Zellkomplex
Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde 1949 von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.[1]
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine -Zelle ist ein topologischer Raum, der zu homöomorph ist. Eine offene -Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von homöomorph ist. nennt man die Dimension der Zelle.
Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum , der in offene Zellen zerfällt, wobei gilt:
- zu jeder -Zelle existiert eine stetige Abbildung so dass das Innere von homöomorph auf und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension abgebildet wird. ( heißt die charakteristische Abbildung der Zelle .)
- ist genau dann abgeschlossen, wenn für alle abgeschlossen ist.
Das -Gerüst eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimensionen .
Ein endlicher CW-Komplex ist ein CW-Komplex aus endlich vielen Zellen.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.
In zusammenhängenden CW-Komplexen gilt der Satz von Whitehead über die Homotopieäquivalenz.
Ein CW-Komplex ist der Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe.
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex.
- Jede offene sternförmige Teilmenge des ist ein k-Zelle.[2]
- ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen und die charakteristischen Abbildungen .
Zelluläre Abbildungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das -Gerüst eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension .
Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung , die jede -Zelle von in das -Gerüst von abbildet. (Dabei müssen -Zellen nicht notwendig auf -Zellen abgebildet werden.)
Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press 2010, ISBN 978-0-521-79540-1, S. 5ff., S. 102ff., S. 106ff
- D.O. Baladze: CW-complex. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ J. H. C. Whitehead: Combinatorial homotopy, Bull. Amer. Math. Soc., Band 55, 1949, 213–245 (Teil 1), S. 453–496 (Teil 2)
- ↑ Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-21393-2, S. 116.