Diskussion:Bedingter Erwartungswert

Nicht sehr verständlich

Ich finde die Darstellung in der Einführung sehr unverständlich!

Wenn ich Zeit habe, versuche ich, das ganze verständlicher zu machen. Das Problem liegt darin, das das ein relativ abstraktes mathematisches Konzept ist. Vielleicht wird es einfacher, wenn man von Spezialfällen ausgeht wie in der englischen Version. RSchlicht 21:32, 2. Jun 2006 (CEST)

Um die Einleitung verständlicher zu machen, habe ich jetzt am Anfang ein konkretes Beispiel mit Normalverteilungen einfügt, um zu zeigen, worum es sich bei dem bedingten Erwartungswert intuitiv handelt, und wo dabei technische Schwierigkeiten ins Spiel kommen. --RSchlicht 21:59, 6. Jun 2006 (CEST)

Das konkrete Beispiel mit Normalverteilungen ist offenbar im Lauf der Überarbeitungen unter die Räder gekommen.--Sigma^2 (Diskussion) 22:12, 7. Mär. 2023 (CET)

Detailfrage zum Anfangsbeispiel

Ich finde den Artikel insgesamt ganz gut und vor allem das beispiel sehr hilfreich. bin hier allerdings an einer stelle verwirrt: wenn im falle $X=0$ die zufallsvariable $Y=0$ ist, dann ist doch $E(2X+Y-3|X)=-3$, und damit noch kein widerspruch zu $2X-3$, oder? meintest du vielleicht, dass $Y=3$ sein soll, wenn $X=0$ ist? oder denke ich verkehrt? --Vivelavie 21:10, 2. Jan. 2009 (CET)

Du hast recht. Ich habe es mir erst jetzt nach drei Jahren wieder angesehen. Ich habe es verbessert und noch einige andere Stellen überarbeitet. Grüße, RSchlicht 19:48, 29. Nov. 2009 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Sigma^2 (Diskussion) 22:13, 7. Mär. 2023 (CET)

Neues Beispiel

Ich habe ein neues Beispiel gegeben, damit die Sache besser erklärt wird. Das ältere Beispiel wirkt allenfalls eher verwirrend als verdeutlichend. Ich schlage vor wir entfernen es. Nijdam 22:16, 30. Dez. 2009 (CET)

Ich habe die Änderungen im Bereich des alten Beispiels wieder rückgängig gemacht. Bedingte Erwartungswerte sind nun einmal eine ziemlich abstrakte Angelegenheit. Die Gleichung E(Z|X=5)=7 ist genau so richtig oder falsch wie E(Z|X=5)=6, und bekommt erst dann einen Sinn, wenn man sich auf eine bestimmte Version der bedingten Erwartung einigt. Unabhängigkeit/Stetigkeit legt E(Z|X=x)=2x-3 nahe, aber das ist in keiner Weise zwingend. Was meines Erachtens sinnvoll wäre, wäre es, am Anfang den Fall explizit zu behandeln, in dem alle Ereignisse, auf die man bedingt, Wahrscheinlichkeit >0 haben. In diesem Fall ist alles einfach. Ich habe den Artikel mal so umgestellt, aber da ist noch ein ganze Menge zu tun.--RSchlicht 10:44, 31. Dez. 2009 (CET)

Alles klar, aber "Fragen", wie

1. Der Ausdruck E(Z|X) auf der linken Seite ergibt nur Sinn, wenn man X als eine Zufallsvariable auffasst. Man kann z. B. nicht für X den Wert 5 einsetzen und schreiben E(Z|5) = 7. (Möglich wäre allenfalls eine alternative Notation E(Z|X = 5) = 7; dazu mehr unter Faktorisierung.)
2. Wenn man X als eine Zufallsvariable auffasst, dann ist notwendigerweise der Ausdruck 2X − 3 auf der rechten Seite, der eine Funktion von X ist, ebenfalls eine Zufallsvariable. Der bedingte Erwartungswert ist somit eine Zufallsvariable.

bringen mehr Verwirrung als Klarheit. Z.B. ist X selbstverständlich eine Zufallsvariable, sie ist zuvor so definiert worden. Das manche Leute einfach einen Zahl dafür eintragen ist nicht Sache dieses Artikels. So ist auch 2X-3 selbstverständlich eine Zufallsvariable, das soll nicht im Frage gestellt werden. Solches hat nichts damit zu tun dass Bedingte Erwartungswerte nun einmal eine ziemlich abstrakte Angelegenheit sind. Nijdam 13:07, 31. Dez. 2009 (CET)

Die Formulierung ist möglicherweise nicht optimal. Meine Erfahrung ist, dass vielen Leuten der Unterschied zwischen "Zufallsvariable" und "Wert einer Zufallsvariable" überhaupt nicht klar ist, daher Punkt 1. Bei 2. geht es darum, zu erläutern, dass der bedingte Erwartungswert E(Z|X) selbst eine Zufallsvariable ist, was, glaube ich, auch nicht selbstverständlich ist. Aus E(Z|X) = 2X-3 geht das aber unzweifelhaft hervor, sobald man daran denkt, dass 2X-3 eine Zufallsvariable ist.

Ich denke, eine generelle Schwierigkeit besteht darin, dass es mehrere Ebenen gibt, auf denen in der Praxis bedingte Erwartungswerte vorkommen:

• in intuitiven Aussagen (wie z.B.: "Bei schlechtem Wetter ist mit weniger Besuchern zu rechnen."), also etwas, was jeder kann und ständig tut,
• in Formeln, die dazu dienen, intuitive Ansätze oder Modelle mathematisch zu erfassen (wie in den Beispielen),
• in einer abstrakten Form, die exakte mathematische Beweise erst möglich macht.

Idealerweise sollte der Artikel alle diese Ebenen in übersichtlicher und nachvollziehbarer Weise zusammenführen, ohne dabei auf Präzision in den Argumenten zu verzichten. Aber das ist eine ziemliche Herausforderung, weil die Diskrepanz zwischen den Ebenen einfach so groß ist.--RSchlicht 16:28, 31. Dez. 2009 (CET)

Weil ich unzufrieden bin mit dem Text, schlage ich folgende Änderung vor:

1. Weil X eine Zufallsvariable ist, ist auch 2X-3, und damit der bedingte Erwartungswert E(Z|X) eine Zufallsvariable. Weist X den Wert 5 auf, so wird E(Z|X)=2X-3 den Wert 2×5-3=7 aufweisen. Allerdings darf man dafur nicht E(Z|5)=7 schreiben, sondern E(Z|X=5)= 2×5-3=7 ( dazu mehr unter Faktorisierung.)Nijdam 16:45, 31. Dez. 2009 (CET)

Ich hab's geändert.--RSchlicht 17:18, 31. Dez. 2009 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Sigma^2 (Diskussion) 22:16, 7. Mär. 2023 (CET)

Hier stimmt etwas nicht

Guter Versuch, aber in:

• Die Varianten in (a) und (b) sind äquivalent. Der einzige Unterschied ist, dass (a) eine Funktion des Wertes $x$ von $X$ ist, während (b) eine Funktion der Zufallsvariable $X$ ist (und somit selbst eine Zufallsvariable). $P(A|X)$ ist gerade der Ausdruck, den man erhält, wenn man für $x$ den Wert von $X$ einsetzt, d. h. $P(A|X)=P(A|X=x)\,|_{x=X}$ bzw. $P(A|X)(\omega )=P(A|X=X(\omega ))$. Umgekehrt kann man, wenn $P(A|X)$ gegeben ist, immer eine Funktion $P(A|X=x)$ von $x$ finden, so dass diese Beziehung erfüllt ist.

stimmt etwas nicht. Es gilt:

$\!\,P(A|X)|_{X=x}=P(A|X=x)$

Nijdam 22:59, 1. Jan. 2010 (CET)

Mit der Notation $f(x)|_{x=X}$ ist die Auswertung der Funktion f an der Stelle X gemeint (wie etwa hier), nicht die Einschränkung der Funktion auf die Menge {X=x}. Auf der Menge {X=x} hat diese Funktion dann aber auch den Wert f(x).--RSchlicht 10:36, 2. Jan. 2010 (CET)

Es gibt keine Stelle X, sondern eine Stelle x. Gemeint ist vermutlich die Komposition von x->P(A|X=x) und X. Nijdam 13:51, 2. Jan. 2010 (CET)

Mit $f(x)|_{x=X}$ ist vermutlich die Komposition foX gemeint. Ich habe noch nie zuvor diese Notation gesehen. Nijdam 00:45, 26. Mai 2011 (CEST)

zufallsvariable

Du hast die Aenderungen im Artikel Bedingter Erwartungswert rueckgaengig gemacht. Leider machst du da einen Fehler. $P(A|X=x)$ bedeutet die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung {X = x} (der Wert x der Zufallsvariable X ist bekannt). Mit $P(A|X)$ ist die Zufallsvariable gemeint, definiert durch:

$P(A|X)(\omega )=P(A|X=X(\omega ))$

oder anders gesagt: $P(A|X)$ zeigt den wert $P(A|X=x)$ auf, wenn X den Wert x aufweist.. d.h. wenn {X=x} eingetreten ist. Also:

$P(A|X)\mid _{X=x}=P(A|X=x)$

(Hier macht man vielleicht den Fehler zu denken dass:

$P(A|X)\mid _{X=x}=P(A|x),$

aber, das ist nicht richtig, und was koennte das bedeuten?)

Das verstehst du doch?

Zum Ergaenzen: die Verwirrung entsteht wegen den Kurzschrift $P(A|X)$, was eigentlich eine Funktion von X ist. Nennt man

$g(x)=P(A|X=x)$

dann ist

$g\circ X=P(A|X)$

auch mal geschrieben wie

$g(X)=P(A|X)$

Man kann aber nicht sagen:

$g(X(\omega ))=P(A|X(\omega ))$

Eigentlich sollte man etwas schreiben wie:

$g(X)=P(A|X=X)$

Man kann aber nicht sagen:

$g(X(\omega ))=P(A|X(\omega ))$

Nijdam 01:15, 13. Apr. 2010 (CEST)

Sorry, ich habe zur Zeit viel zu tun. Die Schreibweise $P(A|X=x)|_{x=X}$ besagt genau das: Man betrachtet die Funktion $g(x)=P(A|X=x)$ und wertet diese dann an der Stelle $x=X$ aus, d.h. man berechnet $g(X)$ (bzw. $g\circ X$). Zu der Notation vgl. Ableitungen. (Die Restriktion $P(A|X)|_{\{X=x\}}$ ist dann konstant $=P(A|X=x)$, aber das ist etwas anderes.)--RSchlicht 19:21, 17. Apr. 2010 (CEST)

Du meinst es bestimmt gut, und die Notation laesst sich verteidigen, ist aber (so viel ich weiss) nicht ueblich, und koennte leicht Verwirrung bringen: $P(A|X=x)|_{x=X}=P(A|X=X)$. Besser waere dann:

$P(A|X)(\omega )=P(A|X=x)|_{x=X(\omega )}$

das ist genau was gemeint ist. Nijdam 23:12, 19. Apr. 2010 (CEST)

Verwendet werden solche Schreibweisen schon, vgl. Gihman/Skorohod, S.33. Wie die Kommentare belegen, sind sie aber wahrscheinlich nicht hinreichend bekannt. Ich habe den Artikel etwas umformuliert. Das ganze sollte meines Erachtens nicht zu sehr aufgebläht werden, weil Leute, die die formale Definition einer Zufallsvariable nicht kennen, mit der Schreibweise $P(A|X)$ oft weniger Probleme haben als Mathematiker.--RSchlicht 15:22, 24. Apr. 2010 (CEST)

Illustration

Hat jemand eine eine schöne Idee, wie man die Glättung auf den Elementen einer Subsigmaalgebra schön illustrieren kann? In

sind die Urbilder von einzelnen Outcomes ja farblich hervorgehoben, vielleicht könnte man das benutzen, zum Beispiel für "max(X,Y)" mit X, Y unabhängige Würfel. --Erzbischof 12:21, 8. Jan. 2010 (CET)

$P$ ist die Gleichverteilung auf $[0,1]$, ${\mathcal {B}}$ die von den Intervallen mit Endpunkten 0, ¼, ½, ¾, 1 erzeugte σ-Algebra und ${\mathcal {C}}$ die von den Intervallen mit Endpunkten 0, ½, 1 erzeugte σ-Algebra. Im Bild dargestellt ist $X$ (rot), $E(X|{\mathcal {B}})$ (grün) und $E(X|{\mathcal {C}})$ (blau).

Ich habe dieses Bild hier einmal irgendwo zur Veranschaulichung der "Turmeigenschaft" verwendet. Vielleicht ist so etwas nützlich.--RSchlicht 18:44, 8. Jan. 2010 (CET)

Prima! --Erzbischof 20:17, 8. Jan. 2010 (CET)

Beschriftete Version

Ich glaube, mit der Beschriftung ist das recht gut. Was an dem Bild verwirren könnte, ist nur, dass das, was man sieht, eigentlich das Gegenteil von Glättung ist (X ist glatter als E(X|B), Glättung erfolgt nur innerhalb der Teilabschnitte). Mit einer anderen Grafik, die ich noch ausprobiert habe, war es aber auch nicht klarer.--RSchlicht 14:12, 9. Jan. 2010 (CET)

Stimmt, man müsste vielleicht eine hochfrequentere Schwingung drüberlegen. Aber so gehts auch erstmal. --Erzbischof 14:29, 9. Jan. 2010 (CET)

Ich habe das Bild mal eingefügt. Alternativ könnte man es an den Anfang des Artikels setzen.--RSchlicht 18:00, 9. Jan. 2010 (CET)

Wenn ich mich nicht irre, ist die Beschriftung falsch, das ist doch keine Gleichverteilung? (nicht signierter Beitrag von 131.111.194.10 (Diskussion) 13:28, 15. Okt. 2016 (CEST))

Das passt schon einigermaßen. Die Gleichverteilung ist auf dem Intervall [0, 1] auf waagrechten Achse. Das kann man im Bild nicht „sehen“. Die rote Kurve ist der Graph der Zufallsvariable X. Grüße -- HilberTraum (d, m) 16:24, 15. Okt. 2016 (CEST)

Rechenregel

Ich glaube, in der zweiten Rechenregel, sollte X von der von B und Y gemeinsam erzeugten Sigma-Algebra (sprich von $\sigma ({\mathcal {B}}\cup \sigma (Y))$) unabhängig sein, und nicht jeweils. Ich habe heute ganz viel Zeit mit Beweisversuchen für diese Aussage aus dem Artikel bei je Unabhängigkeit von B und Y verschwendet. Falls diese schwächere Version gilt, dann sollte das korrigiert werden, oder Link zu einem Beweis angegeben werden. (nicht signierter Beitrag von 93.133.125.17 (Diskussion) 01:37, 20. Mai 2011 (CEST))

Kolmogorovs bedingte W'kten

Da steht oefters mal sowas wie, die von X erzeugte σ-Algebra sei {X ∈ E}. Dabei wird aber nirgends angegeben, was E fuer Mengen sein sollen. Ich nehme mal an, es handelt sich dabei um die Mengen der σ-Algebra aus dem Bildraum von X, idR. also Borel-Mengen. Es waere aber schoen, wenn das noch jemand irgendwo dazuschreiben wuerde. (nicht signierter Beitrag von 141.70.81.136 (Diskussion) 23:41, 25. Mai 2011 (CEST))

Gemeint ist wohl der letzte Satz in der Einleitung des Artikels mit der unklaren Terminologie "Menge aller Ereignisse der Form $\{X\in E\}$", der überarbeitsbedürftig ist. --Sigma^2 (Diskussion) 14:31, 21. Aug. 2021 (CEST)

Änderungen Okt. 2013

Ich habe die letzten Änderungen teils rückgängig gemacht, und zwar aus folgendem Grund: Thema des Artikels ist die mathematisch abstrakte Form von bedingten Erwartungswerten bzw. Wahrscheinlichkeiten, der Artikel ist in dem Sinn das Gegenstück zu dem über elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten. Die Unterteilung in elementar/abstrakt ist inhaltlich sinnvoller, als es die zwischen Erwartungswert/Wahrscheinlichkeit wäre (Wahrscheinlichkeiten sind mathematisch spezielle Erwartungswerte). Die Tatsache, dass im Titel nur von "Erwartungswerten" die Rede ist, ist dadurch begründet, dass das Thema in der Literatur traditionell unter der Bezeichnung "bedingte Erwartungswerte" (oder "bedingte Erwartungen") abgehandelt wird.

In der Einleitung sollten daher auch bedingte Wahrscheinlichkeiten erscheinen. Was auf jeden Fall in der Einleitung verbleiben sollte, ist der Hinweis auf den Artikel zu elementaren bedingten Wahrscheinlichkeiten, der die Aspekte darstellt (darstellen sollte), die ohne mathematisches Vorwissen nachvollziehbar sind. Das deckt sich auch mit einem umgekehrten Verweis in diesem Artikel.

Der Satz über die totale Wahrscheinlichkeit in 4.2 dient als Motivation für den anschließend dargestellten Ansatz von Kolmogorow und sollte an dieser Stelle nicht durch den (deutlich seltener anzutreffenden) Begriff des totalen Erwartungswerts ersetzt werden. Was den totalen Erwartungswert angeht, ist m.E. die Formel "E(E(X|B))=E(X)" (weiter unten bei Rechenregeln) völlig ausreichend.

Grüße,--RSchlicht (Diskussion) 20:25, 8. Okt. 2013 (CEST)

Hallo RSchlicht! Ich verstehe, was du meinst, und beispielsweise bei einem Lehrbuch ist so ein Aufbau sicher ideal. Allerdings ist so eine Trennung von elementar/abstrakt wie du sagst hier in Wikipedia doch zumindest ungewöhnlich. Es gibt ja auch die schöne Regel, dass in jedem Artikel genau ein Begriff (mit allen Facetten) behandelt werden soll. Gerade beim bedingten Erwartungswert/bedingten Wahrscheinlichkeit denke ich, dass man gar nicht genau sagen kann, wo eine Grenze zwischen elementar und abstrakt verlaufen soll. Auf welche Seite gehören z.B. bedingte Dichten? Von daher wäre "meine" Aufteilung eine andere: Ins Blaue gedacht, könnte man bei Bedingte Wahrscheinlichkeit einen Abschnitt einfügen, in dem der abstrakte Begriff $P(A\mid {\mathcal {G}})$ kurz eingeführt und mit dem elementaren verglichen wird. Ausführlichere und tiefer liegenden Aussagen dazu könnten dann vielleicht in einen (noch zu schreibenden) Artikel Bedingte Verteilung kommen. In Bedingter Erwartungswert sollte man sich dann mMn auf die Zusammenhänge zwischen bed. Erw. und bed. Wahrsch. beschränken. Wie würdest du über eine solche Aufteilung denken? Grüße -- HilberTraum (Diskussion) 09:47, 9. Okt. 2013 (CEST)

Ja, das kann sinnvoll sein, wie du es beschreibst. Es ist ein bisschen schwierig, das große Thema "Bedingen" so einzuteilen, dass einigermaßen in sich abgeschlossene Artikel und nicht zu viele Überschneidungen dabei herauskommen. Mathematisch kann man danach einteilen, worauf man bedingt (zunehmend abstrakter: Ereignis, einzelne Werte einer Zufallsvariable, Zufallsvariable, Teil-Sigma-Algebra) oder nach dem jeweiligen Begriff: Bedingte Wahrscheinlichkeit, bedingter Erwartungswert, bedingte Dichten, bedingte Verteilungen, bedingte Varianzen/Kovarianzen, usw. Wenn man (reguläre) bedingte Verteilungen hat, kann man es sich natürlich leicht machen und einfach sagen, dass die anderen Begriffe sich daraus genau wie im nicht-bedingten Fall ergeben (bei den Dichten muss man noch auf Messbarkeit in beiden Variablen achten). Das wäre etwas anders (aber allgemeiner) als die übliche Vorgehensweise in der mathematischen Literatur, die oft nur Martingale und andere stochastische Prozesse im Auge hat.

Die abstrakte Form P(A | 𝒢) könnte man im Artikel "Bedingte Wahrscheinlichkeit" einführen, das sollte man aber deutlich abgrenzen, weil das erfahrungsgemäß selbst Mathematikstudenten nicht leicht fällt. Ich denke, wichtig ist in dem Artikel am Anfang die Erläuterung der elementaren Definition P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), die Frage, welche Annahmen dieser Neubewertung der Wahrscheinlichkeit zugrunde liegen, Beispiele, wann sie anwendbar ist und wann nicht, usw.

Was jetzt im Artikel über bedingte Erwartungswerte steht, könnte man auch noch etwas straffen (anstelle von Abschnitt 5.1 würde wahrscheinlich ein prägnanter Satz genügen). Grüße--RSchlicht (Diskussion) 20:48, 9. Okt. 2013 (CEST)

Der Ansatz von Kolmogorow

Die Aussage "Nicht gefordert wird [...] die Eigenschaft $P(X=x|X=x)=1$" ist doch für einen Leser zunächst so erstaunlich, dass man dazu ein Beispiel geben sollte. Oder man ergänzt es - falls es so gemeint ist - folgendermaßen: "Nicht gefordert wird [...] die Eigenschaft $P(X=x|X=x)=1$, falls $P(X=x)=0$". Dann ist es schon nicht mehr erstaunlich. Wenn allerdings die Vorstellung besteht, dass $P(X=x|X=x)\neq 1$ und gleichzeitig $P(X=x)>0$ möglich ist, dann sähe ich gerne ein Beispiel dafür. --Sigma^2 (Diskussion) 14:10, 21. Aug. 2021 (CEST)

Ergänzt.--Sigma^2 (Diskussion) 23:36, 10. Sep. 2021 (CEST)

Formale Definition : Spezialfälle : (3)

Mit "und besitzt $B$ außer sich selbst und der leeren Menge keine Teilmengen in ${\mathcal {B}}$" ist wohl gemeint "und enthält ${\mathcal {B}}$ außer $B$ selbst und der leeren Menge keine Teilmengen von $B$".--Sigma^2 (Diskussion) 19:15, 21. Aug. 2021 (CEST)

Es gilt nicht nur

$P(A|{\mathcal {B}})(\omega )={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}=P(A|B)$     für fast alle  $\omega \in B$,

sondern weitergehend

$P(A|{\mathcal {B}})(\omega )={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}=P(A|B)$     für alle  $\omega \in B$.

Wurden nicht deswegen die Annahmen bezgl. der Ereignisalgebra gemacht? --Sigma^2 (Diskussion) 20:18, 21. Aug. 2021 (CEST)

Vielleicht wäre folgendes als Spezialfall etwas klarer, um die Verallgemeinerung gegenüber der elementaren bedingte Wahrscheinlichkeit zu verdeutlichen (ähnliche Überlegungen befinden sich auskommentiert und unvollständig im HTML-Text des Artikels):

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|\{\emptyset ,B,\Omega \setminus B,\Omega \})$ ist für ein Ereignis $B$ mit $0<P(B)<1$ die Zufallsvariable $Z\colon \Omega \to [0,1]$ mit

$Z(\omega )={\begin{cases}P(A|B)&{\text{für }}\omega \in B\\P(A|\Omega \setminus B)&{\text{für }}\omega \in \Omega \setminus B\;.\end{cases}}$

Für die Zufallsvariable $Z$ gilt $\operatorname {E} (Z)=P(A|B)P(B)+P(A|\Omega \setminus B)P(\Omega \setminus B)=P(A)$. --Sigma^2 (Diskussion) 20:18, 21. Aug. 2021 (CEST)

Rechenregeln

Einige dieser Rechenregeln gelten nur dann, wenn der Erwartungswert endlich ist, andere gelten auch dann, wenn der Erwartungswert als $-\infty$ oder $+\infty$ definiert ist. Es wäre schön, wenn das nach und nach präzisiert werden könnte. Zwar wird häufig der bedingte Erwartungswert nur für dem endlichen Fall definiert, dies kommt aber im Artikel nicht zum Ausdruck. --Sigma^2 (Diskussion) 23:45, 10. Sep. 2021 (CEST)

Bedingter Erwartungswert (Zahl) versus bedingte Erwartung (Zufallsvariable)

Der Artikel behandelt vermischt das Konzept des bedingten Erwartungswertes als reeller Zahl und der bedingten Erwartung als einer Zufallsvariablen. Anders als im Englischen, wo beides meist 'expectation' genannt wird, gibt es im Deutschen die Möglichkeit, zwischen bedingtem Erwartungswert (Zahl) und bedingter Erwartung (Zufallsvariable) zu unterscheiden. Außerdem ist in der Mathematik und Statistik ziemlich klar, dass der Wortbestandteil "wert", wie z. B. in Funktionswert, auf eine konkrete Zahl zielt und nicht verwendet wird, um eine Funktion zu bezeichnen. Viele deutschsprachige Autoren würden alleine aus diesem Grund niemals eine (zufällige) bedingte Erwartung als bedingten Erwartungswert bezeichnen. Entsprechend wird in mehreren deutschen Monographien zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik von Erwartung gesprochen, wenn es sich um eine Zufallsvariable und keinen Erwartungswert handelt. Natürlich gibt es auch Darstellungen, die völlig von wörtlichen Übersetzungen aus dem Englischen leben. Diese sollten aber kein Referenzpunkt für die deutschsprachige Wikipedia sein.

Noch besser wäre es, das Konzept der zufälligen bedingten Erwartung, dass im wesentlichen ein Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie ist und beispielsweise in der Statistik kaum benötigt wird (Beweise zu Eigenschaften bestimmter Verfahren ausgenommen) in einem eigenen Artikel Bedingte Erwartung zu behandeln. Zur Zeit ist dies nur eine Weiterleitung auf bedingten Erwartungswert.

Wenn es keinen Widerspruch gibt, würde ich mich kurzfristig zunächst an eine Überarbeitung der Terminologie im oben erläuterten Sinn machen.

Längerfristig ist eine Trennung der beiden Artikel denkbar, wobei in einem eigenen Artikel 'Bedingte Erwartung' auch das Konzept der 'Regulären bedingten Wahrscheinlichkeit' systematischer behandelt werden müsste und besser er- und geklärt werden müsste, wann keine regulären bedingten Wahrscheinlichkeit existieren und welche Relevanz dies hat. Ein Artikel über bedingte Erwartungswerte als Zahlen wäre für weitaus größere Leserkreise zugänglich als ein Artikel über bedingte Erwartungen als Zufallsvariablen, der zwangsläufig tiefer ins maßtheoretische Instrumentarium greift und mathematisch weniger gut geschulte Leser früh abhängt.
--Sigma^2 (Diskussion) 13:40, 8. Feb. 2023 (CET)

@Sigma^2: Mit meinem begrenzten Wissen zu diesem Themengebiet stellt sich noch die Frage wie Reguläre bedingte Wahrscheinlichkeit und Reguläre bedingte Verteilung verlinken sollen. Oder ob sie besser eigene Artikel bekommen. Zugegebener Maßen bin ich erstaunt, dass Reguläre bedingte Wahrscheinlichkeit auf bedingter Erwartungswert weiterleitet (auch wenn man sie so herleitet). Am Ende des Tages bin ich für mehr klar getrennte Lemmata statt weniger und dafür gemischte. Da du, Sigma^2, hier zweifelsohne mehr Expertise hast, lasse ich dir aber die Entscheidung und helfe nur, wenn du unabhängiges Feedback willst. biggerj1 (Diskussion) 08:33, 18. Okt. 2023 (CEST)

Da ich es nicht so gerne mag von dem Inhalt von Lemmata überrascht zu werden: was hältst du von Bedingte Erwartung (Zufallsvariable) als Lemma, das wäre absolut eindeutig. biggerj1 (Diskussion) 08:35, 18. Okt. 2023 (CEST)

Bin dafür.--Sigma^2 (Diskussion) 17:43, 18. Okt. 2023 (CEST)

Verständnisfrage

Wie genau ist der Satz "Da die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(A|{\mathcal {B}})$ verschiedener Ereignisse $A\in {\mathcal {A}}$ somit ohne Bezug zueinander definiert und nicht eindeutig festgelegt sind, muss $P(\;\cdot \;|{\mathcal {B}})(\omega )$ im Allgemeinen kein Wahrscheinlichkeitsmaß sein" zu verstehen? Von welchem Bezug ist hier die Rede? VG --Anthroporraistes (Diskussion) 22:02, 14. Dez. 2023 (CET)

Ein ziemlich schwieriges Gebiet, das mit einem Beispiel erläutern werden soll:

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$. Es sei ${\mathcal {B}}=\{\emptyset ,B,{\bar {B}},\Omega \}\subset {\mathcal {F}}$ mit $P(B)=0$ und ${\bar {B}}:=\Omega \setminus B$.

Für ein Ereignis $A\in {\mathcal {F}}$ ist $P(A|{\mathcal {B}})$ eine Zufallsvariable $P(A|{\mathcal {B}}):\Omega \to [0,1]$ mit

$P(A|{\mathcal {B}})(\omega )={\begin{cases}c&{\text{für }}\omega \in B\\P(A|{\bar {B}})=P(A)&{\text{für }}\omega \in {\bar {B}}\end{cases}}\;.$

Dabei ist $c\in [0,1]$ irgendeine Festlegung für die als elementare Wahrscheinlichkeit nicht definierte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$. Für jede Festlegung $P(A|B)=c$ gilt

$\mathrm {E} [P(A|{\mathcal {B}})]=P(A|B)P(B)+P(A|{\bar {B}})P({\bar {B}})=P(A).$

Für das Ereignis ${\bar {A}}:=\Omega \setminus A$ ist $P({\bar {A}}|{\mathcal {B}})$ eine Zufallsvariable $P({\bar {A}}|{\mathcal {B}}):\Omega \to [0,1]$ mit

$P({\bar {A}}|{\mathcal {B}})(\omega )={\begin{cases}d&{\text{für }}\omega \in B\\P({\bar {A}}|{\bar {B}})=P({\bar {A}})&{\text{für }}\omega \in {\bar {B}}\end{cases}}\;.$

Dabei ist $d\in [0,1]$ irgendeine Festlegung für die als elementare Wahrscheinlichkeit nicht definierte Wahrscheinlichkeit $P({\bar {A}}|B)$. Für jede Festlegung $P({\bar {A}}|B)=d$ gilt

$\mathrm {E} [P({\bar {A}}|{\mathcal {B}})]=P({\bar {A}}|B)P(B)+P({\bar {A}}|{\bar {B}})P({\bar {B}})=P({\bar {A}}).$

Die beiden Festlegungen $c$ und $d$ sind zunächst nicht aufeinander bezogen und können unabhängig voneinander vorgenommen werden. Aber (!), Festlegungen mit $c+d=1$ sind Voraussetzung für eine reguläre bedingte Wahrscheinlichkeit. In einem solchen Fall ist für jedes fixierte $\omega \in \Omega$ durch $P(\cdot |{\mathcal {B}})(\omega )$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ mit ${\mathcal {A}}:=\{\emptyset ,A,{\bar {A}},\Omega \})$ gegeben.

Klar dürfte jetzt auch sein, wie man $P(\cdot |{\mathcal {B}})(\omega )$ auf der größeren, von $\{\emptyset ,A,B,\Omega \}$ erzeugten Sigmaalgebra $\sigma (\{\emptyset ,A,B,\Omega \})\subset {\mathcal {F}}$ festlegen kann. Für die Festlegung auf dem gesamten System $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ gibt es nach meiner Ansicht nur Existenzsätze mit bestimmten Anforderungen an den Messraum $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ und einige Regeln, wie man z. B. im Fall reeller stetiger Zufallsvariablen zu regulären bedingten Wahrscheinlichkeiten der Art $P(X\in \cdot \mid \sigma (Y))$ kommt.

Es ist kein Zufall, dass zwar in elementaren Einführungen in die Wahrscheinlichkeitstheorie, bedingte Wahrscheinlichkeiten sehr früh eingeführt werden – wobei beim Bedingen auf Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit Null immer irgendwie gemogelt wird –, sich aber in fortgeschrittenen Büchern zur Wahrscheinlichkeitstheorie bedingte Wahrscheinlichkeiten (als Zufallsvariablen) typischerweise in relativ späten Kapiteln finden (beispielsweise im Billingsley ab S. 445 oder im Schmidt ab S. 410).

--Sigma^2 (Diskussion) 11:06, 15. Dez. 2023 (CET)

Danke @Sigma^2 für das erhellende Beispiel. --Anthroporraistes (Diskussion) 21:27, 15. Dez. 2023 (CET)