Diskussion:Affiner Raum

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Zugänge zur affinen Geometrie

Soweit ich sehe, gibt es drei Zugänge zur affinen Geometrie:

(1) algebraisch,

(2) axiomatisch,

(3) invariantentheoretisch.

Dass (1) und (2) äquivalent sind, scheint mir plausibel: man muss die Axiome halt passend konstruieren. Wäre schön, das in extenso dargestellt zu lesen; wenn jemand eine Literaturempfehlung hat, freue ich mich; aber wie gesagt: die Äquivalenz beider Ansätze scheint mir ohne weiteres plausibel. -- Weialawaga 17:51, 26. Apr 2004 (CEST)

Sind sie aber nicht, siehe Diskusion affine Geometrie --Schnitte 19:19, 24. Okt 2004 (CEST)

Nun heißt es in der englischen WP unter w:affine geometry, dass man den affinen Raum auch bekommt, indem man (3) Invarianten unter affinen Abbildungen studiert. Könnte jemand uns diesen Zusammenhang in nachvollziehbarer Weise aufschreiben ?? -- Weialawaga 17:51, 26. Apr 2004 (CEST)

Dieser Artikel sollte mit dem Artikel affine Geometrie zusammengefaßt werden. Siehe hierzu Diskussion:affine Geometrie --Schnitte 19:19, 24. Okt 2004 (CEST)

Beispiele

Ich habe als Beipiel den euklidischen Raum eingefügt. Spricht etwas dagegen?--CWitte 13:39, 13. Nov 2004 (CET)

Affine Ebenen, die durch Vektorräume definiert werden, sind immer desarguesch, aber nicht jede affine Ebene ist desarguessch. Sieh hierzu meinen Artikel Affine Geometrie--Schnitte 10:20, 7. Feb 2005 (CET)

Der erste Satz des Artikel lautet allerdings etwas kryptisch der AR steht zwischen dem eukl. Raum und dem projektiven Raum.--CWitte 13:39, 13. Nov 2004 (CET)

Das ist Quatsch. Ein euklidischer Raum ist ein absoluter Raum und ein Spezialfall eines affinen Raums, da bei einem affinen Raum, keine Winkel, auch keine rechten definiert werden. Bei absolute Räume hingegen wird die Senkrechte eingeführt. Ein elliptischer Raum, ist ein absoluter Raum, der nicht euklidisch sein kann, da die Besonderheit des elliptischen Raums ist, daß sich alle Geraden einer Ebene schneiden. Dieser elliptische Raum ist ein projektiver Raum. Wobei auch beim projektiven Raum keine Winkel definiert werden. --Schnitte 10:20, 7. Feb 2005 (CET)

Ich sehe allerdings nicht, warum der euklidische Raum, der mE ein affiner Raum ist, nicht einfach nur ein Beipsiel ist.--CWitte 13:39, 13. Nov 2004 (CET)

Doch, ein Beispiel ist er auf jeden Fall.

Der Artikel euklidischer Raum ist diesbezüglich entsprechend fragwürdig, da er behauptet, dieser sei einfach nur der $\mathbb {R} ^{n}$.--CWitte 13:39, 13. Nov 2004 (CET)

Nein, das ist falsch! So gibt es eine euklidische Ebene mit nur neun Punkte. Man kann jeden Körper nehmen, nicht nur den R--Schnitte 10:20, 7. Feb 2005 (CET)

Dies ist aber doch wohl falsch, da es keinen ausgezeichneten Ursprung im ER gibt. Da ich selbst aus der Diffgeo komme, ist mir allerdings die algebraisch-geometrische Sichtweise nicht so klar.--CWitte 13:39, 13. Nov 2004 (CET)

Wieso eigentlich algebraisch-geometrisch? Ein affiner Raum ist erst einmal ein geometrisches Objekt, das man auch algebraisch definieren kann. Wenn es Desarguessch ist, dann über Vektorräume, sonst muß man Multigruppen nehmen.--Schnitte 10:20, 7. Feb 2005 (CET)

In der algebraischen Geometrie ist der affine Raum der kⁿ bzw. die entsprechende Varietät. Ich kenne "euklidischer Raum" ausschließlich als Bezeichnung für den Rⁿ (oder zumindest für einen endlichdimensionalen Raum über den reellen Zahlen), meistens noch mit dem ("euklidischen") Skalarprodukt.--Gunther 16:38, 2. Mär 2005 (CET)

Die algebraische Geometrie befaßt sich mit Vektorräume. Die Geometrie geht weiter. Einen Raum, den man durch einen Vektorraum beschreiben kann, ist zwingend desarguesch, es gibt aber Ebene die die Axiome des Euklid (die die Ebene betreffen) erfüllen und nicht desarguesch sind. Siehe hierzu bitte den Artikel affine Geometrie den ich völlig neu geschrieben habe. Es ist sowieso blödsinn, daß es beide Artikel gibt. Aber da sie zwei verschiedene Herangehensweisen haben sie ihre Berechtigung. Aber selbst, wenn Du Vektorräume nimmst, müssen es nicht zwingend Vektorräume über den R sein, es kann jeder beliebige Körper genommen werden, insbesondere auch endliche Körper. So gibt es eine affine Ebene mit insgesammt nur vier Punkte, sechs Geraden und zwei Punkte je Geraden. Daraus läßt sich aber keine euklidische Ebene basteln, da sich der rechte Winkel nicht vernünftig einführen läßt. Für eine euklidische Ebene brauchst Du mindestens insgesammt 9 Punkte und 12 Geraden sowie 3 Punkte auf einer Geraden. Aber aus alle affine Ebenen über einen Körper gerader Ordnung (außer Ordnung 0) läßt sich keine euklidische Ebene machen. --Schnitte 06:15, 3. Mär 2005 (CET)

Algebraische Geometrie ist nicht analytische Geometrie. Und "euklidischer Raum" wird definitiv auch in dem o.g. engeren Sinn verwendet, so wie in der Differentialgeometrie "hyperbolischer Raum" eine konkrete riemannsche Mannigfaltigkeit ist (z.B. obere Halbebene mit der SL₂(R)-invarianten Metrik).--Gunther 12:13, 3. Mär 2005 (CET)

Ja, sicherlich werden Begriffe in der Mathematik in der einen Disziplin in einem engeren Sinne verwendet, und in einer anderen in einem weiteren. Beim hyperbolischen Raum ist es aber eindeutiger. Es ist bis auf Isomorphie der einzig mögliche, wenn ich mich recht entsinne. Die geometrische Herleitung aber ist, daß es eine absolute Ebene ist, in der zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, genau zwei hyperbolische Parallelen gibt, die weder mit der Geraden eine Senkrechte gemeinsam haben, noch die Gerade schneidet. --Schnitte 16:37, 4. Mär 2005 (CET)

Das Problem ist ja leider nicht "enger" und "weiter", sondern es sind verschiedene Verallgemeinerungen. Z.B. gibt es in der algebraischen Geometrie "affine Räume" über Z (und nein, es ist nicht einfach Zⁿ), und ich kenne keine vernünftigen Bedeutungen von "Punkt" und "Gerade" in diesem Kontext, so dass es durch je zwei Punkte eine Gerade gäbe.--Gunther 19:40, 4. Mär 2005 (CET)

Da Z kein Körper, sondern ein Ring ist, bekommst Du mit dem Zⁿ kein affinen Raum, sondern eine Liniengeometrie. Da gilt der Satz, daß durch zwei Punkte genau eine Gerade geht nicht mehr, sondern es gehen durch zwei Punkte eine Linie, das genau fehlt hier. Allerdings kann man beim Zⁿ die Linien, die mehr als einen Punkt gemeinsam haben zu einer Geraden vereinigen und man erhält eine schwach affine Geometrie.

Wenn Du in der algebraischen Geometrie einen affinen Raum über Z hast, dann verifiziere doch einmal, ob es die Axiome die ich in affine Geometrie aufgeführt habe erfüllt. --Schnitte 22:22, 4. Mär 2005 (CET)

Wie gesagt, der affine Raum über Z ist nicht dasselbe wie Zⁿ. Er ist eher eine Ansammlung der Rⁿ für alle Ringe R. Für Geraden interessiert sich niemand, die korrekte Definition wäre wohl (im Fall n = 2) eine Ansammlung von Untermengen

$\{ar_{1}+br_{2}=c\mid r\in R^{n}\}$

für feste ganze Zahlen a, b, c und variablen Ring R. Für R = R gäbe es also beispielsweise durch Punkte (x,y) keine Geraden, falls x/y irrational ist. Aber eigentlich passt dieser Punktbegriff (R-wertiger Punkt) nicht zu diesem Geradenbegriff, und der andere Punktbegriff (Punkt des zugrundeliegenden topologischen Raumes) liefert auch mal keinen, mal mehrere Elemente von Rⁿ.

Kurz: andere Baustelle.--Gunther 23:11, 4. Mär 2005 (CET)

Vorschlag einer Löschung

Unter den Beispielen taucht als Nr. 3 folgendes auf:

In der Differentialgeometrie spielen affine Räume eine Rolle in der Theorie der Faserbündel. Beispiele sind die Fasern des affinen Tangentialbündels, des Zusammenhangsbündels und von Jetbündeln.

Ich finde, dass Beispiele mit Links ins Nirgendwo generell wenig hilfreich sind. Deswegen möchte ich vorschlagen, das Beispiel Nr. 3 zu löschen. Es sei denn, es findet sich wer, der die fehlenden Artikel ergänzt. --Schojoha (Diskussion) 22:16, 28. Jun. 2015 (CEST)

Nein, die Beispiele sind doch richtig und wichtig. Tatsächlich ist es merkwürdig, dass es noch keinen Artikel über Jetbündel gibt, aber das kann ja kein Grund sein hier das Beispiel zu löschen. Im Gegenteil: hier sist mal eines der seltenen Beispiel, wo ein roter Link sogar sinnvoll sein kann. --CWitte (Diskussion) 06:49, 29. Jun. 2015 (CEST)

Diskussion zur allgemeinen Struktur des Artikels

Es wäre schön, wenn wir das gesammelte Fachwissen dieser Diskussion nun auch umsetzten könnten. Z.B. steht im Artikel noch immer dieser obskure erste Satz der AR steht zwischen dem eukl. Raum und dem projektiven Raum. Kann das jemand, der die nötige Kompetenz besitzt, mal richtig formulieren?--CWitte 17:48, 2. Mär 2005 (CET)

Natürlich wäre das schön. Aber jetzt gibt es erst mal eine Diskusion. Allein wollte ich das nicht machen. Ich habe den Artikel affine Geometrie komplett neu geschrieben. Der Artikel affiner Raum sollte in diesem Artikel aufgehen, da affine Geometrie und affiner Raum entweder nur Synonyme sind, oder aber man faßt Raum als was dreidimensionales auf und beschränkt sich auf dreidimensionale Geometrien. Dreidimensionale Geometrien haben aber im Gegensatz zu zweidimensionale Geometrien nichts besonderes. So sind drei- und höherdimensionale Geometrien immer desarguessch, auch ihre zweidimensionale Unterräume. Ein- und wenigerdimensionale übrigens trivialerweise auch.

Nochmal: Ein eulidischer Raum ist ein absoluter Raum, der zusätzlich das Parallelenaxiom hat. Das wesentliche Merkmal eines absoluten Raums ist, daß dort der rechte Winkel eingeführt ist. Bei einem affinen Raum betrachtet man die Winkel nicht. Euklidische Räume sind aber immer affine Räume, man muß nur die Winkel nicht beachten. Umgekehrt gilt das aber nicht. Aus einem affinen Raum kann man einen projektiven Raum machen. Dazu gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten. Bei der einen Möglichkeit führt man zu jeder Parallelenschar, das ist die Menge aller Geraden, die zu einer Geraden parallel sind, einen unendlichen Punkt ein, in dem sich die Parallelen treffen. Alle diese unendliche Punkte liegen dann auf einer unendlichen Geraden, Ebene, Hyperebene je nachdem welche Dimension die Geometrie hat. Die andere Möglichkeit ist die Klassische, die Albrecht Dürer eingeführt hat. Man nehme einen Punkt der Geometrie und zeichnet diesen aus. Die Geraden, die durch diesen Punkt gehen sind nun die Punkte der projektiven Geometrie und die Ebenen durch diesen Punkt sind die Geraden der projektiven Geometrie. Mit höherdimensionale Gebilde verfährt man genauso. Hier haben die projektive Gebilde alle eine Dimension weniger als die affine, aus denen sie stammen.

Ich sehe diesen Artikel nur als ein Beispiel der affinen Geometrie. ähnlich ist die projektive Geometrie definiert, zu der ich auch einen Artikel schreiben könnte, auch zur Kreis- bzw. Möbiusgeometrie. Absolute Geometrie mit der Eukliedischen Geometrei sowie die Elliptische und die Hyperbolische als Unterkategorien schrieb ich auch gerne, habe aber nur etwas über absolute Ebenen. Ich kann mir zwar vorstellen, wie man auch höher dimensionales definiert, aber da sollte man vorsichtig sein. Natürlich darf dieser und andere Artikel nicht verloren gehen sondern sollen als Beispiele erhalten bleiben. Nur so Interesse halber, kommt Ihr aus der Physik? --Schnitte 06:15, 3. Mär 2005 (CET)

Ist dein neuer Artikel affiner Raum schon fertig? Ich finde den jetzigen Status etwas, na ja..., brutal. Ich finde es völlig richtig, dass gewisse mathematische Strukturen nun mal nicht fassbar sind, wenn man sich der mathematischen Vorbildung total verweigert, aber ich bin fest überzeugt, dass man auch fachfremdem Interessenten solche Themen erklären kann, indem man eine Kombination aus abstrakter Mathematik und einführenden Erklärungen und Beispielen bringt. Ich beziehe mich damit auf die Diskussion Diskussion:Affine_Geometrie und will da eine moderierende Stellung beziehen. Konkret kann ich mir vorstellen, dass man einiges von diesem Artikel hier rüberretten kann und den Artikel dadurch für alle lesbarer macht.

Den Weg finde ich auf jeden Fall richtig und denke, dass die Aufteilung in zwei Artikel unsinnig ist.--CWitte 12:47, 3. Mär 2005 (CET)

Ich hatte den Artikel affine Geometrie, den es schon gab völlig neu geschrieben. Erst als er fast fertig war, sah ich, daß es den Artikel affiner Raum auch gab. Sicherlich ist dieser Artikel noch nicht fertig. Ich habe erst mal die mathematische Grundlage geschrieben. Für einen Laien dürfte die rein geometrische herangehensweise nicht so schwierig sein. Sätze wie: Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade oder eine Gerade hat mindestens zwei Punkte kann man nachvollziehen. Jedenfalls viel eher als Vektorrechnung zu verstehen. Die Schwierigkeit liegt hier nicht in die Komplexheit, sondern meiner Meinung nach in der Definition eines Punktes. Was ist ein Punkt? Euklid hat sich bei der Definition fast einen abgebrochen und ist doch nur zu unzufriedenen Ergebnissen gekommen. Die moderne Geometrie macht es sich da leicht. Ein Punkt ist ein Element einer Punktmenge. Was das ist, kümmert sich die moderne Geometrie nicht drum. Selbstverständlich muß der Artikel affine Geometrie noch verständlicher geschrieben werden und der Artikel affiner Raum sollte integriert werden.

Um mal ein Beispiel einer affinen Ebene zu geben, die beim ersten Blick gar nichts mit Geometrie zu tun hat: Angenommen es soll ein Skatturnier ausgerichtet werden. Das Turnier soll in mehren Runden vonstatten gehen. Nach jeder Runde haben die Spieler andere Partner. Optimal wäre, wenn jeder Spieler jeden anderen Spieler in genau einer Runde zum Gegner hat. Dies ist möglich, wenn man insgesamt neun Spieler hat und pro Runde drei Spieler am Tisch, oder aber mit insgesamt 16 Spieler und vier Spieler an einem Tisch. In der zugehörigen affine Ebene sind die Spieler die Punkte und die Spielpartner einer Runde die Geraden. Auch mit fünf Spieler pro Runde ließe sich eine optimale Lösung finden, nicht aber mit sechs Spieler, da es keine affine Ebene gibt mit sechs Punkte pro Geraden. --Schnitte 12:16, 4. Mär 2005 (CET)

Ich komme aus der algebraischen Geometrie. Ganz offenbar reden wir teilweise von verschiedenen Dingen. Ich fasse zusammen:--Gunther 12:13, 3. Mär 2005 (CET)

Nein. Was in dem Artikel Affiner Raum steht ist ein Beispiel für einen affinen Raum, es gibt aber auch andere Möglichkeiten. --Schnitte 12:16, 4. Mär 2005 (CET)

Euklidische Räume sind

• affine Räume im Sinne der affinen Geometrie mit Zusatzstruktur "Orthogonalität" und Parallelenaxiom--Gunther 12:13, 3. Mär 2005 (CET)

Bei einer affinen Raum ist keine Orthogonalität definiert. Orthogonalität wird bei absoluten Räumen definiert. Wenn man dann die Zusatzeigenschaft das genau die Geraden, die sich nicht schneiden eine gemeinsame Senkrechte haben, hinzunimmt, dann hat man Parallelität und diese absolute Geometrie ist eine affine. Aber um eine affine Geometrie zu sein, braucht man keine Orthogonalität. Siehe das Beispiel mit den vier Punkten in affine Geometrie, da läßt sich keine Orthogonalität einfüren.--Schnitte 12:16, 4. Mär 2005 (CET)

Genau das meint das Wort "Zusatzstruktur".--Gunther 13:21, 4. Mär 2005 (CET)

• oder einfach der Rⁿ (mit ziemlich viel Struktur).--Gunther 12:13, 3. Mär 2005 (CET)

Nein. Es muß nicht über einen Vektorraum erzeugbar sein. Siehe Moulonsche Ebene, die ich kurz in Diskussion: affine Geometrie angerissen habe. Sie läßt sich nicht über einen Vektorraum erzeugen, da sie nicht den großen affinen Satz von Desargues erfüllt. Auch selbst wenn man eine affine Geometrie nehmen, die sich über einen Vektorraum bilden läßt, so muß es doch nicht der Rⁿ sein, es könnte doch auch der Qⁿ sein oder der Cⁿ oder auch der Hⁿ um mal einen nichtkommuttiven Körper zu nehmen, denn dann wird der große affine Satz von Pappos-Pascal nicht erfüllt. Auch kann man Vektorräume über endliche Körper bilden, so wie bei der oben angesprochenen Minimalebene--Schnitte 12:16, 4. Mär 2005 (CET)

Affine Räume sind

• affine Geometrien (die von Vektorräumen herkommen? so lese ich das erste Beispiel in affine Geometrie)
• "Vektorräume ohne Ursprung", wie im Artikel definiert
• spezielle algebraische Varietäten

Findet das allgemeine Zustimmung? Ist im Sinne der affinen Geometrie der erste Satz des Artikels korrekt?--Gunther 12:13, 3. Mär 2005 (CET)

Ich denke, dass ist im wesentlichen korrekt, aber da ist wohl Schnitte der Experte. Was mich wundert, ist allerdings die Geschichte mit dem R ⁿ. Es ist ja wohl so, dass jeder euklidische Raum zu einem solchen isomorph ist,--CWitte 12:47, 3. Mär 2005 (CET)

Nein ist er nicht. Wie kann der R ⁿ isomorph zu einer Ebene mit nur neun Punkte sein?--Schnitte 12:16, 4. Mär 2005 (CET)

Das sind zwei verschiedene Begriffe. Wie oben gesagt, teilweise reden wir von unterschiedlichen Dingen.--Gunther 13:15, 4. Mär 2005 (CET)

allerdings ist dieser Isomorphismus nicht kanonisch. Daher kann man die zwei Dinge doch wohl nicht synonym benutzten, genau wie endlich dimensionale (reelle) Vektorräume nicht einfach der R ⁿ sind. Ich halte das für mehr als eine Spitzfindigkeit, denn es ist wesentlich zu begreifen, dass bestimmte Strukturen (Ursprung, Basis etc...) nicht kanonisch sein müssen. Insbesondere sind die in der Physik vorkommenden Anwendungen meist nicht kanonisch mit R ⁿ zu identifizieren. --CWitte 12:47, 3. Mär 2005 (CET)

Ich kenne im wesentlichen die Verwendung als "der euklidische Raum" mit der o.g. Bedeutung (mit Vektorraumstruktur, kanonischer Basis, Skalarprodukt). Was ist dann "ein" euklidischer Raum? Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem positiv definiten Skalarprodukt? Eine dazu isometrische riemannsche Mannigfaltigkeit, also ein affiner Raum mit einem positiv definiten Skalarprodukt auf dem zugehörigen Vektorraum?--Gunther 13:06, 3. Mär 2005 (CET)

Ich denke, das hat Schnitte oben bereits geklärt. Ein euklidischer Raum ist ein absoluter Raum mit Parallelenaxiom, das heißt doch wohl genau das was du im letzten Satz beschreibst, oder?--CWitte 16:09, 3. Mär 2005 (CET)

Wenn ich das richtig verstehe, hat ein absoluter Raum mit Parallelenaxiom aber noch keinen Längenbegriff, selbst wenn er über R lebt (sondern nur Orthogonalität).--Gunther 16:30, 3. Mär 2005 (CET)

So ist es. Um einen Längenbegriff zu haben braucht man sowas wie eine Zwischenrelation. Dann kann es schon mal keine Vektorraum mehr über einen endlichen Körper sein, aber der Qⁿ ist immer noch möglich. Um das zu vermeiden braucht man auch noch, daß die Punkte dicht liegen. --Schnitte 12:16, 4. Mär 2005 (CET)

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So, ich habe mal den Artikel ein klein wenig entsprechend den Erkenntnissen dieser Diskussion umgebaut. Leider musste ich dafür auch etwas über den Begriff im Sinne der affinen Geometrie schreiben, von dem ich nun wirklich keine Ahnung habe. (Ich bin noch nicht einmal wirklich sicher, ob "synthetische Geometrie" das richtige Gebiet ist.) Bitte nicht schlagen, wenn da jetzt irgendwie Blödsinn steht :-)

Wenn dieser Aufbau grundsätzlich auf Zustimmung stößt, dann fange ich auch mit dem analogen Artikel Projektiver Raum an, zu dem es ja ein bisschen mehr zu schreiben gibt.--Gunther 16:25, 19. Mär 2005 (CET)

Beispiel

Wichtige Beispiele für affine Räume sind affine Unterräume von Vektorräumen. Im Prinzip sind die zwar erfasst, weil man jeden Vektorraum als affinen Raum auffassen kann, aber man sollte das expliziter machen. Die Lösungsmenge eines LGS ist dann nur ein Spezialfall dieses Beispiels. -- Digamma 18:25, 19. Jul. 2010 (CEST)

Nachdem ich nach längerer Zeit wieder mal auf diesen Artikel gestoßen bin, habe ich das Beispiel mal eingefügt. Könnte aber noch ausgebaut werden. --Digamma (Diskussion) 21:31, 5. Jan. 2018 (CET)

Definition ist nur ein Beispiel

In der Definition heißt es: "Das Tripel [...] heißt affiner Raum. " Dem Wortlaut nach ist hier also nur ein Beispiel für einen affinen Raum gegeben. Die Definition hier lässt damit offen, in wie weit man an den Eigenschaften noch drehen kann, ohne dass die Bezeichnung "affiner Raum" verloren geht. Es wäre eine echte Definition mit "heißt dann und nur dann affiner Raum" sehr wünschenswert. --BookRings (Diskussion) 15:34, 23. Nov. 2015 (CET)

Bei Definitionen versteht es sich eigentlich von selbst, dass ein "wenn" als "genau dann wenn" zu lesen ist. In diesem Fall bedeutet dies: Ein Tripel (...) ist genau dann ein affiner Raum, wenn es die darüber angegebenen Eigenschaften besitzt. Oder noch anders formuliert: Ein affiner Raum ist ein Tripel mit den genannten Eigenschaften. --Digamma (Diskussion) 19:17, 23. Nov. 2015 (CET)

Anschauliches Beispiel für den Anfang

Meine Idee war den Satz "Als grobe Vorstellung kann man sich einen Vektorraum vorstellen, bei dem es keinen Ursprungspunkt gibt." einzufügen. Aber der scheint 'nicht so an diese Stelle zu passen'. Deswegen wäre es ganz schön, wenn einer der erfahreneren versucht etwas in der Form nochmal einzufügen. Für jemanden, der sich mit dem Thema noch nicht auskennt, ist das in der jetzigen Form eher schwierig zu verstehen. --BookRings (Diskussion) 20:18, 6. Dez. 2015 (CET)

Das ist sicher richtig. --Digamma (Diskussion) 21:41, 10. Jan. 2018 (CET)

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Was jeder Abiturient kennt ist folgendes:

Beispiel Die Geraden und Ebenen unseres Anschauungsrums sind affine Räume. Genauer:

Der Anschauungsraum $\mathbb {R} ^{3}=\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}|x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R} \}$ ist ein affiner Raum.

Affine Unterräume dieses affinen Raumes sind die Geraden, zum Beispiel die Gerade

$g=\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}3\\-4\\5\end{pmatrix}}|s\in \mathbb {R} \}$,

und die Ebenen, zum Beispiel die Ebene

$g=\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}3\\-4\\5\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-3\\7\\-4\end{pmatrix}}|s,t\in \mathbb {R} \}$.

--Joachim Mohr (Diskussion) 16:22, 11. Jan. 2018 (CET)

So gehört das aber nicht in die Einleitung. Und das besondere am Begriff "affiner Raum" ist ja, dass man auf ein fest vorgegebenes Koordinatensystem verzichtet. Das, was du hier schreibst, gehört in einen Abschnitt "affiner Unterraum". --Digamma (Diskussion) 11:39, 11. Jan. 2018 (CET)