Benutzer Diskussion:Wm40

Hallo Digamma, hatte eben Dank und Zurück-Grüße im Abschnitt weiter oben gelesen, als mein Blick wieder auf Deine Bemerkungen zum Charakter des Nabla-Operators fiel, mit denen ich Schwierigkeiten hätte. In meinem obigen (nun nicht ganz geglückten) Text vom 22. Apr. hatte ich schon auf die Möglichkeit der vom Koordinatensystem unabhängigen Definition des Nabla-Operators bei Lagally/Franz hingewiesen. Nochmaliges Überdenken dieser Möglichkeit verstärken meine Zweifel an Deiner Meinung. Ein paar Worte zur Historie: Walter Franz (1911-1992) hatte Ende der 1950er Jahren aufgrund eines Hinweises von Karl Strubecker (1904-1991) eine Arbeit von Franz Jung (Lebensdaten nicht auffindbar, Z. Math. u. Phys. 56,337 (1908)) erwähnt, in der diese Definition (mit Hilfe des Limes eines Oberflächen-Integrals) erstmals angegeben worden sei. Franz hat das offenbar für so bedeutsam gehalten, daß er dem Hinweisgeber im Vorwort der 6. Aufl. (1958) ausdrücklich seinen Dank ausgesprochen hatte. Ich selbst war über dieses vermeintlich späte Aufkommen ziemlich verwundert, denn ich hätte geglaubt, daß die Integral-Ausdrücke für Divergenz usw. schon wesentlich eher gang und gäbe gewesen wären (bin mir aber nicht sicher). Franz zeigt dann zunächst, daß die Anwendung dieses "Integral-Operators" auf eine skalare Feldfunktion zum unabhängig davon definierten Gradienten führt und ergänzt das anschließend für Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes. Diese koordinaten-unabhängigen Betrachtungen bestärken mich in meiner Ansicht, dem Nabla-Operator doch einen selbständigen, nicht nur formalen Charakter zuzusprechen. Die Unterschiede liegen eher 1. im Typ der Operanden (skalare, vektorielle bzw. - zweiter oder höherer Stufe - tensorielle Feldfunktionen), und sie liegen bei den vektoriellen/tensoriellen Operanden 2. in den unterschiedlichen multiplikativen Verknüpfungen zwischen Operator und Operand (skalar, vektoriell, tensoriell/unbestimmt). Die tensorielle Verknpüfung zwischen Operator und Vektorfeld wurde früher manchmal auch als Vektor-Gradient bezeichnet. Bei den tensoriellen Operanden (zweiter und höherer Stufe) tritt die Schwierigkeit hinzu, daß der "Nabla-Vektor" nur mit den Links-Vektoren des Tensors verknüpft werden kann, während die Differentiationen sich wohl i.a. auf alle vektoriellen Faktoren (via Produktregel) erstrecken müßten.

... denn die Integral-Darstellung der Divergenz z. B. findet sich doch in der Literatur. Besonders schön finde ich die bei H.-J. Korsch: Mathematische Ergänzungen zur Einführung in die Physik (3. Aufl.), Binomi Verlag 2004, dort Gl.(9.105) auf S. 239. Um den Operator-Charakter zu verdeutlichen, sollte man aber das vektorielle Flächenelement direkt hinter das Integralzeichen schreiben. .... WMbrummochs.dresden ----89.199.234.94 23:31, 2. Jun. 2012 (CEST)

... an anderer Stelle hatte ich schon mal geschrieben, daß vektoralgebraische und vektoranalytische Herleitungen generell auch ohne Benutzung von Koordinaten machbar sind. Deswegen will ich hier folgendes kurz einfügen.

${\begin{aligned}{\vec {\nabla }}f(r)={\vec {\nabla }}f(|{\vec {r}}|)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} |{\vec {r}}|}}\,{\vec {\nabla }}|{\vec {r}}|.\end{aligned}}$

Nun ist es zweckmäßig ${\vec {\nabla }}|{\vec {r}}|$ gleich separat (als Baustein für spätere Wiederverwendung) zu behalten:

${\begin{aligned}{\vec {\nabla }}|{\vec {r}}|={\vec {\nabla }}({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}(|{\vec {r}}|^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,\,{\vec {\nabla }}({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})={\frac {1}{2}}{\frac {1}{|{\vec {r}}|}}\,\,2({\vec {\nabla }}{\vec {r}})\cdot {\vec {r}}={\frac {1}{|{\vec {r}}|}}\mathbf {E} \cdot {\vec {r}}={\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}.\end{aligned}}$

Das ist doch etwas übersichtlicher als die Koordinaten-Rechnung. Hier ist ${\vec {\nabla }}{\vec {r}}=\mathbf {E}$ der Einheitstensor zweiter Stufe als tensorielles Produkt aus Nablaoperator und Ortsvektor. Der Beweis hierfür wäre am einfachsten durch Koordinaten-Rechnung zu erbringen - das erforderte keinerlei Überlegung. Schöner ist der Nachweis über den Richtungsdifferentialquotienten des Ortsvektors in Verbindung mit einem beliebigen (fiktiven) Linienelement - das geht ohne Koordinaten (und wäre evtl. noch mal nachzutragen). Alle Multiplikationspunkte in obiger Gleichung sind absolute Pflicht, sie stehen für die Skalarmultiplikation zweier Vektoren bzw. für die eines Tensors zweiter Stufe mit einem Vektor. Besten Gruß vom WMbrummochs.dresden ----89.199.207.171 18:15, 9. Jul. 2012 (CEST)