperierte Stimmung sind ja nicht synonym, meinen nicht das Gleiche. Heute versteht man zudem unter Lautenstimmung nicht eine Stimmung oder Temperierung, sondern die Stimmung der Saiten in bestimmten, von der Gitarre abweichenden Tonabständen. Bei Lanfranco wäre dann kein Link zu WT-Stimmung zu machen, sondern ein "siehe auch" einzufügen. Beste Grüße --Wetwassermann 18:06, 7. Dez. 2006 (CET)

Stimmt, das hat mir auch nicht gefallen. Wie wäre es, wenn man die Lautenstimmung aus der Wohltemperierten Stimmung auslagern und von dort auf die Lautenstimmung verweisen würde? Ich habe die Lautenstimmung ja nur eingebaut, weil Werckmeister sich darauf bezieht und weil ich damals keinen Extra-Artikel schreiben wollte. Man könnte in einem separaten Lautenstimmung-Artikel auch die Technik irgendwann erläutern. Wenn Du OK sagst, mache ich es so, nur heute nicht mehr.--Wilfried Neumaier 19:14, 7. Dez. 2006 (CET)

Wahrscheinlich kannst du besser als ich abschätzen, ob sich ein Artikel Lautenstimmung (auch außerhalb von Laute) lohnt und sinnvoll gestalten lässt. Ich meine ins Blaue hinein ja, da gehörte dann freilich auch Arabisches hinein (könnte richtig spannend werden). Wenn es so ist, könntest du den Artikel ja anlegen. Dann kann man ihn zurecht in anderen Artikeln verlinken, so auch bei der WT St.. Es schadet aber nicht, wenn bei der WT St. etwas über Lautenstimmung ganz knapp steht. Beste Grüße --Wetwassermann 19:29, 7. Dez. 2006 (CET)

Hallo W.N., dein Artikel Lautenstimmung ist noch sehr grob vereinfachend geschrieben. Zum Einstieg in die Problematik lies bitte dies hier Beste Grüße --Wetwassermann 19:53, 8. Dez. 2006 (CET)

Hallo Wetwassermann! Habe die Page eben gelesen. Die Einstimmung Agricolas besagt ja nichts über die Temperatur, aber eine mitteltönige, wenn sie sich durch Quellen belegen ließe, schon. Die Page ist hier aber leider noch arg unvollständig. Eine solche Stimmung wäre - technisch bedingt - grob oktavunrein, weswegen mir die Sache zweifelhaft erscheint. Ich lasse mich aber gern belehren und würde etwas ändern, sobald ich Quellen kenne oder eine gute wissenschaftliche Sekundärquelle. - Eigentlich wollte ich nur die Lautentemperatur beschreiben, die Du ja nicht als Lautenstimmung bezeichnen würdest. Ich habe mich hier am Riemann-Lexikon orientiert, der im Artikel "Temperatur" von Lautenstimmung spricht. Hier kommt eben die Doppeldeutigkeit von "Stimmung" zum Tragen. - An meinem Artikel gefällt mir auch meine Tabelle nicht: Tabellen-Linien sollen Saiten und Bünde sein, so dass der unterste Rahmen weg müsste, wie das geht, weiß ich nicht. Also insgesamt ist der Artikel im Urzustand noch provisorisch.--Wilfried Neumaier 23:00, 8. Dez. 2006 (CET)--Wilfried Neumaier 23:00, 8. Dez. 2006 (CET)

Hallo W.N., so wie du den Artikel verfasst hats, suggeriert er, Lautenstimmung sei etwas festes, doch es steckt eine lebendige Geschichte mit unterschiedlichen Stimmungen dahinter. Ich hatte z.B. schon die Araber erwähnt, die reine Quarten stimmten und damit natürlich Kommaprobleme bekamen. Ein weiterer Gedanke: lange waren Bünde wirklich gebunden und konnten daher verschoben werden, was auf die Spielbarkeit von Tonarten/Griffen sich enorm auswirkte. Zu der ganzen Problematik von Stimmungen und Teperaturen: Mark Lindley: Stimmung und Temperatur. In: Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie. Bd. 6. Darmstadt 1987 S. 109-332, ISBN 3-534-01206-2 Im Gesamtwerk, aus dem der lange Aufsatz von Lindley stammt, sind noch weitere Themen aufschlussreich. Beste Grüße --Wetwassermann 08:23, 9. Dez. 2006 (CET)

Hallo W.N., ich verstehe Deine Bemerkung zu der von Wetwassermann angegebenen Seite so, dass Du mitteltönige Stimmungen wegen Oktavunreinheit auf der Laute nicht für realisierbar hältst (oder bezog sich diese Kritik nur auf Agricolas Einstimmmethode?). Dem ist aber nicht so: eine Laute lässt sich genauso wie ein Tasteninstrument mitteltönig stimmen, das Problem ist nur, dass mit der Wahl einer Bundposition alle Akzidentien entlang dieses Bundes festgelegt werden. Setzt man bei einer Laute in a (so wie in Deinem Artikel) den ersten Bund in die Position für b-Töne so hat man auf dem 1. Chor (= höchster Chor) ein b, auf dem 4. Chor, der auf g gestimmt ist also ein as. Benötigt wird hier aber meistens ein gis. Das Problem kann man dadurch lösen, dass man die Position 1. Bund/4. Chor vermeidet oder bestenfalls nur dann verwendet, wenn der Ton harmonisch nicht so ins Gewicht fällt. Viele Lautenkomponisten in der 1. Hälfte des 16. Jahrhunderts haben das so gemacht. Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung von kleinen Zusatzbünden, die an den entsprechenden Positionen auf das Griffbrett geklebt werden. Das wurde wahrscheinlich sehr selten gemacht, aber Vincenzo Galilei erwähnt, dass es einige Lautenisten gäbe, die solche "Tastini" verwendeten. Natürlich hält er als Anhänger der gleichstufigen Stimmung nichts davon. Christopher Simpson erwähnt, dass einige Gambisten und Theorbisten zwei 1. Bünde verwenden.
Heutezutage geht man davon aus, dass die gleichstufige Stimmung zwar häufig verwendet wurden (vielleicht sogar am häufigsten), dass aber andere Systeme auch verwendet wurden. Zu dem stimmt natürlich Wetwassermanns Bemerkung, dass Lautenstimmungen nichts Festes sind, da die Bünde leicht angepasst werden können (es gibt übrigens auch Bilder, die Lauten mit schiefen Bünden zeigen) und der Spieler durch die Technik der linken Hand in geringem Maße die Tonhöhe verändern kann.
Historische Instrumente des 16. Jahrhunderts mit festen Bünden (Cister,Pandora,Orpharion) haben übrigens in der Regel auch keine gleichstufige Bundsetzung.
Ich schlage daher vor, den Artikel zu löschen und Teile davon bei "gleichstufige Stimmung" einzubauen.
Orpharion 15:24, 9. Dez. 2006 (CET)

Hallo Orpharion, so schnell sollte man das Lemma Lautenstimmung nicht aufgeben. Allein deine Zeilen zeigen, doch, dass daraus etwas zu machen ist. Du könntest das sicherlich leisten. Abgesehen davon, wäre bei der gleichstufigen Stimmung etwas knapp Gefasstes zur 18/17-Stimmung einzufügen. Geh doch einfach mal ran! ;-) Beste Grüße --Wetwassermann 16:59, 9. Dez. 2006 (CET)

Hallo! Nach einem Wochenende mit anderen Verpflichtungen habe ich eine erste Revision durchgeführt, die nicht so pauschalisiert und etwas mehr differenziert. Da ich aber kein Fachmann für die Laute bin und nur über Kenntnisse der Temperatur-Theorie verfüge, möchte ich selbst keine weiteren Verbesserungen mehr anbringen. Ihr habt da offensichtlich mehr Wissen als ich und kennt auch Spezialliteratur.--Wilfried Neumaier 16:55, 11. Dez. 2006 (CET)

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Petrus Hispanus

Hallo,

ich hab Petrus Hispanus wieder zu Johannes XXI. zurückgeschoben, da alle Päpste unter ihrem Papstnamen als Artkel geführt werden (auch wenn dieser hier durchaus als Petrus Hispanus große Bekanntheit hat). Gruß, --Gunter Krebs Δ 11:03, 5. Mär. 2007 (CET)

Und noch ein kleiner Nachtrag: Artikel bitte niemals durch Kopieren und Einfügen verschieben, da dadurch die Versionsgeschichte verloren geht. Bitte immer die Verschieben-Funktion verwenden. --Gunter Krebs Δ 11:08, 5. Mär. 2007 (CET)

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Mengenlehre

Hallo Wilfried, leider stoße ich heute erst auf deine Anmerkungen in Diskussion:Mengenlehre von Juni 07. Offenbar kennst du die Historie viel genauer als ich und meine Vor-Autoren. Möchtest du die von dir beanstandeten Ungenauigkeiten nicht auch beseitigen? Ich denke, das ginge leicht und ohne die Substanz des Artikel anzugreifen, und wäre viel sicherer, als wenn ich nun aufgrund deiner Hinweise (deren Quellen ich auch nicht so leicht finden kann) irgendwelche Änderungen vornehme. -- Peter Steinberg 00:56, 3. Sep. 2007 (CEST)

Ich werde mich, sobald ich genügend Zeit habe, drum kümmern.--Wilfried Neumaier 12:18, 29. Sep. 2007 (CEST). Heute ist dies geschehen.--Wilfried Neumaier 12:54, 31. Dez. 2007 (CET)

Eine ganz tolle Weiterarbeit, was du da gemacht hast! Was Quellen und Fundierung angeht, entwickelt sich Wikipedia zur Zeit unheimlich positiv! - Ein paar kleine Layout- und Formulierungs-Meckereien werde ich vielleicht nächstens noch einbringen…

Inhaltlich etwas bedenklich finde ich aber den (verlinkten) Artikel naive Mengenlehre. Dort sieht es so aus, als sei die Widerspruchsfreiheit für ein ausreichend starkes Axiomensystem inzwischen erwiesen. Das ist nicht der Fall, und kann es auch nicht sein. Das kann man durch kleinere Änderungen klarstellen; ich guck da nächstens mal drüber.

(Beitrag von Peter Steinberg, 00:14, 8. Jan 2008)

Eben habe ich die Sache klargestellt. Gemeint war die Widerspruchsfreiheit relativ zu ZF.--Wilfried Neumaier 14:02, 8. Jan. 2008 (CET)

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Tonalität (Musik)

Bitte wirf einmal einen kurzen Blick auf diesen Artikel. Da hier die gesamte Musikgeschichte ein Rolle spielt würde ich mich freuen Deine Kenntnis nutzen zu können, um den Artikel wenigstens halbwegs stimmig hinzukriegen. Entweder beschreibt er "Tonikalität", Dur/Moll-Tonalität oder war Ziel von moderner Theoriefindung (Heinrich Schenker). Aber allgemeiner bekommen wir kein Bein auf den Boden. Gruß Room 608 13:10, 18. Nov. 2007 (CET)

Ich habe in den Tonalität-Artikel reingeschaut, bin aber nicht zufrieden. Das hat seinen Grund darin, dass der Begriff "Tonalität" einer der extrem "schwammigen" Begriffe der Musikwissenschaft ist. Vielleicht finde ich einmal Zeit, hier Verbesserungsvorschläge einzubauen, momentan befasse ich mich mehr mit Logik- und Mengenlehre-Artikeln.--Wilfried Neumaier 13:16, 1. Jan. 2008 (CET)

Ja danke, Du brauchst auch nicht die Diskussion zu lesen, die ich mit einem Interessierten dort geführt habe, jedenfalls haben wir den praktischen Begriff Tonikalität geprägt, die meist irrtümlich mit Tonalität gemeint wird, finden aber kein passendes annerkanntes Fachwort dazu, um erstmal dieses Mißverständnis auszuräumen. Aristoxenos habe ich in diesem Zusammenhang mit Genuß gelesen und nachgerechnet. --Room 608 20:32, 1. Jan. 2008 (CET)

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inuse?

Moin, verm. Vorlage:Inuse..--LKD 10:48, 7. Jan. 2008 (CET)

kleiner Tipp: Derartige Anfragen sind auf Wikipedia:Fragen zur Wikipedia besser aufgehoben: Da schauen mehr Leute drauf und es sind keine Adminrechte notwendig gewesen, um dir hier helfen zu können. ;-) --Gnu1742 10:50, 7. Jan. 2008 (CET)

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Mengenlehre

Hi, ich habe gesehen, dass Du dir in letzter Zeit den Bereich Mengenlehre etwas genauer anschaust. Ich habe mich vor paar Monaten mit Ordinalzahl beschäftigt, dann etwas Pause vom Thema genommen. Zuletzt habe ich an den verschiedenen Defintionen gearbeitet - wollte, dass der Artikel einen möglichst vollständigen Überblick in dieser Frage darstellt. Das letzte Wort ist dort vermutlich auch nicht gesprochen. Allerdings habe ich manche Sachen doch lieber für einen späteren Zeitpunkt gelassen. Diese Doktorarbeit wollte ich abarbeiten Peter Hancock Ordinals and Interactive Programs pdf, vorallem ab Seite 95 (das mit den Linsen), habe aber nicht alles verstanden und noch keine passende Literatur darüber gefunden. Hast Du Ahnung davon? Bei den Defintionen habe ich solche Definitionen, die nur in den Bereich "Konstruktive Ordinalzahlen" gehören, auch nicht thematisiert. Irgendwann, hoffe ich, werden wir auch dazu kommen, diesen Bereich anzufangen (also solche Sachen wie enwiki:Recursive ordinal und enwiki:Large countable ordinal). Gruß --Alexandar.R. 10:33, 11. Jan. 2008 (CET)

Leider bin ich kein Spezialist in Sachen Ordinalzahlen. Ich habe mich eher auf Grundlagenfragen (Axiome, Antinomien der Mengenlehre) und historische Fragen spezialisiert und wegen des Burali-Forti-Paradoxons auch die Ordinalzahlen gestreift. Alles, was mir in den genannte Bereichen an Ungereimtheiten, Falschinformationen, Lücken auffällt, versuche ich richtigzustellen.--Wilfried Neumaier 15:11, 11. Jan. 2008 (CET)

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Harmonische Teilung

Hallo Wilfried, ich habe da ein Problem, das vielleicht ziemlich genau in dein Fach gehört: Schau dir doch bitte mal das Lemma harmonische Teilung an. Was ich da als 2. Satz geschrieben habe, scheint mir inzwischen sehr unsicher zu sein. Es hat dazu eine ganz interessante Diskussion gegeben, die aber auch nicht so recht ein Ergebnis gebracht hat.

Meine Vermutung ist im Augenblick:

1. Was man in der Mathematik unter h.T. versteht, kommt weder in der bildenden Kunst noch in der Musik vor.
2. Wenn in der bildenden Kunst von h.T. die Rede ist, ist damit immer der Goldene Schnitt gemeint. H.T. war früher die gängige und anfangs die einzige Bezeichnung für den Goldenen Schnitt.
3. In der Musiklehre wird h.T. etwas unbestimmt für eine Unterteilung des Monochords verwendet, die Harmonien erzeugt, oder spezifischer für die für die Teilverhältnisse, die zur reinen Stimmung gehören.

Wenn das stimmt, muss der Satz natürlich raus. -- Peter Steinberg 23:47, 14. Jan. 2008 (CET)

Es ist zwar schon sehr früh, aber ich habe gerade noch reingeschaut. Zunächst nur das, was ich ganz spontan sagen kann. Ich persönliche kenne mich nur in der Musik aus. Dort kenne ich die harmonische Teilung nur als harmonisches Mittel, wie Du es festgestellt hast und wie es der Sulzer-Lexikon-Link sagt. Von einem unbestimmten Gebrauch ist mir nichts bekannt. Im Artikel reine Stimmung ist von harmonischer Teilung oder Mittel gar nicht die Rede. Das Adjektiv "harmonisch" hat hier gar nichts mit der h.T oder dem h.M. zu tun. Das h.M. verbinde ich spontan mit der Musik-Mathematik von Archytas, kann das aber im Moment nicht überprüfen. Später mehr.--Wilfried Neumaier 02:04, 15. Jan. 2008 (CET)

Ein Frage: Was ist bei der Definition von harmonische Teilung das Verhältnis (ABT) bzw. (ABU)? Diese Notation eines Verhältnisses ist mir völlig unbekannt, sicher andern Lesern auch.--Wilfried Neumaier 16:02, 16. Jan. 2008 (CET)

Das gehört wohl zu der unteren Konstruktionszeichnung, die man ja noch in lineare Algebra übersetzen könnte. Ist schon unklar: Unter Teilverhältnis steht: $\lambda =TV(ABT)$ statt ATB, wenn es eindeutig ist. --Room 608 17:15, 16. Jan. 2008 (CET)

Es ist zwar nicht meine Diskussionsseite, aber dennoch: Die reine Stimmung arbeitet mit Halbierung und Drittelung und ist im Endeffekt, wegen des Pythagoreischen Kommas alles andere als universell harmonisch. Die Teilung der gleichschwebenden Temperatur ist einfach eine 12-Teilung in Form der zwölften Wurzel aus zwei, wegen des exponentiellen Frequenzverlaufs: $({\sqrt[{12}]{2}})^{n}\cdot f$. n läuft dann die zwölf Tonschritte ab und erreicht dann die Oktave. Nach Planck ist das dann auch harmonischer. Kleiner Scherz: Bei kenntnisreicher Modulation kann man es hinkriegen, dass ein Gang des pythagoreischen Kommas bei dem Verhältnis der harmonischen Teilung vorbeikommt. Siehe auch Wilfrieds Artikel Aristoxenos. --Room 608 01:17, 15. Jan. 2008 (CET)

Mmh, ist wohl löchrig mein Wissen, aber dafür habe ich jetzt zwei Kommata und ein Limma mehr. Ich mochte die reine Stimmung sowieso noch nie. Diese Unterschiede hört man im praktischen Musizieren höchstens als Schwebungen. Resonanz ist mir lieber.--Room 608 02:55, 15. Jan. 2008 (CET)

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Begriffslogik

Ich habe auf meiner Benutzerseite Benutzer:Roomsixhu/Baustelle einen Veruch gestartet den wenig eleganten Kalkül von Petzinger zusammenzufassen oder abzuschreiben. Sie nannten ihn früher Boole-Schrödersche Algebra. Das Bezeichnungswirrwarr ist fürchterlich, mir fehlen auch schöne Beispiele für die Anwendung des eingeschränkten Urteilsprinzips (oder Modalprinzips). Das ganze sieht dann bei mir genauso unelegant aus. Ich dachte mir, dass eine knappe Zusammenfassung des Kalküls in einem Artikel sinnvoll wäre. Vielleicht sollte man nicht so ins einzelne gehen. --Room 608 11:08, 25. Jan. 2008 (CET)

Meine Meinung: Das ist fürchterlich kompliziert. Als Wiki-Artikel nie und nimmer geeignet. Es muss meines Erachtens eine Referenz mit Link zur Literatur genügen. Wer will, kann sich dann in den Formalismus einarbeiten. Eine Frage: Wer nannte ihn früher Boole-Schrödersche Algebra?

Petzinger selbst: Logik im Abriß, 1972 (seine "Jugendsünde") S. 30: "Die der Boole-Schröderschen Algebra (kurz BSA) zugrunde liegende Idee stammt von Leibniz: ..." oder S. 25: "Der ´Begriffskalkül´ ... ist ein Boolescher Verband. Diese Tatsache wird es ermöglichen übliche Logikkalküle ( Boole-Schröderscehe Algebra, Aussagenlogik(kalkül[!]), Prädikatenkalkül etc.) vom Standpunkt der hier entwickelten reinen [!] Logik ... zu deuten bzw. zu begründen." Dieses kleine Heft faßt knapp Freytags Strichkalkül zusammen, vergleicht ihn mit dem Verband bzw. übersetzt in dorthin. Rechnet mit der boolschen Algebra herum und hat u. a. Kaptiel zu Aussagenlogik, Syllogistik und Pradikatenkalkül. Und eine Aufgabensammlung, (dort die Schnittregel).

In seiner Literaturliste taucht dann auch Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik I, II, III New York 1966. Abriß der Algebra der Logik I,II (herausgegebn von Eugen Müller) New York 1966. Der Operationskreis des Logikkalküls, Damrstadt 1966. auf. (teuer und selten)

Eine deutliche Referenz mit Link wäre ja schon wünschenswert. Die Komplikation beginnt ja schon mit der negierten Halbordnung, die man auf zweierlei Weise erhalten kann, entweder direkt mit Regeln oder auf erster "Metaebene". Was für Begriffe. --Room 608 20:04, 25. Jan. 2008 (CET)

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Folge,Tupel, Geordnetes Paar

Ich habe mir Artikel von Dir angesehen und dabei den Eindruck gewonnen dass Du etwas von Mathematik verstehst, ganz im Gegensatz zu vielen anderen Artikelverfassern. Mit einem Versuch von mir, den mathematischen Begriff Folge zu definieren, bin ich nicht so recht zufrieden, weiß aber nicht warum. Wäre es zuviel verlangt, Dich um einen kurzen Blick auf meinen Versuch zu werfen? Du findest ihn unter H.Folge. --Hederich 17:21, 14. Feb. 2008 (CET)

Ich habe mir den Artikel-Enwurf angesehen. Vielleicht ist Dir entgangen, dass es bereits einen Artikel über mathematische Folgen gibt, nämlich: Folge (Mathematik). Dort steht auch die mir geläufige Definition als Abbildung der Natürlichen Zahlen im Sinne einer Indizierung. Das ist wirklich die einfachste Definition und dazu die gängige, man kann sich davon gut überzeugen durch einen Blick in das kleine verbreitete B.I.-Taschenbuch von Herbert Meschkowski "Mathematisches Begriffswörterbuch", das auch bei anderen mathematischen Begriffsbildungen und Definitionen immer nützlich ist. Im erwähnten Artikel ist nicht gut, dass die endlichen Folgen erst weit unten so nebenbei eingeführt werden; ferner fehlt die Verlinkung zu den Tupeln. Er benützt aber den üblicheren Terminus "Glied" statt "Komponente". Man sollte aber trotzdem beide Benennungsweisen im Artikel angeben. Es gibt auch bereits den Artikel Geordnetes Paar, der das Wichtigste dazu korrekt enthält. Auch hier fehlt aber die Verallgemeinerung zu Tupeln. Man muss also nur den Tupel-Artikel ein wenig verbessern. Ich würde Tupel aber wiederum im Anschluss an Meschkowski definieren, der vom geordneten Paar ausgeht wie Peano, der die Tupel in seinem Formulaire de mathematiques von 1897 einführte. Wenn man Null-Tupel will, dann kann man sie als leere Menge setzen, wobei ich das üblicher Symbol für die leere Menge benützen würde, nämlich den durchgestrichenen Kreis. Jedenfalls sollte der Tupel-Artikel auch die Gleichwertigkeit zur endlichen Folge kurz mit einem Link zur Sprache bringen. Das genügt meines Erachtens vollauf.--Wilfried Neumaier 19:22, 14. Feb. 2008 (CET)

Danke für Deine instruktive Kritik. Ich möchte aber erklären, warum ich den Entwurf gemacht habe: Der aktuelle Artikel Folge (Mathematik) beschäftigt sich mehr mit Reihen als mit Folgen. Reihen sind keine Folgen: a+b+c+… ist eine Reihe; a,b,c, … eine Folge. Ich meine a,b,c sind bei Reihen Glieder, bei Folgen Komponenten (jedoch oftmals anders gebraucht oder nicht untershieden). Ich möchte den Aktuellen Artikel durch meinen Entwurf ersetzen, nicht zuletzt deswegen, weil der Aktuelle dem Thema nicht gerecht wird. Auch möchte ich geordnetes Paar und tupel, den Artikel zu letzterem hatte ich kürzlich eingestellt, auf den von mir beabsichtigten neuen Artikel Folge, Tupel, geordnetes Paar umleiten. Meine Frage an Dich war, ob mein Entwurf vom streng-mathematischen Standpunkt aus haltbar ist. --Hederich 21:32, 14. Feb. 2008 (CET)

Der Artikel Folge (Mathematik) befasst sich doch ganz korrekt auschließlich mit Folgen. Nur ein kleiner Teilartikel befasst sich mit Reihen, die aber dort als spezielle Folgen definiert sind; es sind dort jedenfalls keine Summen, sondern die Glieder der Reihen sind lauter Summen. Daher verstehe ich Deinen primären Grund nicht.

Von einer Umleitung würde ich abraten, weil das gegen gewisse Wikipedia-Normen verstößt. Ich bin hier früher auch schon voll ins Fettnäpfchen getreten. Lass also bitte die alten Artikel, die meines Erachten mathematisch gut sind, bestehen und bemühe Dich um eine sinnvolle Ergänzung mit einer ordentlichen Verlinkung.

Von einer besseren Qualität Deines Artikels (als Gesamtes) bin ich nicht überzeugt. Du hast aber wichtige Ergänzungen drin. Es gibt immer eine Vielzahl von mathematisch korrekten Zugängen zu einem Thema. Daher ist es immer wichtig, dass der Artikel mit den Standardzugängen harmoniert, das ist bei Dir nicht ganz der Fall, aber bei den bestehenden Artikeln schon. Deswegen habe ich Meschkowski als erste Richtlinie empfohlen. Er deckt sich mit meinen Erfahrungen aus verschiedenen Mathematikgebieten. Auch wenn Du Hazewinkel zitierst, findest Du dort primär den Standardzugang und nicht Deine Varianten: "tuple" definiert er als endliche Folge und nur als Alternative im Kontext einer Mengenlehre rekursiv, wobei Du seine rekursive Definition nicht genau zitierst, sondern durch einen unnötigen Zwischenschritt erweiterst; das ist mathematisch nicht üblich und nicht elegant, wenn auch nicht falsch. Was aber Deine Hasewinkel-Variante der "sequence" mit seinem Artikel zu tun hat, ist mir vollkommen schleierhaft. Soviel als Antwort auf Deine Frage, ich hoffe, ich bin Dir nicht zu streng.--Wilfried Neumaier 08:18, 15. Feb. 2008 (CET)

Du hast schon Recht, der Folge-Artikel befasst sich durchgehend mit Folgen, jedoch größtenteils mit Zahlen-Folgen. Dies sind sehr spezielle Folgen und man gewinnt beim Artikel den Eindruck, als seien Folgen vorwiegend Zahlen-Folgen. Ich meine, es wäre besser, gründlicher arithmetische Folgen und Reihen in separaten Artikeln zu behandeln, letztere z.B. im Artikel Reihe (Mathematik).

Deiner Bemerkung über Umleitung stimme ich zu.

Was die Qualität vieler mathem. Artikel anlangt, insbesondere des aktuellen Folge-Artikels, werden wir beide vermutlich nicht immer übereinstimmen. Aber das ist ja ganz natürlich.

Noch ein Wort zu meinem Entwurf. Die informelle Passage listet nur Bekanntes auf.

Im formellen Teil finden sich Ausführungen für jemanden, der wissen möchte, wie der Begriff Folge üblicher Weise definiert ist. Ich habe mich doch dabei auf, wie Du es nennst, Standardzugänge, beschränkt: Endliche Folge als eine Reihe indizierter Objekte, d.h. so etwas wie "Abbildung der natürl. Zahlen auf eine Menge" und Folge als eine Reihe hintereinander stehender Objekte. Beides findet sich bei Hazwinkel. Leider führen die beiden dort dicht nebeneinander stehende Definitionen zu gravierend unterschiedlichen Begriffen: Die eine definiert Folge mathematischer Objekt die andere Folge von Elementen aus einer vorgegebenen Menge. Für unendliche Folgen findet sich bei Hazw. nur der eingeschränkte Folge-Begriff.

Hier fühle ich mich wie in einer Zwickmühle: Soll ich "wörtlich" zitiere und die erwähnte Diskrepanz belassen, oder eine der beiden fundamentalen Definitionen unterschlagen? Mir hilft hier meine Auffassung vom Belegen etwas weiter: Quellen sind inhaltlich richtig zu verwenden nicht unbedingt wörtlich. Hier meine ich sowohl den Anforderungen der WP als auch eines kritischen Mathematikers gerecht zu werden, indem ich hier Hazw.s widersprüchles Definieren nicht sichtbar mache und nur eine der Versionen angebe, was natürlich zugunsten der nicht eingeschränkten ausfällt. In einem Zusatz ist die einschränkte Version vermerke.

Den von Dir erwähnten unnötigen Zwischenschritt habe ich getan, um mein "ästhetisches" Empfinden beim Abfassen von mathem. Texten nicht zu strapazieren.

Wenn ich schreibe (x₁, ... x_n) und n ist Null, dann sträubt es sich in mir, dann hätte ich lieber ( ..., x_n) geschrieben. Nun, das habe ich nicht getan, sondern den Zwischenschritt eingelegt. --Hederich 17:46, 15. Feb. 2008 (CET)

Gut, ich sehe Deine Motivation und stimme Dir weitgehend zu. Bei der Berufung auf offizielle Quellen hat man immer wieder gewisse Probleme. Konkret zu den zweierlei Folgendefinition: Es ist ein Scheinproblem, denn wenn man ZF voraussetzt, was ja normal ist, dann decken sich beide Definition, da ja eine Funktion mit Definitionsbereich N stets als Bild irgendeine Menge hat (laut Ersetzungsaxiom). Also kann man eine Menge von Objekten voraussetzen. Aber das ist gar nicht nötig, denn man kann ja definieren:

Eine Folge ist eine Funktion, die auf der Menge der natürlichen Zahlen oder auf einem Abschnitt {1,...,n} der natürlichen Zahlen definiert ist; im ersten Fall heißt sie eine unendliche Folge und im zweiten Fall eine endliche Folge oder eine n-gliedrige Folge.

Damit hat man mit alles auf einmal gesagt. Das ist mathematisch korrekt, allgemeingültig, deckt sich mit dem Gängigen (Meschkowski: Artikel "Folge"), ist direkt verständlich und lexikontauglich. Man kann dann nachher einen Abschnitt über Schreibweisen verschiedene Versionen von N besprechen und die Definition von diesen Formalismen entlasten. Genauso kann man dann nachträglich alternative Tupel-Definitionen diskutieren, was ich aber in einen Extra-Abschnitt verlagern würde und relativ ans Ende setzen würde.--Wilfried Neumaier 20:25, 15. Feb. 2008 (CET)

Ich kann nur danke sagen, für Deine Geduld mit einem Mathematik-Laien, wie ich es nun einmal bin.
Auf Dein Anraten hin habe ich mir den Menschkowski antiquarisch bestellt.

Dein Definitions-Vorschlag leuchtet mir ein, nachdem ich mich mit dem Ersetzungsaxiom vertraut gemacht habe. Ich würde ihn am liebsten (wörtlich) übernehmen; glaube jedoch es ist besser, in meinem Artikel-Entwurf das Word "Funktion" zu vermeiden, denn der Begriff Funktion wird in den einschlägigen WP-Artikeln naiv gebraucht, so wie ich ihn bis heute Morgen auch (grob gesagt: Eine Funktion ist ein Tripel (A,B,F), wobei A und B Mengen sind und F eine gewissen Bedingungen genügende Teilmenge von AxB ist). Auch möchte ich so wenig als nötig mathm. Begriffe als bekannt voraussetzen; wenn es geht, nur Begriffe aus der naiven Mengenlehre, natürliche Zahlen und geordnetes Paar.

Zur formalen Definition unendlicher Folgen: Kann man dies auch induktiv?
Mein Entwurf, nochmals überarbeitet,steht nach wie vor in H.Folge.
Ich schaue auch auf die zugehörige Diskussionsseite, ob Du dort etwas vermerkt hast. --Hederich 18:41, 16. Feb. 2008 (CET)

habe ich den Entwurf des Folge-Artikels Deinen guten Empfehlungen entsprechend neu geschrieben. Zum Kleinwenig: Im Folge-Begriff sehe ich einen sehr einfachen "Basis"-Begriff der Mathematik. Nun wird zu seiner Definition der m.E. komplexere Begriff der Abbildung/Funktion herangezogen, wobei dieser, wie mir scheint, formal betrachtet auf dem Folge-Begriff beruht.--Hederich 17:03, 17. Feb. 2008 (CET)

Ich habe momentan nicht sehr viel Zeit, daher nur kurz: Der Funktionsbegriff ist nicht komplex, er gehört zu den elementarsten Begriffen der Mengenlehre. Man bekommt ihn als Paarmenge mit Eindeutigkeit in der zweiter Komponente. Der Begriff ist bereits mit den allereinfachsten Mengenaxiomen bildbar. Mit ihm bekommt man dann sehr bequem beliebige Folgen. Dagegen ist bei der rekursiven Definiton, die Du anstrebst, ein Rekursionstheorem nötig, damit eine Folge existiert. Dazu bedarf es einer wesentlich komplexeren Grundlage. Die unendliche Paarschachtelung, die man bei Deiner Definition benötigt, ist wirklich nicht einfacher, sondern eine sehr komplexe Menge. Wenn man sie ausführlich aufschreibt, sieht man das sofort. Vergleiche nur einmal die ein Quadrupel (a,b,c,d) ausgeschrieben in Deiner Definition und ausgeschrieben als vierstellige Folge im Sinn einer Funktion. So ein Beispiel müsste Dich eigentlich sofort davon überzeugen, dass der übliche Definitionsweg einfacher ist. Ich habe - ehrlich gesagt - daher bei Deiner Definition nicht nur ein klein wenig Unbehagen.--Wilfried Neumaier 19:05, 20. Feb. 2008 (CET)

Von Unbehagen bei mir keine Spur mehr. Mit bestem Gefühl habe ich den Kopfteil von Folge (Mathematik) neu gestaltet und bin gespannt, wie lange sich das halten wird.
Ich hatte immer die Vorstellung die hazewinkelsche sei die schreibökonomischste Definition für endliche Folgen. Auf Deinen Rat hin habe ich verglichen:
Entwicklung nach Hazw.: {{{{{},{a}},{b}},{c}},{d}}    allgemein:   {ⁿ $\emptyset$, {a₁}}, {a₂}} , ... {a_n}}
Entwicklung als Funktion: {{{1},{1,a}},{{2},{2,b}},{{3},{3,c}},{{4},{4,d}}} (geordnetes Paar nach Kuratowski)    allgemein:   {{{1},{1,a₁}}, {{2},{2,a₂}}, ... {{n},{n,a_n}}}
Eine n-gliedrige Folge hat nach Hazw. 4n+2 Klammern plus n Komma (n=4: 22 Zeichen)
und als Funktion 6n+2 Klammern plus 3n-1 Komma plus 2n Ganzzahl-Darstellungen (n=4: 45 Zeichen)
Du sprichst von einem Rekursionstheorem im Zusammenhang mit der Existenz von Folgen. Nach wie vor interessiere ich mich für rekursive Definition unendlicher Folgen. Dann könnte ich im formalen Teil des Folge-Artikels einen Überblick der Definitionen geben. --Hederich 12:23, 22. Feb. 2008 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 11:40, 19. Jul. 2010 (CEST)

Hilbert-Zitat

Hallo Wilfried, habe das Zitat, nach dem du auf der Diskussionsseite zum Hilbertprgramm fragtest, mal im Original nachgeschlagen, es entsprechend korrigiert und mit der Referenz versehen. Gruß, --Muffocks 14:26, 28. Feb. 2008 (CET)

Danke! Es war auch an der Zeit, dass sich jemand auch der "Grundlagenkrise" angemessen annimmt, weil diese bisher oft hochstilisiert wurde.--Wilfried Neumaier 12:53, 31. Mär. 2008 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 11:40, 19. Jul. 2010 (CEST)

nochmal Lautenstimmung

Hallo Wilfried, Ich habe mir gerade den Artikel Lautenstimmung angesehen, und mir ist aufgefallen, dass du am 16:49, 11. Dez. 2006 eine Änderung in der Lauten-Griff-Grafik gemacht hast. Vor der Änderung habe ich es verstanden und halte es auch jetzt noch für richtig, nach der Änderung heissen jetzt manche der gis=as - Töne jetzt nur noch gis oder nur noch as. Warum haben sie deiner Meinung nach nicht diese Doppelbedeutung? ( Später wird dann daraus eine Differenz von einem pythagoreischen Komma gefolgert, und das ist meiner Meinung nach sehr unwahrscheinlich. Denn dann hätten die Bundabstände nach der pythagoreichen Stimmung verteilt werden müssen ... . Und das war wohl kaum so, oder? ) Gruss, -- Christoph May 23:09, 28. Mär. 2008 (CET)

Die Änderung damals wurde durch eine Diskussion ausgelöst, die eine pauschale Zuordnung der gleichmäßigen Temperatur zu Lautenstimmung betraf. Die gleichmäßige Temperatur ist zwar heute der Normalfall, aber historisch und instrumentaltechnisch keineswegs zwingend. Die Tabelle lässt jetzt die Temperaturfrage völlig offen, das heißt sie geht davon aus, das jeweils eine Quarte vorliegt, die in der Buchstabennotation eben genau wie angegeben bezeichnet wird. Es gab und gibt Instrumente, die gis und as nicht identifizieren, so dass hier tatsächlich das "unwahrscheinliche" pythagoreische Komma entsteht und die entsprechende Oktave eben dann nicht genützt wird. Die Gleichsetzung gis=as ist eine Sache der feinen Justierung der Bünde.--Wilfried Neumaier 12:49, 31. Mär. 2008 (CEST)

Da die Tabelle die Temperaturfrage, wie du sagst, völlig offen lässt, lässt sie auch offen, welcher Abstand zwischen z.B. gis und as besteht. Insofern kann man eben nicht von einem pythagoreischen Komma Unterschied sprechen. Man sollte also das pythagoreische Komma aus dem Text rausnehmen. Interessant wäre natürlich zu erfahren, wie die Lauten denn nun damals gestimmt waren. -- Christoph May 12:55, 1. Apr. 2008 (CEST)

Ja, die Tabelle lässt die Frage offen, weil man eben verschieden stimmen kann. Der Artikel redet aber von Quarten in der reinen Stimmung, in der eben das pyth. Komma entsteht. Die reine Stimmung der Quarten war üblich im Mittelalter; es gab damals faktisch nur die reine Stimmung. Man hat damals nicht moduliert in Tonarten, in denen das Komma auftrat. Die Tonarten (Modi) waren damals darauf abgestimmt. Der Artikel knüpft an dieser historischen Situation an. Die Theoretiker, die die Lautenstimmung beschreiben, tun dies auch, soweit ich die Literatur kenne. In der mitteltönigen Stimmung der Laute tritt natürlich noch ein viel krasseres Komma auf, das ist aber meines Wissens äußerst peripher, wenn es überhaupt irgendwo in der historischen Literatur erwähnt wird.

Es gab in der speziellen Fach-Theorie für Lauten nicht "die" Lautenstimmung, darauf wurde ich in der früheren Diskussion aufmerksam gemacht. Ich kannte zuvor nur die gängigen historischen Tonsystemtheorien, in denen die gleichmäßige zwölfstufige Temperatur als Lautenstimmungstimmung gilt. Das war daher sicher der Normalfall; nur in dieser Normalstimmung werden gis und as identifiziert. Ich hoffe, die Sache ist damit klarer.--Wilfried Neumaier 23:27, 1. Apr. 2008 (CEST)

Das pytagoreische Komma tritt doch nur auf, wenn nur nach Quarten (b.z.w. Quinten) gestimmt wird. Das würde für die Laute bedeuten, dass der Tonabstand zwischen benachbarten Saiten genau eine Quarte ist UND dass die Bünde der pythagoreischen Stimmung folgen. Ersteres ist der Fall, letzteres aber wohl kaum, denn dann müssten die Bünde in unregelmässigen Abständen unter der Saite angebracht sein (denn in der pythagoreischen Stimmung sind nicht alle Halbtöne gleich gross). Wahrscheinlich ist der Abstand, bis auf Oktaven, zwischen dem as und dem gis' in der Darstellung 3 Mal der Abstand zwischen reiner und temperierter Quart, also 5,87 Cent. Und das ist wesentlich weniger als das pythagoreische Komma. Aber der Punkt unserer ganzen Diskussion ist, meine ich, folgender: Wie gross waren die Tonabstände zwischen den auf dem Lautenhals angebrachten Bünden? Solange man da nicht weiss, wie es denn nun damals gewesen ist, ist die Diskussion ziemlich schwierig. -- Christoph May 21:53, 3. Apr. 2008 (CEST)

Zur Tabelle: Hier sind bei benachbarten Bünden entweder auf allen sechs Saiten ein diatonischer oder auf allen sechs Saiten ein chromatischer Halbton. Daher ist hier die pyth. reine Stimmung gut möglich. Nach alten Quellen soll sie praktiziert worden sein. Das macht den Gebrauch der unreinen Oktaven und das Transponieren unmöglich und wurde beim Spielen berücksichtigt.

Zu den Bünden: Die Bünde historischer Lauten waren nicht wie an modernen Instrumenten fest im Holz verankerte Metallstäbe, sondern es waren - wie der Name sagt - um das Griffbrett herum "gebundene" Saiten-Stücke. Diese waren verschiebbar. Daher musste der Spieler diese Bünde nach Bedarf justieren. Er konnte sie pythagoreisch justieren, er konnte sie mitteltönig justieren, er konnte sie aber auch oktavrein justieren und letzteres bedeutet bei rechtwinkliger Anordnung gleichmäßig zwölfstufig. Prinzipiell war aber auch eine leicht schiefwinklige Justierung möglich, bei der man grobe Fehler auch ungleichmäßig temperieren konnte, so dass eine schwer berechenbare ungleichmäßige zwölfstufige Stimmung entsteht. Jedenfalls kann man definitiv nicht von einer festen Lautenstimmung reden.

Ich werde solche Informationen, die zum Verständnis offenbar wichtig sind, noch in den Artikel einbauen.--Wilfried Neumaier 07:38, 4. Apr. 2008 (CEST)

Ich habe mich für die Jazzgitarre schon mal gefragt, da sie so viel eigenen Klangcharakter hat, ob sie mit Quarten überhaupt gleichmäßig zwölfstufig zu stimmen ist. Ich denke es gibt kaum einen Gitarristen, der seine Quarten nach gleichmäßig zwölfstufigen Sekunden stimmt. Ob das aber bei der heute festen Anordnung der Bünde berücksichtigt ist, und die das ausgleichen, habe ich mich schon gefragt. Bei den Bläsern im Jazz spielt ja die reine Stimmung noch eine hörbare Rolle (viele b- Tonarten), Gitarristen bevorzugen ja oft die #-Tonarten. Ansonsten gibt es rein gestimmte Tasteninstrumente der Zeit, die gis und as etc. (enharmonisch) unterscheiden und zwei Tasten dafür haben. --Room 608 11:52, 4. Apr. 2008 (CEST)

Die Bünde sind bei einer teuren Gitarre schon recht genau berechnet und justiert. Da kann man sich darauf verlassen, dass die Stimmung näherungsweise zwölfstufig wird, außer man zieht billige Saiten auf.

Die reine Stimmung spielt auch bei Streichinstrumenten ein Rolle. Bei Bläsern und Streichern, wo man die Intonation korrigieren kann, haben gute Spieler ein intuitives Feedback und passen die Stimmung immer an den Kontext an. Ohne Kompromisse geht es aber nie. Im großen Orchester oder beim Zusammenspiel mit fest gestimmten Instrumenten (Tasteninstrumenten) sind sie unbedingt nötig.

Extravagante Tasteninstrumente mit geteilten Tasten haben sich nie in der Praxis bewährt. Sie sind immer Experimentier-Instrumente, die meist eine Affinität zu irgend einer Theorie haben. Die rechnerisch reine Stimmung ist so oder so eine idealiserte theoretische Sache und ist höchstens näherungsweise zu realisieren. Sie entspricht aber keineswegs optimal dem Gehör: Viele Experimente haben belegt, dass das Ohr nicht die rechnerisch idealen Werte als ideal empfindet.--Wilfried Neumaier 00:48, 5. Apr. 2008 (CEST)

Kenn ich auch mit sieben Zusatztasten

Ich hab mal gehört gerade Streicher und Sänger, was ja im Chor eine Rolle spielt, neigen intuitiv eher zur reinen Stimmung als zur gleichmäßg temperierten, was auch mein Eindruck ist. Liegt wohl an meinem guten Klavierstimmer. Letztendlich hat das mit der Musikauffassung zu tun, denke ich. Die reine Stimmung kommt wuchtiger. Was ich bei der ganzen Theorie nie höre sind Tonhöhenunterschiede, aber über die Schwebungen bekommt man es schon ziemlich genau mit. Also zwei Sänger singen doch sicher lieber rein, ohne Schwebungen, als gleichmäßig temperiert mit Schwebungen. Das müsste doch bei der Gewöhnung in der Renaissance beim Übergang zur gleichmäßg zwölftönigen Stimmung auch ungewohnt aufgestoßen sein. Nach dem Motto, "was leiert das Orchester so". Aber das ist ja ein anderes Thema. Ich finde den Artikel Lautenstimmung so ganz gut. Problematisch finde ich nur den Hinweis auf die mitteltönige (terzenreine) Stimmung der Tasteninstrumente. Das beschreibt doch ein Klangideal, aber wenn das so allgemeingültig für die Renaissance ist, so ist es eine einseitge nachzuweisende Sichtweise. Die Lautenisten als Fortschrittsmusiker.(?) --Room 608 02:39, 5. Apr. 2008 (CEST)

Die mitteltönige Lautenstimmung ist auch quellenmäßig belegt. Sie ist dann nötig, wenn man mit mitteltönigen Tasteninstrumenten zusammenspielt, was in der Praxis damals vorkam, weniger bei der Laute, aber oft bei Gamben. Es ist sicher keine einseitig nachzuweisende Sichtweise. Aber mitunter wurden die Lautenisten als fortschrittlich gerühmt, etwa von Lanfranco (siehe Artikel Lautenstimmung).

So, ich habe den Artikel jetzt mal so erweitert, dass man nicht mehr so schnell auf die Idee kommen kann, bei reinen Quarten zwischen den Saiten und "normalen" Bünden, irgendwo ein pythagoreisches Komma zu suchen. Dieser zusätzliche Text kann natürlich dann wieder raus, wenn es jemandem gelingt, die pythagoreische Anordnung der Bünde in der Grafik irgendwie darzustellen. (Wobei ich ja bezweifle, dass man pythagoriesche Bünde als Teil der historischen Lautenstimmung ansehen sollte, aber ich bin da eben auch kein Experte) -- Christoph May 12:17, 10. Apr. 2008 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 11:40, 19. Jul. 2010 (CEST)

reine Stimmung - Schwebungen

Sänger haben, was die reine Stimmung betrifft, zweierlei Tendenzen. Wenn sie sich melodisch orientieren, singen sie pythagoreisch, also eine pythagoreische Durtonleiter, das ist eine experimentell fundierte Tatsache. Die pyth. Tonleiter ist leittönig und hat keine reine Terz. Wenn sich Sänger aber harmonisch orientieren, etwa bei stehenden (wiederholten) reinen Durdreiklängen, passen sie sich der reinen Terz an. Sie temperieren also immer kontextabhängig.

Das Phänomen der Schwebungen ist bei verschiedenen Instrumenten sehr unterschiedlich stark vorhanden. Deutlich tritt es nur bei wenigen Instrumenten auf (Solo oder Kammermusik). Auf einer Geige oder einer Orgel mit einem Register hört sich ein temperierter Durdreiklang deutlich unrein an. Hier klingt ein mitteltöniger dagegen angenehm wohl (für mich ist die mitteltönige Stimmung nicht wuchtig, sondern füllig). Im Streichorchester verschwinden Schwebungen völlig. Ein temperierter Durdreiklang hört sich hier rein an! Ich habe das einmal experimentell in einer Vorlesung in Tübingen vorgeführt bekommen. Sehr viel macht auch das Vibrato aus: Die ständig schwankende Frequenz vermindern auch hier Schwebungsphänomene.

Das ist auch bei Sängern so. Hier ist das Singen mit Vibrato extrem Mode geworden. Wenn es bewusst durch Zwerchfellstöße gemacht wird, was üblich geworden ist, klingt es häßlich fast wie ein Tremolo, bei Duetten und Quartetten oft schauderhaft. Hast Du einmal alte Aufnahmen von Sängern um 1900-1910 gehört? Die singen ohne künstliches Vibrato, in Duetten glockenrein. Ich habe meinen Ohren nicht getraut, als ich das zum ersten Mal hörte. Experimentell habe ich einmal das Vibrato verschiedener Sänger nachgemessen. Diskau singt zum Beispiel ein künstliches Vibrato mit einer Frequenzschwankung bis zu einer kleinen Terz! Technisch mit altitalienischer Schulung ausgebildete Sänger haben ein natürliches Vibrato mit einer Frequenzschwankung von einem Viertelton! Das Vibrato entsteht hier im Stimmband durch muskuläre Einstellung der Tonhöhenspannung, die ja per automatischem Feedback geregelt wird. --Wilfried Neumaier 12:18, 5. Apr. 2008 (CEST)

Ich habe mich leider nicht mit Sängern um 1910 befasst, die würde ich aber gern hören. das hier wird Dir auch gefallen: [1] Mir sind nur Jazzsänger bekannt: Betty Carter und heute Cassandra Wilson singen ohne jegliches Vibrato und treffen den Ton. Üblich ist, wenn es geschmackvoll ist bei Ella Fitzgerald und Sarah Vaughn, eine gerade angesungener Ton der zum Ende hin in ein Vibrato verbreitert wird. Ich kenne lediglich eine Sängerin,die es umdreht, sie steigt mit Vibrato (Tremolo eher) ein und endet auf einem gerade ausgesungenem Ton, Carmel McCourt (brit.Jazzpop). Aber ich folge da Deiner Messung, bitte geschmackvoll. Mein Experimente sind da anders. Auf meinem Synthesizer kann man verschiedene Stimmungen, die mitteltönige fehlt, einstellen und mit Sinustönen deutlich ausprobieren. Für die Dur- und Mollterz in gleichstufiger Stimmung habe ich festgestellt, dass die Mollterz ruhiger klingt, weil sie langsamer schwebt. Die reinen Terzen schweben nicht. Dann habe ich bei den Jazzern festgestellt, oder vermute, dass sie das Schwebungstempo rhythmisch aufgreifen, gute Jazzer beschleunigen aber auch nie kontinuierlich in einem Chorus (Liedform), sondern sprunghaft in einem neuen Chorus, wenn der neue Solist einsetzt und der Gesamtklang einen anderen Sound bekommt, dass machen sie in ungefähr der Zeit von zwei Vierteln, habe ich nachgemessen. Das Thema wird bei der Schlusswiederhohlung meist ein wenig schneller gespielt, aber der gemächliche Sidenwinder von Lee Morgan wird zum Schluss sogar langsamer gespielt. Die typische Falle für Amateurbands, sie werden schneller, wenn sie lauter werden. Dann habe ich sogar mal Summen- und Differenztöne ausgerechnet auf ihre Tonhöhe hin, ist interessant aber nicht ergiebig, sicher auch physikalisch energetisch wenig. (Beipielsweise ist mir in Erinnerung, dass die kleine Sekunde als Summenton, hochgerechnet noch eine kleine Sekunde anhängt, am Synthi kann man das sogar hören, z. B. h-c hat dann ein tiefes b) Das kann man gut wieder am Synthesizer überprüfen. Ich denke Schwebungen gehen am Klavier auch in der Resonanz unter, die snythetisch am Rechner noch nicht hergstellt ist, was man hört, Resonanz ist ein immenser Rechenaufwand (eben doch Summen- und Differenztöne, Frequenzen addieren, subtrahieren und runter und hochoktavieren), den Syntesizer nicht leisten. Bei Geigern und Orgeln weiß ich nicht wie es um die Resonanz bestellt ist, bei Orgeln spielt sie sicher weniger eine Rolle, denn eine Pfeife resoniert nur mit der anderen klingenden, also weniger als die nichtgespielten Klaviersaiten. Zu Geigern finde ich das Ergebnis der reinen Terz interessant. Dort wären Deiner ähnliche Untersuchungen angebracht: Warum spielt keiner mehr wie Mischa Ellman oder David Oistrach? Auch noch eine laut gezupfte oder gestrichene Saite klingt höher, eine stark (schnell) gedämpfte tiefer, dass alles schränkt den Bereich der Stimmung auch ein. Das geht doch auch in die tatsächliche Stimmung ein. Da Synthis nicht resonieren sind das dort alles eher echte Störeffekte. --Room 608 05:15, 6. Apr. 2008 (CEST)

Ja, die Praxis ist komplex-interessant und theoretisch noch lange nicht aufgearbeitet. Sinustöne sind häufig untersucht und ergeben starke Schwebungen und Differenztöne. Sie sind aber künstlich. Am nächsten kommen ihnen Flöten und Orgelpfeifen (Einzelregister). - Leider kann ich zu Deiner Audio-Datei nichts sagen, da mein altmodischer PC dazu nicht ausgerüstet ist und keine Lautsprecher hat. Wenn Du einen Synti mit reiner Stimmung hast, so hör Dir doch mal einen reinen Molldreiklang an. Findest Du den rein? --Wilfried Neumaier 20:38, 6. Apr. 2008 (CEST)

Geht grad nicht, Keyboard fällt auseinander. Gibt es keine offizelle Stimmung mit reinen kleinen Terzen? --Room 608 23:23, 6. Apr. 2008 (CEST)

Die reine Stimmung ist auf Klavieren nur partiell darstellbar. Welchen Ausschnitt des dreidimensionalen unendlichen reinen Tonraums (durch die Oktave (2:1), Quinte (3:2) und reine Terz (5:4) erzeugt) man auf dem Klavier realisiert ist daher willkürlich. Die Stimmung der schwarzen Tasten schwankt, bei den weißen wählt man gewöhnlich (offiziell) eine reine C-Dur-Tonleiter mit reinen Hauptdreiklängen. Dort ist der der e-moll-Dreiklang ein reiner Moll-Dreiklang.--Wilfried Neumaier 10:38, 7. Apr. 2008 (CEST)

Die neunzehnstufige Stimmung hat praktisch lauter reine kleine Terzen (supergut genähert).--Wilfried Neumaier 10:55, 7. Apr. 2008 (CEST)

Übrigens: Kennst Du MUTABOR? Google mal unter diesem Stichwort. Mit B. Ganter habe ich schon zusammengearbeitet an der Uni Darmstadt. Bei den Hamburger Mathematikern hat er und ich 2002 einen Vortrag gehalten. Ich habe noch ein Skript zum Verschenken. Hast Du Interesse? Du kannst mich kontaktieren. Meine Adresse und e-mail-Adresse findest Du auch beim Googeln.--Wilfried Neumaier 11:07, 7. Apr. 2008 (CEST)

Auf meinem Keyboard muss ich immer die Tonart für die reine Stimmung wählen, die entfernten klingen dann natürlich schräg. Es ist leider wegen einer zerbrochenen Taste auseinandergeschraubt, ich schraub es bald wieder zusammen, aber ich dachte, es hätte auf diese Art ein reine Stimmung für Dur und eine für Moll. Immerhin unsere einmalige kulturelle Leistung. Den Rest sehe ich mir mal an. Und danke für das Angebot. --Room 608 12:01, 7. Apr. 2008 (CEST)

Solange die Frage so blöd erscheint, nehme ich als reines Moll, die zur Durtonart paralelle Molltonart. --Room 608 12:35, 10. Apr. 2008 (CEST)

Ich verstehe nicht, wo gab es eine blöde Frage? Habe ich sie übersehen? --Wilfried Neumaier 00:27, 11. Apr. 2008 (CEST)

So, ich habe ihn gelötet und Sinustöne eingestellt. Ich habe hier wirklich reines Moll im Gegensatz zum reinen Dur. Beim reinen Moll klingt die Dominante der paralellen Durtonart nur starkschwebend. Wie zu erwarten liegen je nachdem die Gewichte auf Dur- oder Mollakkorden. Im reinen Moll klingt der verminderte besser. Mitteltönig (Mean Tone) ist wirklich schön praktikabel, wenn man in der Nähe der Tonart bleibt. In C klingt ein Des Akkord wie zu erwarten ziemlich schlecht, mit kleiner Septime aber deutlich besser. Phythagoreisch ist scheusslich, dort klingt doch nur der verminderte gut. Ich habe noch Kirnberger, Werkmeister, Vallotti & Young, die alle ähnlich gut klingen. Und 1/4- und 1/8-Tonstimmungen. Der reine Mollakkord schwebt nicht, klingt nicht mal schlecht, aber in meinen Ohren so kopflastig, dass ich wirklich Kopfschmerzen kriege. Die große Terz oben dissoniert so deutlich, dass ich sie fast für das kleinere Intervall des Akkordes halte. Jedenfals dominiert sie die kleine Terz zu stark. Ich könnte ja jetzt noch die Centangaben aus jeder Stimmung rauspfrickeln, das interessiert mich aber nicht so, allerdings drängt sich eine Spontanverbessserung der Stimmung weit entfernter Tonarten in der reinen Stimmung wirklich auf. Im (Early) Jazz passen sich auch die Pianisten den Eb und Bb Stimmungen der Bläser an. Alle Stücke sind in F. Aber leider hört man am Synthi mit Sinuastönen nicht alles so gut, es britzelt und rumpelt schon mal elektrisch dazwischen, jedenfalls spielen bei Sinustönen die Differenztöne wirklich eine hörbare sogar störende Rolle. Der alte DX7 hat auch ein starkes Grundrauschen. --Room 608 18:33, 13. Apr. 2008 (CEST)

Meine schlechte Erfahrung mit reinen Molldreiklängen hat mich dazu veranlasst, anzunehmen, dass der wirklich reine angenehme Molldreiklang die Verhältnisse 3:7:9 hat, dass wäre nämlich in der Obertonreihe viel einfacher als der "sogenannte" reine Molldreiklang 20: 24:30. Das Ohr wird sicher den einfachen Frequenzverlauf als schöner betrachten. Vielleicht kannst Du diesen Klang, der die Naturseptime einbezieht realisieren? Wenn ja, hör Dir diesen Akkord mal an.

Hast Du einfachheitshalber Angaben in Cent? --Room 608 20:37, 13. Apr. 2008 (CEST)

Ja: 20:24:25 entspricht den Tönen x, x+316Cent, x+702Cent und 6:7:9 entspricht x, x+276Cent, x+702Cent.

Also ersterer klingt bei mir wie ein Fragezeichen und der mittlerere Ton ist seit 16 Cent eine große Terz (?? mal nachkucken). Der andere ist sehr schön. Nach einander klingt das wie eine richtige Auflösung. Bei ersterem klingen auch beide Intervalle reibend, meine reine Mollstimmung muss etwas anderes sein. Ich sehe mal nach. Der Unterschied der Terz ist ja auch schon 40 Cent. --Room 608 21:15, 13. Apr. 2008 (CEST)

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Pierre Moulu

"glatte Polyphonie mit gleich "gewichteten" Stimmen"

Ich hatte den Artikel mal aus dem Englischen und vor allem Niederländischen übersetzt und bin trotz Rat von Fachmännern nicht mit den gewichteten Stimmen klar gekommen. Ist das irgendwie ein Fachbegriff? Soweit ich es herausbekommen im mittelalterlichen Gesang bezieht sich gleichgewichtet auf die Dauer der Noten in einer Stimme, also alle Stimmen haben gleichlange Noten.--Room 608 18:55, 13. Apr. 2008 (CEST)

Das ist kein Fachbegriff. Gemeint ist 'gleichberechtigt' in dem Sinn, das jede Stimme melodisch gut ausgearbeitet ist und an der Thematik teil hat.--Wilfried Neumaier 20:31, 13. Apr. 2008 (CEST)

Passt, hab ich übernommen. --Room 608 20:44, 13. Apr. 2008 (CEST)

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Sichten

Hiho, wie Du vielleicht mitbekommen hast, sind derzeit die gesichteten und geprüften Versionen aktiv. Du kanst Dir unter Wikipedia:Gesichtete_Versionen/Rechtevergabe die Sichterrechte abholen. Viele Grüße --P. Birken 20:43, 25. Jul. 2008 (CEST)

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Kategorisches Urteil

Hallo Wilfried, ich habe mal im Artikel Kategorisches Urteil den toten Link hypothetisches Urteil mit Deinem Redirect hypothetischer Syllogismus belegt und hoffe, dass ich nicht gar zu schief liege. Der Artikel Urteil (Logik) gibt nämlich nichts her. Gruß -- Room 608 18:53, 19. Okt. 2008 (CEST)

Allerdings der Artikel Urteil (Logik) gibt nichts her. Vermutlich ist 'hypothetisches Urteil' im Sinn von aussagenlogisch zu verstehen. Leibniz (Generales Inquisitiones §75) spricht nur von substantivisch von 'Hypothetischen' und meint damit ganz klar 'Aussagenlogisches'. Der Zusatz 'Urteil' deutet auf Kant und seinen Einflussbereich, zu dem auch Frege zählte. Gebraucht er den Ausdruck 'hypothetisches Urteil'? Heute dürfte er veraltet sein. So weit ich die historischen Wurzeln kenne, kommt der Terminus 'hypothetisch' aus der späten Stoa wie im Artikel Chrysipp gesagt, so dass Du da sicher richtig liegst. Aber dort wird er nur auf Syllogismen bezogen, so dass daher der Link noch nicht ganz richtig landet. Vielleicht formuliere ich es dort noch etwas allgemeiner, so dass man den Link stehen lassen kann. Ich überlege gerade ob ich dort den Passus zum hypotethischen Syllogismus als Unterabschnitt mit einer extra Überschrift versehe, so dass ein Link dort gezielt hinführt. Was hälst Du davon?--Wilfried Neumaier 21:39, 19. Okt. 2008 (CEST)

Habe die Sache eben erledigt. Ist es so OK?--Wilfried Neumaier 22:03, 19. Okt. 2008 (CEST)

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induktive Definition

Hallo, mir kam zu Ohren, dass Sie sich vllt. mit den Peano-Axiomen auskennen. Ich hab bzgl. "induktiver Definitionen" eine Diskussion im Artikel "Definition" angefangen. Vllt. könnten Sie sich das mal anschaun, danke. induktive Definitionen ? --WissensDürster 09:54, 2. Jan. 2009 (CET)

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Generalbass

Hallo Wilfried, ich wende mich mal wieder ungefragt an Dich, wenn es Deine Beschäftigung mit logischen Themen zuläßt. Generalbass habe ich, wie ich meine halbwegs begründet, ins Review gestellt, es ist momentan ein kurzer rudimentärer und ziemlich wirrer Artikel, ich finde im geschichtlichen Teil sogar schauderhaft, der aber leicht ohne viel Mühe auf ein Mindestmaß an Güte hochgeschraubt werden kann. Da Deine Meinung noch immer weitergeholfen hat, bitte ich Dich um ein auch noch so kurzes Statement, zumal ich vermute, dass dieses witzige völlig untheoretische Thema nicht ganz auf Deiner Linie liegt. Ein paar Quellen wären auch hilfreich. Gruß -- Room 608 23:40, 25. Feb. 2009 (CET)

Habe den Artikel gerade überflogen. So schlecht finde ich ihn nicht, aber verbesserungsfähig. An manchen Stellen werde ich ein paar sprachliche und sachliche Verbesserungen anbringen. Mir fielen aufs Erste einige Kleinigkeiten auf: Einige Zeilen sind zu eng aufeinander, so dass man Schwierigkeiten hat die Ziffernkombination zum Text klar zuzuorden. Ich würde hier eine Tabelle einfügen mit erster Spalte Bezifferung, dann wäre auch der störende Doppelpunkt nach der Bezifferung weg. Der Abschnitt "Fehler..." ist unglücklich überschrieben. Das sind zum Teil gerade keine Fehler, sondern Regeln. Vielleicht Überschrift "Regeln und Fehlervermeidungen" oder etwas Besseres. Ich meine damit etwa: Dass die Septime nach unten aufgelöst wird, ist eine Regel. Ich würde diese Regel aber eher so fassen: Alle Vorhalte werden in der Regel nach unten aufgelöst (Siehe Bezifferungsliste 43, 98, 76. Nur Leittöne werden auch nach oben aufgelöst (im Spätbarock) früher auch immer nach unten. - Eine Frage: Hast Du praktisch etwas mit Generalbass zu tun?

Später mehr.--Wilfried Neumaier 00:16, 26. Feb. 2009 (CET)

Es gibt noch den dann redundanten Artikel Bezifferung. Ich dudel mich gerade durch den Keller durch, erste Abteilung Frühzeit, ist einfach spaßig. Ich hatte das vorher schon mal an der Orgel, aber da war mir der Zusammenhang (mangelhaftes Harmonieverständnis) völlig unklar. Zu tun habe ich sonst wenig damit, allerdings ist mir aufgefallen, dass die Regeln Leitton nach oben, Septime nach unten, die ganze Theorie der Akkordskalentheorie (im Jazz Berkleeschrifttum, Jungbluth, cf. Riemann et al.-) in der Jazzharmonik in nuce wiedergeben, was nur halbwegs ein Scherz ist. Interessant finde ich die 6/ also den erhöhten "Leitton", wir haben damit eine harmonische Mollskala, die wie die melodische in der Jazztheorie nie so richtig verstanden wurde. (Ich höre seitdem in guten Jazzimprovisationen dauernd kleine Terzsprünge, die nicht zum verminderten Akkord gehören.) Hermann Keller ist Regerschüler, den ich nicht spielen mag, da er alle Melodien ins Nirvana moduliert, und der ja wieder Riemannschüler. Alle Theorie, soweit sie reicht. Ich finde das Thema auch als Zugang zur Polyphonie, oder besser ogligaten Stimmen, didaktisch interessant, da Bach ja selbst irgendwo sagte, dass die Harmonisierung eines Chorals die Grundlage sei. Mit ein bißchen Übung stellen sich ja gleich einige typische Wendungen ein. Wichtig wäre mir noch eine gute Quelle zu meiner Monodiebehauptung, da sie sich mit der Auffassung der "leittonfreien" Dahlhausrichtung (d.i. Lars Ullrich Abraham) deckt. Ich will und kann hier sicher keine Tendenz einführen, ich finde die Richtung aber verständlicher als, Riemann, LaMotte etc. Im Jazz ist das Burbat und Schuller. Entschuldige das lange Gerede.-- Room 608 00:47, 26. Feb. 2009 (CET)

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Kategorie von Ordinalzahlen

Hallo, ich hätte mich gern erkundigt, was an meiner Zuordnung der Ordinalzahl zur Kategorie "Ganze Zahl" statt "Zahl" falsch sei. Habe für die Änderungsrücknahme keine Begründung gefunden... Ordinalzahlen sind doch stets natürliche, also ganze Zahlen. Oder versteh ich da was falsch. Danke schon mal für die Info...

Das stimmt eben nicht ganz: Die Ordinalzahlen sind eine starke Verallgemeinerung der natürlichen (positiven ganzen Zahlen), denn nur die endlichen Ordinalzahlen entsprechen den ganzen Zahlen. Der Artikel macht das selbst doch sehr deutlich. Daher die Zurücksetzung auf die allgemeinere Kategorie.--Wilfried Neumaier 09:08, 15. Mai 2009 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 11:40, 19. Jul. 2010 (CEST)

Grundgesetz der Werthverläufe

Da du einen Löschbaustein eingefügt hast, habe ich den Artikel bei den Löschkandidaten mit deiner Begründung von der Diskussionsseite nachgetragen: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:L%C3%B6schkandidaten/3._Oktober_2009&diff=prev&oldid=65171728 Viele Grüße, --Erzbischof 11:24, 3. Okt. 2009 (CEST)

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Portal Klavier, und Hallo

Hallo Wilfried, wie ich sehe schreibst Du leider weniger ueber Musik (Deine Buecher sind mir zu teuer, ich sehe die Woche mal in der Bibliothek nach). Falls es Dir nicht zuviel Muehe macht, sieh doch bitte kurz auf das Portal:Klavier und weise mich auf die groessten und groebsten Peinlichkeiten hin. Ich habe es verwaist vorgefunden, inhaltlich ganz passabel und orientiere mich ein wenig am Portal:Orgel und Portal:Jazz. Ich will es auf jeden Fall ins Review stellen, ob es angenommen wird, und eine Redaktion bekommt, wollte aber zuerst sehen, ob es mal wieder wie alles von mir zu nerdig und chaotisch geworden ist. Die Luecken zu Musikthemen sind in der Wikipedia gigantisch. Ich lese interessanterweise gerade, Dr. Faustus, Adornos Beethoven, Dahlhaus Melodielehre, Hindemiths Tonsatz (Intervallgefaelle, er ist gut hoerbar) und ich weiss zwar immer noch nicht genau was Metaphysik=Logik bedeutet, sondern setze es tatsaechlich um, auf jeden Fall taucht dieses Thema immer haufiger auf, sehr schoen bei Dahlhaus beschrieben, sehr lebendig in den Pianistenbiografien. -- Room 608 09:32, 30. Apr. 2010 (CEST)

In letzter Zeit schreibe ich insgesamt wenig (Zeitmangel). Ich habe ja mit Musiktheorie einst angefangen, aber musste mich hier mühsam mit anderen herumschlagen. Vieles, was ich verbessert hatte, haben andere wieder verbogen. Da habe ich der Sache ihren Lauf gelassen und mich auf die Logik verlegt, wo ich besser ankam. Ich habe ins Portal Klavier reingeschaut, habe aber nicht groß Zeit dafür. Aufgefallen ist mir:

• Klavierbau kommt sehr überspezialisiert daher im Portal
• Was sind "Aufnehmende" Pianisten?
• Vierhändige Klaviermusik fehlt (oder für zwei Klavier)
• Bei den Werken stört, dass Links mit nichtssagenden Nummern anfangen und dann der Komponist hinten erst eingeklammert erscheint
• Klavierkonzert: Es fehlt Bach, der die ersten Klavierkonzerte schrieb. Es fehlen Schumann, Brahms, Grieg (populär!), Ravel
• Kommafehler: Beim Helmut-Schmidt-Text muss das Komma weg. Ich wollte es korrigieren, kam aber an den Text nicht ran.

Bei Deiner Anspielung zu Metaphysik=Logik komme ich gerade nicht mit. Der Link zu Backhaus sagt mir nichts. --Wilfried Neumaier 11:16, 30. Apr. 2010 (CEST)

Danke erstmal fuer die Kritik des Kenners.

• Es gibt keine Kategorie:Bauteile des Klaviers oder wie bei der Orgel ein Konzept, weshalb ich zur Orientierung, als Kompromiss, alles Klavierbaurelevante aufgefuehrt habe. Ich werde das dann mit oder ohne Kategorie, versuchen sinnvoll zu gestalten.
• Aufnehmende Pianisten sind alle, die Aufnahmen gemacht haben, primaer diejenigen, die zuerst stilbildend wurden. Ich brauche hier keinen Joachim Kaiser. Da sie aber auf alles moegliche aufgenommen hatten, Pianorollen, Edisonwalzen, Welte-Mignon, Schellack-, LPschallplatten, brauche ich einen Oberbegriff.
• Vierhaendig ist jetzt drin, ich weiss mit Bruch nur nicht, wie tief ich bei den Kuenstlern einsteigen soll, die mehr fuer Einzelerfolge stehen.
• Gibt es eine Standardschreibweise fuer musikalische Werkangaben? Ich hatte das Problem, dass ich die staendigen Wiederholungen Klaviersonate, Klavierkonzert etc. vermeiden muss.
• Klavierkonzerte sind aufgefuellt. Habe mich im Bachartikel gleich beschwert: Cembalokonzert = Klavierkonzert?
• Kommafehler: Ich muss irgendwo eine Bedienungsanleitung anbringen, rechts oben reicht wohl nicht. Hier: Portal:Klavier/Bearbeiten

Im Populaermusikbereich finde ich die Situation nicht ganz so dramatisch, (gleichwertig dem Literaturchaos), der ist schoen pragmatisch orientiert, teils interessant.

Habe noch das Monochord eingefuegt, dabei ueber Polychord die Dialektik „Harmonisch konzipiert“ <---> Borduninstrument aufgetan. Meine Anspielung dazu ist wirklich kryptisch, ich habe aber momentan in diesem Sinne das Problem einen Akkord wirklich mit grosser und kleiner Terz gleichzeitig ohne Enharmonik zu notieren. Das am Rande. Was Dahlhaus ueber Melodie sagt, ist aber wirklich schoen.

Gruss -- Room 608 18:26, 30. Apr. 2010 (CEST)

Clavier bedeutet bei Bach Tastatur! Ethymologie: clavis=Schlüssel=key, Clavier=Schlüsselbrett=keybord. An Bachschen Orgelwerken steht oft: a 2 claviere e pedale. Alle Tasteninstrumente waren somit Claviere (pars pro toto). Daher ist Cembalo auch ein Klavier. Man spielt ja diese Konzerte auch auf Pianoforte (heute Klavier genannt). Man darf da kein historische Purist sein. Auch Mozart und Beethoven hatten noch kein Pianoforte, sondern Hammerklaviere, die durchaus cembalo-ähnlich klingen.

Dein Link geht doch nicht zu Dahlhaus? Ich verstehe nur Bahnhof. Oder setzt du voraus, dass ich Dahlhaus-Literatur besitze?--Wilfried Neumaier 01:52, 1. Mai 2010 (CEST)

So habe ich es aufgefasst. Das Missverstaendnis kann bei a 2 claviere e pedale, ja nicht auftreten, da man beim Cembalo ins Leere tritt. Die Verwirrung geht so weit, dass der Begriff Keyboard im Englischen und Deutschen alles andere als identisch ist, die Englaender meinen auch Klaviatur, wir hier meist ein spezifisches Instrument, zum Beispiel den Synthesizer. In Ungarische Rhapsodie von Zsolt Harsányi, steht schoen, wie sich Liszt in der Mitte seiner Laufbahn ueber den neuen Fluegel gefreut hat.

Ich setze voraus, dass Du irgendwo eine Bibliothek in der Hinterhand hast, wo Du mal in Carl Dahlhaus, Lars Ulrich Abraham Melodielehre hineinsehen kannst. Der Link war schon richtig zu Backhaus, faustische Geschichte einfach. Mal sehen, das Ding ist jetzt im Review, hat ca 20 Zugriffe pro Tag.-- Room 608 02:41, 1. Mai 2010 (CEST)

Leider bin ich kein Büchersammler, sondern hole mir alles stets aus der UB Tübingen. Das ist meine "Hinterhand", die aber leider etwas mühevoll anzuzapfen ist. Daher kann ich gerade nicht mitreden.--Wilfried Neumaier 23:55, 2. Mai 2010 (CEST)

Danke erstmal fuer die Anregungen. Diejenigen, die auf das Portal zugreifen, ca. 1200 bis 1400 pro Jahr finden dann hoffentlich, wenn das Portal ein wenig funktioniert, etwas Anregung und Information. --Room 608 23:15, 4. Mai 2010 (CEST)

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Oberschelp

Auf Diskussion:Tupel geht es um die Frage, ob und wie der Begriff "Lesbarkeitsaxiom" in Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre verwendet wird. Anscheinend hast Du Zugriff auf dieses Buch: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Klasse_%28Mengenlehre%29&diff=next&oldid=40820401 Kannst Du was dazu sagen? --NeoUrfahraner 13:26, 2. Jun. 2010 (CEST)

---

In der gegenwärtigen Tupeldiskussion geht es um das Wort “lesbar”, wozu Du schon Deine Meinung gesagt hast. Meine Frage: Hat die oft anzutreffende Aussage

$\,^{\forall \,t,t'\;{\text{Tupel}}(t)\wedge {\text{Tupel}}(t')\;\Longrightarrow \;(t=t'\Longleftrightarrow (^{\text{len}}t=\,\!^{\text{len}}t'\;\wedge \;\forall \,i\in \mathbb {N} _{1}^{\,^{\text{len}}t}\;t_{i}=t_{i}'))}$

einen etablierten Namen? Und wie verhält es sich mit einem Namen der ebenfalls oft anzutreffenden abgeschwächten Aussage

$\,^{\forall \,t,t'\;({\text{Tupel}}(t)\wedge {\text{Tupel}}(t')\wedge \,^{\text{len}}t=\,\!^{\text{len}}t')\;\;\Longrightarrow \;(t=t'\Longleftrightarrow \forall \,i\in \mathbb {N} _{1}^{\,^{\text{len}}t}\;t_{i}=t_{i}')}$?

Ich überarbeite gerade den Tupelartikel und möchte diese beiden Aussagen auch benennen. Wenn Du zu meiner Frage etwas sagen kannst, wäre ich Dir dankbar, wenn DU es auf der TupelDisku. tätest. Gruß --Lothario Hederich 19:44, 2. Jun. 2010 (CEST)

Ich gebe die Antwort in der Tupeldiskussion.--Wilfried Neumaier 22:21, 2. Jun. 2010 (CEST)

Dank für Deinen Beitrag. Wenn es Dir nicht zu viel wird, könntest Du ab und an einen Blick auf die jetzt von mir eingeleitete “Tupeldiskussion nach Abschnitten” werfen und vielleicht sogar daran teilnehmen. -- Lothario Hederich 13:51, 3. Jun. 2010 (CEST)

Nun ja, ich habe Deine Mühen um eine WP-gerechte Fassung meines geordnete Paar- und Tupel-Entwurfs sehr zu schätzen gewusst; letzterer entsprach Birkens Vorstellungen nicht, er hat auf eine ältere Version zurückgesetzt, die mE. problematisch ist. Wer weiß, wie lange er die aktuelle Version von „geordnetes Paar“ duldet. Ich kann mich nicht enthalten Dir zu sagen, dass Du mir mit Abstand als der Mathematiker in der WP giltst. Beste Grüße --Lothario Hederich 20:05, 16. Jun. 2010 (CEST)

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Etymologie vs. Ethymologie

Hallo Wilfried Neumaier, Du hast zweimal auf Vollständige Induktion das Wort Etymologie auf Ethymologie geändert, letzteres ist aber leider nicht korrekt, siehe z.B. [2]. Darf ich Dich bitten, diese Änderung nicht mehr anzubringen. Gruss -- Godfatherofpolka 13:12, 30. Jun. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 11:40, 19. Jul. 2010 (CEST)

Lesenswert Induktion

Wikipedia:Kandidaturen_von_Artikeln,_Listen_und_Portalen#Vollständige_Induktion. Hier hast Du den Link zur Kandidatur, der erste Kommentar will eine ausfuehrlichere Einleitung. Gruss -- Room 608 14:43, 2. Jul. 2010 (CEST)

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Redundantes ZFC

Hallo Wilfried Neumaier! Ich habe wegen dem redundanten ZFC den online verfügbaren Link (W. Rautenberg: Grundkurs Mengenlehre, Fassung Berlin 2008, S.16) verfolgt und in diesem Paper S. 16 gesehen, dass dort das Kapitel über das Aussonderungsaxiom(AS) beginnt. Die einzige Stelle, an der in diesem Kapitel auf Redundanzen eingegangen wird, ist auf S.17. Hier wird erwähnt, dass das Leermengenaxiom mithilfe von AS bewiesen werden kann. Mir ist noch nicht klar, wie ich AS ohne Ersetzungs- und Leermengenaxiom bekomme. Könntest Du das erklären? Vielen Dank! --Zeus37 12:51, 7. Jul. 2010 (CEST)

Danke fürs Nachcheken. Die Seitenzahl hatte ich vertippt: Statt 16 muss es 26 heißen, das ist die zweite Seite im Abschnitt über das Ersetzungsaxiom. Im Artikel habe ich es schon korrigiert. Die Seite 26 behandelt alle drei Fälle. Der "Gruzndkurs Mengenlehre" baut auf dem Buch von Felscher auf, weshalb ich dieses zitiert habe. Von diesem Tübinger Mathematiker kannte ich den Sachverhalt noch aus dem Studium. Vorgestern war ich in der Mathe-Bibliothek in Tübingen und habe dort nachgeschlagen. Den online-Link habe ich sofort bei Google gefunden über die Stichworte "Felscher" "Ersetzungsaxiom".--Wilfried Neumaier 13:12, 7. Jul. 2010 (CEST)

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Ungültiges Archivierungsziel

Die Zielangabe bei der automatischen Archivierung dieser Seite ist ungültig. Sie muss mit demselben Namen wie diese Seite beginnen. Wende dich bitte an meinen Besitzer, wenn das ein Problem darstellen sollte. ArchivBot 12:15, 22. Jul. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 19:15, 22. Jul. 2010 (CEST)

5.1 Hermes

"Eben fällt mir auf: Otte verwechselt zweistellige Prädikate, die in der Prädikatenlogik 2. Stufe oft als Funktionen bezeichnet werden, aber metalogische Textfunktionen sind, mit den definierten innerlogischen Funktionen, die Paarmengen sind. Das ist die Ursache für die Zweifel am Diagonalverfahren! Verstehst Du?--Wilfried Neumaier 18:25, 4. Feb. 2008 (CET)"

Ich habe nochmal in Ruhe nachgelesen. Otte bezieht sich mit seinen zweistelligen Formulierungen auf Petzingers VBU S. 85 f und den Beweis S 111. Für sie ist die Mengenlehre ja kein logischer Kalkül, also binden sie dort an, übertragen zulässig oder unzulässig. "metalogische Textfunktionen"? Sind das die umgangssprachlichen Bildungsvorschriften? (Das Gegenbeispiel 5.5 mit den Binärzahlen ist überzeugend, wie ich finde).

Ebenso dürfte Dich interessieren in Bezug auf Mengen VBU S. 48 ff und das verschärfte tertium non datur von VBU S. 46 (Bew. S. 104). und Grundregel I2, sie entspricht Russells Kenzeichnung, (Fußnote 22). S. 50 stellt leider nur grob Mengenlehre und (Ottes) Begriffslogik gegenüber.

Über Maß, Einheit und Individuum müßte man in dem Zusammenhang auch mal sprechen (cf. Spalt). Siehe mein Kommentar Diskussion:Größe (Mathematik):

"Kann man die heutige Auffassung einfügen: "Zahlen sind das (geometrische) Verhältnis von Größen." Nach D. Spalt. Damit man den Zusammenhang von Antike (Zahlen, Größen, Verhältnisse sind etwas unterschiedliches) und heute (Zusammenhang der drei) sieht?--Roomsixhu 16:05, 28. Feb. 2007 (CET)."

Einmal ist die 1 ein Abstraktum, im Zusammenhang mit Induktionsbeweis hat sie, dennoch Individuencharakter. Andererseits sind Längen in der Geometrie logische Individuen, für die lineare Algebra benennt man aber ein Länge in die Einheit(Maß) um, um multiplizierte Längen dort nicht als Flächen zu behandeln. Jedoch fehlt der Menge der Größen dann ein Element, da das umbenannte ja gerade nicht mehr individuell identifizierbar ist. Die 1 und Einheit ist ein Maß, wie bei Aristoxenos. Sie ist immer erst zu Anfang und am Ende eines Beweises/Rechnung eine individuelle Größe, dazwischen wohl kaum. (Ganz nebenbei, ist dabei ja interessant, wieso Leibniz mit dx nicht die Taylorreihe gefunden hat, die Integralrestglieder für die Abschätzung aber wichtig und praktisch sind, Newtons rationales(?) Restglied für die Grundlegung.)--Room 608 12:14, 11. Feb. 2008 (CET)

Hallo, ich habe momentan keine Zeit, mich mit Details auseinanderzusetzen. Sobald ich wieder Zeit finde, melde ich mich.--Wilfried Neumaier 23:16, 11. Feb. 2008 (CET)

Ich melde mich zu diesem Thema doch nicht mehr und archiviere.

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 12:04, 4. Aug. 2010 (CEST)

Polyrhythmik

Kopiert nach Wikipedia:WikiProjekt_Jazz/Rhythmus

Ich will eine kleine Erkenntnis mit Dir teilen. Ich weiss nicht wie in der Antike damit umgegangen wurde.

In der Auseinandersetzung mit cross rhythm, in afrikanischer Musik und Jazz (Afro Blue), ist mir aufgefallen, dass bei konsequenter Anwendung von Polyrhythmik, nicht nur voruebergehender, eine europaeische Harmonik aus logischen Gruenden unmoeglich ist.

Hier habe ich es mal fuer meine Band durchgefuehrt: Hancocks Cantaloop. Bei einem Pattern im 3/4 Takt (Pattern) gegenueber einem 4/4 Takt, wird eine Phrase gleichzeitig vor- und rueckwaerts wiedergegeben. (Begrifflichkeit hier: cross rhythm)

Hat man ein Pattern, was die Vollkadenz nachzeichnet, durch charakteristische Wendungen der Toene aus T - S - D, so kommt im cross rhythm solch ein Pattern auch andersrum vor D - S - T. Das Vebot der Spannungswegnahme ist nicht aufrecht zu erhalten. Die Harmonik wird dort durch das Call and Response Prinzip ersetzt.

Der Witz an der Sache nebenbei ist meines Erachtens, dass Riemanns verworfener Begriff Polymetrik dort wieder einen Sinn ergibt, es Vergleichbares weder in der Mathematik noch ihrer logischen Grundlegung gibt. Jeder Trommler spielt in seinem eigenen Metrum, da die Trommeln unterschiedlich gestimmt sind, ergibt sich eine Art Melodie (ohne unsere Harmonik). Dennoch ist ein tanzbares Maß da. Es ist eine huebsche Aufgabe ein Hinein und Hinaus in Harmonik oder Polyrhythmik musikalisch zu motivieren.

Leider taugt das nicht fuer einen guten Artikel ueber afrikanische Rhythmik.

-- Room 608 01:35, 12. Jul. 2010 (CEST)

Riemann zielt auf Beethoven und früh-romantische Musik. Seine Theorie passt auf andere Zeiten schlecht. Sie passt schon auf Barock nicht mehr recht. Hier ist mir oft D S T begegnet. Seine Theorie versagt in der Spätromantik und bei moderneren Strömungen. Man darf sich nicht in seiner engen Sicht bewegen. Polymetrik gibt es natürlich. Gustav Mahler, Charles-Ives und Scott Joplins Maple Leaf Rag (rechts de facto 3/16 links 2/4) und sogar Brahms (Paganini-Variation mit 9/8 gegen 4/4) fallen mir spontan als alte Beispiele ein; uralte Beispiele sind die Mensur-Kanons von Dufay und Ockeghem, die eine Melodie in verschiedenen Takten interpretieren.

Aus der Antike gibt es keine Nachrichten über Polyrhythmen. Notenquellen mit rhythmischer Notation zeigen ganz eng den Rhythmus der Dichtung und sind nur einstimmig. Ein Theorie-Fetzchen bei Aristoxenes ist rein gedanklich und befasst sich nur mit Zerlegung einer Zeit auf drei Aktionsebenen mit einer Melodie, einem Text und einem Schritt; man denke an einen gesungenen Reigentanz im Theater, der einstimmig vom Chor gesungen und synchron getanzt wurde (Choreios heißt Tanz und Chor).--Wilfried Neumaier 07:40, 12. Jul. 2010 (CEST)

Der Ragtime ist mir schon aufgefallen, ich spiele den Maple Leaf Rag erstmal. Interessant, ist, dass sich die Akroamerikaner erst nach Ragtime und Swing, sogar Bebop, in den 1950ern afrikanische Polyrhythmik bewusst machen. Ein Artikel der den Stand der Dinge wiedergibt waere angebracht, da es nur die Tonsysteme des subharischen Afrika gibt, die aber nur polymetirsch zu verstehen sind. Auch der Gospel und Jazz liebt massive Halbtonrueckungen. Nur welches Lemma waehlt man dafuer? Cross-rhythm schlaegt keiner nach und Kreuzrhythmus will ich nicht propagieren, da es meist eine falsche Uebersetzung ist. Polymetrik trifft es, ist aber speziell. Und Mahler verwendet Kadenzen. De La Motte, hat in seiner Harmonielehre, extra das D - S nachgereicht. Besonders bei Tanzmusik. In dem Dominantseptakkord haben wir ja schon S und D gleichzeitig, warum also nicht D und S als Subdominate auffassen? Subdominante mit D Grundton im Bass, kommt oft vor. Ich wuerde ja Mozart gerne mal polymetrisch analysiert sehen. In Afrika wird Text nicht sinntragend verwendet, sondern syllabisch. -- Room 608 15:24, 13. Jul. 2010 (CEST)

Bei Mozart wird nicht viel drin sein. Der Maple Leaf Rag wechselt natürlich zwischen polymetrischen und normal-metrischen Passagen. Ich versteh nicht, was Halbtonrückungen und Harmonik mit Polymetrik zu tun haben.--Wilfried Neumaier 08:33, 14. Jul. 2010 (CEST)

Mozart benutzt haefig die Doppeldominante, deren Terz die grosse Septime des Dominantseptakkordes der Tonart ist. Der Halbtongang geht aufwaerts. Bei Joplin gibt es ein d bei Eb, aber ich glaube abwaerts. Ich bin nun interessiert an den Stellen an denen das rhythmisch passiert. Ausserdem hat Mozart teils eigenwillige Rhythmen. Diese Handyklingeltonsymphonie, der Rocker,, ich glaube 40, oder das doppelt punktierte Klavierkonzert.

Eine typische Gospelwendung der Massenchoere ist C-Dur lang, Des-Dur kurz, C-dur lang, mit meines Erachtens dominantischer Funktion, aber nur bei richtige rhythmischer Betonung (Es gibt den Fachbegriff Tritonusvertauschung, der Schwachsinn ist). Die subdominantnische Phrase geht C-Dur, d-Moll, Es-Dur, d-Moll, C-Dur. d-moll wieder kurz. Das ist aber wohl doch mein Buch.

Oder ein anderes Beipiel hier im Postskriptum: Gospelphrase. Obwohl "es-Moll", kann man g verwenden.

Dazu noch Atilla Zollers Erkenntnis, dass die Molltonika melodisch Moll aufwaerts verwendet, was bei obiger Gospelphrase nicht der Fall ist, es ist dorisch.

Ist vielleicht alles nicht durchdacht, funktioniert aber.

Am liebsten wuerde ich das unter Polyrhythmik bringen, obwohl es nach Polymetrik gehoert. -- Room 608 12:29, 14. Jul. 2010 (CEST)

Ich versteh immer noch nicht, was harmonische Phänomene mit Polymetrik zu tun haben.--Wilfried Neumaier 07:33, 15. Jul. 2010 (CEST)

Angenommen es gaebe Funktionen, so entscheidet ausschliesslich, die momentane Position zur Grundmetrik (Beat) eines Patterns, ob beispielsweise T - D gemeint ist, oder es S - T bedeutet. Anders gesagt kann S - T auch als Dominantmodulation aufgefasst werden, so dass sie die ganze Zeit klassisch "modulieren". Und die Position aendert sich kontinuierlich. Die Polymetriker bringen deshalb harmonisch Relevantes nicht auf, den Beat, soweit der ueberhaupt erklingt und nicht nur gedacht wird, sondern auf raffinierte Weise dazwischen, sogar zwischen den Pulsen auf dem Offbeat, zum Beipsiel Swing, Hardbop oder afrikanische Trommeln.

(Mir erklaert sich auch die haeufige Verwendung, von harmonisch "schwachen" Quartvorhalten auf dem Beat, dadurch.)-- Room 608 15:55, 15. Jul. 2010 (CEST)

OK, jetzt weiß ich, was Du meinst. Wenn ein klassischer Komponist da ergiebig ist, dann Schubert. Aber m.E. sind die harmonischen Effekte nur schwach Metrum bildend. Vorhalte werden gerade dazu benützt, durch ihre dissonante Wirkung die Betonung zu verstärken, erzeugen also keinen Rag, um das alte Jazzwort zu gebrauchen. Vorhalte wirken in der Regel gegen den Bass, der harmonisch die Interpretation festlegt.--Wilfried Neumaier 11:06, 17. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe noch ein wenig weitergelesen und sehe den Punkt an dem Jazz und afrikanische Tormmeln zusammenkommen. Blakey hats vor Ort studiert. Die Melodiebildung wird vom Beat weg betrieben, die Melodie strebt vom Beat weg, nach vorne oder hinten ist jeweils moeglich, soweit, dass sie nicht mehr auf den Beat faellt, wenn der dann noch wegfaellt, ist er nur noch als Konsens unter den Musikern vorhanden. Wenn das Stueck fertig ist und durch sein melodisches Thema charakterisiert ist, nur dieses in den Vordergrund rueckt (monodisch), wird der Beat, das Metrum immer unbedeutender (weniger wahrnehmbar, tatsaechlich nicht erklingend). Gerade Swingjazz war immer tanzbar, die Taenzer wissen den fehlenden Beat ebenso zu vervollstaendigen. Mit den Begriffen (time-line, Elementarpulsation 600-700 bpm, etc., Zyklus, Formzahl, Pattern) herrscht da noch keine durchgaengige Eingkeit. Jedenfalls faellt die Bewegeung, vom Beat weg nie genau in die Mitte, ist keine Halbierung, das waere dann Rock oder Fusion. Bei Kubik Zum Verstehen afrikanischer Musik, wird auch die Akkzentuierung durch den Silbengesang schoen herausgearbeitet, diese Knalllaute "k", "p" gegen klingende Laute wie "m" suggerieren verschiedene Akzente und Verzoegerungen. Offbeat ist eine Jazzterminologie, die in die ehtnische Musikforschung (Ethno-Tousirsmus) uebernommen wurde, umgekehrt ist Synkopierung ein hilfloser Versuch aus den rhythmischen Resultanten des afrikanischen Ryhthmus die Einzelteile wieder herauszufiltern. Hatte gerade ein alten Rubinstein schubertspielend bei You Tube, der war auch daruf gekommen. Obwohl im Alter sagen alle stereotyp Mozart sei der beste. Das wird kein einfacher Artikel, ich sollte nur mal die Nomenklatur beschreiben.-- Room 608 14:03, 17. Jul. 2010 (CEST)

Ich melde mich auch zu diesem Thema nicht mehr und archiviere.

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 12:04, 4. Aug. 2010 (CEST)

Funktionen als Klassen geordneter Paare

Ich würde gerne den Funktionsartikel so umgestalten, dass Funktionen Klassen geordneter Paare sind, so wie es beispielsweise bei Oberschelp zu finden ist. Mein vorsichtiger Versuch auf der Funktionsdiskussionsseite hierzu stieß mit der Bemerkung, Oberschelps Klassenlogik sei nicht ausreichend verbreitet, auf Bedenken. Sollten Sie diese Bedenken nicht teilen und eine entsprechende Umgestaltung des Funktionsartikels für sinnvoll halten, könnte ein Wort von Ihnen auf der Funktionsdisk. für mich hilfreich sein. -- 80.134.174.140 11:13, 30. Sep. 2010 (CEST)

Dass Funktionen als Definitionsbereich auch Klassen haben können, hat durchaus eine alte Tradition. Ich kenne es unter anderem von Peano, Neumann, Bernays, Gödel, NBG und Oberschelp. Diese Betrachtungsweise ist aber tatsächlich nicht so etabliert wie die mengentheoretische aus ZF. Oberschelps Buch ist zwar in einem renomierten Verlag (B.I.) erschienen und hat schon daher sicher eine gewisse Verbreitung. Aber ich glaube auch nicht, dass es in der Praxis viel verwendet wird. Ein Grund dafür ist, dass er eine unnötig komplizierte formale Sprache mit sehr, sehr vielen Sonderzeichen spricht. Das wirkt abschreckendend. Gerade das Funktionskapitel §9 braucht einige Sonderzeichen zur Einführung von Funktionen und kann nicht gerade als vorbildlich zitiert werden. Daher wird es kaum Chancen haben, den Artikel im Einverständnis mit den beobachtenden Autoren zu renovieren, obwohl ich selbst auch eine Verallgemeinerung befürworten würde (Im Funktionsartikel habe ich dazu eine kurze Anmerkung gemacht). Die Mathematiker haben nämlich in sehr grundlegenden Dingen handfeste Formulierungsprobleme, die durch einen allgemeineren Funktionsbegriff verschwinden. Man merkt dies etwa beim den Formulierungsproblemen beim Ersetzungsaxiom (ZF und NBG), bei dem die Mengentheoretiker und auch die Wiki-Artikel noch echte Probleme haben. Leider kenne ich kein zitierbares Buch, das hier endgültige Abhilfe schaffen würde.--Wilfried Neumaier 17:59, 30. Sep. 2010 (CEST)--Wilfried Neumaier 18:49, 30. Sep. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 23:50, 8. Jun. 2011 (CEST)

Auch auf die Gefahr hin Lästig zu fallen,

möchte ich auf meinen letzten Diskussionsbeitrag zu “Funktion” aufmerksam machen. -- 80.134.202.164 12:30, 4. Dez. 2010 (CET)

Ich bin in letzter Zeit etwas weniger aktiv in Wikipedia, daher hatte ich auch den Artikel und die Diskussion 'Funktion' nicht verfolgt. Es wird nicht so einfach sein, hier einen Konsens zu erzielen, weil hier in verschiedenen Bereichen der Mathematik divergente Konzepte üblich sind. Zu einen wirklich guten Artikel, der einen übergeordneten Standpunkt hat und nicht einseitig eine dominante Praxis vertritt, sondern in die gängigen Konzepte einführt, fehlt hier noch viel. Ich kenne leider auch keine Literatur, die hier den Überblick hat und zitierbar wäre. Jedenfalls ist das von Dir vertretene Relationskonzept nur in gewissen Bereichen (Mengenlehre und Klassenlogik) üblich.--Wilfried Neumaier 11:23, 6. Dez. 2010 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 23:50, 8. Jun. 2011 (CEST)

Ad Entwurf zum Funktionsartikel

Wilfried, ich habe auf meiner Spielwiese versucht, den Funktionsartikel unter dem Aspekt der Klassenlogik zu gestalten, allerdings ohne diese dort zu erwähnen. Jedoch bin mir nicht sicher, ob alles zu vertreten ist, was ich dort eingebracht habe. Ein fachmännischer kritischer Blick darauf würde sicher mit der Klassenlogik Unverträgliches schnell erkennen. Es würde mich freuen, auf meiner Spielwiesen-Disku Anmerkungen dazu anzutreffen. Gruß -- Georg Roch 16:59, 13. Dez. 2010 (CET)

Ich hab momentan zu wenig Zeit, um mich mit der Sache genauer zu befassen. Werde die Spielwiese später genau anschauen. Ein kurzen Blick habe ich darauf geworfen. Vorerst kurz zum Sprachstil: Ich glaube, ganz normaler Satzbau wäre vorzuziehen, als keine "Stenosätze" und keine Ziffer 1, zumal in der Hauptzeile. Meinst Du mit der 1 das, was man üblicherweise mit "genau ein" verbalisiert? --Wilfried Neumaier 17:27, 13. Dez. 2010 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 23:50, 8. Jun. 2011 (CEST)

ZF-System ohne Gleichheit

Man kann ZF auch auf einer Prädikatenlogik ohne Gleichheit aufbauen und die Gleichheit definieren. Zur Definition genügt aber nicht das Extensionalitätsaxiom. Die Ableitung aller Gleichheitsaxiome sichert nur die in der Logik übliche Identitätsdefinition:

$A=B:\iff \forall C\colon (A\in C\iff B\in C)\land \forall C\colon (C\in A\iff C\in B)$

Diese Definition macht das Extensionalitätsaxiom nicht überflüssig, weil es aus der Definition nicht ableitbar wäre.

Eine Gleichheitsdefinition durch die Extensionalität $A=B:\iff \forall C\colon (C\in A\iff C\in B)$ ist als Alternative möglich, wenn man statt des Extensionalitätsaxioms das Axiom $A=B\Rightarrow \forall C\colon (A\in C\iff B\in C)$ hinzunimmt, was die Ableitbarkeit der obigen Formel sichert.

Referenz: Walter Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen I, Mannheim, Wien, Zürich, 1978, S. 78f

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 15:01, 9. Jun. 2011 (CEST)

ZF mit Urelementen

Zermelo formulierte das originale ZF-System für Mengen, die er als elementhaltige Dinge oder die Nullmenge definierte, und für Urelemente als Dinge ohne Elemente. Die Nullmenge betrachtete er als ausgezeichnetes Urelement, das als gegebene Konstante $\varnothing$ die ZF-Sprache erweitert. Mengen und Urelemente sind dann durch folgende definierte Prädikate bestimmt:

$M{\text{ ist nichtleer}}\colon \iff \exists X\colon (X\in M)$

$M{\text{ ist Menge}}\colon \iff M{\text{ ist nichtleer }}\lor M=\varnothing$

$U{\text{ ist Urelement}}\colon \iff \lnot (U{\text{ ist nichtleer}})$

Von der üblichen reinen ZF-Mengenlehre wird die Mengenlehre mit Urelementen unterschieden durch angehängtes U. Die Axiome von ZFU und ZFCU lauten abgesehen vom Leermengenaxiom verbal wie die Axiome von ZF oder ZFC, werden aber wegen der anderen Rahmenbedingungen anders formalisiert; ableitbare Mengenbedingungen können dabei entfallen.

ZFU

ZFU umfasst folgende Axiome:

Leermengenaxiom:

$\varnothing {\text{ ist Urelement}}$

Extensionalitätsaxiom:

$A{\text{ ist Menge }}\land B{\text{ ist Menge }}\Rightarrow (A=B\iff \forall C\colon (C\in A\iff C\in B))$

Vereinigungsaxiom:

$\forall A\colon \exists B\colon (B{\text{ ist Menge }}\land \forall C\colon (C\in B\iff \exists D\colon (D\in A\land C\in D)))$

Potenzmengenaxiom:

$\forall A\colon \exists P\colon \forall B\colon (B\in P\iff (B{\text{ ist Menge }}\land \forall C\colon (C\in B\Rightarrow C\in A)))$

Unendlichkeitsaxiom:

$\exists A\colon (\varnothing \in A\land \forall X\colon (X\in A\Rightarrow X\cup \{X\}\in A))$

Fundierungsaxiom:

$A{\text{ ist nichtleer }}\Rightarrow \exists B\colon (B\in A\land \lnot \exists C\colon (C\in A\land C\in B))$

Ersetzungsaxiom für zweistellige Prädikate F(X,Y):

$\forall X,Y,Z\colon (F(X,Y)\land F(X,Z)\Rightarrow Y=Z)\Rightarrow \forall A\colon \exists B\colon (B{\text{ ist Menge }}\wedge \ \forall C\colon (C\in B\iff \exists D\colon (D\in A\wedge \ F(D,C))))$

Aus den ZFU-Axiomen und dem Axiom $\forall X\colon X{\text{ ist Menge}}$ folgen offenbar die ZF-Axiome. Denn aus dem Ersetzungsaxiom ist wie in ZF das Paarmengenaxiom ableitbar und das Aussonderungsaxiom, letzteres hier in folgender Form für jedes einstellige Prädikat P:

$\forall A\colon \exists B\colon (B{\text{ ist Menge }}\land \forall C\colon (C\in B\iff C\in A\land P(C)))$

ZFCU

ZFCU umfasst die Axiome von ZFU und folgendes Auswahlaxiom:

$\forall A\colon ((\forall X\colon (X\in A\Rightarrow X{\text{ ist nichtleer}})\ \wedge \ \forall X,Y,Z\colon ((X\in A\ \wedge \ Y\in A\ \wedge \ Z\in X\ \wedge \ Z\in Y)\Rightarrow (X=Y)))$

$\Rightarrow \;$

$\exists B\colon \forall X\colon (X\in A\Rightarrow \exists !\ Y\colon (Y\in X\wedge Y\in B))$

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 22:26, 15. Jun. 2011 (CEST)

Stellenwertsystem, Darstellung rationaler Zahlen

Hallo Wilfried, schau doch bitte mal hier rein: http://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Stellenwertsystem#Darstellung_rationaler_Zahlen Danke! --Wikilaser 00:52, 1. Jul. 2011 (CEST)

Ja, das ist falsch. 1/n führt aber meiner Rechnung nach immer auf 0,11111..., weshalb Dein Kommentar auch nicht ganz stimmt.--Wilfried Neumaier 01:10, 1. Jul. 2011 (CEST)

Es geht nicht um 1/n, sondern um 1/b. Und 1/b führt direkt zu 0,1 und lediglich über den Umweg einer komplizierten Umstellung zu 0,0nnn..., wobei letzteres meiner Intuition widerspricht. --Wikilaser 11:47, 1. Jul. 2011 (CEST)

OK. Ich bin nicht drin in dieser Materie und habe offenbar zu flüchtig gelesen. Ich will mich auch nicht weiter damit befassen.--Wilfried Neumaier 12:15, 1. Jul. 2011 (CEST)

Das akzeptiere ich. Vielleicht kann Daniel es mir erklären. Danke! --Wikilaser 15:58, 2. Jul. 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 11:58, 4. Jul. 2011 (CEST)

Barbier-Paradoxon

Hallo Wilfried, schau Dir bitte mal kurz an, was ich vor kurzem in der Diskussion zum Barbier-Paradoxon schrieb:

http://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Barbier-Paradoxon#Nicht_Rasierer

Was hältst Du davon? Gruß --Wikilaser 16:28, 16. Jun. 2011 (CEST)

Ich habe den Artikel "Barbier-Paradoxon" überarbeitet und gereinigt von nebensächlichen Dingen, die durch alternative Barbier-Definitionen entstehen.--Wilfried Neumaier 18:22, 28. Jun. 2011 (CEST)

Das Problem ist, daß Russell seine Antinomie bereits im Jahre 1903 veröffentlichte, seine Formulierung des Barbier-Paradoxons aber erst 15 Jahre später im Jahre 1918. Da er bei seinem Barbier-Paradoxon die dritte Möglichkeit (er trägt einen Bart) übersah, handelt es sich lediglich nach seiner eigenen Ansicht um eine gültiges Beispiel für seine Antinomie, in Wirklichkeit jedoch nicht. Nebenbei bemerkt ist es nicht unsere Aufgabe, die Barbier-Definition im Artikel zu verbessern, sondern es ist Sinn einer Enzyklopädie, in diesem Falle seine Formulierung im Originalwortlaut wiederzugeben. Ob seine Annahme richtig ist oder nicht, spielt dabei erstmal keine Rolle. Darum gehört die Kritik daran auch in einen eigenen Absatz des Artikels. --Wikilaser 00:27, 1. Jul. 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier 11:58, 4. Jul. 2011 (CEST)

Virtuelle Klassen

Hallo Wilfried! Du hast ja maßgeblich den Artikel Klasse (Mengenlehre) geschrieben. Ich frage mich, wie da der Abschnitt „virtuelle Klassen“ zu verstehen ist. Zunächst einmal: Das ist doch ein Begriff Arnold Oberschelps, der nicht sehr verbreitet ist? Was hat er genau zu bedeuten? Heißt er etwas anderes als „echte Klasse“? Zudem kann ich den Satz „Gleiches gilt auch für die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre NBG, in der echte Klassen existieren, aber ohne offizielle Klassenschreibsweise.“ nicht nachvollziehen. NBG verfügt über ein Komprehensionalitätsaxiomenschema. Ob man in der Formulierung von NBG auf die Schreibweise $\left\{x\mid \varphi (x)\right\}$ verzichtet oder nicht, ist doch völlig egal. Wenn man es in seiner formalen Sprache nicht drin hat, lässt es sich einfach durch Definition ergänzen. Jeder Satz in NBG ohne solche Terme lässt sich problemlos in einen Satz mit solchen Termen übersetzen (genauso, wie man in minimalistischen Darstellungen von Mengenlehre eben auf ein Symbol $\emptyset$ verzichtet, die Sprache dann aber durch Definition um ein solches ergänzt). Was hat es mit dieser Behauptung also auf sich? Beste Grüße --Chricho ¹ ² ³ 01:55, 4. Feb. 2013 (CET)

Virtuelle Klasse ist ein Terminus von Quine. Er hatte starken einen Einfluss auf viele Mengentheoretiker. Seine pragmatische Art, die Klassennotation in die Mengenlehre einzuführen, hat sich allgemein verbreitet. Virtuelle Klassen werden nicht definiert durch eine offizielle Nominaldefinition, sondern als Schreibweise, die auf den Kontext einer Formel verweist. Das zeigen gerade die Artikel ZF und NBG. Keine einzige Klassenformel wird dort durch einen explizite Gleichung eingeführt. Die Klassenschreibweise gehört daher nicht zur formalen Sprache. Quine hat daher versucht, durch zusätzliche Axiome für verschiedene Kontexte die Klassenschreibweise zu regeln. Oberschelp hat ausgehend von Quine und anderen eine Klassenlogik entwickelt, in der der Klassenbaustein von vornherein zur formalen Sprache gehört. Das ist der entscheidende Unterschied. Man muss bei diesen Grundlagen Fragen schon die strengen Methoden der formalen Sprache beachten. Für die Praxis macht das nachher keinen Unterschied. Es nur für die exakte theoretische Basis wichtig. Hilft das weiter?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 07:21, 4. Feb. 2013 (CET)

Was du minimalistische Darstellung nennst, das ist genau die formale Sprache, die ZF zugrunde liegt: Eine Prädikatenlogik mit Gleichheit und Elementprädikat. In ihr kann man schon kein Symbol für leere Menge definieren. Man muss die formale Sprache erweitern! Der einfachste Weg ist es, hier der Sprache das Symbol $\emptyset$ hinzuzufügen, dann kann das Leermengenaxiom einfacher formuliert werden. Das müsste dann für alle anderen Abkürzungen gemacht werden. Schließlich aber braucht man für alle Axiomenschemata doch Klassenbausteine partiell. Dann ist es am besten, gleich mit einer richtigen Klassenlogik einzusteigen. Das hat Oberschelp gemacht (leider sehr unelegant).--Wilfried Neumaier (Diskussion) 07:33, 4. Feb. 2013 (CET)

Deine Korrektur im Artikel Klasse ist natürlich nicht adäquat. Überall braucht man die Klassennotation, weil ja Mengen spezielle Klassen sind. Zeige mir ein einziges Buch, das alle Mengen in der Prädikatenlogischen Sprache ausdrückt! Das gibt es nicht, denn es wäre entsetzlich zu lesen. Man hätte keinen zugriff auf eine Menge, weil sie immer durch eine gebundene Variable im Kontext einer Formel ausgedrückt werden müsste. Eine Verwechslung von Klassen mit echten Klassen hat dich wohl zur Korrektur bewogen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 07:47, 4. Feb. 2013 (CET)

Und was ist daran wichtig, ob es zur formalen Sprache gehört, oder ob man diese dafür durch Definitionen erweitern muss? Erweiterung durch Definition hat noch nie jemandem „geschadet“. Es gehört zum Standardhandwerkszeug eines jeden Logikers, davon zu abstrahieren, welche Kurzschreibweisen man nun gerade zulässt. Wer in aller Kürze etwas über ZF beweisen will, lässt vielleicht nur $\exists ,\bot ,\rightarrow ,\in ,=$ in seiner Sprache zu, für andere Zwecke erlaubt man eben weitergehende Notationen, die sich aber problemlos dahin übersetzen lassen. Oder hast du etwa schon einmal jemanden sagen gehört, es würde sich um verschiedene „Prädikatenlogiken 1. Stufe“ handeln, je nachdem, welche Quantoren und Junktoren man zulässt? Jegliche Fundierungen der Mathematik werden zunächst mehr oder minder minimalistisch formuliert und dann um Definitionen erweitert. Das ändert am Wesen einer solchen doch nichts, welche Dinge erst nachträglich hinzukommen, und welche man von vorneherein annimmt. Zu meiner Korrektur: In vielen Teilen der Mathematik braucht man eben nur Notationen der Art $\left\{x\in X\mid \varphi (x)\right\}$, was sich eben einfach in „minimalistische“ ZF-Sprache übersetzen lässt. Schreibweisen hingegen, in denen über beliebige Klassen quantifiziert wird o. ä., wie es in NBG geht, lassen sich nicht formal in ZF schreiben. Und das ist doch der wesentliche Punkt. --Chricho ¹ ² ³ 10:41, 4. Feb. 2013 (CET)

Zumindest ist ein System, mit weitreichenden Möglichkeiten zum Gebrauch echter Klassen Overkill für viele Teile der Mathematik. --Chricho ¹ ² ³ 11:50, 4. Feb. 2013 (CET)

Die Klassenschreibweise ist eben keine Erweiterung per expliziter Definition. Das ist ja der springende Punkt. Deswegen hat ja Quine virtuelle Klassen eingeführt. Gerade die Übersetzbarkeit der ZF-üblichen Mengen-Klassen in Minimalformeln macht von ihnen Gebrauch. Wo liegt das Problem?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:52, 4. Feb. 2013 (CET) Ich habe aber ein Problem, dessen Lösung ich gerne einmal sehen wollte: Wie lässt sich dein Beispielterm $\left\{x\in X\mid \varphi (x)\right\}$ in der minimalen ZF-Sprache übersetzen. Bitte führ es mir vor, wenn das so einfach ist!--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:15, 5. Feb. 2013 (CET)

Sorry, konnte gestern nicht antworten. Auf die Weise: Eine beliebige Aussage $\psi$, die diesen Term enthält, ersetzt du durch:

$\exists \left\{x\in X\mid \varphi (x)\right\}(\forall xx\in \left\{x\in X\mid \varphi (x)\right\}\leftrightarrow x\in X\wedge \varphi (x))\wedge \psi$ (wobei dieser Term jetzt ein (etwas sperriger) Variablenname ist) oder alternativ:

$\forall \left\{x\in X\mid \varphi (x)\right\}(\forall xx\in \left\{x\in X\mid \varphi (x)\right\}\leftrightarrow x\in X\wedge \varphi (x))\rightarrow \psi$

Per Aussonderungs- und Extensionalitätsaxiom folgt, dass man damit wie gewohnt umgehen kann. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 18:08, 6. Feb. 2013 (CET)

Macht nichts, wenn die Antworten etwas Zeit brauchen. Deine zwei Formeln sind zwei Aussagen und kein Term. Daran sieht man die Problematik: Die Prädikatenlogik mit beliebigen Prädikaten stellt ausschließlich Aussagen zur Verfügung und keinen einzigen Term! Man kann immer nur Aussagen definieren, aber nie einen Term. Das ist das große Manko der ZF-Sprache und NBG-Sprache. Mit logisch legalen Mitteln kann man sich aus diesem Zwang nicht befreien. Man springt daher in der Praxis überall, wo man Terme als Formeln gebraucht, stillschweigend in eine klassenlogische Sprache, natürlich auch beim Verknüpfen von Term-Formeln. Die Klassenlogik schafft hier den Sprachrahmen, wo man das legal machen darf, was man überall stillschweigend praktiziert. Und die virtuellen Klassen sind eine Vorstufe dieser Legalisierung.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 23:44, 6. Feb. 2013 (CET)

Ja, natürlich können in der Prädikatenlogik (wenn man das rein relational macht) nicht aus dem Nichts Terme auftreten. Aber was ist daran so wichtig, dass man für irgend etwas einen Term hat? Was willst du mit dem Verbreitetsein „eine[r] teilweise[n] Aufstockung zu einer Klassenlogik“ denn ausdrücken? Wer macht das? Die meisten Leute beziehen sich heutzutage ja wohl auf ZFC, NBG oder ZFC+Grothendieck-Universen. Und dafür müssen sie eben ihre Aussagen so auffassen, dass formal solche Verwendungen eben wie oben übersetzt werden. Ob man einen eigenen Term übersetzen kann, ist recht egal. Vllt. bin ich blind, aber Berufung auf klassenlogische Grundlagen der Mathematik sind mir noch nicht untergekommen in „normalen Mathematikbüchern“. Die Aufstockung zu NBG ist aus mathematischen Gründen in manchen Gebieten unerlässlich, damit die Aussagen irgendwie einen formalisierbaren Sinn erhalten. In vielen Teilen der Mathematik reicht allerdings auch ein Arbeiten in ZFC, und da müssen keine allgemeinen klassenlogischen Prinzipien verwandt werden, sondern diese Schlussmöglichkeiten ergeben sich einfach daraus, wie man das in ZFC formalisieren würde (nämlich so, wie oben beschrieben) und den prädikatenlogischen Schlussregeln. Siehst du mein Problem in der Aussage über den „ständigen Gebrauch“? --Chricho ¹ ² ³ 15:58, 7. Feb. 2013 (CET) PS: Sorry, der Beitrag ist etwas wirr, also ich bezieh mich erst auf den Satz „Verbreitet ist in beiden Fällen aber eine teilweise Aufstockung zu einer Klassenlogik…“ (Frage: Wo ist das verbreitet?) und dann auf den von mir entfernten Satz über die Prinzipien weiter oben („Diese Schemata werden in der mathematischen Praxis ständig gebraucht“). Floss irgendwie alles ineinander.

Ich verstehe Dich schon. Damit Du mich auch verstehst, muss ich etwas ausholen. Ich hoffe, es bringt Dir was. Natürlich beziehen sich alle Praktiker auf ZF o.ä, interessieren sich aber nicht für die präzise Grundlegung. Das ist auch verständlich und gut so. Der Artikel 'Klassenlogik' geht aber selbstverständlich auf die Logik ein, ohne aber mit einem unnötigen Formalismus daher zu kommen. Daher berücksichtige ich dort maßgebliche Lehrbücher der Mengenlehre und Logik, dazu gehören eben Peano, Russell, Zermelo, Fraenkel, Hilbert, Ackermann, Neumann, Bernays, Gödel, Quine, Oberschelp u.a., die ich natürlich sehr genau studiert habe. Die wollen alle die grundlegenden Sprachprobleme kalkülmäßig lösen. Alle Anwender interessiert das wenig. Ich gebe aber Kalküle bewusst äußerst selektiv wieder: nur von Oberschelp die entscheidenden drei Prinizipien, die man tatsächlich braucht, und zwar stillschweigend überall in der Praxis. Sie sind einfacher als Deine genannten Formeln. Ich würde auch niemanden raten, Bücher der genannten Logiker zu lesen, die sind allesamt formalistisch eine brutale Zumutung. Oberschelps drei Formeln sind das kompakte, leicht verständliche Endergebnis einer etwa über fast hundert Jahre erstreckenden Versuchsreihe von Kalkülen mit Klassentermen. Er hatte den besten Überblick über die Geschichte. Leider hört er in seinem Buch dort auf, wo man anfangen sollte, wenn man bei Praktikern ankommen wollte. Man kann seine Formeln als Axiome für virtuelle Klassen im Sinn von Quine benützen. Diese drei Formeln erweitern ZF so, dass man die übliche Klassenschreibweise für Mengen wirklich korrekt benützen kann. Die Klassenschreibweise ist wirklich überall verbreitet. Und die drei Formeln bilden die einfachste "teilweise Aufstockung" zu einer Klassenlogik. Ich habe den Eindruck, dass Du den Terminus Klassenlogik missverstehst. Er hat mit echten Klassen nichts zu tun! Die Klassenlogik erarbeitet nur die Grundregeln für den üblichen Umgang mit Klassentermen. Welche Mengenaxiome man dazunimmt, ist egal. Oberschelp zielt auf eine ZFC-Klassenlogik als bequemerer Ersatz für eine ZFC-Prädikatenlogik. Dort gibt es keine echten Klassen. Ich hoffe, dass ich mich jetzt klar genug ausgedrückt habe.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:12, 7. Feb. 2013 (CET)

Würdest Du es hilfreich finden, wenn man als Beispiele einige Standardanwendungen der drei Klassenlogischen Prinzipien in den Artikel einbaut?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:26, 7. Feb. 2013 (CET)

Ok. Ich denke, wir kommen uns näher. Vermutlich war es ein Missverständnis, anzunehmen, dass Klassenlogik den Umgang mit „großen Objekten“ (und das ist der Punkt, der bestimmte Grundlegungen der Mathematik stark voneinander Unterscheidet und für die Praxis sehr relevant ist) vereinfacht. Im Artikel Klasse (Mengenlehre) stoßen also wohl verschiedene Dinge zusammen (Handhabung „großer Objekte“ bei der Grundlegung, Schlussweisen aus der Praxis (die sich auf verschiedene formale Prinzipien zurückführen lassen mögen), verschiedene formale Systeme, die ebensolches Schließen auf grundlegender logischer Stufe enthalten), die dort für Verwirrung sorgen.

Also Beispiele dort hätten mir auch nicht geholfen, für Allgemeinverständlichkeit kann es vielleicht helfen. Wichtiger fände ich, deutlicher zu machen, ob man jetzt von Axiomatisierung/formal-logischen Grundlagen spricht, oder nur von allgemeinen Schlussweisen. Übrigens (hat jetzt nichts mit dem Artikel zu tun, aber da du von deiner bewussten Selektion sprachst) fände ich es schön, wenn sich hier in der Wikipedia auch eine ausführliche formale Darstellung finden würde, was Klassenlogik im Oberschelp’schen Sinne ist, das würde glaube ich zu mehr führen als die ganzen Andeutungen, die hier überall verteilt sind. Und Informationen darüber sind online schwer zu haben.

Was meinst du mit „formalistisch eine brutale Zumutung“? Und was wäre es denn, was er den „Praktikern“ hätte vermitteln können? Gruß

--Chricho ¹ ² ³ 17:33, 7. Feb. 2013 (CET)

Die Diskussion wurde von einem Mitleser auf die Diskussion des Artikels Klasse (Mengenlehre) verschoben. Diskutieren wir also dort weiter.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 18:13, 7. Feb. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Wilfried Neumaier (Diskussion) 19:43, 7. Feb. 2013 (CET)

Lesefreundliche ZF-Fassung

Ich habe eine leserfreundlichere ZF-Version gestaltet, damit Einsteiger einen besseren Zugang finden. Dazu habe ich die verbalen Axiome vorweggenommen und vereinfacht, nämlich Variablen weggelassen, die bei der Schreibweise nicht benötigt werden. Ferner habe ich die Redundanz hier schon eingearbeitet. Der Fachmann, der eine formale Sprache lesen kann, hat dann die wesentlichen Informationen anschließend kompakter. Der Artikel gewinnt so auch an Übersichtlichkeit. Ich habe auch die Formeln leichter lesbar gemacht: Elementvariablen sind nun (wie in der üblichen Praxis) bevorzugt mit kleinen Buchstaben (x und y) bezeichnet, die axiomatisch geforderte Menge stets mit M. Ich hoffe, dass mir keine Flüchtigkeitsfehler passiert sind. Kenner mögen meine Bearbeitung unter die Lupe nehmen.

Axiome in verbaler Form

Die verbale Formulierung der Axiome folgt der üblichen Praxis und benützt häufig den Begriff „Menge“. Sie beschreibt ZFU und, wenn man Menge=Objekt setzt, die reine Mengenlehre ZF. Die anschließenden formalen Präzisierungen legen beide Versionen genau fest. Der Kommentar zu den Axiomen beschränkt sich auf das Nötigste; Weiterführendes enthalten die Spezialartikel zu den einzelnen Axiomen.

Extensionalitätsaxiom: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Aus dem Extensionalitätsaxiom folgt unmittelbar die Eindeutigkeit einer Menge, deren Elemente durch eine äquivalente Eigenschaft beschrieben wird. Das wird in einigen (nicht allen) Axiomen praktiziert. Einer solchen axiomatisch geforderten eindeutig bestimmten Menge wird dann jeweils die heute üblich Schreibweise zugeordnet.

Leermengenaxiom: Es gibt eine Menge ohne Elemente.

Diese Menge ist aufgrund des Extensionalitätsaxioms eindeutig und wird leere Menge genannt und als $\varnothing$ notiert.

Paarmengenaxiom: Für alle a und b gibt es eine Menge, die genau a und b als Elemente hat.

Die im Paarmengenaxiom geforderte Menge ist eindeutig bestimmt und wird als $\,\{a,b\}$ geschrieben.

Die einelementige Menge wird als $\,\{a\}:=\{a,a\}$ definiert.

Vereinigungsaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge, die genau die Elemente der Elemente von A als Elemente enthält.

Die im Vereinigungsaxiom geforderte Menge ist eindeutig bestimmt und heißt die Vereinigung der Elemente von A, geschrieben als $\bigcup A$.

Die Vereinigung zweier Mengen wird durch $A\cup B:=\bigcup \{A,B\}$ definiert.

Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge, die die leere Menge enthält und mit jedem Element $\,x$ auch $x\cup \{x\}$.

Die im Unendlichkeitsaxiom geforderte Menge ist eine sogenannte induktive Menge, die nicht eindeutig bestimmt ist. Der Durchschnitt ihrer induktiven Teilmengen ist ein Modell der natürlichen Zahlen.

Potenzmengenaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge, deren Elemente genau die Teilmengen von A sind.

Die im Potenzmengenaxiom geforderte Menge ist eindeutig bestimmt und heißt die Potenzmenge von A und wird als ${{\mathcal {P}}(A)}$ notiert.

Fundierungsaxiom: Jede nichtleere Menge A enthält ein Element x, das mit A kein Element gemeinsam hat.

Das Fundierungsaxiom dient nicht wie die übrigen Axiome zur Mengenbildung, sondern schließt zyklische und unendlich absteigende Elementketten aus.

Aussonderungsaxiom für einstellige Prädikate P(x): Zu jeder Menge A existiert eine Menge, die genau die Elemente x aus A enthält, für die P(x) gilt.

Die im Aussonderungsaxiom geforderte Menge ist aufgrund der Extensionalität eindeutig und wird als $\{x\in A|P(x)\}$ notiert. Hier liegt ein Axiomenschema vor, da erst nach Einsetzung eines konkreten Prädikats ein logisches formuliertes Axiom entsteht. Da es beliebig viele solche Prädikate gibt, hat das ZF-System unendlich viele Axiome.

Ersetzungsaxiom (Fraenkel): Ist A eine Menge und wird jedes Element x von A eindeutig durch ein beliebiges y ersetzt, so geht A in eine weitere Menge über.

Die im Ersetzungsaxiom gebildete weitere Menge ist eindeutig bestimmt und wird als $\{y|x\in A\land E(x,y)\}$ notiert, wobei $\,E(x,y)$ ein zweistelliges Prädikat ist, das die eindeutige Ersetzung präzisiert und daher Eigenschaften wie eine Funktion hat. Weil beliebige derartige Prädikate möglich sind, handelt es sich auch hier um ein Axiomenschema für unendlich viele Axiome.

Auswahlaxiom von ZFC: Ist A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jeder Menge in A enthält.

Die im Auswahlaxiom geforderte Menge ist nicht eindeutig bestimmt und hat daher keine Standardnotation. Weil das Axiom ein komplizierte Formel hat, wird oft eine anwendungsfreundlichere gleichwertige Formulierung des Auswahlaxioms benützt, das den Begriff der Funktion voraussetzt: Ist A eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion f, die jeder Menge B aus A ein Element aus B zuordnet („auswählt“).

Das ZF-System ist redundant und wird schon vollständig beschrieben durch das Extensionalitätsaxiom, Vereinigungsaxiom, Potenzmengenaxiom, Unendlichkeitsaxiom, Fundierungsaxiom und Ersetzungsaxiom. Das gilt wegen folgender Punkte:

• Das Aussonderungsaxiom ist mit dem Ersetzungsaxiom beweisbar (Zermelo).
• Das Leermengenaxiom folgt aus dem Aussonderungsaxiom.
• Das Paarmengenaxiom folgt aus dem Potenzmengenaxiom und dem Ersetzungsaxiom (Zermelo).

Axiome in prädikatenlogischer Form

Als logische Grundlage dient die Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität und dem undefinierten Elementprädikat $\in$. Dazu gehören alle dort definierbaren logischen Operatoren, speziell auch der Eindeutigkeitsquantor $\exists !$ und gelegentlich zur Abkürzung die oben eingeführten Schreibweisen (elminierbar).

ZF

ZF umfasst folgende Axiome (das Aussonderungs-, Leermengen- und Paarmengenaxiom können als redundant wegfallen):

Extensionalitätsaxiom:

$\forall A,B\colon (A=B\iff \forall x\colon (x\in A\iff x\in B))$

Leermengenaxiom:

$\exists M\colon \forall x\colon \lnot (x\in M)$

Paarmengenaxiom:

$\forall a,b\colon \exists M\colon \forall x\colon (x\in M\iff (x=a\lor x=b))$

Vereinigungsaxiom:

$\forall A\colon \exists M\colon \forall x\colon (x\in M\iff \exists B\colon (x\in B\land B\in A))$

Unendlichkeitsaxiom:

$\exists M\colon (\exists x\in M\colon \forall y\colon \lnot (y\in x)\land \forall x\colon (x\in M\Rightarrow x\cup \{x\}\in M))$

Potenzmengenaxiom:

$\forall A\colon \exists M\colon \forall x\colon (x\in M\iff \forall y\colon (y\in x\Rightarrow y\in A))$

Fundierungsaxiom:

$\forall A\colon (A\neq \varnothing \Rightarrow \exists x\colon (x\in A\land \lnot \exists y\colon (y\in A\land y\in x)))$

Aussonderungsaxiom für jedes einstellige Prädikat $\,P(x)$:

$\forall A\colon \exists M\colon \forall x\colon (x\in M\iff x\in A\land P(x))$

Ersetzungsaxiom für jedes zweistellige Prädikat $\,E(x,y)$:

$\forall x,y,z\colon (E(x,y)\land E(x,z)\Rightarrow y=z)\Rightarrow \forall A\colon \exists M\colon \forall y\colon (y\in M\iff \exists x\colon (x\in A\land E(x,y)))$

ZFC

ZFC umfasst ZF und folgendes

Auswahlaxiom:

$\forall A\colon (\varnothing \not \in A\ \wedge \ \forall x,y,z\colon ((x\in A\ \wedge \ y\in A\ \wedge \ z\in x\ \wedge \ z\in y)\Rightarrow x=y))$

$\Rightarrow \;$

$\exists M\colon \forall B\colon (B\in A\Rightarrow \exists !\ x\colon (x\in B\wedge x\in M))$

ZFU

Zermelo definierte Mengen als elementhaltige Objekte oder die leere Menge. Urelemente sind Objekte ohne Elemente. Mengen und Urelemente werden somit durch folgende definierte Prädikate bestimmt in einer erweiterten Sprache mit der Konstanten $\varnothing$:

$M{\text{ ist nichtleer}}\colon \iff \exists x\colon (x\in M)$

$M{\text{ ist Menge}}\colon \iff M{\text{ ist nichtleer }}\lor M=\varnothing$

$U{\text{ ist Urelement}}\colon \iff \lnot (U{\text{ ist nichtleer}})$

ZFU umfasst folgende Axiome (das Aussonderungs-, Leermengen- und Paarmengenaxiom können als redundant wegfallen):

Leermengenaxiom

$\exists M\colon M{\text{ ist Menge }}\land \forall x\colon \lnot (x\in M)$

Extensionalitätsaxiom:

$A{\text{ ist Menge }}\land B{\text{ ist Menge }}\Rightarrow (A=B\iff \forall x\colon (x\in A\iff x\in B))$

Paarmengenaxiom:

$\forall a,b\colon \exists M\colon \forall x\colon (x\in M\iff (x=a\lor x=b))$

Vereinigungsaxiom:

$\forall A\colon \exists M\colon (M{\text{ ist Menge }}\land \forall x\colon (x\in M\iff \exists B\colon (x\in B\land B\in A)))$

Potenzmengenaxiom:

$\forall A\colon \exists M\colon \forall x\colon (x\in M\iff (x{\text{ ist Menge }}\land \forall y\colon (y\in x\Rightarrow y\in A)))$

Unendlichkeitsaxiom:

$\exists M\colon (\exists x\in M\colon \forall y\colon \lnot (y\in x)\land \forall x\colon (x\in M\Rightarrow x\cup \{x\}\in M))$

Fundierungsaxiom:

$A{\text{ ist nichtleer }}\Rightarrow \exists x\colon (x\in A\land \lnot \exists y\colon (y\in A\land y\in x))$

Aussonderungsaxiom für einstellige Prädikate $\,P(x)$:

$\forall A\colon \exists M\colon (M{\text{ ist Menge }}\land \forall x\colon (x\in M\iff x\in A\land P(x)))$

Ersetzungsaxiom für zweistellige Prädikate $\,E(x,y)$:

$\forall x,y,z\colon (E(x,y)\land E(x,z)\Rightarrow y=z)\Rightarrow \forall A\colon \exists M\colon (M{\text{ ist Menge }}\wedge \ \forall y\colon (y\in M\iff \exists x\colon (x\in A\wedge \ E(x,y))))$

Bemerkung:

Das Zusatzaxiom $\forall x\colon x{\text{ ist Menge}}$ macht ZFU gleichwertig zu ZF.

ZFCU

ZFCU umfasst ZFU und folgendes

Auswahlaxiom:

$\forall A\colon ((\forall x\colon (x\in A\Rightarrow x{\text{ ist nichtleer}})\ \wedge \ \forall x,y,z\colon ((x\in A\ \wedge \ y\in A\ \wedge \ z\in x\ \wedge \ z\in y)\Rightarrow x=y))$

$\Rightarrow \;$

$\exists M\colon \forall B\colon (B\in A\Rightarrow \exists !\ x\colon (x\in B\wedge x\in M))$

Diskussion der lesefreundlichen Fassung

Die Verbalisierung gefällt mir sehr gut. Aber grundsätzlich halte ich es für fragwürdig, Verbalisierung und Formalisierung getrennt zu behandeln. Formeln (zumindest solche "halbformalen" Formeln, wie sie sinnvollerweise verwendet werden) sind ja kein Selbstzweck, sondern dienen dazu, den betreffenden Sachverhalt schneller zu begreifen (deshalb ist die Mathematik ja voll von Formeln). Da zudem die Formalisierung für einen Artikel der formalen Logik zentral ist, plädiere ich für die nicht-getrennte Darstellung. Aber ansonsten alles ok.--SnowIsWhite 14:55, 11. Jul. 2011 (CEST)

Die Verbalisierung gehört halt sowohl zu ZF als auch zu ZFU, wie ich ja verdeutlicht habe. Wo soll man sie dann einordnen?--Wilfried Neumaier 15:00, 11. Jul. 2011 (CEST)

Ja das stimmt, das hab ich nicht bedacht. Ich muss aber sagen, dass ich (persönlich) mit der sehr ausführlichen Darstellung von ZFU meine Schwierigkeiten habe. Auch wenn es historisch wichtig und interessant ist, für die heutige Mengenlehre spielt ZFU eigentlich keine Rolle mehr - und mit ZF(C) ist ja üblicherweise die heutige Situation gemeint. Auch auf die Gefahr hin hier noch ein Faß mehr aufzumachen würde könnte man über eine Auslagerung denken (möglicherweise mit Ausbau/Weiterleitung von Urelement). Ist aber nur ein Vorschlag - wenn nicht, so ist es auch ok. --SnowIsWhite 16:26, 11. Jul. 2011 (CEST)

ZFU spielt in der Mengenlehre, als Basis der Mathematik, keine Rolle. Aber in gewissen Anwendungsgebieten außerhalb der Mathematik ist sie mir öfters begegnet. Auslagern ist nicht sinnvoll. Man muss ja nur einen kleinen Schalter an- oder ausknipsen. Man könnte aber auch die Verbalisierung weiterhin bei ZF belassen und die Einleitung entsprechend modifizieren. Ich mach morgen vielleicht einen konkreten Vorschlag dazu, hier auf dieser Seite.--Wilfried Neumaier 18:59, 11. Jul. 2011 (CEST)

Hallo Wilfried, ich habe das jetzt erstmal nur überflogen. Zu mehr fehlt mir im Augenblick die Zeit. Ich würde die Formeln jedoch zu jedem verbalisierten Axiom dazuschreiben und denke, es wäre sinnvoll, jedes einzelne Axiom ausführlich in einem eigenen Artikel zu behandeln. Nebenbei bemerkt: Oben schreibst Du, die leere Menge wird als $\varnothing$ notiert, in der Formel steht sie als $\exists M\colon \forall x\colon \lnot (x\in M)$. Und irgendwo habe ich die leere Menge mal als $\,\{\}$ gesehen. Das könnte den Laien verwirren. --Wikilaser 12:35, 12. Jul. 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:24, 19. Feb. 2015 (CET)

ZFC

Moin, das sieht doch gut aus mit den zwei neuen Artikeln! Hab im Ersetzungsschema noch nach Bild (Mathematik) verlinkt. Bis auf die Tatsache, daß ich nach wie vor -schema als Lemma bevorzugen würde aber alles gut. Grüße, --SnowIsWhite 23:30, 7. Sep. 2011 (CEST)

Ich hab den althergebrachten Standpunkt vorgezogen aus früher diskutierten Gründen. Es gibt aber noch einen formalen Grund, den ich beachtenswert finde. Ich kenne Formalisierungen von ZFC (etwa Quine Set theory and its logic 1963), bei denen das Ersetzungsaxiom und auch das Aussonderungsaxiom keine Schemata sind, sondern wirklich Axiome. Das hängt nämlich vom gewählten Sprachrahmen ab. Wenn man den Sprachrahmen nämlich in Richtung Klassenlogik ausbaut, verschwinden die Darstellungsprobleme, die man in der rein prädikatenlogischen Sprache hat. Hier kann man Klassen nämlich durch freie Variable ausdrücken und braucht dann die Beschreibung über die Klassenaussagen E(x,y) oder P(x) nicht. Deswegen habe ich in den Artikeln auch die Wahl des Sprachrahmens ausdrücklich genannt, in dem Schemata erforderlich sind. Die Wahl des Sprachrahmens ist nämlich willkürlich und hat mit dem Inhalt der Mengenaxiome, auf den es eigentlich ankommt, nichts zu tun. Man sollte die Wahl eines bequemeren Sprachrahmens nicht durch Umbenennung der alten Axiomnamen verbauen.--Wilfried Neumaier 00:50, 8. Sep. 2011 (CEST)

Ich plane, in nächster Zeit einmal obige leserfreundliche ZF-Version nochmals zu bearbeiten und ZFU im klassenlogischen Rahmen zu formalisieren, damit man die großen Vorteile dieser Sprache einmal konkret sieht. ZF lasse natürlich ich in der prädikatenlogischen Form stehen.--Wilfried Neumaier 00:55, 8. Sep. 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:23, 19. Feb. 2015 (CET)

Ackermann-Mengenlehre und das Fundierungsaxiom

In den Artikel Ackermann-Mengenlehre steht seit einer Änderung von dir am 12. Januar 2008: "Die ZFC-Axiome gelten dort nur eingeschränkt auf Mengen, die zusätzlich das Fundierungsaxiom erfüllen." Wie ich die Aussage verstehe, bedeutet sie, dass jedes ZFC-Axiom durch Beschränkung aller Quantoren mit dem Prädikat "Menge, die das Fundierungsaxiom erfüllt" zu einem Theorem der Ackermann-Mengenlehre (wie im Artikel definiert, also ohne Fundierungsaxiom) wird. Aufgrund des Beweises von Reinhardt, dass die Mengen der Ackermann-Mengenlehre mit Fundierung ZFC erfüllen, schien mir der Satz erstmal plausibel. Um ihn aus dem Reinhardtschen Theorem abzuleiten, müsste man aber erstmal zeigen, dass die Ersetzung von "Menge" durch "Menge, die das Fundierungsaxiom erfüllt" aus den Axiomen der Ackermann-Mengenlehre mit Fundierung Theoreme der Ackermann-Mengenlehre ohne Fundierung macht. Dafür bräuchte man, dass jedes Element einer Menge, die das Fundierungsaxiom erfüllt, wieder das Fundierungsaxiom erfüllt, was allerdings nicht unbedingt gilt (wenn x das Fundierungsaxiom nicht erfüllt, so erfüllt trotzdem {x,{}} das Fundierungsaxiom). Dieses Problem lässt sich lösen, indem man stattdessen "Menge" durch "Menge, deren transitive Hülle das Fundierungsaxiom erfüllt" ersetzt. Um dann aber noch die Mengenkomprehension zu beweisen, müsste man zeigen, dass die transitive Hülle jeder Menge von Mengen, deren transitive Hüllen das Fundierungsaxiom erfüllen, das Fundierungsaxiom erfüllt. Ich wüsste nicht, wie man dies beweisen sollte, und es scheint mir mittlerweile auch nicht mal mehr besonders plausibel. Wenn dir auch keine Lösung einfällt, müssen wir den oben zitierten Satz und den im Artikel darauffolgenden Satz entscheidend abändern (z.B. durch "Die ZFC-Axiome gelten dort nur eingeschränkt auf Mengen (unter der zusätzlichen Annahme des Fundierungsaxioms). Die Ackermann-Mengenlehre mit Fundierungsaxiom enthält daher ZFC als echten Teilbereich und kann als Verallgemeinerung der üblichen ZFC-Mengenlehre und der Zermelo-Mengenlehre angesehen werden."). Marcoscramer 17:37, 11. Jan. 2012 (CET)

Du hast recht, das war oberflächlich formuliert. Ich würde die transitive Hülle und den Reinhardt nicht unbedingt ins Spiel bringen, sondern eher Deinen Vorschlag am Ende gut heißen, oder aber die bekannte Neumann-Hierarchie heranziehen, die ja das Fundierungsaxiom erfüllt, aber nur ZF ohne Fundierung voraussetzt.--Wilfried Neumaier 22:29, 11. Jan. 2012 (CET) Ich habe das inzwischen richtig gestellt.--Wilfried Neumaier 09:17, 13. Jan. 2012 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:22, 19. Feb. 2015 (CET)

Seitenangabe zu Peano im Artikel zu Dedekind

Hallo Wilfried! Hier hast du vor langer Zeit anscheinend eine Seitenangabe machen wollen und diese vergessen. Kannst du das jetzt noch nachvollziehen, was da hingehört? Grüße --Chricho ¹ ² ³ 21:05, 29. Mai 2013 (CEST)

Ich habe die unvollständige Stellenangabe vorläufig rausgenommen und schlage nochmals nach:

Auch in: Kennedy: Giuseppe Peano, San Francisco, 2002, S.??

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:22, 19. Feb. 2015 (CET)