Diskussion:Affiner Raum/Archiv

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[[Diskussion:Affiner Raum/Archiv#Thema 1]]

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algebraische Definition

Die Definition ist irreführend. Es wird wvone einer Abbildung $A\times V\to A$ gesprochen, dann wird aber eine Abbildung $A\times A\to V$ benutzt. Das ist zwar nicht falsch, da die eine Abb. die andere induziert, aber sehr verwirrend. --CWitte 13:12, 13. Nov 2004 (CET)

Ich habe das geändert. Es schien mir doch einfach nur ein Fehler zu sein, da ja später die Abbildung $A\times V\to A$ definiert wird.--CWitte 13:16, 13. Nov 2004 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 16:49, 24. Aug. 2012 (CEST)

Link auf Diskussionsseite

Ich fand den Link auf die Diskussionsseite im Text unpassend. Jeder, der etwas beitragen kann, wird sicher zuerst die Diskussionsseite besuchen (und wenn er es nicht tut, würde ihn der Link wohl auch nicht dazu bringen). Wenn der Artikel aber beispielsweise augedruckt werden soll, ist die Bitte um Ergänzung unschön. Außerdem soll jeder immer, wenn er etwas weiß, einen Artikel verbessern/erweitern... Nicht umsonst lautet das Motto "Sei mutig!" --Elasto 16:11, 15. Nov 2004 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 16:50, 24. Aug. 2012 (CEST)

Notation des Ortsvektors

Die Schreibweise ${\vec {v(P)}}$ sieht seltsam aus. Sollte man nicht besser ${\vec {v}}(P)$ oder ${\overrightarrow {v(P)}}$ schreiben? Oder ${\vec {v}}_{P}$? Oder es ganz weglassen? Die Schreibweise wird weder zuvor eingeführt noch danach angewandt. Benutzt wird in der Regel die andere genannte Schreibweise ${\overrightarrow {OP}}$, oder - wenn man die Abhängigkeit vom Ursprung weniger explizit machen möchte - ${\vec {P}}$ oder ${\vec {p}}$. -- Digamma 18:31, 19. Jul. 2010 (CEST)

Erstmal ein typo, gemeint war natürlich ${\vec {v}}(P)$ mit Mengenklammer 3 Plätzchen früher, aber das lohnt eh keine eigene "Abbildung"!--KleinKlio 22:24, 7. Aug. 2010 (CEST)

Danke. -- Digamma 22:30, 7. Aug. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 16:50, 24. Aug. 2012 (CEST)

Definition mittels Linearer Algebra

Hallo zusammen,

ich habe mir die Definition gerade durchgelesen und mit der mir bekannten verglichen diese Definitionen scheinen verschieden zu sein. Hier ist die mir bekannte (aus dem Skript von Herrn Prof. Dr. Leuzinger, KIT):

Es seien $V$ ein Vektorraum über einem Körper $\mathbb {K}$, $A$ eine (nicht-leere) Menge und $\tau :(V,+)\times A\rightarrow A$ eine Operation der (additiven) Gruppe $(V,+)$ auf $A$.

Dann heißt das Tripel $(A,V,\tau )$ ein affiner Raum, mit Translationsraum $V$, falls die Operation $\tau$ einfach transitiv ist.

Das sind doch verschiedene Definitionen, oder? Kennt jemand eine Quelle, in der es auch so definiert wird wie bei Prof. Leuzinger?

Grüße, --Martin Thoma 16:45, 28. Aug. 2012 (CEST)

Die Definitionen sind gleichwertig. Es Geschmacksache, von welcher man ausgeht. Mir ist die hier angegeben Definition sympatischer, da sie meines Erachtens anschaulicher ist. Gruß --Joachim Mohr (Diskussion) 18:06, 28. Aug. 2012 (CEST)

In beiden Fällen sind es Tripel, in denen V und A gleich sind.

Aber die Abbildung ist bei Herrn Prof. Leuzinger $\tau :(V,+)\times A\rightarrow A$ und muss eine einfach transitiver Operation sein.

In der Wiki-Definition hat man eine Abbildung $\rightarrow :A\times A\rightarrow V$, die die nur folgende beiden Bedingungen erfüllen muss:

• für je drei Punkte $P,Q,R\in A$ gilt: ${\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}$ (Dreiecksregel, Beziehung von Chasles),
• für jeden Punkt $P\in A$ und jeden Vektor ${\vec {v}}\in V$ gibt es einen eindeutig bestimmten Punkt $Q\in A$, so dass ${\vec {v}}={\overrightarrow {PQ}}$ (Abtragbarkeitsregel ).

Wie kann man sehen oder besser beweisen, dass diese Definitionen äquivalent sind?

Man müsste doch zeigen, dass man, wenn man nach der einen Definition einen affinen Raum hat, auch die andere Abbildung erzeugen kann, oder?

Ich werde mir heute auf jeden Fall das Buch von Brandl ausleihen, vielleicht klärt sich dann einiges.

Grüße, --Martin Thoma 11:26, 29. Aug. 2012 (CEST)

Hat man $\tau$ gegeben, so gibt es, da $\tau$ einfach transitiv ist, zu jedem Paar $(P,Q)$ von Elementen aus $A$ genau ein Element $v$ von $V$ mit $\tau (v,P)=Q$. Dieser Vektor $v$ ist gerade ${\overrightarrow {PQ}}$.

Ist umgekehrt die Abbildung ${\overrightarrow {\ }}$ gegeben, so gibt es nach der Abtragbarkeitsregel zu jedem $P\in A$ und jedem $v\in V$ genau einen Punkt $Q\in A$ mit $v={\overrightarrow {PQ}}$. Dieser Punkt $Q$ ist gerade $\tau (v,P)$. --Digamma (Diskussion) 12:26, 29. Aug. 2012 (CEST)

Siehe auch Marcel Berger, Geometry I, Seite 33 und 34. Dort werden affine Räume wie bei Leuzinger definiert, dann wird erklärt, wie man ${\overrightarrow {\ }}$ erhält und seine Eigenschaften, und gezeigt, dass die alternative Definition (die aus diesem Artikel) zur andern äquivalent ist. --Digamma (Diskussion) 12:46, 29. Aug. 2012 (CEST)

Dankeschön Digamma :-) Es ist immer wieder schön, von dir Antworten zu bekommen. Damit ist das Thema für mich erledigt. --Martin Thoma 15:23, 29. Aug. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 15:23, 29. Aug. 2012 (CEST)