Paul Dirac (1933) Das Wechselwirkungsbild (auch bezeichnet als Wechselwirkungsdarstellung bzw. nach Paul Dirac als Dirac-Bild oder Dirac-Darstellung ) ist in der Quantenmechanik ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen .
Es ist dem Heisenberg- und dem Schrödinger-Bild weitgehend äquivalent, d. h. alle physikalisch relevanten Größen (Skalarprodukte , Eigenwerte usw.) bleiben die gleichen (siehe auch Mathematische Struktur der Quantenmechanik ).
Zur Kennzeichnung, dass man das Wechselwirkungsbild verwendet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index „I“ (wie engl. interaction ) oder „D“ (wie Dirac-Bild ) versehen:
|
ψ
D
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{\rm {D}}(t)\rangle }
A
^
D
(
t
)
.
{\displaystyle {\hat {A}}_{\rm {D}}(t)\,.}
Das Wechselwirkungsbild wurde 1926 von Paul Dirac in die Quantenmechanik eingeführt.[ 1] Quantenelektrodynamik wurde das Wechselwirkungsbild auch von Tomonaga [ 2] [ 3] City College of New York ) von Julian Schwinger (1934) eingeführt.[ 4] relativistischen Quantenfeldtheorie im Wechselwirkungsbild mit Zweiter Quantisierung fand danach Eingang in die Standardlehrbücher.
Im Wechselwirkungsbild gelten folgende Annahmen:
Der Hamilton-Operator des Systems ist gegeben durch
H
^
=
H
^
0
+
H
^
1
{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{1}}
H
^
0
=
const
{\displaystyle {\hat {H}}_{0}=\operatorname {const} }
H
^
1
{\displaystyle {\hat {H}}_{1}}
Störung beschreibt, die zeitabhängig sein kann. Es kann nützlich sein, eine solche formale Aufspaltung des Hamiltonoperators auch dann herbeizuführen, wenn keine Wechselwirkung vorliegt. Zustände sind zeitabhängig:
|
ψ
⟩
=
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =|\psi (t)\rangle }
Dynamik wird beschrieben durch die angepasste Schrödinger-Gleichung .Operatoren sind ebenfalls zeitabhängig:
A
^
=
A
^
(
t
)
{\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}(t)}
Heisenbergsche Bewegungsgleichung .Nur bestimmte Rechnungen sind im Dirac-Bild einfacher durchzuführen. Als bestes Beispiel dient hier die Herleitung der zeitabhängigen Störungstheorie . Der Grundgedanke des Wechselwirkungsbildes besteht darin, die zeitliche Entwicklung des Systems, die von
H
^
0
{\displaystyle {\hat {H}}_{0}}
H
^
1
{\displaystyle {\hat {H}}_{1}}
Dazu werden zwei Zeitentwicklungsoperatoren definiert:
der „normale“, mit dem – wie in Zeitentwicklungsoperator erklärt –
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
U
^
(
t
,
t
0
)
=
T
^
[
exp
(
−
i
ℏ
∫
t
0
t
H
^
(
t
′
)
d
t
′
)
]
{\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {T}}\left[\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t^{\prime })dt^{\prime }\right)\right]}
mit dem Zeitordnungsoperator
T
^
{\displaystyle {\hat {T}}}
der nur von
H
^
0
{\displaystyle {\hat {H}}_{0}}
U
^
0
(
t
,
t
0
)
=
exp
(
−
i
ℏ
H
^
0
(
t
−
t
0
)
)
.
{\displaystyle {\hat {U}}_{0}(t,t_{0})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})\right).}
Der Erwartungswert a des Operators
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
H
{\displaystyle _{H}}
S
{\displaystyle _{S}}
a
=
⟨
ψ
S
(
t
)
|
A
^
S
(
t
)
|
ψ
S
(
t
)
⟩
=
⟨
ψ
S
(
t
)
|
U
^
0
(
t
,
t
0
)
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
⏟
1
A
^
S
(
t
)
U
^
0
(
t
,
t
0
)
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
⏟
1
|
ψ
S
(
t
)
⟩
{\displaystyle a=\langle \psi _{\text{S}}(t)|{\hat {A}}_{\text{S}}(t)|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|\underbrace {{\hat {U}}_{0}(t,t_{0}){\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})} _{1}\,{\hat {A}}_{\text{S}}(t)\,\underbrace {{\hat {U}}_{0}(t,t_{0}){\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})} _{1}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle }
a
=
⟨
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
ψ
S
(
t
)
⏟
ψ
D
(
t
)
|
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
A
^
S
(
t
)
U
^
0
(
t
,
t
0
)
⏟
A
^
D
(
t
)
|
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
ψ
S
(
t
)
⏟
ψ
D
(
t
)
⟩
=
⟨
ψ
D
(
t
)
|
A
^
D
(
t
)
|
ψ
D
(
t
)
⟩
{\displaystyle a=\langle \underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\psi _{\text{S}}(t)} _{\psi _{\text{D}}(t)}|\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,{\hat {A}}_{\text{S}}(t)\,{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})} _{{\hat {A}}_{\text{D}}(t)}\,|\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\psi _{\text{S}}(t)} _{\psi _{\text{D}}(t)}\rangle =\langle \psi _{\text{D}}(t)|{\hat {A}}_{\text{D}}(t)|\psi _{\text{D}}(t)\rangle }
Der zeitabhängige Operator
A
^
D
(
t
)
{\displaystyle {\hat {A}}_{\rm {D}}(t)}
A
^
D
(
t
)
=
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
A
^
S
(
t
)
U
^
0
(
t
,
t
0
)
=
e
i
ℏ
H
^
0
(
t
−
t
0
)
A
^
S
(
t
)
e
−
i
ℏ
H
^
0
(
t
−
t
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{\rm {D}}(t)&={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,{\hat {A}}_{\rm {S}}(t)\,{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})\\&={\rm {e}}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}\,{\hat {A}}_{\rm {S}}(t)\,{\rm {e}}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}\end{aligned}}}
Der zeitabhängige Zustand
|
ψ
D
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{\rm {D}}(t)\rangle }
|
ψ
S
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }
H
^
0
{\displaystyle {\hat {H}}_{0}}
|
ψ
D
(
t
)
⟩
=
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
|
ψ
S
(
t
)
⟩
=
e
i
ℏ
H
^
0
(
t
−
t
0
)
|
ψ
S
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{\rm {D}}(t)\rangle ={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle ={\rm {e}}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}\,|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }
Damit lässt sich der Operator
H
^
1
D
(
t
)
{\displaystyle {\hat {H}}_{1{\rm {D}}}(t)}
H
^
1
D
(
t
)
=
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
H
^
1
S
(
t
)
U
^
0
(
t
,
t
0
)
=
e
i
ℏ
H
^
0
(
t
−
t
0
)
H
^
1
S
(
t
)
e
−
i
ℏ
H
^
0
(
t
−
t
0
)
{\displaystyle {\hat {H}}_{1{\rm {D}}}(t)={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,{\hat {H}}_{1{\rm {S}}}(t)\,{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})={\rm {e}}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}\,{\hat {H}}_{1{\rm {S}}}(t)\,{\rm {e}}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}}
Der zeitlich unabhängige Anteil des Hamiltonoperators
H
^
0
{\displaystyle {\hat {H}}_{0}}
H
^
0
D
(
t
)
=
H
^
0
S
{\displaystyle {\hat {H}}_{0{\rm {D}}}(t)={\hat {H}}_{0{\rm {S}}}}
Die Dynamik der Zustände wird (ähnlich dem Schrödinger-Bild) beschrieben durch die Gleichung:
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
D
(
t
)
⟩
=
H
^
1
D
(
t
)
|
ψ
D
(
t
)
⟩
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\rm {D}}(t)\rangle ={\hat {H}}_{1{\rm {D}}}(t)\,|\psi _{\rm {D}}(t)\rangle }
Die Dynamik der Operatoren wird (wie im Heisenberg-Bild) beschrieben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung, mit dem nicht zeitabhängigen Hamilton-Operator
H
^
0
{\displaystyle {\hat {H}}_{0}}
i
ℏ
d
A
^
D
d
t
=
[
A
^
D
(
t
)
,
H
^
0
]
+
i
ℏ
∂
A
^
D
∂
t
{\displaystyle i\hbar {\frac {{\rm {d}}{\hat {A}}_{\rm {D}}}{{\rm {d}}t}}=\left[{\hat {A}}_{\rm {D}}(t),{\hat {H}}_{0}\right]+i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{\rm {D}}}{\partial t}}}
Mit
H
^
1
S
=
H
^
1
D
=
0
{\displaystyle {\hat {H}}_{1{\rm {S}}}={\hat {H}}_{1{\rm {D}}}=0}
Zum Zeitpunkt
t
0
{\displaystyle t_{0}}
A
^
D
(
t
0
)
=
A
^
H
(
t
0
)
=
A
^
S
(
t
0
)
{\displaystyle {\hat {A}}_{\text{D}}(t_{0})={\hat {A}}_{\text{H}}(t_{0})={\hat {A}}_{\text{S}}(t_{0})}
|
ψ
D
(
t
0
)
⟩
=
|
ψ
H
(
t
0
)
⟩
=
|
ψ
S
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{\text{D}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{H}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{S}}(t_{0})\rangle }
Zur Vorbereitung werden die zeitlichen Ableitungen von
U
^
0
{\displaystyle {\hat {U}}_{0}}
U
^
0
†
{\displaystyle {\hat {U}}_{0}^{\dagger }}
∂
∂
t
U
^
0
(
t
,
t
0
)
=
∂
∂
t
e
−
i
ℏ
H
^
0
(
t
−
t
0
)
=
e
−
i
ℏ
H
^
0
(
t
−
t
0
)
(
−
i
ℏ
H
^
0
)
=
−
i
ℏ
U
^
0
(
t
,
t
0
)
H
^
0
=
−
i
ℏ
H
^
0
U
^
0
(
t
,
t
0
)
∂
∂
t
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
=
∂
∂
t
e
i
ℏ
H
^
0
(
t
−
t
0
)
=
e
i
ℏ
H
^
0
(
t
−
t
0
)
(
i
ℏ
H
^
0
)
=
i
ℏ
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
H
^
0
=
i
ℏ
H
^
0
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})={\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {e} ^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}=\operatorname {e} ^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}\left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}\right)=-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})\,{\hat {H}}_{0}=-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}\,{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})={\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {e} ^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}=\operatorname {e} ^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}\left({\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}\right)={\frac {i}{\hbar }}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,{\hat {H}}_{0}={\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}\,{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\end{aligned}}}
Bewegungsgleichung für die Zustände:
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
D
(
t
)
⟩
=
i
ℏ
∂
∂
t
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
|
ψ
S
(
t
)
⟩
=
(
i
ℏ
∂
∂
t
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
)
⏟
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
(
−
H
^
0
)
|
ψ
S
(
t
)
⟩
+
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
(
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
S
(
t
)
⟩
)
⏟
(
H
^
0
+
H
^
1
S
)
|
ψ
S
(
t
)
⟩
=
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
H
^
1
S
(
t
)
|
ψ
S
(
t
)
⟩
=
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
H
^
1
S
(
t
)
U
^
0
(
t
,
t
0
)
⏟
H
^
1
D
(
t
)
U
^
0
†
(
t
,
t
0
)
|
ψ
S
(
t
)
⟩
⏟
|
ψ
D
(
t
)
⟩
=
H
^
1
D
(
t
)
|
ψ
D
(
t
)
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\text{D}}(t)\rangle &=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\underbrace {\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\right)} _{{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})(-{\hat {H}}_{0})}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle +{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\underbrace {\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle \right)} _{({\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{1{\rm {S}}})|\psi _{\text{S}}(t)\rangle }\\&={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {H}}_{1{\text{S}}}(t)\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {H}}_{1{\text{S}}}(t){\hat {U}}_{0}(t,t_{0})} _{{\hat {H}}_{1{\rm {D}}}(t)}\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle } _{|\psi _{\text{D}}(t)\rangle }={\hat {H}}_{1D}(t)|\psi _{\text{D}}(t)\rangle \end{aligned}}}
Bewegungsgleichung für die Operatoren:
i
ℏ
d
A
^
D
d
t
=
i
ℏ
d
d
t
(
U
^
0
†
A
^
S
U
^
0
)
=
(
i
ℏ
d
d
t
U
^
0
†
)
⏟
−
H
^
0
U
^
0
†
A
^
S
U
^
0
+
U
^
0
†
A
^
S
(
i
ℏ
d
d
t
U
^
0
)
⏟
U
^
0
H
^
0
+
i
ℏ
U
^
0
†
(
∂
∂
t
A
^
S
)
U
^
0
⏟
∂
A
^
D
∂
t
=
−
H
^
0
U
^
0
†
A
^
S
U
^
0
⏟
A
^
D
+
U
^
0
†
A
^
S
U
^
0
⏟
A
^
D
H
^
0
+
i
ℏ
∂
A
^
D
∂
t
=
[
A
^
D
,
H
^
0
]
+
i
ℏ
∂
A
^
D
∂
t
{\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {{\text{d}}{\hat {A}}_{\text{D}}}{{\text{d}}t}}&=i\hbar {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,{\hat {A}}_{\text{S}}\,{\hat {U}}_{0}\right)=\underbrace {\left(i\hbar {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,\right)} _{-{\hat {H}}_{0}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }}{\hat {A}}_{\text{S}}\,{\hat {U}}_{0}+{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,{\hat {A}}_{\text{S}}\underbrace {\left(i\hbar {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,{\hat {U}}_{0}\right)} _{{\hat {U}}_{0}{\hat {H}}_{0}}+i\hbar \underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {A}}_{\text{S}}\right)\,{\hat {U}}_{0}} _{\frac {\partial {\hat {A}}_{\text{D}}}{\partial t}}\\&=-{\hat {H}}_{0}\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,{\hat {A}}_{\text{S}}\,{\hat {U}}_{0}} _{{\hat {A}}_{\text{D}}}+\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,{\hat {A}}_{\text{S}}\,{\hat {U}}_{0}} _{{\hat {A}}_{\text{D}}}{\hat {H}}_{0}+i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{\text{D}}}{\partial t}}=\left[{\hat {A}}_{\text{D}},{\hat {H}}_{0}\right]+i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{\text{D}}}{\partial t}}\end{aligned}}}
Nolting: Grundkurs theoretische Physik. Bd.5/1 : Quantenmechanik . Springer, Berlin
Cohen-Tannoudji: Quantenmechanik 1/2 . de Gruyter, Berlin
↑ Dirac On the theory of quantum mechanics , Proc. Roy. Soc. A 112, 1926, 661; er verwendete es auch in Dirac The quantum theory of the emission and absorption of radiation , Proc. Roy. Soc. A 114, 1927, 243. Historische Angaben nach der Darstellung in Charles Enz Not time to be brief. A scientific biography of Wolfgang Pauli , Oxford University Press 2002, S. 176
↑ Tomonaga On a relativistically invariant formulation of the quantum theory of wave fields , Progress of Theoretical Physics, 1, 1946, 27
↑ Dirac, Wladimir Fock , Boris Podolsky On Quantum Electrodynamics , Phys. Z. Sowjetunion, 2, 1932, 468
↑ Mehra, Milton Climbing the Mountain. The Scientific Biography of Julian Schwinger , Oxford University Press 2000, S. 14. Er verwendete sie später in seinen ersten veröffentlichten Arbeiten über Quantenfeldtheorie (angefangen mit Schwinger Quantum Electrodynamics I , Physical Review, 74, 1948, 1439)
![{\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {T}}\left[\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t^{\prime })dt^{\prime }\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0c8797715f246cc483ce8372a49960575eaf5a)
![{\displaystyle i\hbar {\frac {{\rm {d}}{\hat {A}}_{\rm {D}}}{{\rm {d}}t}}=\left[{\hat {A}}_{\rm {D}}(t),{\hat {H}}_{0}\right]+i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{\rm {D}}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0053fae8d4eef99b178db558ba607ea912d002cb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {{\text{d}}{\hat {A}}_{\text{D}}}{{\text{d}}t}}&=i\hbar {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,{\hat {A}}_{\text{S}}\,{\hat {U}}_{0}\right)=\underbrace {\left(i\hbar {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,\right)} _{-{\hat {H}}_{0}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }}{\hat {A}}_{\text{S}}\,{\hat {U}}_{0}+{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,{\hat {A}}_{\text{S}}\underbrace {\left(i\hbar {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,{\hat {U}}_{0}\right)} _{{\hat {U}}_{0}{\hat {H}}_{0}}+i\hbar \underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {A}}_{\text{S}}\right)\,{\hat {U}}_{0}} _{\frac {\partial {\hat {A}}_{\text{D}}}{\partial t}}\\&=-{\hat {H}}_{0}\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,{\hat {A}}_{\text{S}}\,{\hat {U}}_{0}} _{{\hat {A}}_{\text{D}}}+\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,{\hat {A}}_{\text{S}}\,{\hat {U}}_{0}} _{{\hat {A}}_{\text{D}}}{\hat {H}}_{0}+i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{\text{D}}}{\partial t}}=\left[{\hat {A}}_{\text{D}},{\hat {H}}_{0}\right]+i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{\text{D}}}{\partial t}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29fc1dd996cfee09d8244212dd70c7a3b59cc386)