Diskussion:Cauchysches Verdichtungskriterium

divergent - konvergent

Oma Philipendula fragt vorsichtig an, ob vielleicht in der letzten Zeile des Artikel divergent und konvergent velwechsert wurden. --Philipendula 18:50, 11. Mär 2005 (CET)

Scheint zu stimmen. --Philipendula 20:07, 11. Mär 2005 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 14:37, 23. Sep. 2012 (CEST)

Verallgemeinerung

Bei uns im Studium wird eine Verallgemeinerte Form unter dem Namen "Verdichtungskriterium" gelehrt. Zitat aus meinem Skript:

---

Satz 4.5.14 (Verdichtungskriterium). Es sei xn ≥ 0, (x_n)n∈N monoton fallend und für die Abbildung f: N → N existieren α,β ∈ R mit 1<α≤sup{ f(n+1)/f(n) : n ∈ N} ≤ β. Dann sind aquivalent:

• a) $\left(\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent.

• b) $\left(\sum _{k=1}^{\infty }f(k)x_{f(k)}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent.

---

Sollen wir das hier mit aufnehmen? Schließlich ist Lemma Verdichtungskriterium eine Redirect hierher. -- Mit freundlichen Grüßen, Michael Schönitzer 17:17, 9. Jan. 2010 (CET)

Dürfte in dieser Form falsch sein. Wieder die allgemeine harmonische Reihe als Testbeispiel und f(f)=k².

a) $\sum _{n=1^{\infty }}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ konvergiert für $\alpha >1$, aber

b) $\sum _{k=1^{\infty }}f(k){\frac {1}{f(k)^{\alpha }}}=\sum _{k=1^{\infty }}{\frac {1}{k^{2\alpha -2}}}$

konvergiert für $2\alpha -2>1\iff \alpha >{\frac {3}{2}}$. (f(k)=k schien zu kondensiert als Gegenbeispiel.)--LutzL (Diskussion) 19:35, 25. Apr. 2012 (CEST)

Ich vermute, dass die angegebene Bedingung an f nicht ganz stimmt. Schade, dass der Link nicht mehr geht, aber mit $1<\alpha \leq {\tfrac {f(n+1)}{f(n)}}\leq \beta$ für alle $n\in \mathbb {N}$ könnte es klappen. -- HilberTraum (Diskussion) 18:54, 26. Apr. 2012 (CEST)

@HilberTraum: Ich glaube, da hat sich noch ein Fehler eingeschlichen. Bei der verdichteten Reihe möchte man doch soetwas wie

$T=\sum _{k=0}^{\infty }(f(k+1)-f(k))a_{f(k)}$

haben. $f(k+1)-f(k)$ ist ja die Anzahl der neuen Folgenglieder, die man mit dem Folgenglied an der Stelle $f(k)$ abschätzen möchte. Man sollte das Resultat hier mal genau prüfen oder eine ordentliche Quelle finden. --Jobu0101 (Diskussion) 09:08, 2. Dez. 2021 (CET)

@Jobu0101, @HilberTraum Besteht denn mittlerweile Klarheit über die konkrete Formulierung? Ansonsten liest man hier (S. 122-123), dass das Kriterium auf Schlömilch zurückgeht und auch eine Formulierung, die zwar von der aktuellen abweicht, aber wenigstens belegt werden kann und im Buch auch bewiesen wird. --Anthroporraistes (Diskussion) 11:18, 4. Jan. 2024 (CET)