Delta-Distribution

Die Delta-Distribution (auch δ-Funktion; Dirac-Funktion, -Impuls, -Puls, -Stoß (nach Paul Dirac), Stoßfunktion, Nadelimpuls, Impulsfunktion oder Einheitsimpulsfunktion genannt) als mathematischer Begriff ist eine spezielle singuläre Distribution mit kompaktem Träger. Ihr übliches Formelsymbol ist δ (kleines Delta).

Definition

Die Delta-Distribution ist eine stetige lineare Abbildung von einem Funktionenraum der Testfunktionen ${\mathcal {E}}$ in den zugrunde liegenden Körper $\mathbb {K}$:

$\delta \colon \,{\mathcal {E}}\to \mathbb {K} \,,\,f\mapsto f(0)$.

Der Testfunktionenraum für die Delta-Distribution ist der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen $C^{\infty }(\Omega )$ mit $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ bzw. $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ offen und $0\in \Omega$. Somit entspricht $\mathbb {K}$ entweder den reellen $\mathbb {R}$ oder den komplexen Zahlen $\mathbb {C}$.

Die Delta-Distribution ordnet jeder beliebig oft differenzierbaren Funktion $f$ eine reelle bzw. komplexe Zahl $\delta (f)=f(0)$ zu, nämlich die Auswertung der Funktion an der Stelle 0. Der Wert, den die Delta-Distribution nach Anwendung auf eine Testfunktion $f\in {\mathcal {E}}$ liefert, schreibt man (mit der Notation der dualen Paarung) auch als

$\delta (f)=\langle \delta ,f\rangle =f(0)$

beziehungsweise auch als

$\delta (f)=\int _{\Omega }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0)\,.$

Diese Schreibweise ist eigentlich nicht richtig und nur symbolisch zu verstehen, weil die Delta-Distribution eine singuläre Distribution ist, das heißt, sie lässt sich nicht durch eine lokal integrierbare Funktion in obiger Weise darstellen. Es gibt also keine Funktion $\delta$, welche der obigen Definition genügt. Insbesondere bei technisch orientierten Anwendungen des Konzepts sind dennoch mathematisch nicht präzise Bezeichnungen wie „Delta-Funktion“, „Dirac-Funktion“ oder „Impulsfunktion“ gebräuchlich. Bei Verwendung der Integral-Schreibweise ist zu beachten, dass es sich nicht um ein Riemann-Integral oder Lebesgue-Integral bzgl. des Lebesgue-Maßes, sondern um die Auswertung des Funktionals $\delta$ an der Stelle $f$, also $\delta (f)=f(0)$, handelt.

Definition über Dirac-Maß

Das durch ein positives Radon-Maß $\mu$ erzeugte Funktional $\textstyle \langle \mu ,f\rangle =\int f(x)\,\mathrm {d} \mu$ (für $f\in {\mathcal {D}}$) ist eine Distribution. Die Delta-Distribution wird von folgendem Radon-Maß – man spricht hier speziell vom Diracmaß – erzeugt:

$\delta (A)={\begin{cases}1,\ &{\text{ falls }}0\in A,\\0,\ &{\text{ sonst,}}\end{cases}}$

wobei $A\subseteq \mathbb {R}$. Ein Maß lässt sich physikalisch interpretieren, z. B. als Massenverteilung oder Ladungsverteilung des Raums. Dann entspricht die Delta-Distribution einem Massenpunkt der Masse 1 oder einer Punktladung der Ladung 1 im Ursprung.

$\langle \delta ,f\rangle =\int f(x)\,\mathrm {d} \delta =f(0).$

Befinden sich an den Stellen $x_{i}\in \mathbb {R}$ Punktladungen $q_{i}$, wobei die Summe über alle Ladungen endlich bleibt, dann wird für $A\subset \mathbb {R}$ ein Maß auf der $\sigma$-Algebra aller Teilmengen von $\mathbb {R}$ definiert, das der Ladungsverteilung entspricht ($i_{A}$ durchlaufe alle $i$ mit $x_{i}\in A$):

$\rho (A):=\sum _{i_{A}}q_{i}.$

Für dieses Maß ist dann die zugehörige Distribution:

$\langle \rho ,f\rangle =\int f(x)\,\mathrm {d} \rho =\sum _{i_{A}}f(x_{i})q_{i}.$

Approximation der Delta-Distribution

Dichte einer zentrierten Normalverteilung $\delta _{a}(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {\pi }}a}}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}$.
Für $a\to 0$ wird die Funktion immer höher und schmaler, der Flächeninhalt bleibt jedoch unverändert 1.

Man kann die Delta-Distribution wie alle anderen Distributionen auch als Grenzwert einer Funktionenfolge darstellen. Die Menge der Dirac-Folgen ist die wichtigste Klasse von Funktionenfolgen, mit denen die Delta-Distribution dargestellt werden kann. Jedoch gibt es noch weitere Folgen, die gegen die Delta-Distribution konvergieren.

Dirac-Folge

Eine Folge $(\delta _{k})_{k\in \mathbb {N} }$ integrierbarer Funktionen $\delta _{k}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ wird Dirac-Folge genannt, falls

1. für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und alle $k\in \mathbb {N}$ die Bedingung $\delta _{k}(x)\geq 0\,,$
2. für alle $k\in \mathbb {N}$ die Identität $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{k}(x)\,\mathrm {d} x=1$ und
3. für alle $\epsilon >0$ die Gleichheit $\lim _{k\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\epsilon }(0)}\delta _{k}(x)\mathrm {d} x=0$

gilt. Manchmal versteht man unter einer Dirac-Folge auch nur einen Spezialfall der hier definierten Dirac-Folge. Wählt man nämlich eine Funktion $\phi \in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ mit $\phi (x)\geq 0$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und $\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\mathrm {d} x=1$ und setzt $\delta _{\epsilon }(x):=\epsilon ^{-n}\phi ({\tfrac {x}{\epsilon }})$ für $\epsilon >0$, dann erfüllt diese Funktionenschar die Eigenschaften 1 und 2. Betrachtet man den Grenzwert $\epsilon \to 0$ anstatt $k\to \infty$, so ist auch Eigenschaft 3 erfüllt. Daher nennt man die Funktionenschar $\delta _{\epsilon }$ ebenfalls Dirac-Folge.

Bemerkungen

Die Funktion $\delta _{k}$ kann man nun mit einer regulären Distribution

$\delta _{k}(f):=\langle \delta _{k},f\rangle :=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{k}(x)\,f(x)\,\mathrm {d} x$

identifizieren. Nur im Limes $k\to \infty$ erhält man das ungewöhnliche Verhalten der Delta-Distribution

$\lim _{k\to \infty }\delta _{k}(f)=\lim _{k\to \infty }\langle \delta _{k},f\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle$

wobei zu beachten ist, dass die Limes-Bildung nicht unter dem Integral, sondern davor erfolgt. Würde man den Limes unter das Integral ziehen, so wäre $\delta _{\epsilon }$ fast überall Null, nur nicht bei $x=0$. Ein einzelner Punkt hat jedoch das Lebesgue-Maß Null und das ganze Integral würde verschwinden.

Anschaulich stellt man sich die Delta-Distribution als eine beliebig hohe und beliebig schmale Funktion vor, die über der x-Achse eine Fläche mit Größe 1 Flächeneinheit einschließt. Man lässt nun die Funktion immer schmaler und dafür immer höher werden – die Fläche darunter muss konstant 1 bleiben. Es existieren auch mehrdimensionale Dirac-Distributionen, diese werden anschaulich zu mehrdimensionalen „Keulen“ mit dem Volumen 1.

Beispiele für Dirac-Folgen

Im Folgenden werden verschiedene Approximationen (Dirac-Folgen) $\delta _{\epsilon }(x)$ angegeben, zunächst stetig differenzierbare:

• Glockenfunktionen (Normalverteilungen)

$\delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \epsilon }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\epsilon }}\right)$

Die angegebenen Funktionen besitzen ein sehr schmales und sehr hohes Maximum bei $x=0$, die Breite ist etwa ${\sqrt {\epsilon }}\to 0$ und die Höhe etwa $1/{\sqrt {\epsilon }}\to \infty$. Für alle $\epsilon$ ist der Flächeninhalt unter der Funktion 1.

• Lorentzkurven

$\delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}$

• Fresnel-Darstellung

$\delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {i} \pi \epsilon }}}\,\exp \left({\frac {\mathrm {i} x^{2}}{\epsilon }}\right)$

die man sich vorstellen kann als eine Linie, die auf einen Zylinder gewickelt ist, und deren Wicklungen durch das $x^{2}$ immer enger werden; die Grundfläche (in $x$-$y$-Ausrichtung) des Zylinders wird aus dem Imaginär- und Realteil der Funktion gebildet, die Funktion entwickelt sich dann in $z$-Richtung.

Es sind aber auch Approximationen möglich, die nur stückweise stetig differenzierbar sind:

• Rechteckfunktion

$\delta _{\epsilon }(x)={\frac {\operatorname {rect} (x/\epsilon )}{\epsilon }}={\begin{cases}{\frac {1}{\epsilon }}&\ |x|\leq {\frac {\epsilon }{2}}\\0&\ {\text{sonst}}\end{cases}}$

• Dreiecksfunktion

$\delta _{\epsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {\epsilon +x}{\epsilon ^{2}}}&\ -\epsilon \leq x\leq 0\\{\frac {\epsilon -x}{\epsilon ^{2}}}&\ 0<x\leq \epsilon \\0&\ {\text{sonst}}\end{cases}}$

• Exponentialfunktion um Ursprung abfallend

$\delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{2\epsilon }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\epsilon }}\right)$

Weitere Beispiele

Approximation durch die Sincfunktion

• Die Funktionenfolge der Sinc-Funktionen

$\delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)$
ist keine Dirac-Folge, da ihre Folgenglieder auch negative Werte annehmen. Betrachtet man allerdings den Ausdruck

$\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\phi (x)\mathrm {d} x$

so konvergiert für alle $\phi \in {\mathcal {D}}$ diese Folge im distributionellen Sinn gegen die Delta-Distribution.

Eigenschaften

• Definierende Eigenschaft der Delta-Distribution: Faltungseigenschaft, auch Ausblendeigenschaft, Siebeigenschaft genannt

$\langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0)$

bzw. mit den Eigenschaften Translation und Skalierung (siehe unten) folgt:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x-a)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (a-x)\,\mathrm {d} x=f(a),$

speziell für den Fall der konstanten Funktion 1:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-a)\,\mathrm {d} x=1$

• Linearität:

$\langle \delta ,f+g\rangle =\langle \delta ,f\rangle +\langle \delta ,g\rangle =f(0)+g(0)$

• Translation:

$\langle \delta (\cdot -a),f\rangle =\langle \delta ,f(\cdot +a)\rangle =f(a)$

für $\delta (\cdot -a)$ ist auch die Bezeichnung $\delta _{a}$ gebräuchlich.

• Skalierung:

$\langle \delta (a\cdot ),f\rangle ={\frac {1}{|a|}}\langle \delta ,f({\tfrac {\cdot }{a}})\rangle ={\frac {1}{|a|}}f(0)$

und

$\delta (\alpha x)={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)$

das heißt die Delta-Distribution ist positiv homogen vom Grad −1.

• Dimension

Eine direkte Folgerung aus der Skalierungseigenschaft ist die Dimension bzw. Maßeinheit der Delta-Distribution. Sie entspricht genau der reziproken Dimension ihres Arguments. Hat $x$ beispielsweise die Dimension einer Länge, so hat $\delta (x)$ die Dimension (1/Länge).

• Hintereinanderausführung:

$\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x)\,\delta (g(x))\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x){\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\phi (x_{i})}{|g'(x_{i})|}},$

$\delta (g(x))=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g^{\prime }(x_{i})|}}$

wobei $x_{i}$ die einfachen Nullstellen von $g(x)$ sind (sofern $g(x)$ nur endlich viele und nur einfache Nullstellen hat). Damit folgt als ein Spezialfall die Rechenregel

$\delta (x^{2}-\alpha ^{2})={\frac {1}{2|\alpha |}}[\delta (x-\alpha )+\delta (x+\alpha )].$

Singularität

Die Singularität der Delta-Distribution lässt sich mit einem Widerspruchsbeweis zeigen:

Angenommen $\delta$ wäre regulär, dann gäbe es eine lokal integrierbare Funktion $\delta (x)\in L_{\text{lok}}^{1}$, also eine Funktion, die über jedes kompakte Intervall $[a,b]$ bzgl. des Lebesgue-Maßes integrierbar ist

$\int _{a}^{b}|\delta (x)|\mathrm {d} x<\infty$

so dass für alle Testfunktionen $f(x)$ gilt:

$\langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0).$

Insbesondere muss dies für folgende Testfunktion $\phi _{b}(x)$ mit kompaktem Träger $[-b,b]$ gelten:

$\phi _{b}(x)={\begin{cases}\exp {\Big (}{\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}{\Big )}&|x|<b\\0&|x|\geq b.\end{cases}}$

Die Wirkung der Delta-Distribution auf diese ist:

$\langle \delta ,\phi _{b}\rangle =\phi _{b}(0)=\exp(-1)=\mathrm {const} _{\,b}.$

Mit der angenommenen regulären Distribution

$\langle \delta ,\phi _{b}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,\phi _{b}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-b}^{b}\delta (x)\,\phi _{b}(x)\,\mathrm {d} x$

lässt sich folgende Abschätzung durchführen:

$\phi _{b}(0)=|\langle \delta ,\phi _{b}\rangle |=\left|\int _{-b}^{b}\delta (x)\,\phi _{b}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \underbrace {\|\phi _{b}(x)\|_{\infty }} _{\phi _{b}(0)}\,\int _{-b}^{b}|\delta (x)|\,\mathrm {d} x{\underset {(b<b_{c})}{<}}\phi _{b}(0).$

Weil $\delta (x)\in L_{lok}^{1}$ wird das Integral $\textstyle \int _{-b}^{b}|\delta (x)|\,\mathrm {d} x$ für $b<b_{c}$ (wobei $b_{c}$ ein von der Funktion $\delta (x)$ abhängiger kritischer Wert ist) kleiner 1 (und konvergiert gegen 0 für $b$ gegen 0). Man erhält $\phi _{b}(0)<\phi _{b}(0)$, also einen Widerspruch; somit ist die Delta-Distribution nicht durch eine lokal integrierbare Funktion darstellbar. Der Widerspruch ergibt sich, weil die Menge {0} für das Lebesgue-Maß vernachlässigbar ist, nicht aber für das Dirac-Maß.

Ableitungen

Ableitung der Delta-Distribution

Die Delta-Distribution kann wie jede Distribution beliebig oft distributiv differenziert werden:

$\langle \delta ',f\rangle =-\langle \delta ,f'\rangle =-f'(0).$

Dies gilt auch für die $n$-te distributive Ableitung:

$\langle \delta ^{(n)},f\rangle =(-1)^{n}\langle \delta ,f^{(n)}\rangle =(-1)^{n}f^{(n)}(0).$

Ableitung der Dirac-Folge

Die Ableitungen der regulären Distributionen $\delta _{\epsilon }$ können mittels partieller Integration berechnet werden (hier exemplarisch für erste Ableitung, analog für höhere)

${\begin{aligned}\langle \delta _{\epsilon }^{\prime },f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }^{\prime }(x)\,f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\underbrace {\left[\delta _{\epsilon }(x)\,f(x)\right]_{-\infty }^{\infty }} _{=0}-\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x)\,f^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x\\&=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x)\,f^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x\\&=-\langle \delta _{\epsilon },f^{\prime }\rangle \end{aligned}}$

und ergeben im Limes $\epsilon \to 0$ das Verhalten der distributiven Ableitung:

$\lim _{\epsilon \to 0}\langle \delta _{\epsilon }^{\prime },f\rangle =-f^{\prime }(0)=\langle \delta ^{\prime },f\rangle .$

Ableitung der Heaviside-Distribution

Die Heaviside-Funktion $\Theta (x)$ ist nicht stetig differenzierbar, aber die distributive Ableitung existiert, diese ist nämlich die Delta-Distribution:

$\langle \Theta ',f\rangle =-\langle \Theta ,f'\rangle =-\int _{-\infty }^{\infty }\Theta (x)\,f'(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{0}^{\infty }f'(x)\,\mathrm {d} x=-\underbrace {f(\infty )} _{=0}+f(0)=\langle \delta ,f\rangle .$

Da die Heaviside-Distribution keinen kompakten Träger hat, müssen hier die Testfunktionen beliebig oft differenzierbare Funktionen mit kompaktem Träger sein $f\in C_{0}^{\infty }\cong {\mathcal {D}}$, das heißt $f$ muss im Unendlichen verschwinden.

Fourier-Laplace-Transformation

Da die Delta-Distribution einen kompakten Träger hat, ist es möglich, die Fourier-Laplace-Transformation dieser zu bilden. Für diese gilt

${\hat {\delta }}=1\,.$

Fourier-Transformation

Die Fourier-Laplace-Transformation ist ein Spezialfall der Fourier-Transformation und somit gilt auch

${\mathcal {F}}(\delta )(\phi )=\delta ({\mathcal {F}}(\phi ))=\delta \left(\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\phi (x)\mathrm {d} x\right)=\langle 1,\phi \rangle \,.$

Es gibt auch die Konvention, den Faktor ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ mit der Fourier-Transformation zu multiplizieren. In dem Fall ist ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ ebenfalls das Ergebnis der Fourier-Transformation der Delta-Distribution. Anschaulich bedeutet das Resultat der Transformation, dass in der Delta-Distribution alle Frequenzen enthalten sind, und zwar mit gleicher Stärke. Die Darstellung $\delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}(1)$ (beziehungsweise $\delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}})$ bei der anderen Konvention für den Vorfaktor) ist eine in der Physik wichtige Darstellung der Delta-Distribution.

Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation ${\mathcal {L}}$ der Delta-Distribution erhält man als Spezialfall der Fourier-Laplace-Transformation. Es gilt nämlich auch hier

${\mathcal {L}}(\delta )=1\,.$

Im Gegensatz zur Fourier-Transformation gibt es hier keine anderen Konventionen.

Anmerkung bezüglich der Darstellung

Oftmals werden die Fourier beziehungsweise die Laplace-Transformation durch die gewöhnliche Integralschreibweise dargestellt. Jedoch sind diese Darstellungen

${\mathcal {F}}(\delta )(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi x}\,\delta (x)\,\mathrm {d} x$

für die Fourier-Transformation beziehungsweise

${\mathcal {L}}(\delta )(\xi )=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\xi x}\,\delta (x)\,\mathrm {d} x$

für die Laplace-Transformation nur symbolisch zu verstehen und mathematisch nicht definiert.

Transformation der verschobenen Delta-Distribution

Es ist ebenfalls möglich die Fourier-Transformation beziehungsweise die Laplace-Transformation für die um $a>0$ verschobene Delta-Distribution $\delta _{a}$ zu berechnen. Es gilt

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}(\delta _{a})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi a}\\{\mathcal {L}}(\delta _{a})&=\mathrm {e} ^{-\xi a}.\end{aligned}}$

Praktische Anwendung

Praktische Bedeutung hat der Dirac-Stoß bei der Ermittlung der Impulsantwort in der Akustik (in anderen Sparten der Physik spricht man auch von einer $\delta$-Größe, wenn man meint, dass die betreffende Größe einer schmalst-möglichen Verteilung genügt). So hat jeder Raum ein eigenes Schallverhalten. Mit einem Dirac-Impuls (angenähert durch ein Klatschen mit den Händen) kann dieses Verhalten (durch Messen des „Echos“, also der Systemantwort) ermittelt werden.

Typische, technisch realisierbare Dirac-Werte:

• Hochspannungstechnik ca. 1–100 ns Halbwertsbreite
• Hochfrequenztechnik ca. 10–100 ps Halbwertsbreite
• Pulslasertechnik ca. 10–100 fs Halbwertsbreite

Eine wichtige Anwendung der Delta-Distribution ist die Lösung inhomogener linearer gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen mit der Methode der Greenschen Funktion.

Mehrdimensionale Delta-Distribution

Definition

Im Mehrdimensionalen ist der Raum der Testfunktionen ${\mathcal {E}}$ gleich $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$, der Raum der beliebig oft total differenzierbaren Funktionen $f\colon \,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$.

Die Delta-Distribution hat auf die Testfunktion $f\colon \,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ die folgende Wirkung:

$\delta \colon \,{\mathcal {E}}\to \mathbb {R} \,,\ f\mapsto f({\vec {0}})$

In der informellen Integralschreibweise unter Verwendung von Translation und Skalierung:

$\int f({\vec {x}})\,\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})\,\mathrm {d} ^{n}x=\int f({\vec {x}})\,\delta ({\vec {a}}-{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{n}x=f({\vec {a}})$.

Eigenschaften

Die „mehrdimensionale“ Delta-Distribution lässt sich als Produkt von „eindimensionalen“ Delta-Distributionen schreiben:

$\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})=\delta (x_{1}-a_{1})\,\delta (x_{2}-a_{2})\,\dots \,\delta (x_{n}-a_{n})$.

Speziell im Dreidimensionalen gibt es eine Darstellung der Delta-Distribution, die häufig in der Elektrodynamik eingesetzt wird, um Punktladungen darzustellen:

$\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})=-{\frac {1}{4\pi }}\Delta {\frac {1}{\|{\vec {x}}-{\vec {a}}\|_{2}}}$.

Delta-Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen

In krummlinigen Koordinatensystemen muss die Funktionaldeterminante

$\mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x~\mathrm {d} y~\mathrm {d} z=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c$

berücksichtigt werden.

Der Ansatz

$\delta ({{\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}})=\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})$

mit ${\vec {r}}=(a,b,c)$ und ${\vec {r}}_{0}=(a_{0},b_{0},c_{0})$ führt dabei auf die Gleichung

$\int _{V}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})~\mathrm {d} ^{3}r=\iiint _{V}\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c~{\stackrel {!}{=}}~1$, falls ${\vec {r}}_{0}\in V$.

Daran lässt sich ablesen, dass gelten muss

$\gamma =\left(\left.\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}\right|_{{\vec {r}}_{0}}\right)^{-1}$.

In krummlinigen Koordinatensystem muss die Delta-Distribution also mit einem Vorfaktor versehen werden, der dem Kehrwert der Funktionaldeterminante entspricht.

Beispiele

In Kugelkoordinaten mit ${\vec {r}}=(r,\theta ,\phi )$ und ${\vec {r}}_{0}=(r_{0},\theta _{0},\phi _{0})$ gilt:

$\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}~\delta (r-r_{0})~\delta (\theta -\theta _{0})~\delta (\phi -\phi _{0})$

In Zylinderkoordinaten mit ${\vec {r}}=(\rho ,\phi ,z)$ und ${\vec {r}}_{0}=(\rho _{0},\phi _{0},z_{0})$ gilt:

$\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})={\frac {1}{\rho }}~\delta (\rho -\rho _{0})~\delta (\phi -\phi _{0})~\delta (z-z_{0})$

Siehe auch

• Dirac-Identität
• Kronecker-Delta

Literatur

• Dieter Landers, Lothar Rogge: Nichtstandard Analysis. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1994, ISBN 3-540-57115-9 (Springer-Lehrbuch).
• Wolfgang Walter: Einführung in die Theorie der Distributionen. 3. vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17023-9.
• F. G. Friedlander: Introduction to the Theory of Distributions. With additional material by M. Joshi. 2. edition. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1998, ISBN 0-521-64015-6.

Weblinks

Commons: Delta-Distribution – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien