Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion

Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol $\left[x\right]$ für die Abrundungsfunktion 1808 einführte.^[1] Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen $\operatorname {floor} (x)$ und $\lfloor x\rfloor$ (englisch floor „Boden“) für die Gaußklammer sowie $\operatorname {ceil} (x)$ und $\lceil x\rceil$ (englisch ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion.^[2] Im Deutschen bezieht sich das Wort Gaußklammer ohne weitere Zusätze meist auf die ursprüngliche von Gauß verwendete Notation.^[3]^[4] Für die von Iverson eingeführten Varianten werden dann zur Unterscheidung die Bezeichnungen untere Gaußklammer und obere Gaußklammer verwendet.^[5]

Zeichensatz

Die Zeichen für die Abrundungs- und Aufrundungsfunktion sind weiterentwickelte eckige Klammern und können in den verschiedenen Umgebungen folgendermaßen kodiert werden:

LEFT FLOOR	⌊	`U+230A`	(HTML ⌊	&lfloor;)
RIGHT FLOOR	⌋	`U+230B`	(HTML ⌋	&rfloor;)
LEFT CEILING	⌈	`U+2308`	(HTML ⌈	&lceil;)
RIGHT CEILING	⌉	`U+2309`	(HTML ⌉	&rceil;)

Im Textsatzsystem LaTeX können diese Zeichen im math-Modus als \lfloor, \rfloor, \lceil und \rceil oder seit 2018 auch direkt als Unicode-Zeichen angegeben werden.^[6]

Abrundungsfunktion oder Gaußklammer

Definition

Für eine reelle Zahl

x

ist

\lfloor x\rfloor

die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich

x

ist:

\lfloor x\rfloor :=\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq x\}

Beispiele

$\lfloor 2{,}8\rfloor =2$
$\lfloor -2{,}8\rfloor =-3$
Man beachte, dass $\lfloor -2{,}8\rfloor$ nicht etwa gleich $-2$ ist. Die Definition verlangt ja $\lfloor x\rfloor \leq x$ , und es ist $-2>-2{,}8$ .
$\lfloor -2{,}2\rfloor =-3$
$\lfloor 2\rfloor =2$

Eigenschaften

Für alle $k\in \mathbb {Z} ,x\in \mathbb {R}$ gilt
$k\leq \lfloor x\rfloor \Longleftrightarrow k\leq x$ .
Es gilt immer $\lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1$ . Dabei ist $\lfloor x\rfloor =x$ genau dann, wenn $x$ eine ganze Zahl ist.
Für jede ganze Zahl $k$ und jede reelle Zahl $x$ gilt
$\lfloor x+k\rfloor =\lfloor x\rfloor +k$ .
Für alle reellen Zahlen $x,y$ gilt
$\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1$ .
Für jede ganze Zahl $k$ und jede natürliche Zahl $n$ gilt
$\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \geq {\frac {k-n+1}{n}}$ .
Die Abrundungsfunktion ist idempotent: Es gilt
${\bigl \lfloor }\lfloor x\rfloor {\bigr \rfloor }=\lfloor x\rfloor$ .
Sind $m$ und $n$ teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt
$\sum _{j=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {jm}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}$ .
Die Abrundungsfunktion ist nicht stetig, aber oberhalbstetig.
Für nichtganze reelle $x$ konvergiert die Fourierreihe der $1$ -periodischen Funktion $\lfloor x\rfloor -x$ , und es gilt
$\lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin {(2k\pi x)}}{k}}$ .
Sind $m\in \mathbb {Z}$ und $n\in \mathbb {N}$ , so gilt
$\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor$ .
Daraus folgt direkt, dass, falls $m\neq 0$ ,
$\left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor$ .
Ferner gilt auch
$\left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {m-n+1}{n}}\right\rceil$ .
Für reelle Zahlen $x,y\geq 0$ gilt außerdem
$\lfloor x\rfloor \cdot \lfloor y\rfloor \leq \lfloor x\cdot y\rfloor$

Programmierung

Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie Int(), Floor() oder entier um.