Definitionen am Einheitskreis
O
T
¯
=
sec
b
;
O
K
¯
=
csc
b
{\displaystyle {\overline {OT}}=\sec b\ ;\ {\overline {OK}}=\csc b}
Sekans und Kosekans sind trigonometrische Funktionen . Der Sekans wird mit
sec
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)}
csc
(
x
)
{\displaystyle \csc(x)}
cosec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {cosec} (x)}
[ 1] Einheitskreis . Die Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten :
O
T
¯
=
sec
(
b
)
O
K
¯
=
csc
(
b
)
{\displaystyle {\overline {OT}}=\sec(b)\qquad \qquad {\overline {OK}}=\csc(b)}
Ein rechtwinkliges Dreieck Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwert -Funktion der Kosinusfunktion .
Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwert-Funktion der Sinusfunktion :
sec
(
α
)
=
l
Hy
l
AK
=
c
b
csc
(
α
)
=
l
Hy
l
GK
=
c
a
sec
(
x
)
=
1
cos
(
x
)
csc
(
x
)
=
1
sin
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha )&={\frac {l_{\text{Hy}}}{l_{\text{AK}}}}={\frac {c}{b}}\quad &\quad \csc(\alpha )&={\frac {l_{\text{Hy}}}{l_{\text{GK}}}}={\frac {c}{a}}\\\sec(x)&={\frac {1}{\cos(x)}}\quad &\quad \csc(x)&={\frac {1}{\sin(x)}}\end{aligned}}}
Graph der Sekansfunktion Graph der Kosekansfunktion
Sekans:
−
∞
<
x
<
+
∞
;
x
≠
(
n
+
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle -\infty <x<+\infty \quad ;\quad x\neq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
Kosekans:
−
∞
<
x
<
+
∞
;
x
≠
n
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle -\infty <x<+\infty \quad ;\quad x\neq n\cdot \pi \ ;\,n\in \mathbb {Z} }
−
∞
<
f
(
x
)
≤
−
1
;
1
≤
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <f(x)\leq -1\quad ;\quad 1\leq f(x)<+\infty }
Periodenlänge
2
⋅
π
:
f
(
x
+
2
π
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle 2\cdot \pi \,:\,f(x+2\pi )=f(x)}
Sekans:
Achsensymmetrie:
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x)=f(-x)}
Kosekans:
Punktsymmetrie:
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=-f(x)}
Sekans:
x
=
(
n
+
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
Kosekans:
x
=
n
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=n\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z} }
Sekans:
Minima:
x
=
2
n
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=2n\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
Maxima:
x
=
(
2
n
−
1
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=(2n-1)\cdot \pi \ ;\,n\in \mathbb {Z} }
Kosekans:
Minima:
x
=
(
2
n
+
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\left(2n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \ ;\,n\in \mathbb {Z} }
Maxima:
x
=
(
2
n
−
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\left(2n-{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \ ;\,n\in \mathbb {Z} }
Beide Funktionen haben keine Nullstellen.
Beide Funktionen haben keine horizontalen Asymptoten.
Beide Funktionen haben Sprungstellen.
Beide Funktionen haben keine Wendepunkte.
Da Sekans und Kosekans periodische Funktionen mit der Periode
2
π
{\displaystyle 2\pi }
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
0
≤
x
≤
2
π
;
x
≠
π
2
,
x
≠
3
π
2
{\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi \,;\quad x\neq {\frac {\pi }{2}},x\neq {\frac {3\pi }{2}}}
0
≤
x
≤
2
π
;
x
≠
0
,
x
≠
π
,
x
≠
2
π
{\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi \,;\quad x\neq 0,x\neq \pi ,x\neq 2\pi }
sec
(
x
)
=
sec
(
x
+
2
k
π
)
und
csc
(
x
)
=
csc
(
x
+
2
k
π
)
{\displaystyle \sec(x)=\sec(x+2k\pi )\quad {\text{und}}\quad \csc(x)=\csc(x+2k\pi )}
bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog
sec
(
x
)
=
sec
(
x
+
k
⋅
360
∘
)
und
csc
(
x
)
=
csc
(
x
+
k
⋅
360
∘
)
.
{\displaystyle \sec(x)=\sec(x+k\cdot 360^{\circ })\quad {\text{und}}\quad \csc(x)=\csc(x+k\cdot 360^{\circ })\,.}
Hierbei bezeichnet
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
ganze Zahl . Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.[ 2]
Winkel (Grad)
Bogenmaß
Sekans
Kosekans
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
0
{\displaystyle 0}
2
4
=
1
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {4}}}=1}
−
{\displaystyle -}
30
∘
{\displaystyle 30^{\circ }}
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
2
3
=
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
2
1
=
2
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {1}}}=2}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
2
2
=
2
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}}
2
2
=
2
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}}
60
∘
{\displaystyle 60^{\circ }}
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
2
1
=
2
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {1}}}=2}
2
3
=
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
−
{\displaystyle -}
1
2
4
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1}
Weitere wichtige Werte sind:
Winkel (Grad)
Bogenmaß
Sekans
Kosekans
15
∘
{\displaystyle 15^{\circ }}
π
12
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}}
6
−
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}
6
+
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}
18
∘
{\displaystyle 18^{\circ }}
π
10
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}
1
5
50
−
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}}
1
+
5
{\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}
36
∘
{\displaystyle 36^{\circ }}
π
5
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}
5
−
1
{\displaystyle {\sqrt {5}}-1}
1
5
50
+
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}
54
∘
{\displaystyle 54^{\circ }}
3
π
10
{\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}}
1
5
50
+
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}
5
−
1
{\displaystyle {\sqrt {5}}-1}
72
∘
{\displaystyle 72^{\circ }}
2
π
5
{\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}}
1
+
5
{\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}
1
5
50
−
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}}
75
∘
{\displaystyle 75^{\circ }}
5
π
12
{\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}}
6
+
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}
6
−
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
π
{\displaystyle \pi }
−
1
{\displaystyle -1}
−
{\displaystyle -}
270
∘
{\displaystyle 270^{\circ }}
3
π
2
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}
−
{\displaystyle -}
−
1
{\displaystyle -1}
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
1
{\displaystyle 1}
−
{\displaystyle -}
Beweisskizzen:
sec
(
45
∘
)
=
csc
(
45
∘
)
=
2
{\displaystyle \sec(45^{\circ })=\csc(45^{\circ })={\sqrt {2}}}
rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt
1
2
+
1
2
=
x
2
⇒
x
=
2
{\displaystyle 1^{2}+1^{2}=x^{2}\Rightarrow x={\sqrt {2}}}
sec
(
60
∘
)
=
csc
(
30
∘
)
=
2
{\displaystyle \sec(60^{\circ })=\csc(30^{\circ })=2}
x
{\displaystyle x}
Gegenkathete ist.
sec
(
30
∘
)
=
csc
(
60
∘
)
=
2
3
3
{\displaystyle \sec(30^{\circ })=\csc(60^{\circ })={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
sin
(
30
∘
)
=
1
2
{\displaystyle \sin(30^{\circ })={\tfrac {1}{2}}}
(
1
x
)
2
+
(
1
2
)
2
=
1
2
⇒
1
x
2
=
3
4
⇒
x
2
=
4
3
⇒
x
=
2
3
3
{\displaystyle ({\tfrac {1}{x}})^{2}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=1^{2}\ \Rightarrow \ {\tfrac {1}{x^{2}}}={\tfrac {3}{4}}\ \Rightarrow \ x^{2}={\tfrac {4}{3}}\ \Rightarrow \ x={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
sec
(
72
∘
)
=
csc
(
18
∘
)
=
1
1
4
(
5
−
1
)
=
1
+
5
{\displaystyle \sec(72^{\circ })=\csc(18^{\circ })={\frac {1}{{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)}}=1+{\sqrt {5}}}
Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
sec
(
36
∘
)
=
csc
(
54
∘
)
=
1
1
4
(
1
+
5
)
=
5
−
1
{\displaystyle \sec(36^{\circ })=\csc(54^{\circ })={\frac {1}{{\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})}}={\sqrt {5}}-1}
regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
sec
(
75
∘
)
=
csc
(
15
∘
)
{\displaystyle \sec(75^{\circ })=\csc(15^{\circ })}
sec
(
15
∘
)
=
csc
(
75
∘
)
{\displaystyle \sec(15^{\circ })=\csc(75^{\circ })}
Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.Siehe auch: Sinus und Kosinus: Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte
Weil der Sekans jeweils der Kehrwert des Kosinus und der Kosekans der Kehrwert des Sinus ist, lassen sich die Funktionswerte
csc
(
x
)
{\displaystyle \csc(x)}
sec
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)}
Quadratwurzeln darstellen, wenn das auch für
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
csc
α
{\displaystyle \csc \alpha \;}
sec
α
{\displaystyle \sec \alpha \;}
Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel
α
{\displaystyle \alpha \;}
Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn
α
{\displaystyle \alpha \;}
α
=
k
360
∘
2
n
p
1
…
p
r
{\displaystyle \alpha =k{\frac {360^{\circ }}{2^{n}p_{1}\dots p_{r}}}}
ist, wobei
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} \;}
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}\;}
p
i
{\displaystyle p_{i}\;}
i
=
1
,
…
,
r
{\displaystyle i=1,\dots ,r\;}
Fermatsche Primzahlen sind.[ 3]
Sekans:
Auf einer halben Periodenlänge, z. B.
x
∈
[
0
,
π
]
{\displaystyle x\in [0,\pi ]}
Arkussekans ):
x
=
arcsec
(
y
)
{\displaystyle x=\operatorname {arcsec}(y)}
Kosekans
Auf einer halben Periodenlänge, z. B.
x
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle x\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
Arkuskosekans ):
x
=
arccsc
(
y
)
{\displaystyle x=\operatorname {arccsc}(y)}
Sekans:
sec
(
x
)
=
4
π
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
2
k
+
1
)
(
2
k
+
1
)
2
π
2
−
4
x
2
{\displaystyle \sec(x)=4\pi \,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k+1)}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}}
Kosekans:
csc
(
x
)
=
1
x
−
2
x
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
k
2
π
2
−
x
2
=
∑
k
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
x
x
2
−
k
2
π
2
{\displaystyle \csc(x)={\frac {1}{x}}-2x\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}\pi ^{2}-x^{2}}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,x}{x^{2}-k^{2}\pi ^{2}}}}
Mit Hilfe der Fakultätsfunktion beziehungsweise der Gaußschen Pifunktion können Sekans und Kosekans wie folgt dargestellt werden:
Sekans:
sec
(
π
x
)
=
4
Π
(
1
2
−
x
)
Π
(
1
2
+
x
)
π
(
1
−
2
x
)
(
1
+
2
x
)
{\displaystyle \sec(\pi \,x)={\frac {4\,\Pi ({\tfrac {1}{2}}-x)\,\Pi ({\tfrac {1}{2}}+x)}{\pi \,(1-2\,x)\,(1+2\,x)}}}
Kosekans:
csc
(
π
x
)
=
Π
(
x
)
Π
(
1
−
x
)
π
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle \csc(\pi \,x)={\frac {\Pi (x)\,\Pi (1-x)}{\pi \,x\,(1-x)}}}
Die Fakultätsfunktion entspricht der Eulerschen Gammafunktion von der Nachfolgerfunktion und kann demnach für alle reellen Zahlen
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
x
!
=
Π
(
x
)
=
Γ
(
x
+
1
)
=
exp
(
−
γ
x
)
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
x
n
)
−
1
exp
(
x
n
)
]
{\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}\exp \left({\frac {x}{n}}\right)\right]}
Die nun gezeigte Produktreihe wird Weierstraßsches Produkt genannt und dient der Ermittlung von Sekans und Kosekans mittels Produktentwicklungen.
Mit dem griechischen Buchstaben
γ
{\displaystyle \gamma }
Euler-Mascheroni-Konstante dargestellt.
Sekans:
d
d
x
sec
(
x
)
=
d
d
x
1
cos
(
x
)
=
+
sin
(
x
)
cos
2
(
x
)
=
+
sec
(
x
)
⋅
tan
(
x
)
=
+
sec
2
(
x
)
csc
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {1} }{\cos(x)}}={\frac {+\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}=+\sec(x)\cdot \tan(x)=+{\frac {\sec ^{2}(x)}{\csc(x)}}}
Kosekans
d
d
x
csc
(
x
)
=
d
d
x
1
sin
(
x
)
=
−
cos
(
x
)
sin
2
(
x
)
=
−
csc
(
x
)
⋅
cot
(
x
)
=
−
csc
2
(
x
)
sec
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {1} }{\sin(x)}}={\frac {-\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-\csc(x)\cdot \cot(x)=-{\frac {\csc ^{2}(x)}{\sec(x)}}}
Sekans:
∫
sec
(
x
)
d
x
=
ln
|
1
+
sin
(
x
)
cos
(
x
)
|
+
C
=
ln
|
sec
(
x
)
+
tan
(
x
)
|
+
C
=
ln
|
tan
(
x
2
+
π
4
)
|
+
C
=
1
2
ln
(
1
+
sin
x
1
−
sin
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sec(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {1+\sin(x)}{\cos(x)}}\right|+C=\ln {\Big |}\sec(x)+\tan(x){\Big |}+C=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C}
Kosekans
∫
csc
(
x
)
d
x
=
ln
|
sin
(
x
)
1
+
cos
(
x
)
|
+
C
=
ln
|
tan
(
x
2
)
|
+
C
{\displaystyle \int \csc(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right|+C=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right|+C}
sec
(
x
+
i
⋅
y
)
=
2
cos
(
x
)
cosh
(
y
)
cos
(
2
x
)
+
cosh
(
2
y
)
+
i
2
sin
(
x
)
sinh
(
y
)
cos
(
2
x
)
+
cosh
(
2
y
)
{\displaystyle \sec(x+\mathrm {i} \!\cdot \!y)={\frac {2\cos(x)\cosh(y)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {2\sin(x)\sinh(y)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}}}
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
csc
(
x
+
i
⋅
y
)
=
−
2
sin
(
x
)
cosh
(
y
)
cos
(
2
x
)
−
cosh
(
2
y
)
+
i
2
cos
(
x
)
sinh
(
y
)
cos
(
2
x
)
−
cosh
(
2
y
)
{\displaystyle \csc(x+\mathrm {i} \!\cdot \!y)={\frac {-2\sin(x)\cosh(y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {2\cos(x)\sinh(y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}}
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
Bevor elektronische Rechenmaschinen allgegenwärtig waren, verwendete man für die Winkelfunktionen Tabellen, meist in gedruckten Büchern. Mit einem solchen Funktionswert aus einer Tabelle zu multiplizieren war bequemer und praktischer, als durch so einen Wert zu dividieren (dies gilt übrigens auch für nicht aufgehende Wurzelwerte usw.); wenn in einer Formel also ein Sinus oder Kosinus im Nenner steht, ist es bequem, statt dieser Werte die entsprechenden Kosekans- bzw. Sekanswerte in den Zähler zu schreiben.
Dieses Argument ist im Zeitalter der allgemein verfügbaren elektronischen Taschenrechner nur noch von historischer Bedeutung; Sekans und Kosekans sind in den neueren Formelsammlungen nicht mehr erwähnt und auch nicht als Funktionen (mit eigener Taste) in den Rechnern implementiert. Für diesen Zweck sind diese Funktionen schlicht überflüssig geworden; sie lösten ein Problem, das nicht mehr besteht.
↑ Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik ISBN 3-8171-2007-9 , S. 1220 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt . Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Emil Artin : Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8 , S. 85.
![{\displaystyle x\in [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49dc087a4edaa359c2dbf3c9064e1370e6782934)
![{\displaystyle x\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1456d52196a1482372d7760aa863f111d53aa824)
![{\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}\exp \left({\frac {x}{n}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abeaf29afa50929c38ab57afa9f4cb2c25c1eb2d)
