Diskussion:Conditional Value at Risk

CVaR für Normalverteilung

Bis zu meiner Korrektur von heute waren für VaR und CVaR einer normalverteilten Verlustvariablen falsche Formeln angegeben. Dies erfolgte unter Bezug auf Gleißner 2017, S. 207 und 209. Es wäre noch zu prüfen, ob vom Wikipedia-Autor Fehler gemacht wurden oder ob die Quelle fehlerhaft ist.--Sigma^2 (Diskussion) 11:29, 7. Dez. 2023 (CET)

Inzwischen habe ich Gleißner 2017 eingesehen. Dort sind die Formeln richtig angegeben. --Sigma^2 (Diskussion) 15:47, 7. Dez. 2023 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Sigma^2 (Diskussion) 15:47, 7. Dez. 2023 (CET)

Erste Eigenschaft

Zur Gültigkeit der Formel

$\operatorname {CVaR} _{\alpha }(X)=\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)+\operatorname {E} [X-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)|X>\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]$

wird die Stetigkeit der Zufallsvariablen $X$ als Voraussetzung angegeben. Wozu wird bei der Umformung

$\operatorname {E} [X\mid X>\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=\operatorname {E} [c+X-c\mid X>\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=c+\operatorname {E} [X-c\mid X>\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]$

die Stetigkeit benötigt?--Sigma^2 (Diskussion) 11:38, 7. Dez. 2023 (CET)

Rechenbeispiel

Das Rechenbeispiel verdeutlicht die Definition nicht, da keine Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben ist. Wenn man annimmt, dass die Häufigkeitsverteilung der 10 beobachteten Renditen identisch mit der zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen wäre (aber wer nimmt so etwas an?), dann wäre der zweitgrößte Verlust $11{,}21\ \%K_{0}$, wobei $K_{0}$ der eingesetzte Kapitalbetrag wäre. O. B. d. A. sei $K_{0}=1$. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Verluste für Aktie A ist diskret mit jeweils 1/10 Wahrscheinlichkeit auf den 10 Stellen

$(-12{,}02\%,-9{,}62\%;-8{,}67\%;-3{,}17\%;-2{,}00\%;-1{,}24\%;0{,}89\%;8{,}40\%;11{,}21\%;16{,}26\%)$

Die Verteilungsfunktion der Variablen $X$, die zufällige Verluste durch positive Zahlen und zufällige Gewinne durch negative Zahlen angibt, ist

$F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\text{für}}\ x<-12{,}02\\1/10&{\text{für}}\ {-12{,}02}\leq x<-9{,}62\\\cdots &\cdots \\8/10&{\text{für}}\ 8{,}40\leq x<11{,}21\\9/10&{\text{für}}\ 11{,}21\leq x<16{,}26\\1&{\text{für}}\ x\geq 16{,}26\end{cases}}$

Die (linke verallgemeinerte) inverse Verteilungsfunktion ist

$F_{X}^{-1}(p)=\min\{x\in \mathbb {R} \mid F_{X}(x)\geq p\}={\begin{cases}-12{,}02&{\text{für}}\ 0<p\leq 1/10\\-9{,}62&{\text{für}}\ 1/10<p\leq 2/10\\\cdots &\cdots \\8{,}40&{\text{für}}\ 7/10<p\leq 8/10\\11{,}21&{\text{für}}\ 8/10<p\leq 9/10\\16{,}26&{\text{für}}\ 9/10<p<1\end{cases}}\;.$

Alle Werte im Intervall $[8{,}40\%;11{,}21\%]$ sind 80 %-Quantile der Verteilung von $X$. Der Wert $8{,}40\%$ ist das untere 80 %-Quantil. Der Wert $11{,}21\%$ ist das obere 80 %-Quantil. Der Value at Rik zum Sicherheitsniveau 80 % ist das untere 80 %-Quantil $8{,}40\%$.

Wenn beispielsweise 1 000 000 Euro investiert werden, dann ist eine Kaptitalvorsorge von $8{,}40\%\cdot 1000000=84000$ Euro erforderlich, um alle möglichen Verluste bis auf die 20 % extremsten Verluste zu kompensieren. Dies ist die inhaltliche Bedeutung des Value at Risk zum Sicherheitsniveau.--Sigma^2 (Diskussion) 21:42, 9. Dez. 2023 (CET)

Da da Rechenbeispiel die Definition nicht illustriert und den VaR systematisch falsch berechnet – auch wenn das vielleicht in der angegebenen Quelle so gemacht ist – werde ich das Rechenbeispiel zunächst hierher kopieren und im Artikel löschen.--Sigma^2 (Diskussion) 21:53, 9. Dez. 2023 (CET)

Rechenbeispiel (Version vom 8. 12. 2023)

In einem Portfolio befinden sich beispielsweise 3 Positionen A, B und C, welche im Zeitraum der letzten 10 Tage die in der nachfolgenden Tabelle aufgezeigten Renditen erzielt haben. Die vom Vorstand vorgegebene Verlustwahrscheinlichkeit für die Anlagen A bis C soll bei 20 % liegen, was einem Konfidenzniveau von 80 % entspricht.

Tag	Aktie A	Aktie B	Aktie C
1	2,00 %	3,50 %	1,00 %
2	-0.89 %	1,62 %	5,62 %
3	3,17 %	2,36 %	4,63 %
4	1,24 %	-4,51 %	3,80 %
5	8,67 %	-4,23 %	3,62 %
6	-11,21 %	26,80 %	-1,25 %
7	-8,40 %	12,52 %	-2,31 %
8	-16,26 %	-1,62 %	1,25 %
9	12,02 %	-1,80 %	-2,25 %
10	9,62 %	1,02 %	-1,89 %

Tabelle 1: Renditen der Anlagen A, B und C

Um den Unterschied zwischen CVaR und VaR eindeutig aufzuzeigen, soll im Folgenden zunächst der VaR bei einem Konfidenzniveau von 80 % ermittelt werden. Der VaR entspricht hierbei dem besten Renditewert der 20 % schlechtesten Fälle. Aufgrund des einfach gewählten Beispiels mit nur 10 Datenpunkten (in der Praxis sind i. d. R. deutlich mehr Daten vorhanden), ist der VaR somit jeweils der bessere der 2 schlechtesten Renditefälle (20 % von 10 Datenpunkten):

$\operatorname {VaR} _{80\,\%}^{\text{Aktie A}}=-11{,}21\,\%$

$\operatorname {VaR} _{80\,\%}^{\text{Aktie B}}=-4{,}23\,\%$

$\operatorname {VaR} _{80\,\%}^{\text{Aktie C}}=-2{,}25\,\%$.

Nimmt man beispielsweise an, dass Kapital in Höhe von 1.000.000 € investiert wurde, so sagt die Kennzahl des VaR aus, dass der potentielle Verlust der betrachteten Risikopositionen in 80 % aller Fälle die Werte 112.100 € (= 1.000.000€ x 11,21 %, Aktie A ). 42.300 € (Aktie B) bzw. 22.500 € (Aktie C) nicht überschreiten wird.

Der CVaR hingegen entspricht nun der durchschnittlichen Verlusthöhe im Fall eines durch die Überschreitung des VaR ausgelösten Verlustereignisses. Bei einem Konfidenzniveau von 80 % entspricht der CVaR somit dem Mittelwert der 20 % schlechtesten Renditen, was in diesem Beispiel dem Mittelwert der 2 schlechtesten Datenpunkte entspricht. Es gilt somit:

$\operatorname {CVaR} _{80\,\%}^{\text{Aktie A}}=-0{,}5\cdot (-16{,}26\,\%-11{,}21\,\%)=13{,}74\,\%$

$\operatorname {CVaR} _{80\,\%}^{\text{Aktie B}}=-0{,}5\cdot (-4{,}51\,\%-4{,}23\,\%)=4{,}37\,\%$

$\operatorname {CVaR} _{80\,\%}^{\text{Aktie C}}=-0{,}5\cdot (-2{,}31\,\%-2{,}25\,\%)=2{,}28\,\%$.

Geht man wieder von einem investierten Kapital in Höhe von 1.000.000 € aus, so muss bei den Anlagen A, B und C in den 20 % schlechtesten Fällen mit einem Verlust von durchschnittlich 137.400 € (= 1.000.000€ x 13,74 %). 43.700 € bzw. 22.800 € gerechnet werden.

Der CVaR ist dabei immer positiv (Vorzeichen bei der Mittelwertberechnung beachten) und größer als der VaR. Letzteres lässt sich damit begründen, dass sich der CVaR äquivalent auch als Summe des VaR und der mittleren Überschreitung im Überschreitungsfall berechnen lässt (auch hierbei ist das Vorzeichen zu beachten):

$\operatorname {CVaR} _{80\,\%}^{\text{Aktie A}}=11{,}21\,\%+0{,}5\cdot (16{,}26\,\%-11{,}21\,\%)=13{,}74\,\%$

$\operatorname {CVaR} _{80\,\%}^{\text{Aktie B}}=4{,}23+0{,}5\cdot (4{,}51\,\%-4{,}23\,\%)=4{,}37\,\%$

$\operatorname {CVaR} _{80\,\%}^{\text{Aktie C}}=2{,}25+0{,}5\cdot (2{,}31\,\%-2{,}25\,\%)=2{,}28\,\%$.

Quelle für den ganzen Abschnitt: