Diskussion:Buffonsches Nadelproblem/Archiv

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[[Diskussion:Buffonsches Nadelproblem/Archiv#Thema 1]]

oder als Weblink zur Verlinkung außerhalb der Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Buffonsches_Nadelproblem/Archiv#Thema_1

Löschung

Wieso wurde der Beitrag entfernt? Der Artikel war bisher zwar nur ein Stub, aber es gibt noch einiges mehr über das Nadelproblem zu schreiben!

Solange unter dem verlinkten Artikel Kreiszahl mehr zu dem Thema steht als in deinem (?) Artikel, ist dieser schlicht überflüssig. Wenn du sehr viel mehr schreiben kannst, als bisher geschrieben war, wäre eine Auslagerung sicherlich o.k., aber so war das redundant. (siehe auch [LD --HyDi Sag's mir! 15:13, 12. Mai 2009 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: biggerj1 (Diskussion) 19:08, 15. Okt. 2023 (CEST)

Idee wird nicht herausgearbeitet

Das geht deutlich besser!--biggerj1 (Diskussion) 16:13, 14. Sep. 2013 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: biggerj1 (Diskussion) 19:07, 15. Okt. 2023 (CEST)

Fall der Langen Nadel

Die Formel für die lange Nadel ist keine Verallgemeinerung. Der Fall der kurzen Nadeln kann damit nicht beschrieben werden.--biggerj1 (Diskussion) 13:31, 15. Sep. 2013 (CEST)

Die beiden Fälle $l\leq d$ und $d<l$ sind allgemeiner als der Fall $l=d$, oder nicht? --McZusatz (Diskussion) 13:51, 15. Sep. 2013 (CEST)

Ja, aber warum willst du überhaupt den Fall d=l einzeln betrachten? Der Fall d=l ist in der Formel für die kurze Nadel sowie in der Formel für die Lange Nadel enthalten. Weder die Formel für die kurze Nadel, noch die Formel für die Lange Nadel für sich genommen decken alle Fälle ab. --biggerj1 (Diskussion) 14:06, 15. Sep. 2013 (CEST)

So können die "jüngeren" Leser oder die, die noch nie etwas von arcsec gehört haben, den Spezialfall betrachten und werden nicht direkt abgeschreckt. --McZusatz (Diskussion) 14:18, 15. Sep. 2013 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: biggerj1 (Diskussion) 19:07, 15. Okt. 2023 (CEST)

Zum mathematischen Hintergrund

Die Argumentation ist lueckenhaft: Aus dem Stand wird von einer Wahrscheinlichkeitsgleichverteilung der Winkel und einer bedingten Einzelwahrscheinlichkeit fuer einen Schnitt (der Winkel ist fest) auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung, dass es ueberhaupt einen Schnitt gibt, geschlossen. Der gesammte Abschnitt ist im Zweifelsfall nicht korrekt und sollte lieber geloescht werden? Die Argumentation muss eigentlich ueber bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen gefuehrt werden. (nicht signierter Beitrag von 194.49.221.14 (Diskussion) 16:15, 21. Mai 2014 (CEST))

+1 biggerj1 (Diskussion) 08:55, 14. Okt. 2023 (CEST)

Ich habe ihn jetzt entfernt, da die Argumentation in der Tat unvollständig war und i. W. dieselbe wie eins darunter gewesen wäre (wo gleich kurze Nadeln allgemein behandelt sind) und man weitere Fallunterscheidungen hätte machen müssen.--Claude J (Diskussion) 18:13, 21. Mai 2014 (CEST)

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Beweis für Nadeln beliebiger Länge

Das Integral mit dem Cosinus und diesen Integrationsgrenzen ergibt doch "0", oder gibt es da ein Missverständnis? \Int(Cos)_0^pi=[sin]_0^\pi =0-0 (nicht signierter Beitrag von Beniwriter (Diskussion | Beiträge) 13:41, 10. Jul. 2020 (CEST))

Da steht der Betrag des Cosinus.--Claude J (Diskussion) 16:41, 10. Jul. 2020 (CEST)

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Unterscheidung zwischen Zufallsvariable und Realisierung

Fehlt in den Formeln. --biggerj1 (Diskussion) 07:34, 14. Okt. 2023 (CEST)

@Sigma^2: wärst du so lieb und würdest auch hier meine Wortwahl kritisch überprüfen? https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Buffonsches_Nadelproblem&diff=238133365&oldid=234746732 Ich freue mich über dein Feedback und meine Wortwahl wird hoffentlich immer besser :) biggerj1 (Diskussion) 08:41, 14. Okt. 2023 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: biggerj1 (Diskussion) 10:21, 16. Okt. 2023 (CEST) Ist mittlerweile drin. biggerj1 (Diskussion) 10:21, 16. Okt. 2023 (CEST)

Beweis / Fall kurzer Nadeln

Die Darstellung ist teilweise falsch. Beachte: Wenn $X$ eine diskrete Zufallsvariable und $Y$ eine stetige Zufallsvariable ist, dann gilt immer

$P(X=x,Y=y)=0$.

Beweis: Es gilt $P(Y=y)=0$, da $Y$ stetig ist. Es gilt $\{X=x\}\cap \{Y=y\}\subseteq \{Y=y\}$ und daher

$P(X=x,Y=y)=P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})\leq P(\{Y=y\})=P(Y=y)=0\;.$

Die gemeinsame Verteilung kann so nicht geschrieben werden. Die angegebenen Formeln sind wohl teilweise nicht aus der Literatur übernommen, sondern intuitive WP:TF. Das zugrundliegende Problem ist, dass Wahrscheinlichkeiten, die auf Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit Null bedingen, keine elementaren bedingten Wahrscheinlichkeiten sind und eigene Regeln haben. Falls dies doch aus der Literatur übernommen ist, steht in der Quelle Unsinn.--Sigma^2 (Diskussion) 00:26, 16. Okt. 2023 (CEST) Fehlerhaften Beweisteil hierhin ausgelagert:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit für die Existenz eines Schnittpunktes ist $P(Z=1|\Phi =\varphi )={\tfrac {l|{\cos {\varphi }}|}{d}}$. Die gemeinsame Verteilung ist somit: $P(Z=1,\Phi =\varphi )=P(Z=1|\Phi =\varphi )P(\Phi =\varphi )={\tfrac {l|{\cos {\varphi }}|}{d}}{\frac {1}{2\pi }}$ Marginalisierung über den Winkel ${\varphi }$ ergibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nadel eine Linie berührt:

--Sigma^2 (Diskussion) 08:44, 16. Okt. 2023 (CEST)

Hmm, okay ich verstehe dein Problem: ein Punktereignis hat eine Wahrscheinlichkeit von Null und wir schauen hier eine Wahrscheinlichkeitsdichte für $\Phi$ an und keine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Nur $\int _{a}^{b}P(\phi )d\phi =P(\phi \in [a,b])$ ist eine Wahrscheinlichkeit. Kann man das nicht heilen und die Dichte für $\Phi$ und Z wie angegeben verrechnen? In Bayesschen Netzen kann man doch auch kontinuierliche und diskrete Zufallsvariablen mischen.... Aber ja der Abschnitt entstammt erstmal keiner Quelle. Lass uns Ferne sehen wie wir das korrekt formulieren. Danke dass du dir die Zeit nimmst es anzusehen biggerj1 (Diskussion) 08:53, 16. Okt. 2023 (CEST)

Ich denke das hier ist unser Punkt: https://math.stackexchange.com/a/608906/984376 Nur wie löst man das formal richtig?biggerj1 (Diskussion) 08:58, 16. Okt. 2023 (CEST)

Wir könnten folgende Notation einführen: $P(Z=1|\Phi \in [\varphi ,\varphi +d\phi ])={\tfrac {l|{\cos {\varphi }}|}{d}}d\phi$ und so weiterreichen? biggerj1 (Diskussion) 09:05, 16. Okt. 2023 (CEST)

Man muss $P(Z=1|\Phi =\varphi )$ als symbolische Schreibweise verstehen, die sich in der Statistik bewährt hat. In der Wahrscheinlichkeitstheorie vermeidet man diese Schreibweise häufig ganz und arbeitet mit Markow-Kernen oder Übergangskernen und schreibt es ganz anders, nämlich als $K(x,A)$, in unserem Fall wäre das dann so etwa $P(Z=1|\Phi =\varphi )=K(\varphi ,\{1\})$.

Wäre für $P(Z=1|\Phi =\varphi )={\frac {l|{\cos {\varphi }}|}{d}}$ mit deinem Argument oben nicht besser: $\lim _{d\phi \to 0}P(Z=1|\Phi \in [\varphi ,\varphi +d\phi ])={\frac {l|{\cos {\varphi }}|}{d}}$, da du ja richtig bemerkst: $P(Z=1|\Phi =\varphi )=0$--Sigma^2 (Diskussion) 10:37, 16. Okt. 2023 (CEST)

So könnte man es motivieren und auf elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten zurückführen und das geht auch meistens gut. Nicht aber z. B. wenn die Dichtefunktion rechts von der Stelle $\varphi$ Null ist. Man muss also mit beidseitigen Umgebungen arbeiten.

Bei Anwendungen, in denen eine Randverteilung stetig und die andere diskret ist, kann man die diskrten Verteilungen $P(Z\in \cdot |\Phi =\varphi )$ wie eine Familie von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen für $Z$ interpretieren, die durch $\theta$ parametrisiert sind, man betrachtet das dann wie $P(Z\in \cdot ;\varphi )$. Auch das geht in der Regel gut. Der Grund, warum bedingte (nicht-elementare) Wahrscheinlichkeiten in allen Wahrscheinlichkeittheoriebücher erst in späten Kapitel auftauchen, ist, dass das bedingen auf Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit Null nicht-elementare Probleme aufwirft. --Sigma^2 (Diskussion) 10:37, 16. Okt. 2023 (CEST)

Ich habe es jetzt mal auf meine Art richtiggestellt.--Sigma^2 (Diskussion) 10:37, 16. Okt. 2023 (CEST)

Besten Dank. Wie immer sehr lehrreich. Ich bin dir sehr dankbar! :Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: biggerj1 (Diskussion) 11:46, 16. Okt. 2023 (CEST) Danke auch nochmal für den Hinweis auf die Übergangskerne. Werde ich mir ablesen! biggerj1 (Diskussion) 13:19, 16. Okt. 2023 (CEST)