Benutzer Diskussion:Xario/Glatte Funktion

Erster Eindruck

Dieser Vorschlag gefällt mir besser als die aktuelle Version. Ich hatte ja auf der Diskussionsseite zum Artikel einige Bemerkungen zum Problem n=0 und n>0 gemacht, weil ich da eine Diskrepanz gesehen habe. Inzwischen habe ich mich selbst davon überzeugt, dass das so ok ist. Irgendwie stand ich das auf dem "Oma-Schlauch". Ich hätte für den Anfang ein paar kleine Formulierungsvorschläge, wobei ich die Bemerkungen, die zu meinen ersten mathematischen Edits gemacht wurden, mit umsetze. Zur Vereinfachung des Vergleiches verwende ich mal Durchstreichungen:

Beginn

== Der reelle Fall ==

Für eine (im Normalfall offene) Teilmenge $D\subset \mathbb {R}$ nennt bezeichnet man die Menge der reellwertigen und auf ganz $D$ stetigen Funktionen mit $C(D)$, $C^{0}(D)$ oder auch $C^{0}(D,\mathbb {R} )$. Entsprechend wird die Menge n-mal stetig differenzierbaren Funktionen mit $C^{n}(D)$ bezeichnet. Das heißt $f\in C^{n}(D)\Leftrightarrow f^{(n)}\in C^{0}(D)$. Beachte dass stets gilt: Es gilt stets $C^{n}(D)\subset C^{0}(D)$. Damit liegt kann man folgende Definition nahe formulieren:

Definition

Eine Funktion $f:D\to \mathbb {R}$ ist heißt unendlich oft differenzierbar, wenn sie beliebig oft differenzierbar ist, wenn also für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt $f^{(n)}\in C^{0}(D)$. Die Menge aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf $D$ wird dann mit $C^{\infty }(D)$ bezeichnet. Ebenso kann man $C^{\infty }(D)$ topologisch als Schnittmenge über alle $C^{n}(D)$ definieren: $C^{\infty }(D)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }C^{n}(D)$.

Ende

Dazu noch drei Bemerkungen:

• Die Zwischenüberschrift Der reelle Fall könnte evtl. weg, durch den ersten Satz wird das klar, es kommt fast unmittelbar danach Verallgemeinerung. Ich finde auch, dass sie optisch etwas stört.
• Ich denke, dass es reicht, für n>=1 zu formulieren und den Fall n=1 nicht extra ze erwähnen.
• Ich weiß nicht so richtig, ob der Begriff topologisch hier sein muss. Die Cⁿ sind ja "ganz normale Mengen" und C^unendlich ist der normale (abzählbare) Durchschnitt von Mengen.

-- Jesi 17:25, 23. Aug. 2007 (CEST)

Nachtrag: Die Sache mit der ersten Zwischenüberschrift hat sich wohl erledigt. Der optische Eindruck kam wahrscheinlich daher, dass sie kleingeschrieben war. So wie es jetzt ist, ist es voll in Ordnung. -- Jesi 17:32, 23. Aug. 2007 (CEST)

Hey, fix geantwortet :-) Hab fast alle deine Umformulierungen übernommen, zu deinen drei Punkten hab ich noch Fragen:

• Die Zwischenüberschrift drin lassen oder raus? Bin auch nicht ganz sattelfest, wann man Unter- und Zwischenüberschriften einfügen sollte, hier find ich's eigentlich ganz sinnvoll, muss aber nicht sein.
• Das für n=1 würd ich schon eher drinlassen wollen, weil der Sprung von n auf 0 eventuell zu groß ist, natürlich ist "stetig" = "null-mal stetig diffbar", aber dafür braucht man ein kleines bisschen Erfahrung, und $C^{1}$ kennt man noch eher. Lasse mich aber auch hier überzeugen ;-)
• Hab das topologisch rausgenommen aber noch einen Nachsatz zugefügt, da ich denke, wenn man schon zwei Möglichkeiten für eine Definition liefert, sollte man Vor- und Nachteile beschreiben. Jetzt sind das hier ja eigentlich keine "unterschiedlichen" Definitionen, sondern nur zwei Blickwinkel, wie man zu $C^{\infty }$ kommen kann. Und wenn man es als Schnitt von Mengen macht, ist das vor allem für Topologen schneller zu durchschauen. Deshalb die "Rechtfertigung" mittels Nachsatz. Falls das aber doch eher verwirren tut, dann weg damit...ach ja, topologisch sollte ich noch verlinken...

Gute N8, werde erst wieder Sonntag Abend hier vorbeischauen können. --Xario 23:58, 23. Aug. 2007 (CEST)

Kann aber sicher auch gleich antworten:

• Zwischenüberschriften sind jetzt so in Ordnung. (Ich denke eine schlechtere) Alternative wäre, die drei Überschriften unter Definition wegzulassen.
• Fall n=1 ist so auch ok, ich hatte zwischenzeitlich mal eine andere Formulierung mit einer gewissen Doppelung im Kopf, da wäre es mit zwei Fällen unschön geworden.
• Topologisch ist so ok, vielleicht könntest du aber überlegen, doch noch Schnitt durch Schnittmenge (oder vielleicht auch bekannter Mengendurchschnitt) zu ersetzen.

Alles in allem finde ich es jetzt ganz gut lesbar. Ich hätte nur noch eine winzige Erbsenzählerei (ist aber nur eine rein persönliche Ansicht): ich würde die Doppelpunkte hinter Das heißt: und Es gilt stets: weglassen, erscheint mir bei so kurzem Fließtext etwas störend. Ansonsten erst einmal gute N8Ruhe. -- Jesi 00:11, 24. Aug. 2007 (CEST)

Merci! Schon passiert! Muss jetzt aber echt ins Bett! :-) --Xario 00:46, 24. Aug. 2007 (CEST)