Diskussion:Christoffelsymbole

aus 2005

Zur Zeit sehr ART-lastig, sozusagen. --Pjacobi 12:33, 16. Jan 2005 (CET)

Man könnte auch sagen: sehr wenig christoffelsymbollastig.--Gunther 22:17, 4. Mär 2005 (CET)

Ich vermute ja, da ist Ironie im Spiel, aber dem Artikel fehlt in weiten Teilen, nun ja, der Zusammenhang. – Jondor 01:59, 20. Feb 2006 (CET)

YMMD.--Gunther 02:00, 20. Feb 2006 (CET)

Ich habe ein paar konkrete Rechenregeln eingefügt, die für die ART interessant sind. Falls das in den Artikel "Kovariante Ableitung" (oder wohin auch immer) verschoben wird, ändert bitte auch den Verweis ganz unten in Kapitel 2.3 bei Allgemeine Relativitätstheorie. Nur bitte schmeißt es nicht ganz weg, zur Not setzt es lieber in den Artikel zur ART, bevor es verschwindet. Danke! -- 217.232.47.56 21:41, 5. Jul 2006 (CEST)

Man sollte entweder auf dieser Seite oder auf "Kovariante Ableitung" die kovariante Ableitung des Metriktensors definieren. Ich finde jedoch, dass sie hier eher dazupasst, da sie speziell für die Christoffel- Symbole benötigt wird. In dem Artikel zu "Kovariante Ableitung" wird wieder auf die Christoffel- Symbole verwiesen, obwohl man doch für diese gerade die kovariante Ableitung braucht... Genügt vermutlich ein kurzer Absatz nur irgendeine Definition wäre nicht schlecht. Jiob, 23:22, 03.Juni 2009

Die kovariante Ableitung des Metriktensors $g_{\nu \rho }$ wird hier nicht gebraucht. Zur Berechnung der Christoffelsymbole treten die gewöhnlichen 'partiellen' Ableitungen wie $\partial _{\mu }g_{\nu \rho }$ auf (hier: Ableitung der $\nu \rho$-Komponente der Metrik nach Koordinate $\mu$). Die kovariante Ableitung von $g_{\nu \rho }$ verschwindet in der ART gar standardmäßig: $\nabla _{\mu }g_{\nu \rho }=0$ (Gl. 28).--Jan Krieg 01:24, 11. Apr. 2010 (CEST)

Arten

Hier stimmt doch was nicht. Mir sind die Christoffelsymbole folgendermaßen bekannt:

Christoffelsymbol 1. Art

$\Gamma _{\kappa \mu \nu }={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\nu }g_{\kappa \mu }+\partial _{\mu }g_{\kappa \nu }-\partial _{\kappa }g_{\mu \nu }\right)$

Christoffelsymbol 2. Art

$\Gamma _{\;\mu \nu }^{\sigma }=g^{\kappa \sigma }\Gamma _{\kappa \mu \nu }$

Und man schreibt in der ART auch (möglicherweise alte Schreibweise, weiß ich nicht genau):

$[\mu \nu ,\kappa ]:=\Gamma _{\kappa \mu \nu }$

sowie

${\begin{Bmatrix}\sigma \\\mu \nu \end{Bmatrix}}:=\Gamma _{\;\mu \nu }^{\sigma }$

Im Artikel steht es jedenfalls anders, obwohl die 1. und 2. Art klar definiert in jedem Buch stehen sollte. Insbesondere sollte auch die Schreibweise aus der ART genannt werden. --A.McC. 19:07, 15. Nov. 2006 (CET)

Überarbeitung von 2010

Hallo Christian,

ich freue mich sehr, dass Du Dich an die Überarbeitung des Artikels Christoffelsymbole machst. Er steht auch bei mir auf der To-Do-Liste, aber ich habe noch keine Zeit dafür gefunden.

Vorneweg aber ein paar Anmerkungen:

1. Eigenschaft 2 (Symmetrie bei Levi-Civita-Zusammenhang) gilt nur, wenn der lokale Rahmen die von einer Karte induzierte Basis. Man braucht nämlich, dass die Lie-Klammern verschwinden. Bei der der dritten Eigenschaft ist das möglicherweise auch so, das weiß ich nicht. Vielleicht wäre es sinnvoll, zunächst mit von Karten induzierten Basen zu arbeiten und erst danach auf lokale Rahmen zu verallgemeinern. Bei Eigenschaft 1 sollte man unbedingt erläutern, dass $XY^{k}$ die Ableitung der Funktion Y^k in Richtung von X bezeichnet (und nicht etwa ein Produkt).

2. Ich fände es gut, dem, was Du jetzt geschrieben hast bzw. schreibst, einen Abschnitt über Christoffelsysmbole in der elementaren Differentialgeometrie voranzustellen. So bin ich nämlich auf den Artikel gestoßen: von den Gauß-Weingarten-Gleichungen aus. Vielleicht finde ich auch Zeit das zu machen. (Allerdings habe ich da als Literatur nur einen Vorlesungsmitschrieb.)

Gruß, Digamma 15:33, 31. Aug. 2010 (CEST)

Hallo Digamma,

danke für Deine Rückmeldung. Da ich eben keine Zeit mehr hatte weiterzuschreiben, hatte ich schonmal vorsichtshalber auf Speichern gedrückt. Über die Sache mit der Lie-Klammer werde ich nochmal nachdenken. Von Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten ohne riemannsche Metrik habe ich leider nicht so viel Ahnung, aber ich werde mal schaun, ob ich mir dazu etwas anlesen kann. --Christian1985 16:45, 31. Aug. 2010 (CEST)

Der Punkt sind nicht die Mannigfaltigkeiten, die nur einen Zusammenhang auf dem Tangetialbündel besitzen, aber keine riemannsche Metrik, sondern dass es einen Unterschied macht, ob man die von einer Karte induzierte Basis benutzt oder beliebige Frames. -- Digamma 18:06, 31. Aug. 2010 (CEST)

Ich glaube Du hast mich falsch verstanden. Ich hatte da einen Gedankensprung. Bei der Lie-Ableitung geht es doch im Endeffekt darum, dass der Frame orthogormal ist, was ja bei der durch die Karte induzierte Basis der Fall ist?

Mein Satz bezüglich der Mannigfaltigkeiten ohne riem. Metrik bezog sich darauf, dass ich noch nicht weiß wie die Christoffelsymbole in der klassischen Diffgeo definiert werden. Hab hier aber ein Buch gefunden, sogar auf Deutsch. Es heißt Differentialgeometrie: Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten von W. Kühnel. --Christian1985 18:28, 31. Aug. 2010 (CEST)

Zur Lieableitung: Im Riemannschen Fall folgt die Symmetrie der Christoffelsymbole aus der Torsionsfreiheit. In der Torsion steckt aber die Lieklammer. Für zwei durch Karten induzierte Basisfelder verschwindet die Lieklammer, aber natürlich nicht für beliebige Basisfelder (Frames). Orthonormal hat da erst mal nichts damit zu tun. Die durch Karten induzierten Basisfelder sind in aller Regel nicht orthonormal. Wenn ich mich richtig erinnere sind die Christoffelsymbole im Fall eines orthonormalen Frames sogar anti-symmetrisch. Sicher bin ich mir da aber nicht.

Zur klassischen Differentialgeometrie: Du hast doch selbst bei "Zusammenhang" einen Abschnitt über den induzierten Zusammenhang auf Untermannigfaltigkeiten eingestellt. Darum geht es im Prinzip, wobei der Zusammenhang im umgebenden R^3 die normale Ableitung ist. In anderen Worten: Ein Vektorfeld auf einer Fläche wird ganz "normal" als Vektorfeld im R^3 abgeleitet, seine Ableitung dann auf die Tangentialebene projiziert. Im Grunde sind die Gauß-Weingarten-Gleichungen die Definition. Den Kühnel kenne ich leider nicht. -- Digamma 18:54, 31. Aug. 2010 (CEST)

Dein Text gefällt mir sehr gut. Ich erlaube mir mal, die Abbildung statt durch x durch X zu bezeichnen, in Übereinsteimmung zu den anderen Artikeln über klassische Differentialgeometrie (Erste Fundamentalform, Zweite Fundamentalform, Weingartenabbildung, Gauß-Weingarten-Gleichungen) und zusätzlich die Schreibweisen $X_{1}$ für ${\tfrac {\partial X}{\partial u}}$ und $X_{2}$ für ${\tfrac {\partial X}{\partial v}}$ einzuführen. Vielen Dank für Deine Arbeit. -- Digamma 20:34, 6. Sep. 2010 (CEST)

Hallo, danke für Deine Anmerkungen und Verbesserungen. Die lokale Darstellung der Vektorfelder, haben wir nun zwei oder drei mal im Artikel. Diesen Punkt sollten wir vielleicht aus dem Abschnitt Eigenschaften noch entfernen? Ich denke dann können wir die QS beenden oder?--Christian1985 22:57, 6. Sep. 2010 (CEST)

Ich habe das ganz übersehen, dass das unter Eigenschaften schon steht. Ich habe immer etwas Bauchschmerzen bei der Schreibweise $XY^{k}$ wegen OMA, bzw. weil ich nicht weiß, ob Physiker oder Analytiker das verstehen. Diese Schreibweise, die auf der Identifizierung von Tangentialvektoren mit Derivationen beruht, ist doch sehr speziell für die Differentialgeometrie und -topologie.

Ja, ich denke auch, dass man die QS beenden kann. -- Digamma 21:29, 9. Sep. 2010 (CEST)

Welche Schreibweise würdest du denn verwenden? Mir gefällt die Schreibweise eigentlich auch nicht so richtig, aber nach dem Wiki-Prinzip: Wikipedia stellt die Realität dar, wollte ich die Variante verwenden, welche ich überall lese. Mir fallen so spontan noch die Schreibweisen $\nabla _{X}Y^{k}$ und ${\mathcal {L}}_{X}Y^{k}$ ein. Die erste hat den Nachteil, dass sie sich von der Kovarianten Ableitung nicht unterscheidet und die zweite kennen wohl auch nur Differentialgeometer und ist zudem so wie es mir scheint noch ungebräuchlich in diesem Zusammenhang. Du hast das Problem in dem Abschnitt über Vektorfelder mit der Notation $X^{i}(\partial _{i}Y^{j})$ gelöst. Ich fand das schwerer zu lesen, aber vielleicht versteht die Oma das wirklich besser. Aber was mache ich bei einem Frame der nicht durch eine Karte induziert ist, also welcher nicht das intuitive einfache Symbol $\partial _{j}$ hat. Hast Du da eine Idee?--Christian1985 ( 21:46, 9. Sep. 2010 (CEST)

Das war genau der Grund, warum ich hier keinen Frame verwendet habe. Vielleicht sollte man aber auch einfach $XY^{k}$ schreiben und aber erklären, was damit gemeint ist. -- Digamma 22:21, 9. Sep. 2010 (CEST)

Beim nochmaligen Anschauen: Genau so hast Du das ja gemacht. Meine Version gefällt mir nicht so gut. Vielleicht ist es besser, deine Version in "Eigenschaften" zu behalten und vielleicht ergänzen um den Spezialfall $X=E_{i}=\partial _{i}$. Ich würde das dann im nächsten Abschnitt aufgreifen, um die Schreibweisen dort zu erklären. Die Dopplung dort ist meiner Meinung nach OK. -- Digamma 21:30, 10. Sep. 2010 (CEST)

Hallo Christian, magst Du mal einen Blick auf meine Änderungen werfen? (Sollten wir diese Diskussion eigentlich auf die Artikel-Diskussion verschieben?)

Eine Sache ist mir noch aufgefallen: Im ersten Abschnitt heißen die Parameter zu Anfang $u$ und $v$, später, bei der Anwendung aber $u_{1}$ und $u_{2}$. Sollten wir das vereinheitlichen? In der klassischen Differentialgeometrie werden wohl eher $u$ und $v$ benutzt, zum Gebrauch der Christoffelsymbole passt aber eher $u_{1}$ und $u_{2}$. -- Digamma 10:32, 12. Sep. 2010 (CEST)

Hallo, mir gefallen Deine Änderungen sehr gut. Die Inkonsistenz im ersten Abschnitt ist mir bekannt. Dies ist aus der Not heraus geboren worden, ich wollte anfangs keine Indexschlacht, aber anders muss man ja in der letzten Formel die Summe ausschreiben. Wollen wir alle $v$ in $u_{2}$ abändern? Mir ist noch aufgefallen, dass in dem Buch von Wolfgang Kühnel die Christoffelsymbole erster Art im Gegensatz zum Artikel mit einem "," notiert werden also $\Gamma _{ij,k}$. Gibt es hier unterschiedliche Konventionen? Von mir können wir die Diskussion gern auf die Diskussionsseite des Artikels verschieben. Viele Grüße --Christian1985 ( 16:40, 12. Sep. 2010 (CEST)

Sorry, ich hatte Deine Antwort übersehen. Für die Christoffelsymbole erster Art scheint es tausend Konventionen zu geben, auch mit dem k vorne statt hinten, Klammern um die Indizes und senkrechten Strichen. Das Komma finde ich ungeschickt, weil dies normalerweise anzeigt, dass nach der folgenden Koordinate abgeleitet wird. Zum Beispiel ist $g_{ij,k}$ eine übliche Schreibweise für $\partial kg_{ij}$. Die Schreibweise im Artikel habe ich in einem meiner Vorlesungsmitschriebe gefunden. Quellen aus dem Web (Google-Suche nach "Christoffelsymbole erster Art"):

[1] schreibt $\Gamma _{ij|k}$, [2] benutzt dieselbe Schreibweise wie ich. [3]schreibt $\Gamma _{k(ij)}$, [4] benutzt $\Gamma _{kij}$. (Dabei ist k immer der Index, der hoch bzw. runtergezogen wird). Vielleicht sollte man einfach darauf hinweisen, dass die Schreibweise in der Literatur nicht einheitlich ist. Zum Rest später. -- Digamma 19:13, 21. Sep. 2010 (CEST)

Okey dann werde ich noch eben einfügen, dass es in der Literatur zur Notation der Christoffelsymbole erster Art keine allgemeine Konvention gibt. Würdest Du bitte mal einen Blick auf Portal:QSM#Formeln_von_Gau.C3.9F_.28Differentialgeometrie.29 und den entsprechenden Artikel werfen? Meinst du man kann das auch bei Christoffelsymbole einbauen? --Christian1985 ( 14:40, 22. Sep. 2010 (CEST)

Begründung für Darstellung mit der Metrik

Ich habe im Abschnitt "Christoffelsymbole bei (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeiten" den am 10. Dezember von einer IP eingefügten Zusatz

Da gilt $\partial _{i}g_{jl}=\partial _{i}\langle X_{j}X_{l}\rangle =\langle X_{ji}X_{l}\rangle +\langle X_{j}X_{li}\rangle =\Gamma _{ji|l}+\Gamma _{li|j}$

gelöscht. Begründung:

1. Hier werden die Christoffelsymbole 1. Art verwendet. Diese wurden aber noch gar nicht erklärt. Sie sind außerdem anders bezeichnet als im Rest des Artikels.
2. Ich habe Zweifel daran, ob die letzte Gleichheit stimmt. Wenn da am Ende Christoffelsymbole stehen, dann müssten davor doch kovariante Ableitungen stehen und nicht nur partielle.
3. Die Gleichung trägt nicht viel dazu bei, die folgende Aussage zu verstehen. Als Begründung alleine ist sie nicht ausreichend. Da ist es besser, gar keine Begründung zu schreiben. Sonst meint der Leser, er müsste das nachvollziehen können. Dazu fehlen aber ein paar Zwischenschritte. -- Digamma 20:18, 14. Jan. 2011 (CET)

Griechische und lateinische Indizies

Wer hat den Christoffelsymbolen lateinische Indizies zugewiesen und unten dazugeschrieben dass hier nur die Raumkomponenten ohne die Zeitkomponente aufsummiert werden? Man muss doch alle 4 Raumzeitkomponenten aufsummieren, ich weise daher griechische Indizes zu (Difflink). --  ❇ (Diskussion) 20:02, 2. Sep. 2017 (CEST)

Du hast die Erläuterung mit den Indizes nach oben in den ersten Abschnitt über Flächen verschoben. Dort gehört sie m.E. aber gar nicht hin, weil es dort nur um die Differentialgeometrie von eingebetteten oder immersierten Flächen im Raum geht. Das hat mit ART gar nichts zu tun.

Die Unterscheidung spielt überhaupt nur in der ART eine Rolle, aber z.B. auch nicht in der Riemannschen Geometrie, woe allgemein die Benutzung von lateinischen Indizes üblich ist. Deshalb bin ich mir auch nicht sicher, ob es gut ist, in dem ganzen Abschnitt ausschließlich die griechischen Indizes zu benutzen.

Außerdem hast du im Abschnitt "Allgemeine Definition" das Wort "Zusammenhang" durch "Levi-Civita-Zusammenhang" ersetzt. Dadurch wird es aber spezieller. Es sind schon allgemeine Zusammenhänge gemeint, nicht nur solche, die von einer Riemannschen oder pseudo-Riemannschen Metrik herkommen. Ich werde das revertieren. Gruß, --Digamma (Diskussion) 12:07, 3. Sep. 2017 (CEST)

Definition und Richtungsableitung

Zur Definition: In der Einleitung werden Christoffelsymbole eingeschränkt auf metrische Zusammenhänge. Im Abschnitt "Allgemeine Definition" dagegen werden sie definiert für beliebige affine Zusammenhänge, in Übereinstimmung mit der Literaturangabe John M. Lee.

Zur Richtungsableitung im Abschnitt "Eigenschaften": Warum der Zwischenschritt mit Richtungsableitung, der auch nicht weiter ausgeführt wird? Direkt aus der algebraischen Definition des Tangentialraums hat man bereits $XY^{k}$ als Anwendung der Derivation $X$ auf die Funktion $Y^{k}$. --2003:63:2B1A:7254:9117:8C13:D7CF:346B 10:35, 7. Okt. 2017 (CEST)

Euklidischer Vektorraum in Einleitung

In der Einleitung ist "euklidischer Vektorraum" mit Prähilbertraum verlinkt. Kann das stimmen? Bei Prähilbertraum handelt es sich um einen einzelnen Vektorraum, Christoffelsymbole benötigen aber ein ganzes Bündel an Vektorräumen--2003:EE:E745:A95:49E7:DD34:8A65:C926 16:27, 13. Jul. 2022 (CEST)

Christoffelsymbole für Polarkoordinaten

Einfache Anwendungsbeispiele könnten das Lemma bereichern, bzw. das Verständnis erleichtern. Hier eine Link zu einem Übungsblatt aus der Physik:

• kovarianten Ableitungen, Christoffelsymbolen und deren Bedeutung für die Beschreibung von Scheinkräften LMU München "Übungen zur Theoretischen Mechanik (T1)" 2020

--ArchibaldWagner (Diskussion) 14:23, 14. Sep. 2023 (CEST)

Das scheint mir schon sehr speziell. Oder meinst du nur die Christoffelsymbole der Standardmetrik in Polarkoordinaten? --Digamma (Diskussion) 19:14, 14. Sep. 2023 (CEST)

Ja als einfaches Beispiel die Christoffelsymbole der Standardmetrik in Polarkoordinaten, das meine ich (in Abschnitt 2 Zentrifugalkraft des Übungszettels dargestellt). --ArchibaldWagner (Diskussion) 21:54, 14. Sep. 2023 (CEST)