Beide reellen Dawson-Funktionen zusammen In der Mathematik ist die Dawson-Funktion (auch Dawsons Funktion oder Dawson-Integral ) der Name folgender Funktionen
D
+
(
x
)
=
e
−
x
2
∫
0
x
e
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {D} _{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t}
für
x
∈
C
{\displaystyle x\in \mathbb {C} }
D
−
(
x
)
=
e
x
2
∫
0
x
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {D} _{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}
für
x
∈
C
{\displaystyle x\in \mathbb {C} }
Die Funktionen stehen in folgender Beziehung zueinander
D
−
(
x
)
=
−
i
D
+
(
i
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {D} _{-}(x)=-i\operatorname {D} _{+}(ix).}
Für alle komplexen Werte sind
D
−
,
D
+
{\displaystyle \operatorname {D} _{-},\operatorname {D} _{+}}
y
′
±
2
x
y
=
1.
{\displaystyle y'\pm 2xy=1.}
Es handelt sich bei
D
+
,
D
−
{\displaystyle \operatorname {D} _{+},\operatorname {D} _{-}}
Sinustransformation resp. Sinus-Hyperbolicus-Transformation des gaußschen Fehlerintegrals und somit ist die Dawson-Funktion keine elementare Funktion .
Der britische Mathematiker Henry Gordon Dawson ist für diese Funktionen namensgebend.
Die Dawson-Funktion ist das Produkt aus
e
∓
x
2
{\displaystyle e^{\mp x^{2}}}
e
±
t
2
1
[
0
,
x
]
d
t
{\displaystyle e^{\pm t^{2}}1_{[0,x]}\mathrm {d} t}
Die Dawson-Plus-Funktion ist
D
+
(
x
)
:=
e
−
x
2
∫
0
x
e
t
2
d
t
,
x
∈
C
{\displaystyle \operatorname {D} _{+}(x):=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t,\qquad x\in \mathbb {C} }
Die Dawson-Minus-Funktion ist
D
−
(
x
)
:=
e
x
2
∫
0
x
e
−
t
2
d
t
,
x
∈
C
{\displaystyle \operatorname {D} _{-}(x):=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t,\qquad x\in \mathbb {C} }
Es gilt
D
+
(
x
)
=
e
−
x
2
1
2
π
erfi
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {D} _{+}(x)=e^{-x^{2}}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\operatorname {erfi} (x)}
und
D
−
(
x
)
=
e
x
2
1
2
π
erf
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {D} _{-}(x)=e^{x^{2}}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} (x)}
wobei
erf
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)}
Fehlerfunktion und
erfi
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {erfi} (x)}
imaginäre Fehlerfunktion
erfi
(
x
)
:=
−
i
erf
(
i
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {erfi} (x):=-i\operatorname {erf} (ix).}
bezeichnet.
Mit der Substitution
t
=
x
y
{\displaystyle t=xy}
D
+
(
x
)
=
e
−
x
2
∫
0
1
x
e
x
2
y
2
d
y
.
{\displaystyle \operatorname {D} _{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{1}xe^{x^{2}y^{2}}\,\mathrm {d} y.}
D
−
(
x
)
=
e
x
2
∫
0
1
x
e
−
x
2
y
2
d
y
.
{\displaystyle \operatorname {D} _{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{1}xe^{-x^{2}y^{2}}\,\mathrm {d} y.}
Dawson-Plus-Funktion Dawson-Minus-Funktion Sowohl die Dawson-Plus-Funktion als auch die Dawson-Minus-Funktion zählen zu den sogenannten ganzen Funktionen und sind somit für alle komplexen Zahlen
x
∈
C
{\displaystyle x\in \mathbb {C} }
2
x
D
+
(
x
)
=
1
{\displaystyle 2\,x\operatorname {D} _{+}(x)=1}
x
=
−
0,924
138873
{\displaystyle x=-0{,}924138873}
x
=
+
0,924
138873
{\displaystyle x=+0{,}924138873}
Somit gelten diese Ableitungen und diese Differentialgleichungen:
d
d
x
exp
(
x
2
)
D
+
(
x
)
=
exp
(
x
2
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\exp(x^{2})\operatorname {D} _{+}(x)=\exp(x^{2})}
d
d
x
exp
(
−
x
2
)
D
−
(
x
)
=
exp
(
−
x
2
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\exp(-x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)=\exp(-x^{2})}
Daraus folgen diese beiden Differentialgleichungen:
d
d
x
D
+
(
x
)
=
1
−
2
x
D
+
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {D} _{+}(x)=1-2\,x\operatorname {D} _{+}(x)}
d
d
x
D
−
(
x
)
=
1
+
2
x
D
−
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {D} _{-}(x)=1+2\,x\operatorname {D} _{-}(x)}
Es gilt folgende Beziehung zur komplexen Fehlerfunktion
erf
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)}
Faddeeva-Funktion
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
w
(
x
)
=
e
−
x
2
erfc
(
−
i
x
)
=
e
−
x
2
+
2
i
π
D
+
(
x
)
{\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} (-ix)=e^{-x^{2}}+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}D_{+}(x)}
wobei
erfc
{\displaystyle \operatorname {erfc} }
komplementäre Fehlerfunktion
erfc
(
x
)
:=
1
−
erf
(
x
)
=
2
π
∫
x
∞
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {erfc} (x):=1-\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}
bezeichnet.[ 1]
Als Sinus-Transformation des Gaussschen Fehlerintegrals hat die Dawson-Plus-Funktion folgende weitere Identität:
D
+
(
x
)
=
∫
0
∞
exp
(
−
y
2
)
sin
(
2
x
y
)
d
y
{\displaystyle \operatorname {D} _{+}(x)=\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{2})\sin(2\,x\,y)\,\mathrm {d} y}
Als Sinus-Hyperbolicus-Transformation des Gaußschen Fehlerintegrals hat die Dawson-Minus-Funktion diese weitere Identität:
D
−
(
x
)
=
∫
0
∞
exp
(
−
y
2
)
sinh
(
2
x
y
)
d
y
{\displaystyle \operatorname {D} _{-}(x)=\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{2})\sinh(2\,x\,y)\,\mathrm {d} y}
Die Maclaurinschen Reihen für die beiden Dawsonschen Funktionen lauten so:
D
+
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
4
n
n
!
2
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \operatorname {D} _{+}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}4^{n}n!}{2\,(2n)!}}\,x^{2n-1}}
D
−
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
4
n
n
!
2
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \operatorname {D} _{-}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n}n!}{2\,(2n)!}}\,x^{2n-1}}
Mit den Dawson-Funktionen kann das Gaußsche Glockenkurvenintegral bewiesen werden:
Für dieses Integral der Glockenkurve gilt mit der genannten Definition der Dawson-Minus-Funktion diese Formel:
∫
0
∞
exp
(
−
x
2
)
d
x
=
lim
x
→
∞
exp
(
−
x
2
)
D
−
(
x
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x=\lim _{x\rightarrow \infty }\exp(-x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)}
Diese Funktion hat die nun gezeigte Ableitung:
d
d
y
[
2
exp
(
−
x
2
)
exp
(
−
x
2
y
2
)
D
−
(
x
y
)
]
=
2
x
exp
(
−
x
2
)
exp
(
−
x
2
y
2
)
=
2
x
exp
[
−
x
2
(
y
2
+
1
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\bigl [}2\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})\operatorname {D} _{-}(x\,y){\bigr ]}=2\,x\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})=2\,x\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}}
Somit gilt folgende Integralidentität:
2
exp
(
−
2
x
2
)
D
−
(
x
)
=
∫
0
1
2
x
exp
[
−
x
2
(
y
2
+
1
)
]
d
y
{\displaystyle 2\exp(-2\,x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)=\int _{0}^{1}2\,x\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} y}
Durch die Bildung der Ursprungsstammfunktion von der nun genannten Formel bezüglich x entsteht diese Formel:
exp
(
−
2
x
2
)
D
−
(
x
)
2
=
∫
0
1
1
−
exp
[
−
x
2
(
y
2
+
1
)
]
y
2
+
1
d
y
{\displaystyle \exp(-2\,x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)^{2}=\int _{0}^{1}{\frac {1-\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y}
Durch Bildung des Grenzwertes entsteht dann die anschließende Gleichung:
lim
x
→
∞
exp
(
−
2
x
2
)
D
−
(
x
)
2
=
lim
x
→
∞
∫
0
1
1
−
exp
[
−
x
2
(
y
2
+
1
)
]
y
2
+
1
d
y
=
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\exp(-2\,x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)^{2}=\lim _{x\rightarrow \infty }\int _{0}^{1}{\frac {1-\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y=}
=
∫
0
1
lim
x
→
∞
1
−
exp
[
−
x
2
(
y
2
+
1
)
]
y
2
+
1
d
y
=
∫
0
1
1
y
2
+
1
d
y
=
π
4
{\displaystyle =\int _{0}^{1}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1-\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{4}}}
Daraus folgt dieses Endresultat:
∫
0
∞
exp
(
−
x
2
)
d
x
=
1
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}
Temme, N. M. (2010), "Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
Dawson, H. G. (1897). "On the Numerical Value of
∫
0
h
exp
(
x
2
)
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{h}\exp(x^{2})\,\mathrm {d} x}
doi :10.1112/plms/s1-29.1.519
Mofreh R. Zaghloul and Ahmed N. Ali, "Algorithm 916: Computing the Faddeyeva and Voigt Functions," ACM Trans. Math. Soft. 38 (2), 15 (2011). arXiv:1106.0151.
↑ J. H. McCabe: A Continued Fraction Expansion, with a Truncation Error Estimate, for Dawson's Integral . In: American Mathematical Society (Hrsg.): Mathematics of Computation . Band 28 , Nr. 127 , 1974, S. 811–816 .
![{\displaystyle e^{\pm t^{2}}1_{[0,x]}\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a90561070e0ae53c969d657abec16c45541e1c)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\bigl [}2\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})\operatorname {D} _{-}(x\,y){\bigr ]}=2\,x\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})=2\,x\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b4b135ec195acc73fc9a5b61480b08b58375d0)
![{\displaystyle 2\exp(-2\,x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)=\int _{0}^{1}2\,x\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868a7ef25e1e7d2ab311693acfdea359572ae135)
![{\displaystyle \exp(-2\,x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)^{2}=\int _{0}^{1}{\frac {1-\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0a05e04bb25b3d0ccc7280ff3a73969e58a4b7)
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\exp(-2\,x^{2})\operatorname {D} _{-}(x)^{2}=\lim _{x\rightarrow \infty }\int _{0}^{1}{\frac {1-\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19817b9df8c33994e05b4f352434a9a4c04c014)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1-\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd46208f4a92099120ba83ba9584314820f27fb)
