Diskussion:Beltrami-Klein-Modell

Anmerkungen

DieModelle sind nicht isomorph, sondern isometrisch. --Suhagja (Diskussion) 14:43, 31. Dez. 2012 (CET) Über die Relevanz der Weblonks und des Zitats kann man sicher streiten. Wenn schon ein Zitat, dann vielleicht lieber ein passendes von Klein oder Hilbert. --Suhagja (Diskussion) 14:46, 31. Dez. 2012 (CET) Imho sollte man den Artikel im Stil von http://en.wikipedia.org/wiki/Klein_model umschreiben, also insbesondere erst einmal mit der Definition des Beltrami-Klein-Modells beginnen.--Suhagja (Diskussion) 14:48, 31. Dez. 2012 (CET)

Die Bezeichnung Bierdeckelgeometrie scheint mir nicht sehr verbreitet zu sein (in dem zitierten Buch von Hilbert, Cohn-Vossen taucht die Bezeichnung doch gar nicht auf). Versuch der Popularisierung durch einige Mathematikpädagogen in jüngster Zeit ? Ich sehe auch nicht was der Artikel in dieser Form soll, wenn das Kleinsche Kreisscheibenmodell schon in Hyperbolische Geometrie beschrieben ist--Claude J (Diskussion) 15:07, 31. Dez. 2012 (CET)

Passender wäre wohl der in Frankreich gelegentlich (aber auch eher selten) benutzte Vergleich mit einem Camembert: außen weicher als innen.--Suhagja (Diskussion) 15:15, 31. Dez. 2012 (CET)

Hierzu folgende Anmerkungen:

1. Der obige Kommentar von Suhagja ("DieModelle sind nicht isomorph, sondern isometrisch.") scheint mir unangebracht. Zunächst schreibt Knörrer es genauso - also isomorph - und dann frage ich mich, wo eigentlich der Widerspruch liegen soll.

2. Ich finde den Artikel unter diesem Titel durchaus relevant. Es geht nämlich darum, einen Eindruck zu geben, was nichteuklidische Geometrie bedeutet; und zwar so, dass auch interessierte Laien mit wenig ausgeprägten Mathematikkenntnissen etwas verstehen. Das Stichwort Bierdeckelgeometrie lädt hoffentlich eine Anzahl von Leuten ein, hier mal nachzulesen. Der dabei wiedergegebene Kommentar aus der Feder eines ausgewiesenen Wissenschaftstheoritikers, nämlich von Godehard Link - der übrigens auch Mathematiker ist - soll dazu beitragen, das Verständnis zu fördern. Was Link über die " Uminterpretation der anschaulichen Bedeutung geometrischer Begriffe" schreibt, halte ich für sehr erhellend. Hier liegt u. a. der Mehrwert.

3. Die verschiedenen Modelle des n-dimensionalen hyperbolischen Raumes darzustellen, ist in diesem Kontext nicht mein Interesse gewesen. Wenn aber irgend jemand - vielleicht Suhagja ?! - den Artikel in dieser Hinsicht erweitern will, bin ich selbstverständlich absolut einverstanden.

4. Hinsichtlich der Bezeichnung habe ich eine fundierte Quelle angegeben. Dass Godehard Link das Kleinsche Modell als Bierdeckelgeometrie bezeichnet, ist Anlass genug, es exakt so wiederzugeben. Wenn nun Claude J darin einen "Versuch der Popularisierung durch einige Mathematikpädagogen in jüngster Zeit" ausmacht, hat er mein volles Unverständnis. Link ist Jahrgang 1944, seit einigen Jahrzehnten Professor für Logik und Wissenschaftstheorie an der Universität München und nicht dafür bekannt, irgend etwas zu popularisieren.

5. Der Zusammenhang des Beltrami-Klein-Modells mit einem Schimmelkäse ist mir aus keiner Quelle geläufig. Aus dem zugehörigen französischen Wikipedia-Artikel kann ich es auch nicht herauslesen. Wenn wer hierzu was findet: Bitte ergänzen!

Schojoha (Diskussion) 20:08, 3. Jan. 2013 (CET)Schojoha (Diskussion) 22:37, 3. Jan. 2013 (CET)

Wikipedia ist in erster Linie ein Nachschlagewerk, kein Medium zur Popularisierung irgendwelcher Themen. D.h. man sollte schon erst einmal mit den Definitionen beginnen. Bis jetzt wird ja aus dem Artikel noch nicht einmal ersichtlich, ob es hier um eine Inzidenzstruktur (Punkte, Geraden, ...) oder um eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (Fläche mit einer Metrik) geht. Und dann sollte man eben auch den allgemein gebräuchlichen Namen verwenden. Der Vergleichmit einem Bierdeckel macht m.E. Auch inhaltlich keinen Sinn ( und er ist definitiv nicht allgemein gebräuchlich). Möglicherweise wollte Link mit dieser Bezeichnung auf Hilberts Spruch mit den Tischen, Stühlen, Bierseideln anspielen. Falls das sein sollte, sollte man es auch erwähnen,,denn das rückt die Bezeichnung ja in einen ganz anderen Zusammenhang.--Suhagja (Diskussion) 23:36, 3. Jan. 2013 (CET)

Bei Mathematikpädagogen habe ich eher an das gedacht, was ich beim googeln zuerst unter Bierdeckelgeometrie fand, etwa hier, Link habe ich überhaupt nicht gelesen, übrigens erwähnt er das nur passim (wird manchmal so bezeichnet...). Mir war die Bezeichnung unbekannt, ich kenne das Modell nur als Kleinsches Modell (wenn ich mich recht entsinne zuerst aus Weyls Raum Zeit Materie Kapitel 2). Dass du ein Logik Skript heranziehst, um den Begriff zu belegen deutet ja auch nicht gerade auf Geläufigkeit. Link nennt es ja im Haupttext auch Kleinsches Modell. Du zitierst ja noch zwei Bücher, Nöbeling und Knörrer, wird es da so genannt ? PS: Übrigens meine ich, dass ein Artikel über das Kleinsche Modell , wenn er entsprechend ausgebaut und illustriert würde, durchaus eine Bereicherung wäre, nur kann ich im Augenblick keinen Mehrwert zum Artikel Hyperbolische Geometrie sehen.--Claude J (Diskussion) 00:10, 4. Jan. 2013 (CET)

http://books.google.co.kr/books?id=ZQjBXxxQsucC&pg=PP1&lpg=PP1&dq=stillwell+sources+of+hyperbolic+geometry&source=bl&ots=tW-zoWmNb2&sig=iSnC82uVv0jQxNV2yR6F3sMNPSM&hl=ko&sa=X&ei=LhPmUPeXI6KxiwLIn4HIDw&redir_esc=y hat vor den Originalarbeiten auch noch introductions aus heutiger Sicht, falls man was zur Geschichte schreiben will. --Suhagja (Diskussion) 00:31, 4. Jan. 2013 (CET)

Der Text von Herrn Link gehört vielleicht eher in einen noch zu schreibenden Artikel Populäre Mißverständnisse zur hyperbolischen Geometrie. Nicht einmal die Jahreszahlen stimmen, das erste Modell einer hyperbolischen Ebene stammt von 1868, nicht vom Anfang des 19. Jahrhunderts. (Bolyai und Lobatschewski, die man mit ihren 1832 bzw. 1826 veröffentlichten Arbeiten vielleicht noch dem Anfang des 19. Jahrhunderts zuordnen könnte, haben - auch wenn das in populärwissenschaftlichen Quellen oft anders dargestellt wird - keineswegs die Existenz der hyperbolischen Ebene bewiesen, sondern nur formale Konsequenzen einer nichteuklidischen Geometrie hergeleitet. Sie hatten also keineswegs gezeigt, dass die hyperbolische Geometrie widerspruchsfrei ist, das leistete tatsächlich erst Beltrami 1868 mit seinem Modell.) Und das mit der Interpretation der hyperbolischen Geometrie innerhalb der euklidischen Ebene ist so, nun ja, Geschwafel, denn zwar befindet sich das Modell innerhalb einer Ebene, aber doch nicht einer euklidischen. (Es gibt allerdings Einbettungen der hyperbolischen Ebene in den 5-dimensionalen euklidischen Raum, aber das hat dann wiederum mit dem Beltrami-Klein-Modell nichts zu tun.) --Suhagja (Diskussion) 19:12, 4. Jan. 2013 (CET)

Weitere Anmerkungen:

I. Der Name Bierdeckelgeometrie für das Beltrami-Kleinsche Modell ist keine Erfindung von Godehard Link. Man findet ihn etwa auch im Duden Rechnen und Mathematik. Ich habe diese weitere Quelle dem Artikel hinzugefügt. Man kann also nicht behaupten, der Name sei "definitiv nicht allgemein gebräuchlich".

II. Das im Artikel gebrachte Zitat zur Bedeutung der Bierdeckelgeometrie als Geschwafel zu bezeichnen, halte ich für eine Fehlleistung. Was Link dort schreibt, ist m.E. durchaus treffend.

III. Da ich nicht ausschließe, dass auch andere meinen, der Artikel sei nicht von Wert oder verbesserungswürdig, stelle ich ihn in die QS.

Schojoha (Diskussion) 18:27, 5. Jan. 2013 (CET)

Es ist einfach nicht wahr, dass das Klein-Modell eine Teilmenge der euklidischen Ebene. Es ist eine Teilmenge der projektiven Ebene. Man könnte also sagen, dass man mittels des Modells die hyperbolische Geometrie innerhalb der klassischen projektiven Geometrie interpretiert, aber nicht innerhalb der euklidischen Geometrie.--Suhagja (Diskussion) 07:03, 6. Jan. 2013 (CET)

Nirgends wird gesagt, es sei das "Klein-Modell eine Teilmenge der euklidischen Ebene". Mit einer solchen Aussage allein wäre nichts gewonnen. Im Artikel steht es auch deutlicher: "Die zugrundeliegende Punktmenge ist die Menge der inneren Punkte einer Kreisscheibe der Euklidischen Ebene." Hier ist also nur von der Trägermenge des Beltrami-Kleinschen Modells die Rede. Diese ist in der Tat eine Teilmenge der Euklidischen Ebene. Innerhalb dieser Teilmenge der Euklidischen Ebene - und darin liegt die Uminterpretretation - wird nun ein Modell der hyperbolischen Ebene wie folgt geschaffen: Punkte bleiben Punkte, die Sehnen der offenen Kreisscheibe werden als Geraden aufgefasst, die Inzidenzrelation und die Anordnungsstruktur (-> Zwischenrelation) der Euklidischen Ebene werden übernommen. Die Euklidische Distanzfunktion wird allerdings durch die hyperbolische Distanzfunktion ersetzt. Man verliert also die alte Metrik, gewinnt aber eine neue und zugleich eine Geometrie, in der alle Axiome der Euklidischen Ebene außer dem Parallelenaxiom erfüllt sind. Schojoha (Diskussion) 23:20, 6. Jan. 2013 (CET)

Wie gesagt sollte man im Artikel zunächst einmal klarstellen, ob man über eine Inzidenzstruktur oder eine Riemannsche Mannigfaltigkeit redet, also mit der Definition beginnen. Beltrami und Klein hatten ihr Modell jedenfalls als Riemannsche Mannigfaltigkeit betrachtet. Die Interpretation als Inzidenzstruktur geht möglicherweise auf Hilbert zurück, das habe ich jetzt nicht überprüft. Das Modell hat jedenfalls nicht nur nicht die Abstände der euklidischen Geometrie, auch die Symmetriegruppe ist nicht die selbe. Im Sinne von Felix Kleins "Erlanger Programm" ist die Geometrie des Modells also kein Teil der Euklidischen Geometrie. Lediglich die Inzidenzstruktur stimmt überein.--Suhagja (Diskussion) 05:30, 7. Jan. 2013 (CET)

Das scheint auch ein Problem des Artikels Hyperbolische Geometrie zu sein, dass die verschiedenen Verwendungen des Begriffs (Riemannsche Geometrie, Kleins Erlanger Programm, Inzidenzstruktur, weitere?) dort nicht auseinandergehallten werden. (Die anderen beiden Verwendungen sind natürlich Spezialfälle der ersten.) Ich werde vielleicht nachher mal versuchen, den Artikel dort entsprechend zu überarbeiten. --Suhagja (Diskussion) 05:34, 7. Jan. 2013 (CET)

Ein letzter Kommentar meinerseits:

A. Ich habe die wesentlichen Strukturelemente der Bierdeckelgeometrie (= Kleinsches Modell) beschrieben.

B. Meine Darstellungen fassen zusammen, was in den bekannten Quellen, von denen ich eine Anzahl im Artikel nenne, dazu steht.

C. Ich betone: Es geht hier allein um die Bierdeckelgeometrie, also um dieses eine spezielle Modell der hyperbolischen Ebene .

D. Ich habe nicht versucht, die viel weiter gehenden Untersuchungen von Felix Klein aus seinem Artikel in den Mathematische Annalen, Bd. 4 (1871), zusammenzufassen.

E. Es geht hier nicht um das Erlanger Programm oder um die Geometrie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

--Schojoha (Diskussion) 23:49, 8. Jan. 2013 (CET)

Gut, jetzt wissen wir, um was es in diesem Artikel nicht geht. Bleibt noch die Frage, um was es in diesem Artikel geht. Handelt es sich um eine Inzidenzgeometrie? Oder um ein Axiomensystem bzw. dessen Realisierung (oder wie immer das in der Logik heisst)? Was sind Strukturelemente und warum haben die noch keinen eigenen Artikel? In einem Artikel verwendete Begriffe müssen zunächst definiert werden, sonst kann man über sie nicht diskutieren. --Suhagja (Diskussion) 01:33, 9. Jan. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Suhagja (Diskussion) 13:19, 26. Jan. 2013 (CET)

Begriffe

Da die Begriffe Strukturelement und Isomorphismus hier ja offenbar nicht dieselbe Bedeutung haben wie in den verlinkten Wikipedia-Artikeln, sollte man sie zunächst definieren. Vor allem sollte man die Definition des Beltrami-Klein-Modells zunächst mit dem übergeordneten Begriff beginnen. Offenbar gibt es irgendwo einen Begriff von "Geometrien", deren "Strukturelemente" Punkte und Geraden genannt werden. Auf diesen Begriff sollte man dann auch verlinken, sonst kann man mit der Definition nichts anfangen.--Suhagja (Diskussion) 01:34, 12. Jan. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Suhagja (Diskussion) 13:19, 26. Jan. 2013 (CET)