Church-Kodierung

Unter Church-Kodierung versteht man die Einbettung von Daten und Operatoren in den Lambda-Kalkül. Die bekannteste Form sind die Church-Numerale, welche die natürlichen Zahlen repräsentieren. Benannt sind sie nach Alonzo Church, der Daten als Erster auf diese Weise modellierte.

Church-Numerale

Definition

Die Grundidee zur Kodierung beruht auf den Peano-Axiomen, wonach die natürlichen Zahlen durch einen Startwert – die 0 – und einer Nachfolger-Funktion definiert sind. Demnach sind die Church-Numerale wie folgt definiert:

0 ≡ λf.λx. x

1 ≡ λf.λx. f x

2 ≡ λf.λx. f (f x)

3 ≡ λf.λx. f (f (f x))

...

n ≡ λf.λx. fn x

In der obigen Liste ist f die Nachfolger-Funktion und x der Startwert, beides sind Parameter der Definition. Die Definition ist unabhängig von der Ausprägung des Startwertes oder der Nachfolger-Funktion. Somit sind die Numerale nur repräsentativ. Jedes einzelne Numeral benutzt die beiden Parameter für seine Implementation. Solange man sich aber nicht festlegt, worin genau der Startwert und die Nachfolger-Funktion besteht, ist auch nicht festgelegt, was die Numerale schlussendlich machen. Die Definition basiert lediglich auf den Annahme, dass es so etwas wie einen Startwert und eine dazu passende Nachfolger-Funktion geben mag, wie immer die auch aussehen mögen. Unter dieser Annahme machen die Numerale das Folgende:

• Das Numeral 0 benutzt die Nachfolger-Funktion gar nicht, weil es nur den Startwert zurückgibt.
• Das Numeral 1 benutzt sowohl Nachfolger-Funktion als auch Startwert, indem es die Nachfolge-Funktion genau einmal auf den Startwert anwendet.
• Das Numeral 2 benutzt wie Numeral 1 und alle folgenden Numerale ebenfalls Nachfolger-Funktion und Startwert, wendet die Nachfolger-Funktion aber zweimal auf den Startwert an.
• Das Numeral 3 macht das gleiche wie Numeral 2, nur wendet es die Nachfolger-Funktion diesmal dreimal auf den Startwert an.
• Das Numeral n folgt der Regel und wendet die Nachfolger-Funktion n mal auf den Startwert an.

Rechnen mit Church-Numeralen

Im Lambda-Kalkül sind arithmetische Funktionen durch korrespondierende Funktionen über Church-Numerale darstellbar. Diese Funktionen können in funktionalen Programmiersprachen direkt durch Übertragen der Lambda-Ausdrücke implementiert werden.

Die Nachfolger-Funktion wird wie folgt definiert:

succ ≡ λn.λf.λx. f (n f x)

Die Addition zweier Zahlen $n$ und $m$ ist die $m$-malige Anwendung der Nachfolger-Funktion auf $n$:

plus ≡ λm.λn.λf.λx. m f (n f x)

Die Multiplikation zweier Zahlen $n$ und $m$ ist die $m$-malige Anwendung der Addition $(+n)$ auf $n$:

mult ≡ λm.λn.λf.λx. m (n f) x

Die Vorgänger-Funktion:

pred ≡ λn.λf.λx. n (λg.λh. h (g f)) (λu. x) (λu. u)

Boolesche Ausdrücke

Analog zu den natürlichen Zahlen lassen sich auch (zweiwertige) Wahrheitswerte im Lambda-Kalkül modellieren.

true ≡ λx.λy. x

false ≡ λx.λy. y

Daraus lässt sich auch eine einfache Kontrollstruktur (IF THEN ELSE) ableiten:

ifthenelse ≡ λb.λx.λy.b x y

Dabei ist die Variable $b$ als Bedingung zu verstehen, $x$ als „THEN“ und $y$ als „ELSE“.