Dirichlet-Funktion

Die Dirichlet-Funktion (nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet, manchmal auch als Dirichletsche Sprungfunktion bezeichnet) ist eine mathematische Funktion. Eine ihrer Eigenschaften ist es, Lebesgue-integrierbar, aber nicht Riemann-integrierbar zu sein.

Definition

Die Dirichlet-Funktion wird üblicherweise mit $D$ bezeichnet. Sie ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen. Somit ist sie definiert als:

D\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto D(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ rational,}}\\0,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ irrational.}}\end{cases}}

Eigenschaften

Die Dirichlet-Funktion ist ein Beispiel für

eine an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches unstetige Funktion,
eine Funktion der zweiten Klasse in der Klassifikation von Baire:

D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)

,

eine Lebesgue-integrierbare Funktion, die aber nicht Riemann-integrierbar ist.
eine beschränkte Funktion, deren Supremum nicht mit ihrem wesentlichen Supremum (bzgl. des Lebesgue-Maßes) übereinstimmt.

Riemann-Integrierbarkeit

Die Dirichlet-Funktion ist in keinem echten Intervall Riemann-integrierbar, da für jede Zerlegung $Z$ im Teilintervall $\left[x_{k-1},x_{k}\right]$ stets sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und somit

die Untersumme

U(Z)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \inf _{x_{k-1}<x<x_{k}}f(x)

stets 0 ist (weil das Infimum stets 0 ist) und

die Obersumme

O(Z)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \sup _{x_{k-1}<x<x_{k}}f(x)

stets die Länge des Intervalls, über das integriert wird, ist (weil das Supremum immer 1 ist und somit einfach die Länge der einzelnen Teilintervalle addiert wird).

Riemann-Integrierbarkeit verlangt aber gerade die Gleichheit, also dass gilt:

{\begin{matrix}{\text{Oberintegral}}&=&{\text{kl. Obersumme}}&=&{\text{gr. Untersumme}}&=&{\text{Unterintegral}}\\{\overline {\int \limits _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x&=&\inf _{Z}O(Z)&=&\sup _{Z}U(Z)&=&{\underline {\int \limits _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x\end{matrix}}

Da aber für jede beliebige Zerlegung die Unter- und Obersummen nicht gegen den gleichen Wert konvergieren, ist $D$ auf keinem Intervall Riemann-integrierbar.

Lebesgue-Integrierbarkeit

Da die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion ist, also eine messbare Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, die noch dazu nicht negativ sind, lässt sich das Lebesgue-Integral über ein beliebiges Intervall $I$ wie folgt schreiben:

\int _{I}D\,{\mathrm {d} }\lambda =0\cdot \lambda (I\cap \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )+1\cdot \lambda (I\cap \mathbb {Q} )

,

wobei $\lambda$ für das Lebesgue-Maß steht.

Bei jedem beliebigen Wert von $\lambda (I\cap \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )$ ergibt sich aus der Multiplikation mit 0 das Resultat 0. Das gilt aufgrund einer Konvention in der Maßtheorie auch dann, wenn der andere Faktor unendlich ist. Im Gegensatz dazu ist $\lambda (I\cap \mathbb {Q} )$ stets 0, da die Punktmenge $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen abzählbar und somit eine $\lambda$ -Nullmenge ist.