Laplace-Filter

Der Laplace-Filter bzw. diskrete Laplace-Operator ist ein Filter zur Kantendetektion, der den Laplace-Operator (Summe der beiden reinen zweiten Ableitungen) approximiert:

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$

Unter einer Kante versteht man nun eine Kurve ${\vec {g}}(t)$, entlang derer der Gradient des Bildes $f$ immer in Normalenrichtung zeigt (das heißt eine Isolinie):

$f({\vec {g}}(t))\implies {\frac {df}{dt}}=\nabla f|_{{\vec {g}}(t)}\cdot {\frac {\partial {\vec {g}}}{\partial t}}=0$

Das Vektorfeld $\nabla f$ ist also im Bereich der Kante quellenfrei. Eine Kante kann sich also nur einstellen, falls folgende Gleichung erfüllt ist:

$0=\nabla \cdot (\nabla f)=\Delta f$

Man sucht also die Nulldurchgänge eines Laplace-gefilterten Bildes. Allerdings ist hierbei zu beachten, dass auch $\Delta f$ homogener Flächen gleich null sind. Der Laplace-Filter liefert also nur eine Obermenge der möglichen Kanten.

Funktionsweise

Berechnung der zweiten Ableitung von Kanten in einem verrauschten 1D-Signal

In der nebenstehenden Abbildung ist ein verrauschtes Signal gezeigt, von dem die zweite Ableitung berechnet wurde. Die Kante taucht hier als Nulldurchgang des Signals auf. Auf ein diskretes Signal g_n bzw. g_nm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden (siehe Diskreter Laplace-Operator):

1D: $\quad {\vec {D}}_{x}^{2}\;={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}$

2D: $\quad \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}$

Für das 2D-Filter gibt es noch eine zweite Variante, welche im Unterschied zur oberen Variante zusätzlich auf 45°-Kanten anspricht:

2D: $\quad \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1\end{bmatrix}}$

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten. Am Ende des Artikels sieht man Beispiele für die Anwendung des Laplace-Filters.

Übertragungsfunktion und Isotropie des Filters

Übertragungsfunktion verschiedener Laplace-Filter

Die Übertragungsfunktion (Fourier-Transformierte) des idealen Laplace-Operators Δ lautet:

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\ \ \ \ \circ -\bullet \ \ \ \ -4\pi ^{2}|{\vec {k}}|^{2}$

Ein diskretisierter Laplace-Operator muss diese parabolische Übertragungsfunktion möglichst gut approximieren.

Die Abbildung rechts zeigt die Übertragungsfunktion des ersten 2D-Laplace-Filters. Man sieht deutlich die Anisotropie und den Hochpass-Charakter der Übertragungsfunktion. Als Formel lautet sie:

${\hat {l}}({\vec {k}})=-4\sin ^{2}(\pi k_{x}/2)-4\sin ^{2}(\pi k_{y}/2)$

Sie zeigt um ${\vec {k}}=0$ Ähnlichkeit zur idealen Übertragungsfunktion des Laplace-Operators.

Man kommt zu einer isotroperen Approximation des Laplace-Operator, wenn man eine etwas andere Darstellung des Laplace-Filters wählt:

$4({\mathcal {B}}^{2}-{\mathcal {I}})={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1&2&1\\2&-12&2\\1&2&1\end{bmatrix}}$

Dabei ist ${\mathcal {B}}^{2}$ der 3×3-Binomialfilter (Glättungsfilter) und ${\mathcal {I}}$ ein „Einheits-Filter“/δ-Puls, der das Bild auf sich selbst abbildet (Die Punktantwort ist überall null, bis auf das zentrale Pixel. Dort ist sie 1). Die Übertragungsfunktion dieses Filters lautet:

${\hat {l}}({\vec {k}})=-4\cos ^{2}(\pi k_{x}/2)\cdot \cos ^{2}(\pi k_{y}/2)-4$

Diese Übertragungsfunktion ist ebenfalls in der Abbildung rechts enthalten. Es zeigt sich, dass sie wesentlich isotroper ist als die erste Version.

Beispielbilder

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  Originalbild
• 
  Bild gefiltert mit der einfachsten Filtermaske (Anklicken zum Vergrößern)
• 
  Bild gefiltert mit der zweiten Filtermaske (Anklicken zum Vergrößern)

Software

Der Laplace-Filter kann mit dem Grafikprogramm GIMP über die Menüaufrufe Filter → Kanten finden → Kanten ausgeführt werden. In den freien Bildverarbeitungsbibliotheken Scikit-image und OpenCV ist er ebenfalls implementiert.

Siehe auch

• Prewitt-Operator
• Sobel-Operator

Literatur

• Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2005, ISBN 3-540-24999-0
• Russell Merris: Laplacian matrices of graphs: a survey. In: Linear Algebra and its Applications. 197–198, 143–176 (1994). ISSN 0024-3795