Diskussion:Arkussinus und Arkuskosinus

Ableitung

Zitat PeterBonn: "Das ' heißt doch Ableitung, könnte in einem mathematischen Artikel zu Missverständnissen führen"

Der Fall, dass das Apostroph hier mit einer Ableitung verwechselt werden könnte, wird wohl kaum eintreten. Allerdings darf gemäß der amtlichen Regelung zur deutschen Rechtschreibung, §96 (1), hier kein Apostroph gesetzt werden; das war mir nicht bewusst, als ich die falsche Zeichensetzung von den Original-Autoren bei der Überarbeitung übernommen habe. --Horrorist 13:30, 1. Nov 2005 (CET)

senkrechter Graph

Bitte den Funktionsgraphen berichtigen! Senkrechte Tangenten für x=-1 und x=1

Ich habe jetzt sowohl für den arcsin als auch für den Arcus-Cosinus eine (hoffentlich) bessere Version hochgeladen. --Henning.H 11:21, 25. Sep 2004 (CEST)

Graph (2)

ich habe nun zwar keine ahnung , finde es aber zutiefst verwirrend , die werte-zuordnung und richtungen im koordinatensysten gegenüber der herkömmlichen sinus-kosinus-graphen-darstellung (x-achse : pi-wert , y-achse : zahlwert) zu vertauschen . bedeutet es jetzt , die werte der arcsinus-funktion laufen deckungsgleich mit der sinusfunktion ?--Konfressor (Diskussion) 16:34, 12. Jan. 2017 (CET)

hm , etwas nachgedacht , der graph muß wohl richtig sein , und ist deckungsgleich mit der sinuskurve , die umkehrung der sinusfunktion besteht also nicht in hypothenuse/gegenkathete sondern in der ausgabe des bogellängenwertes in einheit pi . entschuldigung meine vorherige kritik , allerdings blieb mir das wesen des arcsinus in diesem artikel verschlossen . kann man keine geometrische darstellung dazu machen , wie bei den anderen trigonometrischen funktionen ? --Konfressor (Diskussion) 02:37, 13. Jan. 2017 (CET)

Ich weis nicht, was du mit "geometrische Darstellung" anderes meinst, als den Funktionsgraph? Auf der x-Achsen der "Eingangswert" für die Funktion (arcsin oder arccos; [-1;+1] ), auf der y-Achse der Ergebniswert (ein Winkel im Bogenmaß). Ergibt genau das erste Bild im Artikel. --arilou (Diskussion) 14:49, 13. Jun. 2017 (CEST)

naja , ich dachte eher an ein dreieck im einheitskreis mit benennung der beteiligten strecken . so ähnlich wie hier :[[1]], geht aber vielleicht zu weit bei einer schlichten umkehrfunktion . passt schon .--Konfressor (Diskussion) 22:33, 13. Jun. 2017 (CEST)

Taylor-Reihe

Wie errechnen sich die Glieder für die Taylor-Reihe? --RokerHRO 12:30, 18. Apr 2005 (CEST)

Die Taylorreihenglieder für den Arcsin stimmen nicht!!!! Sie lauten: x+x^3/6+3x^5/40+.... Die Minuszeichen sind falsch!

Was soll das -1/2 im Binomialkoeffizienten bedeuten??? Die Reihenentwicklung für arcsin kann auch sonst schon vom Augenmass her nicht stimmen. Warum übernimmst du nicht einfach die vom Artikel Taylorreihe? --Damenspringer 17:10, 21. Nov. 2007 (CET)

Das dachte ich auch zunächst und hab die vermeintlich falsche Summenformel durch die aus dem Artikel Taylorreihe ersetzt. Beim Nachrechnen ist mir dann klargeworden, dass sie inhaltlich identisch und korrekt sind. Die Bedeutung von -1/2 im Binomialkoeffizienten erklärt die Seite Binomischer Lehrsatz, die auch im Artikel schon verlinkt ist. Daraus ergibt sich auch das zunächst unlogisch erscheinende (-1)^k. --62.180.24.73 11:32, 25. Jan. 2008 (CET)

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Frage: Ist arcsin = sin^(-1)?

1. arcsin = sin^(-1) 2. die reihenentwicklung stimmt ab dem 4. glied nicht!

1. Das kommt darauf an, was Du mit sin^(-1) meinst. Wenn Du die Umkehrfunktion meinst: im Prinzip ja (Details siehe Artikel). Wenn Du die Funktion $x\mapsto {\frac {1}{\sin x}}$ meinst: nein.

2. Doch. Wieso sollten sie nicht stimmen?--Gunther 20:17, 5. Dez 2005 (CET)

Zusammenführung: "Arkussinus" und "Arkuskosinus"

Versionsliste von Arkuskosinus

• (Aktuell) (Vorherige) 14:51, 17. Jan 2006 Bsmuc64 K (inuse +)
• (Aktuell) (Vorherige) 16:12, 7. Jan 2006 Bsmuc64 K (?Besondere Werte)
• (Aktuell) (Vorherige) 16:10, 7. Jan 2006 Bsmuc64 (inuse -)
• (Aktuell) (Vorherige) 15:46, 7. Jan 2006 Bsmuc64 (inuse +)
• (Aktuell) (Vorherige) 03:40, 4. Jan 2006 Bsmuc64 K (Überarbeiten +)
• (Aktuell) (Vorherige) 21:50, 2. Jan 2006 Bsmuc64 K (?Literatur)
• (Aktuell) (Vorherige) 13:44, 2. Jan 2006 Bsmuc64
• (Aktuell) (Vorherige) 02:29, 2. Jan 2006 Bsmuc64
• (Aktuell) (Vorherige) 02:17, 2. Jan 2006 Bsmuc64 K (- Arkus Cosinus wurde nach Arkuskosinus verschoben)
• (Aktuell) (Vorherige) 03:52, 1. Jan 2006 Bsmuc64 K (- Arkuskosinus wurde nach Arkus Cosinus verschoben)
• (Aktuell) (Vorherige) 13:30, 1. Nov 2005 Horrorist K (?Weiterführendes - vgl. Diskussion Arkussinus)
• (Aktuell) (Vorherige) 17:30, 11. Okt 2005 192.35.241.134 (?Definition)
• (Aktuell) (Vorherige) 14:13, 3. Okt 2005 Horrorist K (Kosmetik, Log. korrigiert)
• (Aktuell) (Vorherige) 22:42, 4. Aug 2005 Creando K
• (Aktuell) (Vorherige) 21:22, 11. Jul 2005 Gunther K (Arcus-Cosinus wurde nach Arkuskosinus verschoben)
• (Aktuell) (Vorherige) 15:33, 3. Jul 2005 Mawiles (?Besondere Werte)
• (Aktuell) (Vorherige) 13:24, 19. Jun 2005 193.174.122.68 (?Besondere Werte)
• (Aktuell) (Vorherige) 19:31, 3. Apr 2005 217.81.59.25 (?Beziehungen)
• (Aktuell) (Vorherige) 12:17, 3. Apr 2005 217.81.59.25 (?Beziehungen)
• (Aktuell) (Vorherige) 19:03, 25. Jan 2005 Fredstober (+Kat)
• (Aktuell) (Vorherige) 15:32, 24. Jan 2005 Fredstober K
• (Aktuell) (Vorherige) 09:50, 25. Sep 2004 HenHei K (?Beziehungen - +Konstante)
• (Aktuell) (Vorherige) 09:49, 25. Sep 2004 HenHei K (?Literatur - Korr.)
• (Aktuell) (Vorherige) 09:43, 25. Sep 2004 HenHei (+ Ableitung, Stammfunktion und Taylorreihe)
• (Aktuell) (Vorherige) 07:28, 25. Sep 2004 80.81.9.198 (Rechtschreibung)
• (Aktuell) (Vorherige) 19:02, 24. Sep 2004 HenHei (Formatierung, Links, erster Satz)
• (Aktuell) (Vorherige) 18:49, 24. Sep 2004 Wfstb
• (Aktuell) (Vorherige) 19:10, 11. Sep 2004 Matthy
• (Aktuell) (Vorherige) 19:09, 11. Sep 2004 Matthy K
• (Aktuell) (Vorherige) 22:07, 26. Aug 2004 DaTroll (wikifiziert)
• (Aktuell) (Vorherige) 19:24, 26. Aug 2004 Srbauer ([[Kategorie:Mathematik])
• (Aktuell) (Vorherige) 19:15, 1. Jun 2004 Michael.chlistalla K (interwiki (Monotonie))
• (Aktuell) (Vorherige) 19:15, 1. Jun 2004 Michael.chlistalla K (interwiki)
• (Aktuell) (Vorherige) 15:37, 29. Mai 2004 Hreisterp K
• (Aktuell) (Vorherige) 15:20, 29. Mai 2004 Hreisterp (?Besondere Werte)
• (Aktuell) (Vorherige) 15:15, 29. Mai 2004 Hreisterp (?Besondere Werte)
• (Aktuell) (Vorherige) 15:14, 29. Mai 2004 Hreisterp K (?Graf)
• (Aktuell) (Vorherige) 15:04, 29. Mai 2004 Hreisterp K (?Beziehungen)
• (Aktuell) (Vorherige) 15:01, 29. Mai 2004 Hreisterp (Vervollständigt)
• (Aktuell) (Vorherige) 01:36, 28. Mai 2004 Schnargel (Entwicklung?)
• (Aktuell) (Vorherige) 15:06, 27. Mai 2004 Matthy

Definition

Die "Definition" in dem Artikel ist schon etwas seltsam formuliert.

Umkehrfunktion zu Sinus. Weil die Sinusfunktion 2π-periodisch ist, muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da diese Einschränkung willkürlich ist, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Der wichtigste ist der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung $\sin |_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$, man bezeichnet diese bijektive Funktion mit :$\arcsin \colon [-1,1]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].$

Zunächst gibt es die Umkehrfunktion der Sinusfunktion nicht. Eine eindeutige und stetige Umkehrung ist nur möglich, falls die Sinusfunktion eingeschränkt wird auf ein Interval in dem sie streng monoton steigt oder fällt. Theoretisch kommen dafür unendlich viele Intervale in Frage. Die Einschränkung auf das Interval $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ ist aber aus vielerlei Gründen als die sinnvollste Wahl zu betrachten. Eine Wahl ohne die Winkel im rechtwinkligen Dreieck zwischen 0 bis 90 Grad wäre jedenfalls sehr verwirrend. --84.169.238.160 16:36, 1. Aug 2006 (CEST)

Es ist eine Umkehrfunktion in dem Sinne, dass sin arcsin x = x gilt, wann immer die linke Seite definiert ist. Der Text ist nicht optimal, aber er ist im Gegensatz zu der von Dir eingestellten Version auch nicht falsch.--Gunther 16:44, 1. Aug 2006 (CEST)

Ich weiss jetzt nicht von welcher falschen Version hier die Rede ist. Mich stört vor allem die Behauptung, dass die Einschränkung auf $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ willkürlich sei. Irgend eine Wahl muss schließlich getroffen werden. Jede andere Wahl ohne die Winkel zwischen 0 und 90 Grad wäre aber reichlich seltsam. Es gibt daher praktisch keine andere sinnvolle Definition der Umkehrfunktion der Sinusfunktion. --84.169.238.160 17:11, 1. Aug 2006 (CEST)

Zitat: Weil die Sinusfunktion $2\pi$-periodisch und ungerade ist, werden alle Werte des Wertebereichs in einem symmetrischen Interval um ein Vielfaches von $\pi$ genau einmal angenommen. Daher muss ihr Definitionsbereich, der Wertebereich der Umkehrfunktion, auf ein solches Interval eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Die logischen Implikationen in den beiden Sätzen sind falsch. Für eine ungerade Funktion muss es kein symmetrisches Intervall geben, auf dem die Funktion bijektiv ist, und selbst wenn man noch annimmt, dass die Funktion "hübsch" ist, muss es keines geben, auf dem die Funktion ihren vollen Wertebereich hat und bijektiv ist (Beispiel: $\sin x-\sin 3x$). Es gibt auch keinen Zwang, für die Umkehrung einen symmetrischen Definitionsbereich zu wählen, vgl. Arkuskotangens.

Zur Frage der Beliebigkeit: Mathematisch macht es überhaupt keinen Unterschied, ob man $\arcsin$ oder $\arcsin +2\pi$ nimmt. Winkel(weiten) sind ohnehin eigentlich keine reellen Zahlen, sondern Elemente von $\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$.--Gunther 17:23, 1. Aug 2006 (CEST)

Ich wollte nicht zum Ausdruck bringen, dass eine ungerade Funktion notwendigerweise bijektiv ist. Es gilt jedoch die Umkehrung, dass eine gerade Funktion über ein symmetrisches Interval (symmetrisch zur Null) nicht eindeutig umkehrbar sein kann. Eine streng monoton wachsende Funktion wie die Sinusfunktion im Interval $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ ist jedoch immer eindeutig umkehrbar. Jedenfalls gibt es aus meiner Sicht keine wirklich sinnvolle Alternative zur Wahl des einschränkenden Intervals. In jedem größeren Interval ist die Sinusfunktion nicht eindeutig umkehrbar. Die Forderung, dass die Winkel von 0 bis 90 Grad enthalten sein sollen, macht die Sache eindeutig. Die Wahl der Einschränkungen bei Tangenz und Cotangenz sind übrigens auch nicht willkürlich. Es wird jeweils das maximale Interval gewählt in dem die jeweilige Funktion eindeutig umkehrbar ist und die "gewöhlichen" Winkel zwischen 0 und 90 Grad enthalten sind.

Wenn Du die erwähnten falschen Implikationen rauslässt, dann kannst Du es ja auch gerne ändern.--Gunther 18:09, 1. Aug 2006 (CEST)

Doppelfakultäten

Nun wurden schon zum zweiten mal die Doppelfakultäten in der Reihenentwicklung durch einfache Fakultäten ersetzt, diesmal in der gesichteten Version! Dabei ist das offensichtlich falsch, denn die Fakultäten kürzen sich ja bis auf einen Faktor komplett weg! Sinn machen nur die Doppelfakultäten (z.B. 7!! = 7 * 5 * 3 * 1) --Geek1337 14:45, 8. Jun. 2008 (CEST)

Die nun aktuellste Version, in der die Klammern entfernt wurden ist ja noch viel wüster! --Geek1337 17:45, 8. Jun. 2008 (CEST)

ok, nun stimmt es wieder. --Geek1337 01:33, 9. Jun. 2008 (CEST)

Tippfehler

zu Komplexe Argumente. Die Funktion arcosh gibt es nicht ;-) -- 91.57.167.181 20:46, 10. Aug. 2011 (CEST)

Hi! Doch, so eine Funktion gibt es, siehe z. B. hier oder auch dort (EDIT: Ich habe nun im Artikel einen Hinweis darauf hinzugefügt)! Liebe Grüße, Franz 21:07, 10. Aug. 2011 (CEST)

Beziehung zum Arkustangens

Die erste Beziehungen kann nicht stimmen, da bei negativer Eingabe (z.B. -1/2) eine positive Ausgabe erfolgt. Diese Beziehung widerspricht somit allen anderen der Seite! (Alle x-Werte werden durch quadrieren oder die Signumfunktion positiv demnach können keine negativen Werte abgebildet werden) (nicht signierter Beitrag von 91.4.81.81 (Diskussion) 03:19, 10. Dez. 2011 (CET))

Im Artikel ist an dieser Stelle alles in Ordnung. So ist z. B. sgn(-1/2)=-1 nicht positiv, daher ergibt sich auch für arcsin(-1/2) ein negativer Wert. Franz 09:02, 10. Dez. 2011 (CET)

verständnis

also ich sehe im artikel jede menge einschränkende definitionen , wertebereichsbeschränkungen , die sicher voll nötig sind . aaaber , ich weiß als not-me doch überhaupt nicht worum es geht . was wird umgekehrt gerechnet ? geometrische trigonometrie kann ich mir da nicht vorstellen , wird hier die hypothenuse durch die gegenkathete geteilt ? letzten endes wird anstatt den umfangswert pi als größe des winkels (pi geteilt duch 180) mit dem verhältnis von gegenkathete zu hypothenuse in funktionsverbindung zu setzen , das verhältis von gegenkathete zu hypothenuse (sin) mit dem bogenmaß des umfangteiles verknüpft , das bedeutet das bogenmaß (teil von pi) des winkels muß berechnet werden . oder ? das steht da aber nicht . weshalb ich nur bahnhof verstehe . besonders als kind . naja .--Konfressor (Diskussion) 01:55, 19. Mai 2017 (CEST)

Für jemand, der gerade erst Trigonometrie in der Schule lernt, ist/war die Einleitung zu kompliziert.

Hab' zumindest selbige jetzt mal vereinfacht, z.T. mit Hinleitung auf die Problemstellung(en).

--arilou (Diskussion) 14:39, 13. Jun. 2017 (CEST)

ja , so ist es unmißverständlich bei den namen genannt , danke schön .--Konfressor (Diskussion) 22:33, 13. Jun. 2017 (CEST)

„Komplexe“ Argumente

Bei den Formeln im Abschnitt „Komplexe Argumente“ kann irgendwas nicht stimmen: Wenn man $b=0$ setzt ($a$ das Intervall $\left[-1,1\right]$ aber durchaus verlassen darf), vereinfacht sich die Arkussinus-Formel zu

$\arcsin a={\frac {\operatorname {sgn} a}{2}}\cdot \arccos \!\left({\sqrt {\left(a^{2}-1\right)^{2}}}-a^{2}\right)={\frac {\operatorname {sgn} a}{2}}\cdot \arccos \!\left(\left|a^{2}-1\right|-a^{2}\right)={\frac {\operatorname {sgn} a}{2}}\cdot \arccos \!\left(\max \!\left\{-1,\ 1-2a^{2}\right\}\right)$

(da dann ja nach der gegebenen Definition $\operatorname {sgn} b=\operatorname {sgn} 0=0$). Insbesondere kommt etwa für alle $a>1$ derselbe Wert ${\frac {1}{2}}\cdot \arccos \!\left(-1\right)={\frac {\pi }{2}}$ raus, was mir irgendwie nicht korrekt vorkommt. --77.0.181.6 22:48, 6. Feb. 2020 (CET)

Du hast Recht: Statt sgn sollte sgn⁺ stehen, klick.

--91.119.85.172 01:26, 8. Feb. 2020 (CET)

Da fehlt doch noch was....

Es fehlen im Artikel die komplexen Ergebnisse, mit Argumenten größer 1, zum Beispiel arcsin (5). Wenn es das schon woanders gibt, dann wo?

194.166.22.175 12:57, 5. Jan. 2021 (CET)

Siehe die umseitigen Abschnitte Arkussinus und Arkuskosinus#Komplexe Argumente und Arkussinus und Arkuskosinus#Komplexe Funktion.
91.118.242.246 19:36, 5. Jan. 2021 (CET)

Nullstellen

Jede der beiden Funktionen hat eine Nullstelle. Dass die Tabelle jedoch nur den Wert nennt, der auf Null abgebildet wird, ist offensichtlich für so viele Leser missverständlich, dass es ständig hin und her geändert wird. Ich habe daher nun mal mehr Text in die Tabelle geschrieben, um diesem hin und her ein Ende zu setzen. ("Eine Nullstelle bei $x=0$" statt "$0$")