Diskussion:Differentialrechnung/archiv

zu strenge kategorisierung

In gewissem Sinne finde ich, das Auf diesen Seiten (Analysis, Differentialrechnung, ... ) die Mathematik getötet wird. Sie wird, wie im Bronstein und Bartsch kategorisiert und Schubladen gestellt. Man kann die Formeln bestaunen, aber keiner ist Da, der das tut. Reines Papier.

Wie eine Programmiersprache, die irgendein hochgebildeter Mensch durchanalysiert und in ihre Bestandteile zerpflückt hat.

Nur wenn man das Ganze sieht, und ausprobiert hat, kann man es wirklich schätzen. Kopfschüttel!

arbol01 viel zu spät, 5. März 2004

Wenn du Vorschläge hast, wie diese Artikel verbessert werden können, dann schreib sie auf. Falls sie sich sehr weit vom bisherigen Aufbau der Artikel unterscheiden, tue das lieber erst auf der zugehörigen Diskussionsseite, aber hilf mit, die Artikel zu verbessern, wenn du kannst. --SirJective 12:05, 5. Mär 2004 (CET)

Zumindest kann ich jetzt schon sagen, daß es zwei Seiten gibt, nämlich Differentialrechnung und Ableitungsregeln, die nicht redundant sind. Ansonsten werde ich mal versuchen, was ich kann. --arbol01 12:19, 5.März 2004

rechenfehler?

Warum gilt d/dx ax^n = anx^(n-1) nur für n ≠ 0? Nach meiner Rechnung ist x^0=1 => ax^n=a => d/dx ax^n = an[x^(n-1)] = a · 0 · x^-1 = 0, was mit der ersten Regel übereinstimmt! -- Jan G 04:17, 22. Mai 2004 (CEST)

Für n=0 gibt es eine Feinheit: a·0·x^-1 ist nur für x≠0 definiert, aber a·x^0 für alle x (reell oder komplex), sofern wie üblich per Definition x^0 stetig fortgesetzt wird auf x=0 (also per Definition 0^0=1). --80.129.80.70 23:55, 18. Jul 2006 (CEST)

reviews/exzellenz/...

Exzellenter Artikel

Wenn das ein exzellententer Artikel werden soll, müsste man bei den Ableitungsregeln aber alles in TeX schreiben, sonst sieht das aus wie Kraut und Rüben. --Philipendula 17:26, 30. Aug 2004 (CEST)

Ich bin absolut dafuer, dass das ein exzellenter Artikel wird. Und das wird schon :-) --DaTroll 17:28, 30. Aug 2004 (CEST)

Wikipedia:Kandidaten für exzellente Artikel (19.-31.) August

• pro Ich bin auf diesen Artikel gestoßen und habe mich sehr gefreut. Das (für mich jedenfalls sehr) schwierige Thema ist anschauchlich dargestellt und gut erklärt. Dafür möchte ich den Autoren danken! --Larus1 18:13, 19. Aug 2004 (CEST)

• pro Ich find ihn gut. Trotzdem hab ich noch ein paar kleinere Mängel: die Grafiken find ich ein wenig pixelig und ein paar praktische Anwednungsfälle aus dem täglichen Leben wären ganz nett, so daß das Thema nicht ganz so esoterisch ist. --Huebi 08:53, 20. Aug 2004 (CEST)
• contra: der mathematische Teil gefällt mir eigentlich schon sehr gut, aber ein paar Dinge hängen noch in der Luft.
  Mathematik: der Zusammenhang mit der Integralrechung ist nicht mal erwähnt!
  Geschichte: Wann wurde das Konzept entwickelt? Wie kann es sein, dass es einen lange und erbittert geführten Streit um die Urheberschaft gibt? Ist die Differentialrechung aus dem Nichts entstande, das heißt hat niemand vor Newton/Leibniz sich mit diesem Problem beschäftigt?
  Anwendung: Warum hat die D. so eine große Bedeutung, auch außerhalb der Mathematik? Der kurze Satz zur "Ableitungen nach der Zeit" ist da entschieden zu wenig - der ganze physikalische Formalismus hätte sich ohne dieses Konzept nicht entwickeln können! Auch Optimierungsaufgaben sind eine weitverbreitete Anwendung, die m.E. auf alle Fälle rein muss.
  Literatur: es gibt also nicht ein einziges Buch, in dem man das Konzept detaillierter nachlesen kann ;-) -- srb 13:14, 20. Aug 2004 (CEST)
• contra. zusätzlich zu den von srb genannten punkten noch folgende:
  • die jahrhundertelange verwirrung um die "unendlich kleinen" dx und dy wird nicht erwähnt (nicht mal Infinitesimalrechnung war verlinkt, habe das nachgeholt - dort steht allerdings auch kaum was dazu)

ah, habe noch entdeckt, dass das bei Infinitesimalzahl behandelt wird - also wenigstens darauf verlinken. Hoch auf einem Baum 18:25, 20. Aug 2004 (CEST)

• • der haupttext fängt einfach so an mit Die Funktion f heißt differenzierbar..., ohne zu erklären, was eine funktion f hier genau ist (der in der einleitung verlinkte artikel Funktion (Mathematik) ist allgemein gehalten und leistet das nicht) - das ist sowohl für den absoluten laien wichtig als auch andererseits für die mathematische genauigkeit (wie muss der definitions- und wertebereich sein, etc)
  • anwendungen, anwendungen (nicht nur die geschwindigkeit in der physik. ich habe zb mal gelesen (im lehrbuch von heuser, weiß nicht, ob es korrekt ist), dass das problem der konstruktion von optischen linsen ein wesentliches motiv für leibniz war - um das brechungsgesetz auf linsenoberflächen anzuwenden, muss man tangenten berechnen können)
  • der abschnitt Differenzialquotient erweckt den eindruck, als hätte newton mit grenzwerten gearbeitet, das ist so schlicht falsch
  • und schließlich: die rubrik heißt "exzellente artikel" und dieser artikel behandelt eines der enzyklopädisch wichtigsten gebiete der mathematik überhaupt. ohne die leistung der autoren schmälern zu wollen (der mathematische teil ist sehr solide): für "exzellenz" bräuchte es hier schon wesentlich mehr inhalt und einen gewissen "wow"-faktor, der im moment einfach fehlt. grüße, Hoch auf einem Baum 16:42, 20. Aug 2004 (CEST)
• pro, umfassend und anschaulich, bebildert und mit Literatur. So muss es sein. Stern !? 11:30, 22. Aug 2004 (CEST)
• contra: Geschichte und Anwendungen faktisch nciht vorhanden, mathematischer Teil weitgehend unkommentiert aus einer Aneinanderreihung von Formeln und (zugegeben exzellenten) Grafiken bestehend. Die Artikel Satz des Pythagoras, Goldener Schnitt und Kreiszahl sollten m.E. der Maßstab sein, an dem sich dieser Artikel messen lassen muß. -- Necrophorus 11:54, 22. Aug 2004 (CEST)
• contra: Es wird sehr gut erklärt, was die Ableitung ist. Die Bedeutung und die Geschichte werden aber nicht klar. --DaTroll 20:57, 22. Aug 2004 (CEST)
• contra: Ich zweifle nicht daran, dass der Artikel fachlich für einen angehenden Mathematiker sehr brauchbar sein mag und die zahlreichen Illustrationen mögen auch die Formeln illustrieren; für mich ist der Artikel aber unverständlich und unbrauchbar. Nach ein paar recht abstrakten einleitenden Worten kommt gleich eine wuchtige Formel, die nicht so erklärt wird, dass ich sie verstehen würde, vom "Oma-Test" und dem Rest des Artikel mal ganz zu schweigen. Ketzerisch gesagt: Mich interessiert der ganze Formalkram nicht die Bohne, ich will nur wissen -- in einfachen Worten ausgedrück --, was das Wesen der Differenzialrechnung ist und wie und wo sie benutzt wird. Differenzialgleichungen sind ein Schlüsselbegriff der Technik und Naturwissenschaft seit dem 19. Jahrhundert, und da wüsste ich gerne warum. Auch die Geschichte fehlt, also wer wann was mit Differenzialen gemacht hat, welche (Allerwelts-) Probleme damit gelöst wurden und nochmal: warum die Dinger so wichtig sind. --asb 16:32, 31. Aug 2004 (CEST)

Sorry, da muss ich vehement widersprechen. Der Artikel bewegt sich auf dem Niveau der gymnasialen Oberstufe. Dein Kapitel ist das ueber "Motivation". Das ist naemlich gleich ein ganzes Kapitel (so zwei Bildschirmseiten...) zur Erklaerung der Definition. Bei allem anderen muss ich Dir Recht geben. Viele Gruesse --DaTroll 16:49, 31. Aug 2004 (CEST)

• contra: auch nachdem ich erhebliche Arbeit in den Artikel gesteckt habe, sehe ich uns noch ein gutes Stück von Exzellenz entfernt. Da sich bisher keineswegs eine Mehrheit pro abzeichnet, erlaube ich mir, die Kandidatur zu beenden (habe keine Regel gefunden, wie das normalerweise läuft). Nach weiterer Verbesserung können wirs dann gerne nochmal probieren. -- Weialawaga 23:44, 31. Aug 2004 (CEST)

Diskussion aus dem Wikipedia:Review

Der Artikel ist schon sehr gut. Er braucht noch: Mehr Geschichte des Begriffes der Differenzierbarkeit (nicht der Infinitesimalrechnung, das soll da passieren). Die Bilder teilweise schöner und dann noch die Differenzierbarkeit im mehrdimensionalen. Für die restliche Kritik spiele ich den Ball zu Euch :-) Viele Gruesse --DaTroll 23:14, 5. Dez 2004 (CET)

• Wie du bereits sagst: Es fehlt Geschichte (der Verweis zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung ist wenig hilfreich, da da nicht viel zur Geschichte steht.) Insgesamt ist der Artikel aber wieder echt klasse und mit einem Grundverständinis Mathematik Oberstufe auch gut verständlich (eine kindergerechte Version ist IMHO unmöglich). Den Begriff "Hinführung" als Überschrift finde ich irritierend. Bei den Anwendungen wird der Text extrem lehrbuchmäßig und sollte leserfreundlich aufgespeckt werden. Die Bilder finde ich o.k., zur Anwendung im n-D-Raum weiß ich nix (würde ich das auch ncoh verstehen?). Sehr gute Grundlage, vor allem veglichen mit der einleitend angelinkten Integralrechnung. -- Necrophorus 01:31, 6. Dez 2004 (CET)
  • Wenn man den Prioritaetsstreit hier bringt, muss man ihn in drei Artikeln bringen. Insofern finde ich den Verweis auf Infinitesimalrechnung sehr sinnvoll. Im n-D-Raum wirds inhaltlich schon schwieriger, da braucht man gute Kenntnisse in linearer Algebra. Aber wenn Du den Abschnitt ueber partielle Ableitungen verstanden hast, siehts gut aus :-) Viele Gruesse --DaTroll 10:39, 6. Dez 2004 (CET)
    • Das mit der partiellen Ableitung mag evtl. daran liegen, dass ich denn doch kein unbelecktes Blatt an der Stelle bin. Als ausgebildeter Physiklaborant und mit einem Hochschulstudium eines Naturwissenschaftlichen Faches kann man die Differentialrechnung ja nicht immer umgehen und Kurvenauswertungen sind in beiden Fächern (ya, auch Biologen müssen rechnen) wichtig. Naiv betrachtet ist der Teil aber auch nicht sonderlich schwer, halt nur en wenig stark von der Definition ohne erklärendes Beiwerk bestimmt. Gruß , --Necrophorus 10:50, 6. Dez 2004 (CET)
      • Ah, Du steckst voller Ueberraschungen :-) --DaTroll 11:41, 6. Dez 2004 (CET)

Der Artikel könnte lebendiger sein.

• In die Einleitung sollte etwas, was den Sinn einer Ableitung schön anschaulich darstellt, ein Beispiel, bei dem jeder was von versteht, etwa: x: Düngergabe pro qm auf einem Feld. y: Der Ertrag auf einem Quadratmeter. Um wieviel steigt der Ertrag, wenn die Düngergabe um eine (unendlich kleine) Einheit erhöht wird? Wenn man als Beispiel eine umgedrehte Parabel nimmt, kann man auch schön anhand der Ableitung das Verhalten der Kurve zeigen. Mit Grafik! Auch den Differenzenquotienten könnte man mit so einem Beispiel nachvollziehbarer machen. Wenn es natürlich erwünscht ist, auch im inhaltlichen Text so ein Beispiel einzufügen.
• Ein Hinweis darauf, dass bei der infinitesimalen Betrachtung oft weniger ein einzelner Punkt von Interesse ist als Verhalten der gesamten Kurve.
• Für die Kurvendiskussion kommt etwa ein Beispiel einer Produktionsfunktion gut.
• Für den mehrdimensionalen Fall könnte man sich Preis-Absatz-Funktionen im zwei-Güter-Fall überlegen.

Eigentlich spucke ich den Mathematikern ungern in die Suppe, weil es davon (den Mathematikern) eh genug bei uns hat, da muss ich nicht auch noch meinen Senf zugeben. Vielleicht sind meine Vorschläge auch zu profan, habe nur spontan meinen Eindruck wiedergegeben. --Philipendula 13:01, 6. Dez 2004 (CET)

Finde den Artikel schon ziemlich gut...Allerdings glaube ich, das sich hier ein Beispiel aus der "Alltagsphysik" besser eignet als eines aus den Wirtschaftswissenschaften. Wie wärs mit der Berechnung von Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Autos aus der Zeit/Orts-Funktion? --Zivilverteidigung 14:23, 6. Dez 2004 (CET)

Wenn ich jetzt anfange, Beispiele aus der WiWi zu verteidigen, habe ich sie am Hals, also lass ichs lieber ;-). --Philipendula 14:35, 6. Dez 2004 (CET)

Beim Differenzenquotienten ist als Beispiel ja Auto und Geschwindigkeit (nicht Beschleunigung). Insofern wuerde mir als Beispiel fuer die Kurvendiskussion entweder genau dasselbe in Gruen gut gefallen (Wiedererkennungswert) oder was komplett anderes (z.B. Wirtschaftswissenschaften), um die Breite zu demonstrieren. Wer Lust hat, nach Euch, viele Koeche machen nen Spitzengericht oder wie das heisst. Viele Gruesse --DaTroll 15:39, 6. Dez 2004 (CET)

So, jetzt auch noch mal mein Senf zum Artikel (bzgl. des Beispiels sehe ich es aber so wie DaTroll, eine komplett andere Anwendung würde die Breite gut herausstellen.) Ansonsten:

• In der Einleitung sollte man stärker herausstreichen, dass das zentrale Konzept der Diff.rechnung darin besteht, aus was Kompliziertem (nicht-linearem) etwas Einfaches (lineares) zu machen - zumindest lokal. Das ist wirklich der Dreh- und Angelpunkt, das kommt noch nicht so heraus.
• Den Satz "In einer klassischen physikalischen Anwendung liefert ... die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens." finde ich an seiner gegenwärtigen Stelle in der Einleitung etwas deplatziert - Anwendungen sollten von Grundlagen getrennt werden.
• Geschichte ist wirklich noch sehr mager - auf den Prioritätsstreit braucht man da gar nicht genau eingehen (Newtons Fluxionen sollten aber schon erwähnt werden ), da gibt es auch so einiges zu sagen bis hin zu Weierstrass am Ende des 19. Jahrhunderts.
• Die Tabelle der Ableitungsfunktionen sollte weiter nach hinten verlagert werden; hinter die Berechnungsbeispiele.
• Bei der (etwas ausführlich geratenen) Kurvendiskussion fehlen die Begriffe Monotonie (bzgl. 1. Ableitung) und Konvexität (bzgl. 2. Ableitung)
• Dafür, dass der Artikel von Differentialrechnung handelt, kommt das Differential ein bisschen kurz. Das hängt damit zusammen, dass es zwei (äquivalente) Definitionen von Differentierbarkeit gibt, von denen hier nur eine zu finden ist. Theoretisch wesentlich wichtiger als die gegebene ist diejenige über das Differential: f(x)=f(x0)+Df(x0)(x-x0)+o(x-x0). Anders als die (eher dynamisch gedachte) Tangentendefinition - ich wackele etwas im Definitionsbereich und schaue mal, was die Funktion macht - ist die Definition, die vom Differential Gebrauch macht, stärker geometrisch orientiert - als lineare Approximation. Das kommt noch zu wenig heraus (s. o.).
• Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist, nun ja, eben ein Hauptsatz, wird hier aber arg nebensächlich "behandelt". Auch wenn es dazu einen eigenen Artikel gibt; der Inhalt (des Satzes, nicht des Spezialartikels) muss rein. Dasselbe gilt für den Mittelwertsatz, der ein enorm wichtiges theoretisches Werkzeug der Differentialrechnung ist - wiederum trotz Existenz eines eigenen Artikels.
• Der Aspekt Differenzierbarkeit und Approximation durch Funktionenfolgen sollte erwähnt werden (wenn eine Funktion gleichmäßig durch differenzierbare Funktionen approximiert werden kann, ist sie selbst differenzierbar).
• Komplexe Differenzierbarkeit sollte hier zwar nicht ausführlich erläutert werden, eine Erwähnung der viel restriktiveren Bedingungen sollte aber schon noch im Artikel Platz finden.
• Die mehrdimensionale Verallgemeinerung mit ihren zugehörigen Begriffen fehlt natürlich noch fast vollständig. Mithilfe der zusätzlichen Differential-Definition ließe sich das aber eigentlich elegant einführen (Gradienten als Zeilenvektoren der Koordinatenmatrix von Df, Divergenz als Spur, partielle Ableitungen als Matrixelemente, Richtungsableitung als Produkt von Df und Richtungsvektor etc.) Natürlich wäre auch dazu ein Beispiel schön. Auch die mehrdimensionalen Anwendungen (lok. Extrema), Regeln (Kettenregel) und Sätze (Schwarz, Mittelwertsatz, verallgm. Hauptsatz) müssten hierhin. (Vielleicht ergibt es allerdings Sinn, die Theorie nach der Einführung der n-dim. Diff.barkeit anzufügen, dann braucht man nicht zweimal dasselbe erzählen.
• Wenn man ganz ambitioniert ist, könnte man noch Differenzialrechnung auf Mannigfaltigkeiten inkl. Differentialformen anreißen - zumindest damit der Leser weiß, dass es sowas gibt.

Gruß --mmr 03:54, 9. Dez 2004 (CET)

Super, damit kann ich gut arbeiten. Die Definition als Linearisierung steht im Moment ganz am Ende bei totale Ableitung da. Viele Gruesse --DaTroll 12:48, 9. Dez 2004 (CET)

In der Schule haben wir einen Differentialquotienten mit h (ich glaub h=x-x_0) kennengelernt. e^x find ich sollte noch kurz erwähnt werden.--G 19:07, 21. Dez 2004 (CET)

Habe doch noch ein kleines wirtschaftliches Anwendungsbeispiel eingefügt, auch wenn mich die Physikerfraktion erschlägt. Ich fand den Artikel immer noch etwas seelenlos. --Philipendula 17:27, 27. Dez 2004 (CET)

A. Zur Nomenklatur: Der Artikel behandelt hauptsächlich die Ableitung, er sollte demnach auch so heißen, und es sollte m.E. s.v. Differential[- und Integral]rechnung, als dem Kern (nicht lediglich »wesentlichen Bestandteil«) der Analysis, auf Herkunft, Anwendung und v.a. Zusammenspiel der Grundbegriffe Ableitung, Integral und Differentialgleichung eingegangen werden. Insbesondere ist es die historische Leistung des Ableitungsbegriffes, Differentialgleichungen und damit die Physik überhaupt ermöglicht zu haben (und dies genau war die hist. Motivation!), wie er ohne den Zusammhang mit der Integration einen Großteil seiner Stärke verlöre.

Hier ist vielleicht auch eher der Platz für Beispiele und Anwendungen, sicher findet man etwas interessantes.

B. Zur Ableitung

• Die Ableitung sollte nicht als lim von Differenzenquotienten, sondern als lin. Approximation (wie unter »totale Ableitung«) definiert werden. Differenzenquotienten erhalten besser einen eigenen Artikel. Vorteile liegen auf der Hand; v.a. kann man gleich im Banachraum arbeiten, die geom. Anschauung verschwindet nicht hinter Indizes, allgemein ist der »Anschlußwert« (Luhmann) höher.
• Darauf folgend sollten m.E. neben den Differenzierbarkeitsbegriffen auch die üblichen Funktionenräume eingeführt werden.
• Ableitungsregeln: (i) elementare Funktionen (oder unter reelle Funktionen)(ii) Kettenregel (iii) Linearität, Derivation, usw. nicht aber Umkehrsatz, der ist zu wichtig!
• Reelle Funktionen: Beispiele, Bilder; einseitige Differenzierbarkeit, Mittelwertsatz -- Komplexe Funktionen: Cauchy-Riemannsche DGL, mindestens als Hinweis -- Matrixdarstellung der Ableitung, Funktionaldeterminanten, Taylordarstellung
• Kurven (Kurvendiskussion ausgliedern), aber z.B. Geschwindigkeitsvektor -- Flächen,
• Stammfunktion und Integral
• Satz über implizite Funktionen, Differentialgleichungen

C. Auf Detailkritik verzichte ich, da der Artikel ohnehin stark revisionsbedürftig ist. Abbildungen würde ich gut finden, z.B. sin x, cos x, Geschwindigkeitsvektor einer Raumkurve (besser als der allereinfachste Fall einer rellen Funktion). Geschichte am Ende zusammenfassend behandeln. »Unendlichkleine« Größen dorthin, mit Verweis auf non-standard Analysis. Es gibt natürlich sehr viel Geschichte zu erzählen, es fällt mir aber im Moment partout nichts ein :-)) Eine Frage wäre noch, wie geht es weiter? Welche Artikel runden das Bild ab? Humbug 23:54, 4. Jan 2005 (CET)

Meine wesentliche Schwierigkeit beim Erweitern des Artikels ist der historische Teil. Es ist mir ueber das, was schon im Artikel steht nicht moeglich, bestimmte Definitionen einer bestimmten Zeit oder Personen (Cauchy, Weierstrass etc.) zuzuordnen. Wer da Quellen hat, immer her damit. Viele Gruesse --DaTroll 16:06, 5. Jan 2005 (CET)

Ich fürchte, so wahnsinnig viel zur Geschichte kann man bei solch einem Thema auch nciht verlangen (bzw. würde ich es nicht verlangen). Die Entwicklung ist einführend dargestellt, inklusive der Probleme und deren Lösungen. Imho sollte das für den einleitenden Teil reichen, da es auch nciht die klassischen Anwendungen der Differentialrechnung gibt sondern das ganze wie die Grundrechenarten so universell ist, dass man da wohl nix abgrenzen kann. Der mathematische Teil erschließt sich je nach Leser unterschiedlich weit, das ist allerdings nicht zu vermeiden und imho o.k. so. Wenn jetzt nicht irgendein mathematisch hochgebildeter Mensch Fehler im Artikel nachweist würde ich ihn ohne größere Bedenken auf jeden Fall durchwinken. -- Achim Raschka 01:50, 18. Jan 2005 (CET)

Wenn Du meinst :-) Ich stell ihn dann nach dem Wochenende in die Kandidaten, vorher moechte ich noch ein bisschen schleifen. Viele Gruesse --DaTroll 13:37, 19. Jan 2005 (CET)

Kritik und Fragen von Paddy

Das Thema wird wie in einem Schulbuch erklärt aber nicht wie in eine Enzyclopädie. --Paddy 11:43, 29. Jan 2005 (CET)

Übrigens es heißt +-h! Und das im Zähler wie im Nenner ;-) --Paddy 11:53, 29. Jan 2005 (CET)

Nein, nur wenn man voraussetzt, dass h>0, was aber hier nie getan wird. Ansonsten habe ich den Abschnitt mit der Kurvendiskussion, der noch ziemlich Schulbuchmäßig war, ziemlich gekürzt und werde den Artikel dann jetzt vorschlagen. Viele Gruesse --DaTroll 17:42, 29. Jan 2005 (CET)

h ist aber nicht im Artikel definiert. Also fehlt da eine Information. --Paddy 16:20, 30. Jan 2005 (CET)

Nein. Es gibt keine Einschränkung an h, außer das es in die Funktion eingesetzt werden kann, also muss da auch nichts definiert werden. Wie gehts eigentlich Deinen anderen Fehlern die Du so gefunden hast? --DaTroll 16:28, 30. Jan 2005 (CET)

Fehler ist vielleicht etwas zu hart. Unvollständigkeiten würde ich sagen. Ich lese den Artikel bei Gelegenheit mal ganz genau durch. Das h hätte ich beispielsweise gerne etwas näherer erklärt gehabt. Was mich auch stört, ist, dass die h-Methode als einzige Möglichkeit dargestellt wird. Ich meine es gibt auch weitere Methoden. Liege ich da falsch? --Paddy 16:41, 30. Jan 2005 (CET)

Jeder Autor schreibt es anders. Vom Konzept her läuft es aber immer auf die Definition mit der Linearen Abbildung oder dem Grenzwert des Differenzenquotienten hinaus. --DaTroll 17:27, 30. Jan 2005 (CET)

Also ich habe ja schon gefragt ob h negativ sein kann, aber kann h auch Komplex sein? Über h wird rein gar nichts gesagt. Was ist U? Warum werden anderere Methoden als die h Methode (oder schreibweisen) nichteinmal erwähnt. Ich werde mal morgen abend sorgfältig recherchieren zu diesem Thema. Bilder bei denen der Nullpunkt fehlt (keine beschriftung des Nullpunktes), kann ich als Pedant gar nicht leiden ;-) --Paddy 03:34, 31. Jan 2005 (CET)

Fehlt (Inhalt oder zumindest Link auf): Leibnizsche Regel, Satz von Fermat, Satz von Rolle, Satz von Taylor,... --Paddy 03:52, 31. Jan 2005 (CET)

Bei einer reellen Funktion kann ich natürlich kein komplexes h verwenden, das kann ich doch gar nicht einsetzen. Bei einer komplexen Funktion muss das h dann auch komplex sein. Das U habe ich eingefügt. Zu den Schreibweisen: eine andere Schreibweise steht sogar im Artikel. Und dann halte ich es für wirklich hinfällig, weitere Schreibweisen zu erwähnen, weil es hier keine genormte Schreibweise gibt. Jeder Autor schreibt es leicht anders, aber die Sachen unterscheiden sich rein in der Notation. Und wenn jemand von f(x) nicht auf g(u) abstrahieren kann, sorry, Pech gehabt. Eine Beschriftung des Nullpunkts ist echter Mumpitz. In der ersten Graphik sind noch nicht mal Zahlen und auch völlig zu Recht, weil das da völlig unerheblich ist.

Der Satz von Rolle ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes, weswegen ich den gar nicht erst reingenommen habe. Der Satz von Taylor (du meinst vermutlich das Restglied?) ist bei Mehrfache Ableitungen verlinkt. Vielleicht sollte man aber zur Tayor-Reihe noch einen extra Abschnitt bringen. Satz von Fermat und Leibnizsche Regel sagt mir spontan nichts. Viele Gruesse --DaTroll 09:31, 31. Jan 2005 (CET)

Das U ist schon einmal gut.

Schreibweise war etwas unglücklich ausgedrückt ich meinte nicht f(x) oder g(u). Ich habe immer noch nicht verstanden unter: "Differenzierbarkeit und Ableitung in einem Punkt: Formale Definition und Notation" Ob das wirklich der Einzige Weg, Methode, (ich weiß nicht wie ich es ausdrücken sollte) ist, um an den Differentialquotienten zu gelangen. Auch sollte klar sein, dass ich mich von zwei Seiten durch das h nähere, wenn Du das h nicht in der Hinsicht irgendwie erklärst, wird irgendwer sicher wieder fragen: warum steht da nicht +-h? ;-)

Im meinem Bronstein und in weiteren Büchern ist der Nullpunkt immer gekennzeichnet. Wenn es um konkrete Beispiele geht mindesten jeweils auch eine Einheit auf den beiden Achsen. Zweiteres ist ja erfüllt. Ich erzähle die keinen vom Pferd. Ich war bei dem einen Bild dadurch wirklich etwas aufgeschmissen. Zumal die Achsen und das Gitter auch unterschiedliche linienstärken aufweisen und ziemlich mittig sind Striche, die ausssehen wie die y-Achse. Das hat bei mir die Verwirrung perfekt gemacht. Erst bei genauerem hinsehen und kurzem nachrechnen wurde mir klar das der Ursprung sehr weit links ist und nicht mittig. Das kann aber auch daran liegen, dass die Funktionen bunt sind und alles mögliche hervorgehoben ist aber die Achse sich hingegen nicht wirklich absetzt. Das ist mein persönliches Empfinden und auch mittlerweile eine Angewohnheit, da ich mehrfach in Testaten und Prüfungen dafür auch kritisiert wurde ;-)

Bei mir sind all diese Sätze unter "Hauptsätze der Differentialgleichung" aufgeführt im Bronstein.

Beim Mittelwertsatz fehlt mir die geometrische Deutung und Anwendungen (Schuld des verlinkten Artikels). Und OK dort steht auch etwas zum Satz von Rolle.

Den Satz von Taylor hast Du irgendwie an einer anderen Stelle als unter den Sätzen. Es fehlt das die Funktion und ihre Ableitungen stetig sein müssen. Außerdem würde ich von n Ableitungen und n-1 Ableitungen sprechen. Geschmackssache.

Au backe habe gerade Monotonie (Mathematik) angesehen. Ist nicht deine Schuld aber da wird der Leser nicht schlau wenn er da drauf klickt ;-) Da kommt das Beispiel vor der Definition. Naja, sollte man mal bei Gelegenheit ansehen und drüberbügeln.

Satz von Fermat: notwendige Bedingung für Maxima und Minima.

Leibnizsche Regel bei Ableitungen höherer Ordnung: Berechnungen der Ableitung n-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei Funktionen.

Bei weiterem durchlesen finde ich die Gliederung persönlich etwas chaotisch. Zuerst Differentialquotient erklären, wie du es getan hast, mit den Unterpunkten Geometrische Deutung und Erklärung der Differenzierbarkeit und wie das mit links und rechtseitigen Ableitungnen ist. Dann würde ich die ganzen Regeln erklären Konstantregel, Summenregel, Faktorregel,... dahinter die Tabelle. Dann Ableitungen höherer Ordnung. Dann die Kurvendiskusion monotonie, Extremwerte, Wendepunkte, Krümmung,.... Dahinter die ganzen Sätze. Am Ende würde ich "Ableitungen von mehrdimensionalen Funktionen" packen wobei ich das Thema sehr mager behandelt finde da kann man wesentlich mehr zu schreiben. Die letzten beiden Punkte "Verallgemeinerung: die Differentialform" und "Differentialgleichungen" sind ganz am ende OK.

Vielleicht sollte ein kleiner Abschnitt in den Artikel, wie man graphisch differenzieren kann? Manchmal läßt sich das unter bestimmten Bedingungen ganz elegant auf dem Papier näherungsweise konstruieren. --Paddy 16:27, 31. Jan 2005 (CET)

Grenzwert der Sekantensteigung oder Lineare Abbildung, das sind die beiden Konzepte die es gibt und die sind beide aufgefuehrt.

Bei der Abbildung gehts Dir wohl um die bei Minima und Maxima. OK, da sehe ich ein, dass es zu Verwirrung kommen kann, durch die Striche die genauso dick und gefaerbt sind wie die Achsen. Ich selbst habe leider keine Moeglichkeit, eine bessere Grafik zu produzieren.

Ansonsten habe ich den Artikel an vielen Stellen bewusst knapp gehalten und verweise auf die Verlinkten Artikel. Mir ist klar, dass diese vielfach noch zu wuenschen uebrig lassen. Allerdings hat der Artikel hier schon fast 20 Bildschirmseiten und irgendwann ist auch mal gut :-) Deswegen wuerde ich den Mittelwertsatz hier nicht gross ausfuehren wollen. Ebenso gehoert die (relativ belanglose) Leibnizsche Regel in den Artikel Produktregel. Der Inhalt des Satzes von Fermat ist dann ja im Artikel skizziert. Den Namen selbst habe ich auch durch Nachschlagen in diversen Buechern nicht finden koennen. Und zur Taylor-Reihe schreibe ich bei Gelegenheit noch mehr.

Bei Deiner Gliederung konnte ich jetzt nicht ganz rauslesen, was Du anders machen wuerdest :-( Mh, was meinst du mit graphisch ableiten? Die Konstruktion der Tangente selbst? Oder Approximation durch eine Sekante? Viele Gruesse --DaTroll 14:04, 1. Feb 2005 (CET)

Ok da haben wir uns schomal ein wenig näher verstanden ;-)

"Grenzwert der Sekantensteigung oder Lineare Abbildung" <== OK ich dachte es gäbe noch weitere Ansätze. Kann dies aber nicht belegen.

Zu den Abbildungen: Exakt! Hat aber auch nicht wirklich direkt was mit dem Artikel zu tun. Aber ein exzellenter Artikel sollte auch gut, anschaulich und verständlich bebildert sein IMHO. Die Graphen sind zudem stark verpixelt :-(

Die Länge des Artikels messe ich nicht in Bildschirmseiten sondern in kB *.txt und die beträgt 28K. Und vieles davon sind Forlmeln. "Satz von Fermat" kann doch an der Stelle verlinkt oder erwähnt werden? Die paar Byte ;-) "Leibnizsche Regel" steht im Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig Taschenbuch der Mathematik ISBN 2-8171-2004-4 . Aber um es mal knapp asuzudrücken mir fehlen hintenheraus im Artikel, wo es spezieller wird sehr viele Schlüsselbegriffe oder Stichworte für den "aha Effekt". Wie hängt das Thema mit anderen Themen zusammen: "Die Produktregel kann mit Hilfe der Leibnizschen Regel auch für höhere Funktionen angewadt werden." würde mir schon reichen

Meine Hauptkritik bleibt aber, dass "Ableitungen von mehrdimensionalen Funktionen" sehr mager ist. Geometrische Deutung ist dort beispielsweise auch nicht so wirklich vorhanden. Hier fehlen auch die Beschreibungen der wichtigsten Eigenschaften wie Invarianz und Größenordnung (wieder Stichworte ;-). Und dann hört das Thema plötzlich auf. Was ist mit dem "Vollständigen Differential", "Differntialen höherer Ordnung" und "Funktionen mit mehreren Veränderlichen" etc. bei diesem Thema. Und obwohl das Thema wohl kaum einen Laien interessiet, wird dennoch probiert es Laienhaft darzustellen mit Beispiel und anschaulich. Ich glaube ab dort könnte der Artikel so langsam ins Eingemachte gehen ;-) Ist ein sehr interessantes Thema, was ich wohl nie vollständig verstehen werde (Egal ich meine Mathe hinter mir und brauche sie lediglich als Werkzeug). Und solange der Artikel nicht viel größer als 32k ist ist es wohl völlig egal.

Gliederung: Ich kann mir nicht helfen aber ich kann keinen roten Faden herauslesen. Das mag vielleicht auch an den Überschriften liegen. "Ableitungen von mehrdimensionalen Funktionen" könnte man an diser Stelle auch "Differtiation von Funktionen mit mehreren Veränderlichen" nenenn Ich habe lediglich einen Vorschlag gemacht, wie man das vielleicht besser machen kann. Ich sach gar nicht, dass dies der Beste Vorschlag ist. "Komplexe Differenzierbarkeit" finde ich schon sehr speziell und das steht relativ früh am Anfang. Punkt 3 ist "Beispiellastig" und ich würde mir mehr Text wünschen. Bilder und Tabellen und Beispiele sind schon gut aber das ist genau was ich mit Schulbuch meinte. Punkt 4 finde ich sehr speziell kann IMHO nach hinten. Punkt 5 ist wieder etwas allgemeiner und könnte irgendwie zu Punkt 3? Selbiges für Punkt 6? Punkt 7 und 8 würde ich von der Reihenfolge tauschen.

Zur graphischen Differentiation kann ich gerne etwas schreiben. Sag mir bescheid wo Du es haben möchtest ;-) --Paddy 15:57, 1. Feb 2005 (CET)

Ja, die Abbildungen sind halt nur ganz OK :-(

Leibnizsche Regel habe ich Dir ja abgekauft, die steht in meinem Bronstein auch drin. Der Satz von Fermat allerdings nicht (und auch sonst kann ich ihn nicht finden). Leibnizsche Regel ist halt wirklich eine Trivialitaet: Das ich die n-te Ableitung eines Produktes durch n-malige Anwendung der Produktregel erhalte und dass dann diese Koeffizienten auftauchen ist vom heutigen Stand der Technik eine Fingeruebung (Leibniz wird sich noch ziemlich einen abgebrochen haben, konzeptionell steckt da aber nichts hinter).

Bei den Funktionen mehrerer Veraenderlicher ist das beim nochmaligen Draufgucken wirklich etwas knapp. Was Du mit Groessenordnung und Invarianz meinst, weiss ich aber nicht. Das totale Differential ist uebrigens einfach die Abbildung L.

Zur Gliederung: Ich habe es mir so vorgestellt. Einleitung. Der ganze Block reeller Funktionen einer veraenderlicher. Komplexe Funktionen einer Veraenderlicher. Berechnung: Butter bei die Fische. Hier sollen auch viele Beispiele sein, ansonsten waere hier auch direkt wieder der "Lyncht die unverstaendlichen Mathematiker"-Mob vor der Tuer. Mehrfache Ableitungen jetztm denn die braucht man fuer den folgenden Abschnitt. Bestimmung von Maxima und Minima (benoetigt halt die zweite Ableitung). Mehrdimensionale Funktionen. Wichtige Saetze.

Punkt vii) koennte ich mir vorstellen, dass man den aufloesen koennte und direkt in die zugehoerigen Abschnitte packt. Ebenso hast Du mit dem Beispiel (Abschnitt 6) Recht, dass stammt noch aus der Zeit, als der Abschnitt mit den MAxima und Minima eine Monster-Kurvendiskussion war.

Graphische Differentiation: jetzt weiss ich immer noch nicht, was das ist. Viele Gruesse --DaTroll 16:23, 1. Feb 2005 (CET)

Dann sind wir uns so halbwegs einig IMHO. Wie gesagt ich stehe auf Schlagworte oder Stichworte. Das machst du auch am anfang wunderbar sind auch alle fett. Fehlt gegen ende allerdings. Und auch wenn die Sätze trivial sind, ist es unheimlich wichtig für die Volltextsuche und für die Suche des Lesers im Text.

Satz von Fermat gibt es vertrau mir oder schlags nach ;-) Und dann wollen wir mal sehen was du daraus machst :-) mfg --Paddy 17:07, 1. Feb 2005 (CET)

Ne, Vertrauen reicht mir da nicht. Bitte gib doch eine Quelle an. Da der Name extrem ungebräuchlich ist (ums mal so zu formulieren), sollte er auch nicht ohne weiteres in die Wikipedia, sonst betreiben wir Begriffsbildung, nicht -darstellung. Viele Gruesse --DaTroll 09:24, 2. Feb 2005 (CET)

Alle Sätze stehen im Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig Taschenbuch der Mathematik ISBN 2-8171-2004-4 und ich habe nachgeschlage auch in dem alten Bronstein stehen sie (vielleicht nicht alle?).

Dann habe ich heute in der Bibliothek nachgeguckt es gibt eine "Encyclopedia of Mathematics; D-Feynman Measure" ISBN 1-55608-002-6 3.Band. Sehr schöner Artikel. Sehr schönes Werk vor allem ist die Einleitung sehr interessant: „17 Jahrhundert R. Descartes (I. Newton G. Leibnitz) aber erst anfang 19. Jahrhundert => Grenzwert "limit"“. Teilweise würde ich den Artikel als Maßstab für WP sehen teiweise ist Deiner ausfürlicher. Alle Sätze, um die ich Dich gebeten habe, sie doch bitte mindestens zu erwähnen, werden Fett in einem Satz in diesem Werk erwähnt. Auch wenn Du sie trivial findest ;-)

Graphische Differentiation steht übrigens auch im alten Bronstein.

Ich werde auch einen kleinen Beispiel edit machen, was ich noch ein wenig verbessern würde als eine allgemeine Anregung. mfg --Paddy 19:36, 2. Feb 2005 (CET)

Also den Satz von Fermat finde ich zum Verrecken nicht im Bronstein. Naja, egal. Wir machens so: Du kennst Dich mit html eh viel besser aus als ich, also schreibst Du die Leibnizsche Produktregel in die Tabelle der Ableitungsregeln. Bei den von mir angekündigten Teilen wirds wohl etwas dauern, aber die Taylor-Reihe schaffe ich vermutlich.

Was das mit dem Grenzwert angeht, so stehts ja auch so im Artikel: die Definition wie sie im Artikel steht stammt von Cauchy (Anfang des 19.). Die heute benutzte Definition des Grenzwerts (vorher haben die den Begriff relativ intuitiv benutzt) stammt von Weierstraß (nach 1850). Viele Gruesse --DaTroll 20:55, 2. Feb 2005 (CET)

Warum ich die Änderungen gemacht habe? Ich denke man will auf die Tangentensteigung hinaus? Von Sekanten habe ich in meiner Literatur herzlich wenig ;-) Was den Satz von Feramt anbelangt probiere ich mich noch einmal :-) Im Grunde hast Du das schon irgendwie drinne fehlt halt noch die Erwähnung. --Paddy 14:37, 3. Feb 2005 (CET)

Also mein derzeitiger Eindruck ist irgendwie, dass Du den Artikel doch nur relativ oberflaechlich gelesen hast. Die Tangentensteigung kommt direkt im naechsten Absatz... --DaTroll 14:46, 3. Feb 2005 (CET)

Das weiß ich doch das ist aber nicht der Punkt. Die Frage ist was soll das ständige Gerede von Sekante, wenn eigentlich die Tangente das eigentliche Ziel ist? --Paddy 15:07, 3. Feb 2005 (CET)

Paddy bitte! Die Tangentensteigung ist der Grenzwert der Sekantensteigung! --DaTroll 16:39, 3. Feb 2005 (CET)

Jaaaaaaaaaa, ich weiß! Kommt aber so rüber als wäre es super wichtig eine Sekantensteigung zu berechnen und nicht den Grenzwert ;-) --Paddy 17:15, 3. Feb 2005 (CET)

Also ich denke, dass keiner erwartet, in der Hinfuehrung schon beim Filetstueck zu sein. Viele Gruesse --DaTroll 17:36, 3. Feb 2005 (CET)

Ich hab mir das eine Bild mal angeschaut, wenn etwas anders werden soll bitte konkrete Änderungsvorschläge. Bild:Einekurvendiskussionmod.png --G 23:03, 1. Feb 2005 (CET)

Viel besser so ;-) --Paddy 19:36, 2. Feb 2005 (CET)

Kandidatendiskussion: Differentialrechnung, 29. Januar

Aus dem Review, kein Votum, da einer der Hauptautoren. Kurze Anmerkung zum Geschichtsteil: Meiner Meinung nach gehört der vor allem in Infinitesimalrechnung (ja, da steht noch nicht viel, aber das ist nicht der Punkt). Viele Gruesse --DaTroll 17:49, 29. Jan 2005 (CET)

• CONTRA ein mäßiger Schulbuchartikel! Aber mit Sicherheit kein exzellenter Enzyklopädie Artikel. Einige Fehler sehe ich alleine beim überfliegen. Ich bin kein Mathematiker. Aber so wird Differentialrechnung auch nicht von einem Mathematiker dargestellt. Ich habe einige Mathematiker in Vorlesungen gehabt (Leider. Ich brauche eigentlich nur praxisbezogenes Wissen). Der Artikel hat unzureichende Definitionen, Herleitungen oder Beweise. Da mit dem +-h hatte ich schon ins Review geschrieben. Sorry aber No Sir! --Paddy 19:06, 29. Jan 2005 (CET)

Also ich bin Mathematiker und dann erzähl doch mal konkret, wo Du die Fehler siehst. Zu dem +-h habe ich schon im Review was geschrieben, da liegst Du einfach falsch. --DaTroll 19:30, 29. Jan 2005 (CET)

• pro - Ich als Nichtmathematiker finde den Artikel sehr gut bzw. überdurchschnittlich (=exzellent) für einen Mathematikartikel. Er ist klar und verständlich geschrieben, sehr gut illustriert und weist für mich keine erkennbaren Fehler auf. -- Achim Raschka 22:10, 29. Jan 2005 (CET)

• Erst mal danke an DaTroll für einen der wenigen Mathematik-Artikel die für Laien verständlich geschrieben sind. Aus diesem Grund fällt mir mein contra auch sehr schwer. Wahrscheinlich ist genau diese durchgehende Verständlichkeit auch der Mackel des Artikels, da ihm meiner Meinung nach der wissenschaftliche Inhalt fehlt. Die vielen Beispiele tragen zwar sehr zum Verständnis für Laien bei, der Artikel geht dann allerdings nicht näher auf die Thematik ein. Ich denke das es über ein so wichtiges Gebiet der Mathematik auch aus historischer Sicht doch mehr zu sagen geben sollte. -- Peter Lustig 23:00, 29. Jan 2005 (CET)

Nach nochmaligem durchlesen ziehe ich mein contra zurück, ich hab da gestern wohl etwas voreilig gehandelt. Mein (kommentar-)Nachfolger hat nämlich recht, der ARtikel soll ja kein FAchbuch zum Thema sein sondern ein Enzyklopädie-Artikel. Im übrigen sind ja auch die Artikel zu den Teilgebieten der Differentialtechnung gut verlinkt und diese Artikel (sollten) die von mir gefordertere genauere Betrachtung gewisser Aspekte enthalten.

Da ich den Artikel aber weiterhin für verständlich geschrieben und flüssig zu lesen halte, stimme ich nun mit pro. -- Peter Lustig 10:21, 30. Jan 2005 (CET)

• pro - Welches Niveau wollen wir hier eigentlich? Stellt euch mal vor, jede Fachgruppe würde plötzlich darauf drängen, ihre Wikipediaartikel auf sagen wir mal Diplomarbeitsniveau zu bringen. Wikipedia wäre in kürzester Zeit unbenutzbar. Abiturniveau ist anzustreben. Und der Artikel ist wirklich Klasse! --Stefffi 19:49, 30. Jan 2005 (CET)

• pro - Sollte unbedingt zu den Exzellenten. Falls doch noch irgendwas nicht richtig sein sollte, dann kann man das ja jederzeit korigieren. --Zahnstein 09:06, 30. Jan 2005 (CET)
• pro Ich bin Mathematik-Leistungskursler und der Artikel geht über Abitur-Niveau hinaus, Fehler habe ich keine gesehen. Über die Verständlichkeit kann ich nicht viel sagen, aber vielleicht wäre es gut, delta noch zu erklären.--G 13:55, 30. Jan 2005 (CET)

Ich hab gerade nochmal nachgeschaut, und bei uns wurde bei der Version mit h x und nicht x_0 benutzt, weiß aber nicht ob das eine Rolle spielt.--G 14:11, 30. Jan 2005 (CET)

• PRO find ich gut...@Paddy: Gerade die Darstellung finde ich gut. Der Stil ist zwar nicht wirklich enzyklopisch ABER ich finde das bei Matheartikeln gar nicht schlecht. Hier sollten doch die leichte Anwendbarkeit und die Verständlichkeit im Vordergrund stehen. "Ich habe einige Mathematiker in Vorlesungen gehabt" - Ich auch! Und wenn die "Darstellungen" die ich da gesehen habe Einzug in die Wikipedia halten sollten, dann würde ich nicht nur für den Artikel mit Contra stimmen, sondern auch noch ein Meinungsbild "Erschießen wir den Hauptautor?" anregen. --Zivilverteidigung 22:41, 30. Jan 2005 (CET)

  Der Stil ist zwar nicht wirklich enzyklopisch <== Genau! --Paddy 01:35, 31. Jan 2005 (CET)

Danke für den Versuch meine Meinung wegen eines Schreibfehlers abzuqualifizieren. Passiert dir bestimmt nie! --Zivilverteidigung 10:50, 31. Jan 2005 (CET)

• pro. Der Stil ist nicht enzyklopisch, dafür aber enzyklopädisch. Beim Überfliegen habe ich keine Fehler gefunden, beim gründlichen Lesen auch nicht. Der Artikel ist für Interessierte verständlich. — Martin Vogel 鸟 02:18, 31. Jan 2005 (CET)

  Ich wollte nicht auf dem Typo rumhacken ;-) Obwohl ja auch, aber nicht im besonderen! So jetzt muss ich wohl auch mal gründlich lesen. --Paddy 02:49, 31. Jan 2005 (CET)

• Durchgesehen und keine Kritik gefunden, ausser vielleicht das Grün in der Grafik für Wendepunkte, das ergibt zuwenig Kontrast. pro --Ikiwaner 08:55, 31. Jan 2005 (CET)

• Pro. Schön vielfältig. --Philipendula 19:45, 2. Feb 2005 (CET)

Unter Kritik und Fragen von Paddy sind noch einige Dinge, die noch behoben werden müssen. Bitte ansehen. Insbesondere die letzten 4-6 Absätze. Danke --Paddy 17:17, 1. Feb 2005 (CET)

abwartend - in den letzten Monaten hat sich der Artikel gut entwickelt, aber ein paar Dinge gefallen mir noch nicht so gut

• mehrfache Ableitungen - werden angewendet, bevor sie definiert sind
• das WiWi-Beispiel wirkt irgendwie als Fremdkörper - viel Einleitung, viel Rechnung, praktisch kein Ergebnis - der Bezug wirkt zudem irgendwie gekünstelt. Nix gegen ein Beispiel außerhalb der Naturwissenschaften, aber gibt's nichts besseres? Vielleicht ein Optimierungsbeispiel?

Es gibt auch ein Leben nach der Optimierung. Häufig interessiert man sich einfach nur für das Verhalten einer Funktion, besonders in der Volkswirtschaft, bei der man (zumindest die quantitative Fraktion) in Systemen denkt. Ich bin aber nicht sauer, wenn man das Beispiel wieder killt. Sauer werde ich dann, wenn man statt dessen ein liebloses Physik-Beispiel hinrotzt reinsetzt, das keiner versteht (außer Physiker ;)). Nix für ungut --Philipendula 00:52, 3. Feb 2005 (CET)

• den Satz von Schwarz als erste Erwähnung der partiellen Ableitungen - ich weiß nicht so recht
• Totale Differenzierbarkeit - wirkt sehr formal und ist (vermutlich deshalb) sehr schwer zu verstehen, ein Beispiel könnte vielleicht helfen
• Die Differentialgleichungen am Ende wirken auch noch irgendwie nach der Art, "muss zwar gesagt werden, aber eigentlich wollen wir nichts sagen" - vielleicht das Newtonsche Bewegungsgesetz besser hierher?

Der eindimensionale Teil sieht insgesamt gut aus - der Schlußteil, der darüber hinausgeht, macht auf mich aber noch den Eindruck einer eher lieblos zusammengetragenen Stichpunktsammlung. -- srb ♋ 00:38, 3. Feb 2005 (CET)

Der Punkt mit den mehrfachen Ableitungen und den Satz von Schwarz muss ich grummelnd an Paddy zurueckgeben, der die Gliederung verbessern wollte und einiges umgestellt hat. Das Newtonsche Bewegungsgesetz dahin zu packen, ist eine gute Idee, der Abschnitt mehrfache Ableitungen wird eh noch durch einen Absatz zur Taylor-Reihe aufgewertet. Viele Gruesse --DaTroll 11:01, 3. Feb 2005 (CET)

• Kein Votum, da ich kein Mathematiker bin und mich vor dem Lesen druecke. Mir gefaellt lediglich die intensive Fettformatierung vor allem im ersten Teil nicht so besonders. Bitte um Verzeihung fuer den kleinkarierten Kritikpunkt. --chd + 20:14, 17. Feb 2005 (CET)

stetig differenzierbar

Ich denke das der Begriff stetig differenzierbar und vorallem das Beispiel für eine nicht stetig differenzierbare Funktion zu speziell für eine Einführung in Differenzialrechnung sind und deshalb in einen eigenen Artikel (stetig differenzierbar) augelagert werden sollten. Beziehungsweise könnte man das auch in den Artikel differenzierbar verschieben. MFG Stefanwege 22:44, 30. Aug 2004 (CEST)

Ja, so langsam wird der Artikel voll. Man könnte schon was in "stetig differenzierbar" auslagern. Noch würde ich aber lieber den hier erweitern. Das Beispiel ist sehr klassisch und kann auch verständlich erklärt werden. Prinzipiell haben die Bearbeiter von "differenzierbar" übrigens gepennt: das hätte ein Redirect auf den Artikel hier werden müssen. Im Moment ist die Struktur einfach so, daß alles (bis auf Partielle Ableitung hier erklärt werden soll. Viele Gruesse --DaTroll 23:18, 30. Aug 2004 (CEST)

Logarithmische Differentiation

Fehlt bei den Ableitungsregeln nicht noch die Logarithmische Ableitung für solche Scheußlichkeiten wie

$f(x)=(1-x)^{1+x^{2}}$ ?

--Philipendula 09:55, 1. Sep 2004 (CEST)

Die logarithmische Ableitung ist vielleicht erwähnenswert; man kann Dein Beispiel, umgeformt in exp( ln(1-x) * (1+x^2) ) aber auch Schritt für Schritt mit bisher schon genannten Techniken lösen: Ableitung elementarer Funktionen (exp, ln) nachschlagen, Kettenregel und für die innere Ableitung Produktregel. Was aber definitiv fehlt, ist, dass im Text ein solches Beispiel (vielleicht kein ganz so gemeines Beispiel) explizit vorgerechnet wird. -- Weialawaga 10:36, 1. Sep 2004 (CEST)

Also eines muss man Dir lassen: Delegieren kannst Du. Wie wäre es beispielsweise mit:

Funktionen der Art $y=f(x)^{g(x)}$ können mit herkömmlichen Ableitungsregeln nicht unmittelbar gelöst werden. Das folgende Beispiel zeigt eine mögliche Vorgehensweise:

Es soll die Funktion $y=x^{x}$ abgeleitet werden. Es gilt zunächst $x^{x}=\exp {(lnx^{x})}=\exp {(xlnx)}$. Man ermittelt die Ableitungsfunktion nun wie folgt:

${\frac {d\exp {(xlnx)}}{dx}}=\exp {(x\ln {x})}(1\cdot \ln x+x\cdot {\frac {1}{x}})=\exp {(x\ln x)}(\ln x+1)=(\ln x+1)x^{x}$,

wobei zunächst bei der Exponentialfunktion die Kettenregel exp'(g(x))= exp(g(x))*f'(x) angewandt wurde und f'(x) mit der Produktregel ermittelt wurde.

Lies es mal bitte kritisch quer, weil ich es mal eben so ausgedacht hatte. Die Demonstration könnte vielleicht noch etwas umständlicher sein.

Viele Grüße --Philipendula 14:36, 1. Sep 2004 (CEST)

Mir scheint, dass speziell hier die volle Regel leichter nachzuvollziehen ist als ein Beispiel mit dem atypischen Fall g=h=x. Als Beispiel für die Anwendung von Ableitungsregeln schwebt mir eher etwas harmloses wie exp(-x^2) vor. Aber das soll definitiv kein Arbeitsauftrag an Dich sein ;-) -- Gruß, Weialawaga 15:45, 1. Sep 2004 (CEST)

Das exp(-x^2) hat aber eigentlich nix mit der logarithmischen Ableitung zu tun und kann ja normal mit der Kettenregel gelöst werden. Eklig sind immer die "x hoch x"-Fälle. Möchtest Du einfach beliebige Beispiele? --Philipendula 18:03, 1. Sep 2004 (CEST)

Ich hoffte, x^x sei durch g^h adäquat versorgt. -- Weialawaga 18:38, 1. Sep 2004 (CEST)

Um daran zu erinnern, dass es hier an weit mehr als an hübsch durchgerechneten Beispielen fehlt, hier ein paar Ideen: Zerlegung der Ableitungs- und Stammfunktionentabelle in zwei Tabellen und Einarbeitung in die Artikel Differential- und Integralrechnung; Verallgemeinerungen auf >1 Dimensionen (Verknüpfung mit Vektoranalysis usw.); Verknüpfung mit Differentialgleichungen; weitgehende Überarbeitung von Integralrechnung; Renovation von Infinitesimalrechnung; ... Weialawaga 18:38, 1. Sep 2004 (CEST)

Das mit den Beispielen war Deine Idee! ;-) Um was handelt es sich bei "Zerlegung der Ableitungs- und Stammfunktionentabelle in zwei Tabellen"? --Philipendula 18:48, 1. Sep 2004 (CEST)

Ableitung als Artikelname

Meiner Meinung nach ist Ableitung der Zentrale Begriff dieses Artikels und sollte deswegen auch der Name des Artikels werden. Genauer: "Ableitung (Mathematik)" . Differentialrechnung kommt bis auf die einleitenden Sätze überhaupt nicht im Artikel vor. Stefanwege 18:33, 1. Sep 2004 (CEST) Ich werde gleich auch noch einen Löschantrag für den Artikel Ableitung (Mathematik) stellen (ist derzeit ein Verweis auf Differentialrechnung) damit der Artikel sammt seiner Diskussionseite verschoben werden kann. Stefanwege 18:36, 1. Sep 2004 (CEST)

Spontane Reaktion: lass uns bittschön versuchen, die Verweisstruktur rund um Ableitung und Diff.rechnung auf der Diff.rechnungs-Disk.seite zu klären und nicht per Löschantrag. Löschantrag zieht jede Menge Leute an, die Streit um des Streits willen suchen. Falls wir uns auf Verlagerung des Textes einigen, kopieren wir ihn an Stelle des bisherigen Redirects; das geht ohne vorherige Löschung. Deshalb die eindringliche Bitte: verzichte auf den Löschantrag, oder baue ihn zurück, falls Du ihn schon gestellt hast. Danke, Weialawaga 18:42, 1. Sep 2004 (CEST)

Ok ich hab den Löschantrag erstmal wieder herrausgenommen. Aber nur den Text zu kopieren finde ich nicht ok da dann die Versionsgeschichte verloren geht (Verstoß gegen GNU-Lizenz) und die Diskussionsseite nicht mitverschoben wird. Vielleicht sollte man mal einen Admin direckt ansprechen. --Stefanwege 19:00, 1. Sep 2004 (CEST)

Disk.seite kann man von Hand verschieben. Einwand betr. Versionsgeschichte scheint mir dagegen sehr bedenkenswert. Aber erstmal abwarten, ob wir überhaupt verschieben wollen. -- Weialawaga 19:15, 1. Sep 2004 (CEST)

Auf der Versionsgeschichte vonn Differtialrechnung verliert man langsam den Überblick. Es wäre übersichtlicher wenn du demnächst mehrere kleine Änderungen zu einer großen zusammenfaßt. Stefanwege 18:53, 1. Sep 2004 (CEST)

Sorry: "Vorschau" klappt bei mir nicht; und mein Arbeitsstil ist nun einmal eher sprunghaft (andernfalls täte ich jetzt etwas ganz anderes und gar nix mehr für die WP). Weialawaga 19:15, 1. Sep 2004 (CEST)

Nun eine inhaltliche Stellungnahme: ich verstehe das Argument pro höchstfrequentes Schlagwort. Ein anderer Gesichtspunkt aber scheint mir ausschlaggebend: Differentialrechnung ist der übergeordnete Begriff. Alles was wir zur Ableitung zu sagen haben, passt auch unter die Überschrift "Diff.rechnung"; die Umkehrung aber gilt nicht. Z.B. erwarte ich unter Ableitung nicht unbedingt Beispiele für Funktionen, die *nicht* differenzierbar sind. Deine Anregung, das Schlagwort Ableitung schon im Vorspann zu nennen und kurz zu erklären, befürworte ich hingegen, und Deine Erklärung gefällt mir sehr gut. Weialawaga 19:15, 1. Sep 2004 (CEST)

Das Argument, das Wort "Differentialrechnung" komme im Text so gut wie nicht vor, versuche ich durch eine Analogie zu entkräften: wenn ich versuche, zu erklären, was Mechanik ist, rede ich alle Nase lang von "Kräften", aber nicht von "Mechanik". - Um zu erklären, was Differentialrechnung ist, ist "Differentialrechnung" das denkbar unbrauchbarste Wort. -- Weialawaga 19:40, 1. Sep 2004 (CEST)

Für mich ist Ableitung der grundlegendere Begriff. Differentialrechnung kann (und sollte) man erklären als das Teilgebiet der Mathematik das sich mit Ableitungen beschäftigt. Man kann also den Begriff Differentialrechnung auf den Begriff Ableitung zurückführen. Umgekehrt braucht man aber um Ableitung zu erklären den Begriff Differentialrechnung nicht zu verwenden. Aus diesem Grund bin ich immer noch der Meinung das der Artikel Ableitung heißen sollte.

PS: Eine Funktion die nicht differnzierbar ist, ist eine Funktion die keine Ableitung besitzt. Es mach meiner Meinung nach also durchaus Sinn in einem Artikel über Ableitungen etwas über nicht differezierbare Funktionen zu schreiben. --Stefanwege 12:00, 2. Sep 2004 (CEST)

Also ob Ableitung oder Differentialrechnung der grundlegendere Begriff ist, halte ich fuer eine muessige Diskussion. Letztendlich unterscheiden sich die Sachen nicht. Mir persoenlich gefaellt der aktuelle Artikelname besser, das betont irgendwie die tatsaechliche Anwendung. Die Alternative Ableitung (Mathematik) gefaellt mir vor allem wegen des Klammerzusatzes im Namen nicht. Differentialrechnung ist ferner mittlerweile als die Adresse bekannt, wo man die Ableitung findet, wie ein Blick auf die Links auf diese Seite zeigt. Viele Gruesse --DaTroll 13:14, 2. Sep 2004 (CEST)

Dieser Artikel beantwortet nicht die Frage: Was ist die Ableitung? Antwort: Die Ableitung ist eine Lineare Abbildung.

Ungenauigkeiten und daher evtl. Verständnisschwierigkeiten

Hallo zusammen!

Hab eben mal den Beitrag zur Differentialrechnung angesehen und dabei ist mir folgendes aufgefallen:

1. Bei Differentiation wird grundsätzlich vergessen, daß die Funktion zumindestens in einer offenen Umgebung der untersuchten Stelle x_0 definiert sein sollte. Ausdehnung des Differentiationsbegriffs auf den Rand kann dann auch noch erwähnt werden. Zumindest muß die Funktion aber NICHT, wie bei "Ableitungen von mehrdimensionalen Funktionen" behauptet (unten) eine Funktion von ganz R^n sein (das wäre außerordentlich schlimm), und kann aber andererseits auch nicht nur in dem einen zu untersuchenden Punkt definiert sein (so klingt es bei euch oben) (Stichwort: Häufungspunkt).

2. Es könnten die Funktionenklassen C^k(R^n,R^N) erwähnt werden. Denn oft wird z.B. geschrieben: Sei f \in C(R^n), anstatt: Sei f:R^n -> R eine stetig diff-bare Funktion. Diese Klassen werden also vielen begegnen.

3. Glattheit bedeutet nicht immer unendlichoft diff-barkeit, sondern kommt auf den Kontext an. Oft werden Funktionen einfach als "hinreichend glatt" angenommen bzw vorrausgesetzt.

4. Eine Ungenauigkeit, die gerade Anfängern oft erhebliche Probleme bereitet, ist: Die von Euch gegebenen Definitionen von Diffbarkeit im ein- und mehrdimensionalen stimmen scheinbar nicht ganz genau überein. Mal muß es einen Limes in R geben, also eine reelle Zahl, gegen die der Differenzenquotient konvergiert und mal eine Lineare Abbildung. Das liegt natürlich daran, daß die R-Algebren Hom(V,W) und Mat(n x m) isomorph sind, ein Isomorphismus läßt sich bei Wahl von Basen leicht angeben. Jede lineare Funktion läßt sich nach Wahl von Basen durch Mult mit einer Matrix darstellen und im eindimensionalen dann eben mit Multiplikation mit einer reellen Zahl. Und umgekehrt. Darauf sollte zumindest hingewiesen werden, denn man kommt schnell in Verwirrung, wenn man als Anfänger hört:

- Die Ableitung ist immer linear. (Gemeint ist NICHT die Ableitungsfunktion, sondern die Ableitung an einer Stelle, und zwar in der Definition, wie ihr sie bei "Totale Differenzierbarkeit" mit L bezeichnet habt.)

oder

- stetig diff-bar bedeutet, daß die Ableitungsfunktion diff-bar ist. (Dies ist natürlich auch für von euch unten genannte Definition von "Totale Differenzierbarkeit" gültig: Dann ist die Ableitungsfunktion eben eine Funktion, die jedem Element aus R^n eine lineare Abbildung von den gleichen Räumen wie die Funktion selbst zuordnet, also etwa f: R^n -> R^N, dann f': R^n -> Hom(R^n,R^N), und Hom(R^n,R^N) versehen mit Operator-Norm (sonst gibt's keine Stetigkeit).)

5. Der Fall von Funktionen von R -> R^n ist vielleicht als Sonderfall in einem Satz erwähnbar, da dann die Differenzialquotienten-Definition vom eindimensionalen Fall genau übernommen werden kann.

6. Der Fall von Funktionen von R^n -> R ist vielleicht auch als Sonderfall erwähnbar, da hier auch "Funktionsdiskussion" mit Extremstellen, Sattelpunkten etc., Taylor-Entwicklung. Die Ableitungen sind hier gerade die Elemente des Dualraums und die Gradienten daher dann die Riesz-Vektoren, etc.

7. Auch der Begriff Jacobi-Matrix gehört doch eigentlich kurz erwähnt, wenn man schon totale Diff-barkeit erwähnt. Das ist es doch schließlich, womit die meisten Anwender von Differentialrechnung (z.B. Wirtschaftswissenschaftler, etc.) eigentlich rechen.

Ich könnte mir vorstellen, daß man mit wirklich WENIGEN Zeilen mehr in dem Artikel die von mir genannten Punkte berücksichtigen könnte und deshalb vielleicht auch sollte. - Bis auf den Punkt 6 eventuell: Der könnte etwas mehr Platz in Anspruch nehmen, falls man das überhaupt möchte.

Vielleicht gibt mein Kommentar ja ein paar Anregungen oder Ideen. Jedenfalls viel Spaß noch und weiter so! ;-) Gruß!--Henning1000 20:00, 03.01.2005

Danke für die konstruktive Kritik, viele Gruesse --DaTroll 21:11, 3. Jan 2005 (CET)

In der Einleitung steht

...wird die Ableitung als diejenige lineare Funktion definiert...

und das ist so verkürzt-falsch. Die (höherdimensionale) Ableitung ist eine Funktion, deren Werte in einzelnen Punkten lineare Abbildungen sind, aber das ist ja wohl auch nicht gemeint.--Gunther 00:30, 28. Feb 2005 (CET)

Naja, falsch ist es nicht, aber jetzt beim nochmaligen Lesen etwas irreführend, weil die Begriffe Ableitung in einem Punkt und Ableitungsfunktion durcheinandergebracht werden können. Im ganzen ersten Abschnitt ist allerdings noch nicht die Rede von der Ableitung als Funktion sondern immer nur von der ableitung in einem Punkt. Ich denk da mal über ne bessere Formulierung nach. Viele Gruesse --DaTroll 11:09, 28. Feb 2005 (CET)

Guck doch jetzt nochmal. Viele Gruesse --DaTroll 14:03, 1. Mär 2005 (CET)

Hm, ganz glücklich bin ich auch damit nicht. Die Ableitung in einem Punkt ist nicht die lineare Funktion, die f approximiert, sondern nur deren Steigung. Wenn ich mich recht erinnere, ist das auch einer der Punkte, die in der Schule Schwierigkeiten bereiten: die Unterscheidung zwischen Tangente (bzw. Tangentenfunktion) und Ableitung.--Gunther 14:39, 1. Mär 2005 (CET)

Stimmt, ist natuerlich Schwachsinn was da steht. Mit einem "Änderung der" eingeschoben ist es jetzt richtig. Viele Gruesse --DaTroll 15:42, 1. Mär 2005 (CET)

Einleitung

Einleitung menschenfreundlicher

hi, ich finde den artikel in summe sehr gut. als mathematiklehrer, der die bedürfnisse seiner schüler kennt, würde ich mir aber die einleitung (vor dem inhaltsverzeichnis) weniger mathematisch und näher beim menschen wünschen. ich hab mit dem satz über das zentrale thema (die berechnung von veränderungen) versucht, einen schritt in die m.e. richtige richtung zu tun, aber da kann noch besseres kommen. vielleicht probier ich später noch mal. michael--MiBü 17:00, 29. Jan 2005 (CET)

Ich habe folgende Verbesserungsvorschläge:

1. In "Berechnen von Ableitungen" würde ich zunächst den Teil ab "Beispiel für die elementare Berechnung ..." schreiben. Erst am Ende dieses Absatzes hinter den "Ableitungsregeln" dann den Link auf die Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen, den Link auf Bronstein und dass man die Formeln auch auswendig lernen kann. Also erst erklären, wie differenziert wird, und dann erst die Tabelle. In dieser Tabelle würde ich mir wünschen, dass die Formeln auch bewiesen bzw. berechnet werden, wobei die Ableitungsregeln dann als bekannt vorausgesetzt werden dürfen.
2. Ich würde mir zur Momentangeschwindigkeit ein anschauliches Beispiel wünschen, z.B. den freien Fall, und warum das vor Leibniz und Newton ein Problem war ("null geteilt durch null").

Martin Vogel 鸟 02:09, 31. Jan 2005 (CET)

i) ich hab mal Deine Anregung aufgegriffen, allerdings nicht 1:1 umgesetzt. Die Beweise sind alle in den jeweiligen Artikeln zu finden und wuerden hier den Rahmen sprengen. ii) null durch Null wird erwaehnt. Was meinst Du denn mit anschauliches Beispiel? Einmal alles durch-x-en fuer ein Modellproblem wird weiter unten fuer ein Problem aus der Wirtschaft gemacht. Viele Gruesse --DaTroll 14:12, 1. Feb 2005 (CET)

es gibt zur differentialrechnung mehrere zugänge. der eine, im schulunterricht häufiger behandelte, ist der zugang über den sekanten- bzw. tangentenanstieg. das ist aber der abstraktere, weil er von alltäglichen sachverhalten abgewandt ist. (es ist der für lehrer einfachere einstieg; das ist der didaktisch ausgetretene trampelpfad, der von allen lehrbüchern unterstützt wird.) der einstieg, der der menschlichen realität viel näher ist, ist der über durchschnittliche und momentane veränderungen. was interessiert einen nicht-mathematischen menschen der tangentenanstieg? zunächst gar nix. aber dass sich dinge verändern, und dass die differentialrechnung dazu gemacht worden ist, solche veränderungen auf den moment zu beziehen und berechenbar zu machen, das sollte hier, in der wikipedia, in der einleitung zum ausdruck kommen. ich bleib dabei: die einleitung gehört viel näher zum "normalen menschen" hin formuliert. der ganze große rest des kapitels ist gut und hat seine richtigkeit. --MiBü 15:18, 1. Feb 2005 (CET)

meines erachtens hat auch eine quasi-definition der ableitung über infinitesimale veränderungen in der einleitung nix verloren. das ist in der einleitung zu früh; das gehört in den artikel selbst. die einleitung muss sachlich richtig aber möglichst allgemein verständlich sein, meine ich. derzeit ist das von (guten) mathematikern für (nicht so gute) mathematiker geschrieben.

ich war jetzt mal so frech und habs so zugespitzt, wie ich mir das vorstelle. --MiBü 15:52, 1. Feb 2005 (CET)

Du solltest mal langsam auch auf meine Argumente eingehen und versuchen, meinen Standpunkt zu verstehen, sonst kommen wir hier nicht auf einen gruenen Zweig. --DaTroll 16:04, 1. Feb 2005 (CET)

geht ja flott, mit dem rückgängig-machen. im ernst: ich hab auch nicht das gefühl, dass dich meine argumente interessieren.
ich hab von dir als argument wahrgenommen, dass der artikel sowohl für mathematiker als auch für nicht-mathematiker lesbar sein soll. mehr eigentlich nicht. dem stimm ich auch zu. ich denk, dass die einleitung speziell auch die funktion hat, nicht-mathematikern den einstieg zu erleichtern. mathematiker brauchen keinen besonderen einstieg; für die sind doch wohl eher die feinheiten des artikels; und da gibts ja genug davon.
falls ich argumente von dir übersehen hab, tät mir das leid. dann könntest du sie hier ja noch einmal darlegen.
ich weiß nicht, was du täglich mit differentialrechunung zu tun hast. für mich ist es täglich brot, das jungen menschen einprägsam und nachvollziehbar näherzubringen. ich weiß durchaus, wovon hier die rede ist, sowohl mathematisch als auch didaktisch.--MiBü 16:11, 1. Feb 2005 (CET)

Du trennst nicht sauber zwischen Gegenstand und Anwendung. Ein Wort wie momentan impliziert schon eine Anwendung. Ich habe extra auf Deine Anregung hin einen (einsaetzigen) Absatz zur Anwendung in die Einleitung gepackt. Das koenntest Du ergaenzen, aber nicht in einem rein mathematischen Abschnitt.

Wir sind uebrigens eine Enzyklopaedie und kein Lehrbuch. Gut Darstellen ist also sehr wichtig, aber es gibt Grenzen dessen, wie man die Sachen didaktisch aufzieht.

die geometrie (die steigung der tangente) ist bereits eine anwendung. allerdings ist es genau die abstrakte, von jedem gegenstand abgewandte. ich denke dass ein lexikonartikel über ein mathematisches thema (ganz egal welches) in seiner einleitung auch nicht-mathematikern einen hinweis auf nicht-mathematische anwendungen geben darf und SOLL.

du könntest übrigens begreifen, dass ein wort wie "momentan" keineswegs "eine Anwendung" impliziert. sondern viele. und nicht nur zeitbezogene. du musst das wort "momentan" keineswegs auf zeit beziehen. abgesehen davon, dass die anwendungen, wo "momentan" wirklich zeitbezug bedeutet, sicherlich zu den wichtigsten gehören.

also: ich höre deine argumente sehr wohl. du hörst meine nicht, sondern löschst reflexartig. enttäuschend! (so schnell wie du löschst, kannst du gar nicht nachgedacht haben, kommt mir vor.) --MiBü 14:51, 8. Feb 2005 (CET)

Zwischen Schuelern und Mathematikern ist uebrigens ungefaehr die ganze Welt mit allen Graustufen. Wenn also von Ingenieuren (die notorische Mathehasse sind, viel mehr als jeder "in Mathe war ich immer schlecht"-Dummschwaetzer) kommt, dass sie das prima verstaendlich finden (ganz im Gegenteil, Paddy kritisiert ja sogar, dass der Text zu billig ist), dann zeigt mir das, das Du ein Problem beschwoerst, was nicht besteht. --DaTroll 16:36, 1. Feb 2005 (CET)

ich beschwöre gar nichts; mir geht es nur um die einleitung. der rest des artikels passt mir gut. ich hab aber den anspruch und pflege ihn, dass zumindest die einleitung nicht nur für schon-halbwegs-informierte ("infinitesimale elemente" - wer zum teufel versteht denn so was, der nicht schon mathematiker ist????), sondern für ein breites publikum verständlich sein soll. was paddy und du im rest des artikels diskutieren, das ist mir (mit verlaub) wurscht. ich bin selbst mathematiker / mathematik-lehrer, und es graust mir - auch mit verlaub - vor einer darstellung der mathematik, die in der einleitung schon mit (allgemein!) unverständlichem daherkommt und schon in der einleitung sich von allem abschottet, was nur ein realitätsnahes problem sein könnte. da seid ihr knaben wirklich auf dem falschen weg. ich hasse eines: die arroganz von mathematiker gegenüber "normalen" menschen. ich weiß es noch nicht, ob ich sie hier wieder treffe. mal sehen. --MiBü 14:51, 8. Feb 2005 (CET)

Ich muss ueber meine Aenderungen an Deinen Sachen nicht mehr gross nachdenken, weil ich darueber shcon ganz viel und ganz lange nachgedacht habe.

Momentan impliziert eine Zeitabhaengigkeit. Immer.

schon mal was von "drehmoment", "trägheitsmoment", "magnetisches moment", "impulsmoment" gehört? "moment" - lt. papier-brockhaus - kommt von lat. "Stoß, Beweggrund". das auf zeit zu beziehen ist nicht denknotwendig; keineswegs. du irrst hier.
und ich meine eben keineswegs "lokal" - auch das wäre nur eine bestimmte anwendung.

Das was Du meinst ist lokal, das steht so im Artikel. Das ist auch keine Erfindung von mir, sondern allgemeiner mathematischer Sprachgebrauch. Und zum x-ten mal: Die Anwendung steht doch in der Einleitung! Lies sie doch einfach mal durch und hoere nicht sofort auf, wenn das erst Wort auftaucht, was Du nicht verstehst! Zu allem anderen sind meine Argumente schon mehrfach genannt worden, es waere nicht schlecht, auf diese einfach mal einzugehen, anstatt hier die mimosenhaft die Arroganz der Mathematiker zu beschimpfen... --DaTroll 15:03, 8. Feb 2005 (CET)

ich gehe auf deine argumente ein. absatzweise, auf jedes einzelne.
sich hier der diskussion zu stellen scheint mir nicht mimosenhaft. und "allgemeiner mathematischer sprachgebrauch" ist für eine wissenschaft, die sich nachweislich immer wieder terminologisch in so hohem maße abschottet, dass generationen von menschen mit ihr alptraumhaft verbunden sind, ein klägliches argument. es geht nicht um allgemeinen mathematischen sprachgebrauch, schon gar nicht in der einleitung, sondern um (a) veständlichen und (b) sachlich richtigen sprachgebrauch. (abgesehen davon ist die aussage anzuzweifeln. das ist zwar mainstream-sprachgebrauch, aber nicht allgemein. aber auch das hab ich dir hier schon mehrfach versucht zu verklickern.) --MiBü 15:18, 8. Feb 2005 (CET)

Langsam machst Du Dich lächerlich. Natürlich impliziert "momentan" etwas zeitliches. "Drehmomentan" gibt es nicht und was ein Drehmoment ist, ist nun wirklich unerheblich für unsere Diskussion.

Es tut mir herzhaft leid, daß Dein alptraumhaftes Verhältnis zur Mathematik darauf zurückzuführen ist, daß Du den Sprachgebrauch nicht verstehst. Das macht Deinen allerdings sachlich nicht richtiger (und um genau das gehts mir hier), auch zum etwa fünften male. --DaTroll 18:06, 8. Feb 2005 (CET)

nicht ich hab ein alptraumhaftes verhältnis zur mathematik, aber ich bin in der lage, es bei vielen zu erkennen. ich find das schade, und ich finds auch schade, dass ich hier auf die gleiche mathematische arroganz treffe wie sie leider oft üblich ist.
naja ... gut, dann erfahren wikipedia-leser auf die schnelle eben, dass sich die DR mit veränderungen von funktionen beschäftigt. müssen sie ja keine vorstellung davon haben, wozu funktionen dienen. oder: dass das mit alltag, mit alltäglichem zu tun hat. dafür erfahren sie, dass es um "infinitesimale änderungen des eingabewertes" geht.
wem nicht zu raten ist, dem ist auch nicht zu helfen.--MiBü 19:12, 8. Feb 2005 (CET)

Einleitung - Vorschlag diese etwas anschaulicher zu gestalten

Vorbemerkung

Ich habe bei Mathematikseiten oft den Eindruck, dass es sich primär um bessere Formelsammlungen handelt. Das ist schon sehr gut, aber ich halte das für wenig hilfreich, wenn man versucht die Idee hinter den Formeln zu verstehen. Die Differentialrechnung gehört zu den grundlegenden Techniken in vielen Anwendungen und wissenschaftlichen Disziplinen. Ich halte es deshalb für nützlich ein wenig darauf hinzuweisen, was damit gemacht werden kann. Der unten stehende Text ist deshalb ein Vorschlag, wie das kurz etwas veranschaulicht werden kann. Das thermodynamische Beispiel kann ich auch gerne noch ein wenig ausführlicher beschreiben, um den Sachverhalt verständlich zu machen.

Vorschlag des einzusetzenden Textes

Wozu dient die Differentialrechnung in der Praxis?

Bei vielen physikalischen oder chemischen Prozessen betrachtet man Zustandsänderungen und nicht Absolutwerte. Bei "normalen" Gleichungen der Form y = mx ist für jeden Wert der Variable x der Wert der Variable y definiert. Die Variablen x und y stellen dabei Absolutwerte dar, wie beispielsweise die Strecke oder die Zeit. In der Gleichung s = vt kann beispielsweise für jede Zeit t die Strecke s berechnet werden, die bei einer gegebenen Geschwindigkeit v zurück gelegt wurde. Bei manchen Problemen interessiert man sich jedoch nur für Änderungen einer Variable. Zum Beispiel interessiert man sich in der Thermodynamik für den Energieunterschied zwischen dem Produkt und dem Edukt einer Reaktion. Der Grund, sich für Energieunterschiede zu interessieren liegt darin begründet, dass die absoluten Energien der Produkte und Edukte unbekannt und nicht bestimmbar oder messbar sind. Es können also nur Energieunterschied gemessen werden. Typische Gleichungen der Thermodynamik sehen deshalb wie folgt aus: ΔU = PΔV - TΔS, bzw dU = PdV - TdS (U: innere Energie eines Systems; P: Druck; V: Volumen; T: Temperatur; S: Entropie). Das heißt, in dieser Art Gleichungen wird mit Differenzen, bzw. Differentialen operiert. Die Differentialrechnung liefert das Handwerkszeug, diese Art Probleme mathematisch zu behandeln.

Es gibt den Abschnitt Differentialrechnung#Ein_Beispiel_f.C3.BCr_angewandte_Differentialrechnung und an vielen Stellen im Artikel wird auf physikalische Anwendungen hingewiesen. Ich sehe da keinen Bedarf für dieses Beispiel. --P. Birken 20:39, 13. Aug. 2008 (CEST)

In dem von Ihnen genannten Beispiel wird eine Funktion untersucht, die Absolutwerte betrachtet und nicht Differenzen. Das Beispiel hier soll zeigen, dass es Anwendungen gibt, die direkt bei der Differentialrechnung ansetzen und nicht eine Funktion voraussetzt, die dann differenziert wird. Sentimus 21:06, 13. Aug. 2008 (CEST)

Ah, OK, wenn das der Punkt ist: Das hat hier meiner Meinung nach gar nichts zu suchen, weil es gar keine Differentialrechnung ist. --P. Birken 21:12, 13. Aug. 2008 (CEST)

Und wieso nicht? dU = PdV - TdS ist eine Differentialgleichung (oder sehe ich da was falsch?) Sentimus 21:24, 13. Aug. 2008 (CEST)

OK, nochmal von vorne: Du solltest Dir überlegen, was Du einbringen willst. Dann solltest Du den Artikel lesen, denn alle von Dir genannten Aspekte werden bereits behandelt: Differenzenquotient, Differentialgleichungen, Physik. --P. Birken 22:03, 13. Aug. 2008 (CEST)

Eulersche Funktion

Mir ist noch eingefallen, dass ich im Review vorgeschlagen habe, die Eulersche Funktion zu erwähnen, hast du das vergessen, oder gab es einen Grund dafür?--G 20:29, 15. Feb 2005 (CET)

Ne, das hab ich schlicht vergessen, ist aber ein guter Punkt, der noch reinsollte. Wo ich Dich hier gerade dahab: Du hast doch die Graphik nachbearbeitet. Hast Du eine Möglichkeit, dieses Bild so nachzubearbeiten, dass man vom Betrachten nicht mehr blind wird? Vielleicht pastellfarben oder so? viele Gruesse --DaTroll 23:24, 15. Feb 2005 (CET)

Schau dir das Bild mal an: Bild:Pythagorasdunkel.png; weißt du ob man Bilder als neuere Versionen speichern kann, oder ob sie überschrieben werden?--G 16:35, 18. Feb 2005 (CET)

Infinitesimalzahl

Ich halte es für extrem ungünstig, an dieser prominenten Stelle Werbung für Nichtstandardanalysis zu machen, zumal der verlinkte Artikel nicht am Anfang klarstellt, dass es um Exotik geht.--Gunther 18:50, 22. Mär 2005 (CET)

Ich hatte zu den Infinitesimalzahlen verlinkt, weil dort der Begriff infinitesimal sehr gut veranschaulicht wird. Dass Infinitisemalzahlen zur NSA gehoeren, sollte imho dabei hintenanstehen, ausserdem wird das dort erwähnt. Wenn das zu exotisch ist, sollte man das Wort vielleicht besser ersetzen. Ich finde jedenfalls dass die Anschauung von Infinitesimalzahlen hier beim Verständnis hilfreich ist. Madhatter 21:43, 22. Mär 2005 (CET) 21:30, 22. Mär 2005 (CET)

Die klassische präzise Fassung der Infinitesimalität ist der Grenzwert, und ich denke, man sollte bei einem Einführungsartikel nicht davon ablenken. Das kann man meinetwegen unter einer Überschrift "Andere Zugänge" oder so weiter hinten unterbringen, aber am Anfang halte ich Konsequenz für wichtig. Das Wort "infinitesimal" wird ja schon in der Einleitung "definiert" als "verschwindend klein", und das sollte für die Anschauung genügen.--Gunther 11:09, 23. Mär 2005 (CET)

Infinitesimalzahl hat den pragmatischen Vorteil, dass der Artikel zur Zeit einfach besser ist als Infinitesimalrechnung. Ansonsten ist der "klassische" Zugang schon das infinitesimale, der Grenzwertbegriff wurde ja erst über 100 Jahre nach Newton und Leibniz ernsthaft definiert. Ich fürchte auch, dass man diesen Satz nicht wirklich korrekt hinkriegt, ohne zum Grenzwert zu greifen. Wenn Dich an der speziellen Stelle das "infinitesimal" stört, nehmen wir doch "winzig" oder "beliebig"? Viele Gruesse --DaTroll 11:29, 23. Mär 2005 (CET)

Mit "klassisch" meinte ich die erste Präzisierung der Begriffe der Infinitesimalrechnung, also mithilfe von Grenzwerten. Eine mathematisch exakte Theorie infinitesimaler Zahlen ist vergleichsweise modern.

Ich behaupte auch nicht, dass dieser Satz eine präzise Aussage machen will, er will eine Anschauung bieten. Aber im Hinblick auf die folgende präzise Fassung sollte man sich entscheiden, ob man den Zugang über Grenzwerte oder den über Infinitesimalzahlen wählt, und bei dieser Entscheidung bleiben.--Gunther 12:30, 23. Mär 2005 (CET)

Totale Differenzierbarkeit

Das totale bzw. vollständige Differential ist eine Grundlage die man für viele naturwissenschaftliche Anwendungen benötigt. Was da aber im Moment im Artikel steht reicht keinesfalls. Es wäre schön einen eigenen Artikel hierfür zu haben und zwar nicht nur in Bezug auf die Differenzierbarkeit, sondern auf die Anwendung des totalen Differentials selbst. Wer will? --Saperaud (Disk.) 22:04, 27. Mär 2005 (CEST)

Die Frage ist eigentlich nur, wie man den Artikel nennt. In Frage kommen für mich Totale Differenzierbarkeit oder Mehrdimensionale Differenzierbarkeit oder auch Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher oder ... Ich würde den Artikel allerdings gerne selbst anlegen, da der betreffende Abschnitt zu 95% von mir ist. Viele Gruesse --DaTroll 22:48, 18. Apr 2005 (CEST)

Überblick

Ich finde der Artikel ist recht unübersichtlich und nicht klar genug untergliedert. Ich will z.B. nur schnell schauen wie ich eine funktion ableiten muss und muss mich erstmal durch viele Begriffe der Informatik usw. wühlen - Ich bin dafr einen Artikel Ableitung - Mathematik anzulegen in dem das nötigste (in der Schule vermittelte) genannt wird.

Der Artikel ist zu lang, das ist richtig. Die Ableitungsregeln sollten über das Inhaltsverzeichnis leicht zu finden sein, nur enthält diese Tabelle z.B. Exponentialfunktion und Trigonometrie nicht. Wäre vielleicht ein eigener Artikel zum Ableiten expliziter Funktionen sinnvoll?--Gunther 12:26, 30. Mär 2005 (CEST) (habe den Beitrag nach unten verschoben)

Du meinst die (im Artikel auch verlinkte) Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen. Deswegen enthält der Artikel hier auch nur allgemeine Ableitungsregeln. Viele Gruesse --DaTroll 22:43, 18. Apr 2005 (CEST)

Infinitesimalrechnung

Die Differentialrechnung ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird, und ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis.

Eigentlich nennt man beides schlicht Differential- und Integralrechnung. Bei den Mathematikern laufen die entsprechenden Vorlesungen unter Analysis, bei den angewandten Wissenschaften unter Höhere Mathematik. Den alten Zopf Infinitesimalrechnung sollten wir dringend aus dem Einleitungsteil streichen.

--Marc van Woerkom 17:15, 1. Apr 2005 (CEST)

Nicht unbedingt, noch vor wenigen Jahren (~5, ich habe nicht ausführlicher recherchiert) gab es an verschiedenen deutschen Universitäten noch Infini-Vorlesungen, inzwischen scheinen sie etwas seltener geworden zu sein.--Gunther 17:34, 1. Apr 2005 (CEST)

Die Infinitesimalrechnung umfasst nach meinem Wissen nicht nur die Differential- und Integralrechnung sondern allgemein alle Gebiete, deren Basis der Grenzwertbegriff ist. Ein Hinweis darauf wäre evtl. gut.

Wenn wir alles löschen was ein alter Hut ist, wird Wikipedia wohl plötzlich sehr überschaubar ;-)).--Heliozentrik 18:49, 19. Apr 2005 (CEST)

Banachraum?

Hallo, meines Erachtens fehlt hier die Ableitung einer Funktion zwischen Banachräumen, man könnte das gleich in den Teil zur endlich-dimensionalen Differentiation erinbauen, bis auf das Wort "stetig" vor lineare Abbildung ist es doch sonst im wesentlichen dieselbe Definition? 217.231.170.164 21:00, 18. Apr 2005 (CEST)

Handel es doch in einem Satz unter "Verallgemeinerungen" ab. Viele Gruesse --DaTroll 22:38, 18. Apr 2005 (CEST)

Hab ich, gibt es irgendeinen Grund dafür, dass der Name $f'(x_{0})$ für die Ableitung wieder gelöscht wurde? 217.231.166.226 19:53, 20. Apr 2005 (CEST)

Der Artikel soll einen Ueberblick zu geben. Dementsprechend sollte der Rest zu Differenzierbarkeit in Banachraeumen IMHO ich in einem eigenen Artikel erledigt werden. Viele Gruesse --DaTroll 10:00, 21. Apr 2005 (CEST)

Differentialrechnung

Ich bin unzufrieden mit diesem Artikel. Insbesondere bin ich der Meinung, dass er nicht präzise genug erklärt wird, was dazu führt, dass er schwerer zu verstehen ist. Libe wäre mir ein heranführendes leichtverständliches Beispiel, so dass man den mathematischen Laien an die begrifflichkeiten heranführen kann. Der Satz: In einer klassischen physikalischen Anwendung liefert die Ableitung der Orts- oder Weg-Zeit-Funktion nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens. lässt den Laien recht ratlos dastehen. Man müsste wissen, was das genau für eine Funktion ist, um aus dieser Aussage Nutzen ziehen zu können.

Mein Vorschlag für ein Beispiel:

Wir betrachten eine Kugel, die auf einer Ebene hin und her rollt. Wir messen die vergangene Zeit und zu jedem Zeitpunkt die Entfernung der Kugel zum Ausgangspunkt. Aus diesen beiden Messreihen lässt sich eine Funktion bilden. Dies bedeutet, dass wir jedem beliebigen Zeitwert einen (und nur einen) Entfernungswert zum Ausgangspunkt zuordnen können. In mathematischer Darstellung wird eine Funktion f(x) geschrieben, wobei x in unserem Beispiel den Zeitpunkt meint und f(x) den zu diesem Zeitpunkt gehörigen Entfernungswert. Eine Funktion wird es, wenn wir diese Zuordnung für alle möglichen Zeitpunkte innerhalb eines definierten Intervalls treffen können.

Wäre die Geschwindigkeit der Kugel konstant, dann könnte man sie berechnen, indem man zwei verschiedene Zeitpunkte nimmt, daraus die Differenz bildet und dies ins Verhältnis mit der Differenz aus den zugehörigen Entfernungswerten setzt. Verändert sich die Geschwindigkeit jedoch, dann ist diese Berechnung inkorrekt, wir nähern uns jedoch der tatsächlichen Angabe an (unter gewissen Voraussetzungen, die später erläutert werden), wenn die gewählten Zeitpunkte näher beieinander liegen. Nimmt man immer näher beeinander leigende Zeitpunkte wird die Angabe immer genauer. Theoretisch muss man also nur Zeitpunkte mit einem Unterschied von Null wählen. Praktisch sind aber in diesem Fall die Differenzen gleich Null, ein Quotient aus Nullen ist nicht definiert.

Hier behilft man sich mit Grenzwerten. Man definiert daher die Ableitung der Funktion f(x) mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten. Diese Ableitung können wir auf jeden einzelnen Zeitpunkt anwenden (wenn der Grenzwert existiert, dazu gleich mehr). Dadurch können wir eine neue Funktion g(x) angeben, bei der x weiterhin die Zeit darstellt, g(x) jedoch die Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle x. In unserem Beispiel gibt g(x) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x an.

Nicht jede Funktion lässt sich an jeder Stelle differenzieren. Rollt unsere Kugel beispielsweise nicht, sondern befindet sich von einem Moment zum anderen auf magische Weise an einer anderen Stelle, dann lässt sich für diesen 'Sprung' keine Ableitung angeben. Mathematisch heißt dieser Sprung Unstetigkeit, wenn die Funktion keine Sprünge aufweist, dann heißt sie stetig. Stetigkeit ist eine Voraussetzung für Differenzierbarkeit, sie allein genügt aber nicht in jedem Fall.

Prallt die Kugel beispielsweise von einer Wand ab, wird ihre Geschwindigkeit in einem Moment in eine andere Richtung gelenkt. Zum Zeitpunkt des Aufpralls lässt sich der Grenzwert des Differenzquotienten nicht bestimmen, für ihn gäbe es zwei mögliche Werte. Auch dies bedeutet, dass die Funktion an der Stelle nicht differenzierbar ist.

Das ist mit Sicherheit verbesserungsfähig. Aber so ungefähr stelle ich es mir vor, dass man anhand eines plausiblen Beispiels nach und nach alle Begriffe einführt. Verwendet man immer das gleiche Beispiel für verschiedene Begriffe, dann wird es im Allgemeinen leichter. Der Artikel ist derzeit in der Beziehung etwas wirr und sprunghaft, daher eher schwerverständlich für einen Laien. Dieses Beispiel sollte dann mit den Berechnungen aus dem Abschnitt Hinführung kombiniert werden. Erst später sollte man weitere mögliche Interpretationen angeben, z.B. Tangenten und Sekanten auf dem Funktionsgraphen.

Weitere Kritik: Im Abschnitt 'Differenzierbarkeit und Ableitung in einem Punkt: Formale Definition und Notation' sind die Symbole U und h unzureichend definiert. U ist ein Intervall... worauf? h wird gar nicht definiert. Paddy hat mit seiner Kritik Recht, nimmt h als einen komplexen Wert oder einen Vektor an, dann wird die ganze Berechnung erstmal hinfällig. Erst bei der komplexen Differenzierbarkeit wird erwähnt, dass das bisherige reell war. U darf auch kein Intervall auf natürlichen oder rationalen Zahlen sein, das ganze funktioniert nur bei reellen Zahlen wirklich.

Vor den Ableitungsregeln sollte auch einige Beispiele für Ableitungen von einfachen Funktionen aufgezählt werden. Die Ableitungsregeln nützen wenig, wenn man dadurch nicht auf einfache Funktionen kommt, deren Ableitungen man kennt. Also: konstante Funktionen werden nach Null abgeleitet, xⁿ wird nach n*x^n-1 abgeleitet usw.

Beim Satz

Für die formale Bezeichnung beliebiger Ableitungen $f^{(i)}$ legt man außerdem fest, dass $f^{(1)}=f'$ und $f^{(0)}=f$.

ist bei mir im Browser der eine Strich nicht erkennbar. Dadurch kommt für mich heraus f0=f unf f1 auch gleich f. Kann man den Strich in der Latex-Darstellung irgendwie deutlicher machen?

Die Geschichte kommt im Artikel insgesamt zu kurz. Sie ist immer wieder mal an verschiedenen Stellen eingestreut. Besser wäre es, wenn die Erklärungen ohne die Geschichte auskämen. Nach dem Verständnis des Differentiationsbegriffes kann man sich dann der Frage widmen, wie man dazu gekommen ist. Und diese Geschichte könnte insgesamt etwas umfangreicher ausfallen als bisher.

Insgesamt ein guter Artikel, aber meiner Meinung muss da noch etwas gefeilt werden, damit er exzellent bleibt. -- Dishayloo [ +] 01:32, 24. Mai 2005 (CEST)

Zum TeX-Problem: Bugreport ist verfasst, vorläufige Lösung: mit \, die Erzeugung von PNGs erzwingen.--Gunther 01:52, 24. Mai 2005 (CEST)

Hiho, also einige grundsätzliche Anmerkungen: der Artikel ist kein Lehrbuchartikel und wir schreiben ja auch kein Lehrbuch. Mehr Beispiele würde ich in einem solchen auch erwarten, aber jeden Begriff hier mit einem Beispiel zu unterlegen halte ich nicht für sinnvoll. Wenn Du auf bestimmte Stellen hinweist, dass die ein Laie nicht versteht, dann ist das halt so. Es kann nicht jeder alles verstehen.

Ein Lehrbuch würde ich übrigens auch nicht mit demselben Beispiel immer und immer wieder schreiben, weil die Leute dann denken, dass es bei Differentialrechung nur um diese spezielle Anwendung gehen würde.

Speziell zu dem Physik-Satz: der Laie hat jetzt eine Vorstellung von der Ableitung als Geschwindigkeit. Und das war das Ziel.

Zum Definitionsabschnitt: Intervalle sind immer reell. Was das h angeht, das ist $x-x_{0}$, wenn Du magst, erwähn das nochmal explizit.

Ableitungsregeln: Konstante Funktionen nach Null ist die erste Regel die da steht, die von Dir erwähnte Potenzregel de zweite...

Geschichte ist in der Tat etwas kurz, das liegt daran, dass von mir immer geplant war, diese nach Infinitesimalrechnung zu packen, weil sie meiner Meinung nach dort hingehört. Die Geschichte der Notation beispielsweise im Abschnitt weiter oben einzustreuen taugt allerdings nicht. Höchstens, wenn man den Abschnitt sehr weit nach hinten packt, aber dafür ist er mir zu wichtig. Viele Gruesse --DaTroll 09:17, 24. Mai 2005 (CEST)

Differential (Mathematik) enthält jede Menge Geschichte.--Gunther 10:18, 24. Mai 2005 (CEST)

Ah, danke. Komischer Artikel oder? --DaTroll 10:26, 24. Mai 2005 (CEST)

Ja. Die erste Hälfte stammt von mir, die zweite von Roomsixhu, und die beiden Hälften wollen nicht so recht zusammenpassen.--Gunther 10:53, 24. Mai 2005 (CEST)

Ich habe jetzt einen Geschichtsabschnitt gemacht und die Infos ergaenzt. --DaTroll 14:23, 26. Mai 2005 (CEST)

Wäre das vielleicht ein guter Zeitpunkt um die Eulersche Funktion zu ergänzen?--G 22:01, 12. Jun 2005 (CEST)

Du meinst die Exponentialfunktion? Was sollte man dazu schreiben und wieso unter Differentialrechnung?--Gunther 22:38, 12. Jun 2005 (CEST)

@G: Das habe ich sogar glatt gemacht :-) @Gunther: Es ist schon erwähnenswert, dass es nur eine Gruppe von Funktionen gibt, die beimAbleiten gleich bleibt und welche das ist.

@Rest: Da hier nichts mehr passiert: was ist nu mit der Wartung? --DaTroll 09:10, 13. Jun 2005 (CEST)

Warum sollte man dann nicht auch die Gruppe der Funktionen erwähnen, deren zweite Ableitung das Negative der Funktion ergibt? Sind harmonische Schwingungen nicht ähnlich wichtig wie exponentielle Vorgänge?--Gunther 09:24, 13. Jun 2005 (CEST)

Ich habe an der Stelle (Abschnitt "Ableitung als Funktion") überlegt, noch ein paar andere Fälle abzugeben, mir gefällt es allerdings in der Kürze so wie es jetzt formuliert ist. --DaTroll 09:34, 13. Jun 2005 (CEST)

Ich erkläre dann mal die Wartung für beendet, danke an alle für die konstruktive Kritik. --DaTroll 09:19, 14. Jun 2005 (CEST)

"Aus diesen beiden Messreihen lässt sich eine Funktion bilden." Es handelt sich in dem Beispiel um eine Meßreihe mit zwei Werten bei jeder Messung: Zeit und Ort. Zusammen mit dem Sätzen "Dies bedeutet, dass wir jedem beliebigen Zeitwert einen (und nur einen) Entfernungswert zum Ausgangspunkt zuordnen können. In mathematischer Darstellung wird eine Funktion f(x) geschrieben, wobei x in unserem Beispiel den Zeitpunkt meint und f(x) den zu diesem Zeitpunkt gehörigen Entfernungswert. Eine Funktion wird es, wenn wir diese Zuordnung für alle möglichen Zeitpunkte innerhalb eines definierten Intervalls treffen können. würde ich formulieren:

Es handelt sich also um eine Meßreihe, die einen Zusammenhang zwischen dem Zeitpunkt der Messung und dem Ort hat. Dieser Zusammenhang kann verschieden dargestellt werden, z.B. als Kurve auf einem Blatt Papier. Die mathemathische Bezeichnung eines Zusammenhangs (hier zwischen Zeit und Ort) ist "Funktion", geschrieben y = f(x), wenn dieser Zusammenhang zu jedem x (hier zu jedem Zeitpunkt) besteht. Dabei ist x die Größe, deren Änderung als gegeben behandelt wird (hier die Zeit), f als Abkürzung für Funktion und y als Ergebnis der Funktion (hier der Ort). Dabei können für die 3 Bestandteile der Funktion (x, f, y) auch beliebig andere Bezeichnungen stehen.--Physikr 10:06, 14. Jun 2005 (CEST)

nal ganz ehrlich leute, für jemanden der keine ahnung von mathe hat, und sich den scheiß aber dank falsch gewähltem leistungskurs doch aneignen muß, ist das, was ihr schreibt unverständlich- zumindest für mich. es ist einfach zu umständlich erklärt. es wäre schön, wnn das ganze mathezeugs idiotensicher mit beispielen für dummies, wie mich erklärt wäre.

aber trotzdem pflichte ich euch eine große bewunderund bei, das ihr einem wenigstens eien kleinen lichtblick ins analysis dunkel bringt.

mfg nina

in diesem text sind nach belieben rechtschreibfehler versteckt. wer einen findet, darf ihn aufessen.

Konkrete Kritik hilft, den Artikel zu verbessern. Welches ist denn der erste Satz, der klemmt? -- Schewek 21:13, 27. Okt 2005 (CEST)

Exzellenter Artikel oder aufgegangener Hefekuchen?

Hallo, leider ist vor einem Jahr der Vorschlag, große Teile nach "Ableitung (Mathematik)" zu verschieben und nur übergeordnetes hier zu behalten, im Sande verlaufen (Anm.: damals war ich noch gar nicht wiki-online, also unbeteiligt). Ich hab' mal den Versuch gemacht, diesen Artikel mit banalen Leseraugen zu sehen: Das ist mittlerweile ein dermaßenes Monster, dass auf meinem 19-Zoll-Guckloch das Inhaltsverzeichnis bereits fast eine ganze Seite verschlingt. Prädikat: "Exzellent unverdaulich". Rein online kann man solch einen Riesenartikel mit einer nicht ganz trivialen Materie m.E. überhaupt nicht mehr erfassen, wenn man das ganze nicht schon sowieso aus dem ff kennt.

Ich plädiere dringend dafür, Ideen zu entwickeln, wo man hier gute Schnitte machen kann. Ein möglicher wiederholt die Argumente von vor einem Jahr: Was die Ableitung einer Funktion an einer Stelle oder in ihrem gesamten Def'bereich ist, sollte (mit den verschiedenen Def'möglichkeiten u. Zugängen) in einem eigenen Artikel "Ableitung (Mathematik)" behandelt werden. Mit Betrachtungen, die Ableitungen als Hilfsmittel benutzen, um weitergehende Aussagen zu entwickeln, sollte sich dagegen weiterhin der Artikel "Differentialrechnung" beschäftigen. Wer hat bessere/weitere Vorschläge?--JFKCom 00:08, 28. Nov 2005 (CET)

Ich teile Deine Meinung nicht. Für ein so weites Feld wie die Differentialrechnung ist eine gewisse Länge unvermeidlich. Wenn du genau hinguckst, wirst Du auch feststellen, dass auf alle Themen mit Ausnahme der Ableitung eindimensionaler reeller Funktionen extrem knapp eingegangen wird. Und die ist nunmal der Kernpunkt der Sache und muss auch ausführlich beschrieben werden. --DaTroll 00:18, 28. Nov 2005 (CET)

Vielleicht habe ich mich unklar ausgedrückt. Ich will es mal so formulieren: Wenn ich hier alles reinpacken würde, was ich im Studium zur Differentialrechnung gelernt habe, dann käme die Vereinigungsmenge von drei bis vier Wälzern heraus; das wären dann etwa 500 gedruckte Seiten, und das in einem Artikel. So wie dieser Artikel jetzt gestrickt ist, lädt er aber keineswegs mehr ein, noch ein Kapitelchen zuzufügen, denn es ist kein gedrucktes Dokument, sondern ein Wikipedia-Artikel. Als eine der größten Stärken der Wikipedia sehe ich die Wiki-Links an, und genau diese würde ich hier stärker einsetzen, und zwar bevor neue Kapitelchen zugefügt werden. Ich schlage ja auch gar nicht das andere Extrem vor, nämlich diesen Artikel zu einer reinen Linksammlung einzudampfen.--JFKCom 00:27, 28. Nov 2005 (CET)

Ja, das ist durchaus beabsichtigt, dass er nicht mehr zum erweitern einlädt, denn er soll ja auch nicht mehr erweitert werden :-) Alles was es außerdem noch zum Thema zu sagen gibt, sollte in Unterartikeln abgehandelt werden. --DaTroll 08:49, 28. Nov 2005 (CET)

Ok, ich habe verstanden. Da der Artikel absichtlich nicht zum Erweitern einlädt, laß ich's doch einfach. Da kümmere ich mich doch einfach mehr um Botanik als um Differentialrechnung; dort macht das Leben noch Spass.--JFKCom 18:10, 27. Dez 2005 (CET)

Keine Ahnung wieso man auf eine Erklärung so eingeschnappt reagieren muss, insbesondere wo Du keine konstruktive Kritik gebracht hast? --DaTroll 18:46, 27. Dez 2005 (CET)

"Exzellente" Artikel sind doch immer aufgegangene Hefekuchen, süße Schnittchen heißen im Wikipedia-Sprech "lesenswert". SCNR. --AndreasPraefcke ¿! 18:14, 27. Dez 2005 (CET)

Tja, nun ist ein Vierteljahr vergangen, aber dieser Artikel ist weiterhin unnötig aufgebläht, und jede Menge konkrete Stichworte, die eines eigenen Artikels würdig wären (Beispiele: komplex differenzierbar, stetig differenzierbar, aber auch hier noch gar nicht existentes wie Frechet-differenzierbar, Richtungsableitung, Ableitung mengenwertiger Funktionen u.v.m.), verweisen unsinnigerweise auf diesen "exzellenten Hefekuchen", bzw. werden nicht geschrieben, weil dieser Artikel eben nicht mehr zum Verändern einladen soll. Ich bin hier nicht "eingeschnappt" (höchstens "frustriert", das würde besser passen), sondern verteile meine eigenen knappen Ressourcen in der Wikipedia effizient. Auf dieser Lemma-Seite herrscht der von DaTroll propagierte Stillstand, drum verlustiere ich mich auf absehbare Zeit hinaus lieber auf fruchtbareren Standorten innerhalb der Wikipiedia.--JFKCom 22:40, 23. Apr 2006 (CEST)

So ein Unsinn. Komplexe Differenzierbarkeit, Richtungsableitung. Ansonsten bin ich nicht der Motor des Stillstandes, sondern Du derjenige, der erwartet, dass ein unausgegorenes Konzept Deinerseite hopplahop umgesetzt wird. Dein Ton ist übrigens von Anfang an nichts, was mich persönlich motivieren würde, überhaupt mit Dir zusammenzuarbeiten. Vielleicht ist dir auch aufgefallen, dass dritte sich überhaupt nicht für Deinen Vorschlag interessiert haben? --DaTroll 07:54, 24. Apr 2006 (CEST)

Mein Vorschlag "Ich plädiere dringend dafür, Ideen zu entwickeln, wo man hier gute Schnitte machen kann." ist also ein Ton, der Dich von Anfang an nicht motiviert; dein "das ist durchaus beabsichtigt, dass er nicht mehr zum erweitern einlädt" dagegen melodiöses Faktum. Der von mir vorgebrachte Anstoß zu einer Verbesserung wurde schon in Vorgängerdiskussionen gebracht. Auch wenn mittlerweile einige der anskizzierten Ideen (ohne dass sie sich in dieser Diskussion niederschlugen) bereits umgesetzt sind (was ich gut finde), bleibt immer noch der ärgerliche Mangel, dass unter Ableitung eine absolut ungenügende Beschreibung der Ableitung sowie der total ungenaue Link zu Differentialrechnung an Stelle des noch zu schreibenden Ableitung (Mathematik) gesetzt wird. Ich halte Mitarbeit an dieser Stelle weiterhin für beschwerlicher als in anderen Artikeln; ich hoffe auf einen offeneren (und freundlicheren) Diskussionsstil hier in der Zukunft und werde gelegentlich mal wieder vorbeischauen.--JFKCom 23:37, 24. Apr 2006 (CEST)

Einen Artikel als aufgegangenen Hefekuchen zu bezeichnen, ist nichts, was ich als tolle Diskussionsgrundlage bezeichne und was mich motiviert, einen von mir erarbeiteten Artikel, den ich für gut und sinnvoll halte, komplett umzuschreiben. --DaTroll 00:02, 25. Apr 2006 (CEST)

weblinks

Links zu extremistischen Webseiten

Warum wurde Link zu www.mathematik.net gelöscht? Welcher Spinner war das? (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 217.254.67.205 (Diskussion • Beiträge)

ich war so frei, ein wort in der ueberschrift so abzuaendern, dass jene jetzt eher passt und obendrein noch deine erste frage beantworten und die zweite ueberfluessig machen sollte. --seth 22:36, 5. Jan 2006 (CET)

Wenn du nicht aufhörst hier Seiten zu verleumden, sehen wir uns vor Gericht, und ich werde mich bei wikipedia an höchster Stelle beschweren. Ist das hier deine Privatseite, du Bürgersteig-Aufseher? (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 217.254.68.130 (Diskussion • Beiträge)

Sorry, aber was da auf [1] unter "Schüler News" steht, ist nicht akzeptabel. Wenn der mathematische Teil klar vom Rest getrennt wäre, könnte man nochmal drüber nachdenken, aber so nicht.--Gunther 13:52, 7. Jan 2006 (CET)

Warum sind Links zu den 3 größten deutschen Tageszeitungen nicht akzeptabel. So einen Quatsch hab ich noch nie gehört. Daher kommt www.mathematik.net wieder rein! Das ist nicht deine Privatseite, Herr Gesinnungsschnüffler! (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 217.254.68.6 (Diskussion • Beiträge)

(antworten darauf sind weiter unten finden) --seth 12:28, 10. Jan 2006 (CET)

gudn tach Gunther! sollte dann der hier geloeschte link zu [2] wieder aufgenommen werden? ich finde, die dargeboteten informationen erfuellen so einigermassen die wikipedia-weblink-kriterien und der kram ist von den restlichen projekten auf derselben domain entkoppelt. (ich das thema bereits auf Wikipedia_Diskussion:Weblinks#extremisten-seiten angesprochen) --seth 02:29, 8. Jan 2006 (CET)

Ich hatte mir das damals schon angeschaut, als der Link eingefügt wurde, und fand es tolerabel: Es führen keine Links von [3] zum Rest der Site, bei einer GeoCities-Webseite würde man sich ja auch keine Gedanken darüber machen, was es da sonst noch für Seiten mit demselben Hostname gibt. Natürlich könnte die Verlinkung das Google-Rating positiv beeinflussen, aber das schien mir vertretbar.--Gunther 02:39, 8. Jan 2006 (CET)

da lese ich ein klitzekleines "ja" heraus, obgleich du nur von "tolerabel" sprachst. ich sehe das aehnlich wie du und setze den link wieder rein. das einzige nicht eingehaltene kriterium der wikipedia-regeln ist "nur vom feinsten", weil der kram offensichtlich nicht geTeXt wurde. ;-) --seth 02:54, 8. Jan 2006 (CET)

gudn tach ip! im strafgesetzbuch heisst es zur verleumdung zu beginn "Wer wider besseres Wissen [...]" hmmm. welches "bessere wissen" ist noetig, um den kram, der bei den "schueler-news" steht, nicht als "extremistisch" zu bezeichnen? ;-) --seth 02:29, 8. Jan 2006 (CET)

Links zu den 3 größten deutschen Tageszeitungen sind extremistisch?

Nein, aber die verfälschende Wiedergabe der Informationen ist nicht o.k.--Gunther 18:37, 9. Jan 2006 (CET)

Was soll gefälscht sein. Scheint eine Hetz-Kampagne von Dir zu sein. Willst du jetzt alle Seiten sperren, die nicht deiner politischen oder Religiösen Meinung entsprechen? 217.254.66.14 (nachgetragen von Philipendula)

Es wurde schon mal vor etlichen Monaten der Versuch unternommen, diesen Link mit volksverhetzenden Inhalten einzustellen. Wenn dieser Link nicht drin ist, ist es auch für die WP kein allzugroßer Verlust. Links auf Schülermathe gehören nicht gerade zu den bedrohten Arten, von denen gibt es genug. Gruß --Philipendula 23:08, 9. Jan 2006 (CET)

es werden nicht nur grosse zeitungen verlinkt, sondern auch explizit volksverhetzende seiten (euro-islam...).--seth 12:28, 10. Jan 2006 (CET)

Komisch bloß, daß die von euch verlinkte Webseite von Herrn Özeguz betrieben wird, der eine Gefängnisstrafe wegen Volkverhetzung in Hamburg absitzt (so ziehmlich jede Zeitung berichtete über den Fall, wegen Volksverhetzung gegen Juden) während die Webseite die hier gesperrt wurde (www.mathematik.net) nur über Volkverhetzung gegen Juden im Koran und über Leute wie Herrn Özeguz aufklärt. Scheint so, als hätten die Islamisten den Mathebereich von Wikipedia übernommen.

1. Unterschreibe bitte mit --~~~~. 2. Welche Webseite meinst du bitte? --Philipendula 14:46, 10. Jan 2006 (CET)

Es um die Links auf einen vom restlichen Teil klar abgegrenzten Mathe-Teil auf dem Server mmnetz.de des Muslim-Marktes, vgl. seths Beitrag von 02:29 8. Jan und die folgenden. Ein gutes Gefühl habe ich dabei auch nicht, aber wie gesagt gibt es keine Links, die aus dem Mathe-Teil in den allgemeinen Teil führen.--Gunther 16:24, 10. Jan 2006 (CET)

Dann werde ich den Autoren von Mathematik.net den Vorschlag machen, die Seite zu spiegeln und genauso wie die Islamisten-Webseite vorzugehen. ist dies o.k. ? (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 217.254.64.67 (Diskussion • Beiträge)

• unterschreibe mit --~~~~!
• ein kriterium zur aufnahme ist "Weblinks sollen es dem Leser ermöglichen, sein Wissen über den Artikelgegenstand zu vertiefen." aber steht da irgendwo was neues zur diff'rechnung? ich habe beim ueberfliegen jedenfalls nix gefunden. --seth 22:57, 11. Jan 2006 (CET)

40 Applets zur Differentialrechnung und Anwendungen wie Le'Hospital sind nichts? (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 217.254.70.204 (Diskussion • Beiträge)

• unterschreibe mit --~~~~!
• wenn die applets nicht funktionieren, sind sie sogar noch schlechter als nichts.--seth 23:41, 11. Jan 2006 (CET)

Habe mir den mmnetz-Link nochmal genauer angeschaut und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass wir in etwa dasselbe in den entsprechenden Artikeln auch haben. Habe ihn deshalb entfernt.--Gunther 23:20, 11. Jan 2006 (CET)

oh, tatsaechlich. fein! --seth 23:41, 11. Jan 2006 (CET)

Artikel schützen

Wenn ich mir sie letzten Änderungen von IPs ansehe, finde ich nur den Versuch, diese extremistische Webseite einzustellen oder Vandalismus. Sollen wir den Artikel mal für IPs sperren? Gruß --Philipendula 23:00, 9. Jan 2006 (CET)

Öhm, das hab' ich vorhin schon ganz ohne zu fragen getan.--Gunther 23:13, 9. Jan 2006 (CET)

*mit dem Finger droh*. --Philipendula 23:25, 9. Jan 2006 (CET)

Na da bin ich ja froh, dass mich der Drache nicht gleich frisst :-) --Gunther 23:27, 9. Jan 2006 (CET)

ich habe auf Blacklist einen request for addition gestellt. aber bisher hat sich diesbezueglich nix getan. vielleicht war das uebereilt? ich dachte mit "If IP blocks don't work [...]" sei die explizite vandalierende ip gemeint. aber da ich jetzt hier lese, dass man als admin auch einfach alle ips blocken kann, wird wohl eher das gemeint sein. soll ich meinen request wieder loeschen? --seth 12:36, 10. Jan 2006 (CET)

Links zu islamistischen Webseiten

Was soll der Link zu www.mmnetz.de unter Differentialrechnung?

Diese Seite der vorbestraften Volksverhetzer macht dort Reklame für ihr Buch "Wir sind Islamisten ..."

Bekannt sind die Brüder Özeguz wegen dem Mordaufruf an den Islamkritiker Raddatz, der durch alle TV-Sender ging. Schaut ihr keine Nachrichten? (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 217.254.70.89 (Diskussion • Beiträge)

ri-ra-rie

selbstironie --seth 19:21, 1. Jan 2006 (CET)

notation/schreibweise

Ableitungsstriche

Es gab irgendwo mal eine Empfehlung zu den Ableitungsstrichen, jedenfalls habe ich vergessen wo. Vielleicht weis das jemand. Die in der Sonderzeichenleiste aufgeführten

′

sind jedenfalls vollkommen ungeeignet.

Im übrigen immer mal wieder interessant, daß - zumindest was die Darstellung betrifft, und die ist ja entscheidend - total falsche Notationen wie

$f'(x)$ wird 0 bei $x=1$ und $x=3$

wochen- (womöglich monate-)lang stehen bleiben und, kaum daß ich den Artikel anfasse, der hier das ganze verschlimmbessern zu müssen meint. Alfred Grudszus 00:14, 12. Jan 2006 (CET)

Siehe Wikipedia:Typografie und en:prime (symbol).--Gunther 00:20, 12. Jan 2006 (CET)

"Jedenfalls sollten existierende TeX-Formeln nicht in HTML umgewandelt werden." (Hilfe:TeX) --seth 00:22, 12. Jan 2006 (CET)

Hier könnte man über eine Ausnahme reden, weil das mMn ein Bug in der TeX-nach-HTML-Konvertierung ist; zumindest bei mir ist der Strich bei $f'$ wirklich kaum zu erkennen. Ich habe wenig Hoffnung, dass der Bug behoben wird (Lösungsvorschläge wären schonmal ein Anfang, und Akut-Akzente sind jedenfalls keine Lösung), insofern gibt es nur die Lösungen $f'\,$ oder HTML-Gebastel à la f′.--Gunther 00:25, 12. Jan 2006 (CET)

oops, jetzt hab ich's schon geaendert... hab mich an Hilfe:TeX gehalten und ^{\prime} bzw. ^{\prime\prime} benutzt. ok? --seth 00:37, 12. Jan 2006 (CET)

Da gibt es offenbar einen weiteren Bug im TeX-Interpreter: Eigentlich sollten $f'\,$ und $f^{\prime }$ absolut identisch sein (' ist ein TeX-Makro, das i.w. ^\prime ergibt), aber der Platz bei der zweiten Formel sieht für mich größer (und besser) aus.--Gunther 00:42, 12. Jan 2006 (CET)

Dann sieh doch mal zu, daß der Bug behoben wird, das kann doch nicht so schwer sein. Was ist das bloß für ein armseliger Haufen hier... Alfred Grudszus 01:07, 12. Jan 2006 (CET)

:-)) --Gunther 01:11, 12. Jan 2006 (CET)

Ein kleiner Vergleich - ohne Worte

vorher:

...

Wesentlich ist die Bedingung, der Differenzierbarkeit der Funktion im Punkt $x=c$ für den Satz von Fermat. Eine Funktion kann einen Maximal- oder Minimalwert haben, ohne dass die Ableitung an dieser Stelle existiert.

Im Beispiel ist

${f'(x)}={x^{2}-4\cdot x+3}$

$f'(x)$ wird 0 bei $x=1$ und $x=3$.

Die zweite Ableitung $f''(x)$ beschreibt die Steigung von $f'(x)$, also die Änderung der Steigung von $f(x)$. Ist $f''(x)>0$, so ändert sich $f'(x)$ von negativen zu positiven Werten, also liegt ein lokales Minimum von $f(x)$ vor. Im Falle $f''(x)<0$ ändert sich die Steigung vom positiven zu negativen Werten, das bedeutet ein lokales Maximum von $f(x)$. Im Beispiel ist $f''(1)=-2$ und $f''(3)=2$.

...

nachher:

...

Voraussetzung für die Anwendung des Satzes von Fermat ist, daß die Funktion im Punkt $x=c$ diffenzierbar ist. Eine Funktion kann einen Maximal- oder Minimalwert haben, ohne dass die Ableitung an dieser Stelle existiert.

Zweite, hinreichende Bedingung

Im Beispiel ist

$f'(x)=x^{2}-4\cdot x+3$

daraus folgt $f^{\prime }(x)=0$ für x = 1 und x = 3.

Die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }(x)$ beschreibt die Steigung von $f^{\prime }(x)$, also die Änderung der Steigung von f(x). Ist $f^{\prime \prime }(x)>0$, so ändert sich $f^{\prime }(x)$ von negativen zu positiven Werten, also liegt ein lokales Minimum von f(x) vor. Im Falle $f^{\prime \prime }(x)<0$ ist es umgekehrt, es liegt ein lokales Maximum von f(x) vor. Im Beispiel ist $f^{\prime \prime }(1)=-2$ und $f^{\prime \prime }(3)=2$.

...

Alfred Grudszus 01:14, 12. Jan 2006 (CET)

Und das soll uns jetzt was genau sagen?--Gunther 01:31, 12. Jan 2006 (CET)

der fehlenden worte wegen, kann ich bloss spekulieren. vielleicht wollte uns Benedikt einfach damit sagen, dass sich etwas veraendert hat oder dass er die diff-funktion noch nicht gefunden hat.--seth 15:05, 12. Jan 2006 (CET)

Die typographischen Probleme sind nun auf anderem Wege gelöst.--Gunther 02:01, 12. Jan 2006 (CET)

Summa summarum

Das hätten selbst meine Mathe-Nachhilfe-Schüler besser hingekriegt... Alfred Grudszus 03:35, 12. Jan 2006 (CET)

Das Argument mit dem Vorzeichenwechsel oder der zweiten Ableitung wird zwar an den Schulen als Standardmethode gelehrt, ist aber hier (wie in den allermeisten Fällen) vollkommen überflüssig. Außerdem solltest Du Dir mal durchlesen, was ein Vorzeichenwechsel ist.--Gunther 11:32, 12. Jan 2006 (CET)

Schreibweise

Hi, die Schreibweise Differentialrechnung sollte meiner Meinung nach durch die seit der Rechtschreibungsreform empfohlenen Schreibweise Differenzialrechnung ersetzt werden. Was denkt ihr? --Cepheiden 19:07, 23. Jan 2006 (CET)

Es sind gleichwertige Schreibweisen. Dein neues Komma ist uebrigens falsch, weil es den Sinn entstellt. Und "Der Adlige" ist auch nach neuer Rechtschreibung ein Substantiv. --DaTroll 19:47, 23. Jan 2006 (CET)

Es sind derzeit beide Schreibweisen richtig. die Schreibweise mit z wird empfohlen U. a. deswegen verweist der Duden bei der älteren t-Schreibweise auch auf die Schreibweise mit z. War auch nur eine Idee. "adligen" hab ich wohl falsch verstanden, ich dachte das sei eher als Adjektiv zu Guillaume François Antoine gedacht. Und das Komma ist wirklich falsch, war ich wohl etwas vorschnell. Der Satz klingt aber in meinen Ohren auch etwas umständlich, vor allem das "in vielen Fällen", naja ist nur meine Meinung. --Cepheiden 20:50, 23. Jan 2006 (CET)

Notationen

Sei $f:U\to \mathbb {R}$. Der Artikel erwähnt im Moment die Notationen $f\,'(x_{0})$, ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})$ und ${\frac {\mathrm {d} f(x_{0})}{\mathrm {d} x}}$. Die erste halte ich für absolut unbedenklich und eindeutig, die beiden anderen sind jedoch problematisch.

Ich nehme an, dass jeder von uns verstehen würde was gemeint ist, wenn er eine der beiden letzteren in einem Text entdeckt, sie sind aber missverständlich und können gerade Anfänger verwirren.

Bei ${\frac {\mathrm {d} f(x_{0})}{\mathrm {d} x}}$ könnte der Eindruck entstehen, dass es erlaubt ist f zuerst bei x₀ auzuwerten und erst dann abzuleiten. Da f(x₀)∈R, wäre dies 0. Ich kann mich an einen längeren Vortrag eines meiner Professoren erinnern, in dem er erklärte, dass dies nicht erlaubt ist.

Aber auch ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})$ ist problematisch, da in der Definition von f kein x vorkommen muss. f kann genausogut zum Beispiel durch f(t)=3t definiert sein. Besonders problematisch ist dies bei partiellen Ableitungen. Die Funktionen $f:(x,y)\mapsto f(x,y)=x+2y$ und $g:(y,x)\mapsto g(y,x)=y+2x$ sind gleich, was bedeutet folglich ${\frac {\partial g}{\partial x}}$?

Wer schon einmal mit Maple gearbeitet hat, dürfte von dort die Unterscheidung zwischen Funktionen und Termen kennen. Leider wird dies sonst meistens nur im Falle von Polynomen und Polynomfunktionen angewandt. Die Schreibweise mit dx macht strenggenommen nur dann Sinn, wenn man Terme und keine Funktionen benutzt. Aus einer Funktion entsteht ein Term indem man eine freie Variable einsetzt. Das heißt ${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}$ ist vollkommen in Ordnung, auch die partiellen Ableitungen werden auf diese Weise eindeutig ${\frac {\partial g(y,x)}{\partial x}}$. Das Ergebnis einer solchen Ableitung ist wieder ein Term. Wenn die Ableitung an einer bestimmten Stelle, zum Beispiel x₀, gefragt ist, muss man diesen Term auswerten. Die übliche Schreibweise hierfür ist $\left.{\frac {\partial g(y,x)}{\partial x}}\right|_{x=x_{0}}$. Markus Schmaus 15:46, 18. Feb 2006 (CET)

Zunächst: Es ist nicht unser Job, über gute und böse Notationen zu richten. Wir stellen nur dar, was üblich ist.

Zu ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$: In der Standardinterpretation der Differentialgeometrie ist ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ ein Tangentialvektor, der nur von der Wahl der Koordinatenfunktion $x\colon x\mapsto x$ ;-) abhängt und den man auf die Funktion $f$ anwenden kann. Dass ein Term mithilfe dieser oder anderer Koordinatenfunktionen ebenfalls eine Funktion induziert, ist dafür egal.--Gunther 16:03, 18. Feb 2006 (CET)

Ich bin heute erst auf diese Diskussion gestoßen. Es ist sicher richtig, dass wir nicht über gute und böse Notation zu richten haben, sondern nur das übliche darstellen sollen. Die Frage ist allerdings, inwieweit die angegebenen Notationen üblich sind.

Zu ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})$: Hier stimme ich dir zu. Aber bei ${\frac {\mathrm {d} f(x_{0})}{\mathrm {d} x}}$ stimme ich Markus zu. Ich halte die Schreibweise auch nicht für üblich. In der Differentialgeometrie ist jedenfalls stattdessen die Schreibweise $\left.{\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}$ üblich. Ich bin mal mutig und ändere das entsrechend ab. --Digamma 12:23, 24. Feb. 2007 (CET)

Schreibweise: linearer Operator

Mein Eindruck ist, dass in der Literatur die Bezeichnung $Lh$ verbreiteter ist als $L(h)$. Bei Heuser, Analysis, Teil 2., XIV., 111. werden dieser Frage sogar paar extra Sätze gewidmet. --Alexandar.R. 00:09, 30. Mai 2007 (CEST)

Es mag sein das dies eher verwendet wird. Als Abgrenzung zu den vorhergehenden Matrizen würde ich diese Schreibweise immer noch sinnvoll finden. Warum Du jetzt die Stelle an der abgeleitet wird umbenannt hast erschließt sich mir nicht. viele Grüße --Mathemaduenn 09:57, 30. Mai 2007 (CEST)

Du meinst vermutlich, dass das besser wäre, damit es klar wird, dass es sich hier auch um unendlich dimensionale Räume handeln könnte? Ich überlege, ob wir dann nicht lieber die Bezeichnung aus Dunfod N., Schwarz T., Linear Operators, Part I nehmen sollten: $df(\xi ,\cdot )$ oder von Schmid u. Naas, Mathematisches Wörterbuch: $\delta f(\xi ,x)$. $x_{0}$ habe ich mit $\xi$ ersetzt, weil hier nicht wirlich deutlich war, dass $L$ von $x_{0}$ abhängig ist und ich gleichzeitig mehrstufige Indezes vermeiden wollte. Etwas, was ich gerade noch überlege, ist, ob die Frechet-Ableitung der beste Einstieg in das Thema ist und ob wir nicht lieber die Definition von Werner, Funktionanalysis, III.5 nehmen sollten und zuerst die Gäteaux-Ableitung erklären. Wir könnten aber auch nur die Verweise lassen und die Einzelheiten den jeweiligen Artikeln überlassen, so wie es in der englischen Wikipedia-Version ist. Übrigens die Schreibweise $Lh$ ist nicht nur bei Heuser sondern auch bei Werner bedenkenlos verwendet worden, sowie bei Nirenberg, Topics in nonlinear functional analysis und Kolmogorov A., Fomin, S., Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. --Alexandar.R. 12:22, 30. Mai 2007 (CEST)

Ob L(h) oder Lh ist mir ehrlich gesagt egal, beide SChreibweisen tauchen in Buechern auf, wobei bei Banach-Raeumen L(h) vermutlich eher unueblich ist. Ansonsten halte ich den Umfang des Abschnitts zu Verallgemeinerungen fuer voellig ausreichend, es ist ja gerade das Konzept dieses Artikels, spezielle Begriffe nur kurz anzureissen. --P. Birken 12:32, 30. Mai 2007 (CEST)

Hinführung und Notation (Verbesserungsvorschlag)

Die Näherung der Tangentensteigung durch die Sekantensteigung ist der Ausgangspunkt für die Definition einer Ableitung. Die Sekantensteigung ist der Quotient zweier Differenzen und entspricht daher dem Differenzenquotienten von y=f(x). Durch infinitesimale Näherung des Differenzenquotienten erhält man dann den Differentialquotienten auch Ableitung der Funktion genannt.

Es wird vorausgesetzt, dass die Funktion um x₀ herum definiert ist und Δx≠0 ist. Der Zuwachs der Funktion Δy errechnet sich zu Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀). Mit dem Grenzwert (auch genannt Limes oder mit der mathematischen kurzschreibweise lim Δx→0) der Sekantensteigung ergibt sich aus der Quotienten der beiden Differenzen die Tangentensteigung zu:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Die abgeleitete Funktion ist somit:

$f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\begin{matrix}\ \\\underbrace {\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{(x_{0}+\Delta x)-x_{0}}} \\\mathrm {Differenzenquotienten} \end{matrix}}$

Formale Notation

Die Notation einer Ableitung als Quotient zweier Differentiale wurde von Leibniz eingeführt; Newton benutzte einen Punkt über der abzuleitenden Größe, was in der Physik für Zeitableitungen bis heute üblich geblieben ist. Die Notation mit Apostroph ($f\,'$) geht auf Lagrange zurück, der sie 1797 in seinem Buch Théorie des fonctions analytiques einführte.

Heutzutage werden die so neu entstandenen Funktionen (Ableitungen) von x üblicherweise durch folgende Symbole gekennzeichnet:

$y',\ {\dot {y}},\ Dy,\ {\frac {dy}{dx}},\ f'(x),\ Df(x)$ oder ${\frac {df(x)}{dx}}$.

Es wäre schon wenn man immer diese Notation "${\frac {df(x)}{dx}}$" verwenden würde. (nicht signierter Beitrag von 144.122.112.119 (Diskussion) 16:25, 7. Nov. 2007)

Warum wäre das schön? Die Notation hat den Nachteil, dass sie einen dazu verleitet, zu glauben, dass es sich beim "Differenzialquotienten" tatsächlich um einen Quotienten handeln würde.--Digamma 17:29, 7. Nov. 2007 (CET)

${\frac {df}{dx}}$ ist kein Quotient? Bei der Substitution für die Integration wird er aber als solches behandelt. Wie ist er dann zu verstehen? Das fehlt in dem Artikel. Leider weis ich es nicht sonst würd ich es schreiben. -- ZodiacXP 14:07, 9. Apr. 2008 (CEST)

Der Ausdruck ist kein Quotient, weil keine Größen durcheinander dividiert werden. Er bezeichnet einfach die Ableitung. Bei der Substitutionsregel kann so getan werden als wäre es einer, was zeigt, dass die Schreibweise nicht ganz blöd ist. --P. Birken 20:56, 9. Apr. 2008 (CEST)

Formale Definition

Eine Funktion die ein offenes Intervall U auf die reellen Zahlen abbildet ($f:U\to \mathbb {R}$) heißt differenzierbar an der Stelle $x_{0}\in U$, falls der Limes

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von f nach x an der Stelle x₀ und wird als

${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}$ oder ${\frac {{\rm {d}}f(x_{0})}{{\rm {d}}x}}$ oder $f'(x_{0})\,\!$

notiert.

Die Terme dx und dy heißen Differentiale. Sie stellen infinitesimal kleine Zahlenwerte dar (vergleiche Einleitung); in manchen Anwendungen (Kettenregel, Integration mancher Differentialgleichungen, Integration durch Substitution) rechnet man mit ihnen fast wie mit "normalen" Variablen. Ein Differential ist auch Teil der üblichen Notation für Integrale.

Im Laufe der Zeit wurde folgende gleichwertige Definition gefunden, die sich im allgemeineren Kontext komplexer oder mehrdimensionaler Funktionen als leistungsfähiger erwiesen hat: Eine Funktion heißt in einem Punkt $x_{0}$ differenzierbar, falls eine konstante $L$ existiert, so dass

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-Lh}{h}}=0$.

Der Zuwachs der Funktion f, wenn man sich von $x_{0}$ nur wenig entfernt, lässt sich also durch Lh sehr gut approximieren, man nennt die Ableitung L deswegen auch die Linearisierung von f.

Also: Der Begriff des Differenzenquotienten wird nie erklaert.

Der Begriff Differential wird verwendet, bevor er erklaert wird. Die Ableitung wird erstmal definiert und dann nochmal definiert, ohne besonderen Grund. Und naja, ich finde auch das aktuelle deutlich verstaendlicher :-) --DaTroll 10:55, 4. Feb 2005 (CET)

Ich arbeite dran die Dopplungen finde ich allerdings nicht schlecht, das "trichtert" das Wissen in den Kopf ein. Ich mache weiter sobald ich kann ;-) --Paddy 13:24, 5. Feb 2005 (CET)

Differentialquotient - Infinitesimal

Seit einigen Jahrzehnten sind in der Mathematik (auch in der Schulmathematik) in der Analysis Adjektive wie "unendlich klein, verschwindend klein" und (besonders vornehm) "infinitesimal" mit Recht verpönt, weil sie im Grunde nur Ausdrücke wie 0 = 0 und 0/0 kaschieren sollen, die entweder wertlos (1. Fall) oder sinnlos (2. Fall) sind. Nur in der Theoretischen Physik scheinen diese Formulierungen unausrottbar, weil sie halt bequem und die Verfasser zu faul sind, saubere Formulierungen zu finden.

In der modernen (und kritischen) Analysis ist der Differentialquotient dy/dx nicht mehr lediglich eine Abkürzung für den Grenzwert von Δy/Δx für Δ x gegen null (und damit ein Symbol für 0/0), sondern er wird interpretiert als der Anstieg dy der Kurventangente über dem Intervall Δx = dx dividiert durch dieses Intervall. Für die Näherungsrechnung gewinnt man daraus die wichtige Beziehung

$\Delta y\approx \operatorname {d} y=y'\operatorname {d} x=y'\Delta x.$

Siegfried Petry 13:20, 10. Feb 2005 (CET)

Es faellt mir ehrlich gesagt etwas schwer, die Kritik zum Artikel in Beziehung zu setzen, aber ich antworte mal was darauf: i) 0/0 ist die zentrale Schwierigkeit der Differentialrechnung, die IMHO erst mit Weierstrass klar geloest werden konnte. ii) Also alle mir vorliegenden Analysisbuecher definieren die Ableitung so wie im Artikel beschrieben. Die Tangente an die Kurve ist natuerlich eindeutig definiert, fuer eine beliebige Kurve ihre Steigung auszurechnen ist aber doch gerade das Problem der Differentialrechnung. Viele Gruesse --DaTroll 15:56, 11. Feb 2005 (CET)

"infinitesimal" ist philosophisch interessant. gewiss. aber als erklärung in der einführung ist und bleibt es - gut wienerisch und entschuldigung! - ein "schas mit quasteln". das gehört nicht hierhin. ich habs zwar an sich aufgegeben, das hier zu diskutieren, weil der hauptautor das nicht einsehen kann und / oder will, aber jetzt hats mich doch noch mal gejuckt. --MiBü 23:11, 11. Feb 2005 (CET)

Dem kann ich zwar in dieser Schärfe vielleicht nicht, aber grundsätzlich doch zustimmen. "Infinitesimal" ist ein schwieriger Begriff, ebenso "Differential" (siehe Diskussion:Differential (Mathematik)). Ich plädiere dafür, beides wegzulassen und df/dx eben doch als Symbol für die Ableitung aufzufassen.--Gunther 00:23, 28. Feb 2005 (CET)

zusammenfassung?

gudn tach!
aeh, hat jemand die diskussion mitverfolgt und kann sie kurz zusammenfassen? oder ist das thema einfach schon lange erledigt? -- seth 00:29, 12. Apr. 2008 (CEST)

Schlecht erkennbar

Ich halte die Darstellung beispielsweise im Abschnitt "Berechnung von Minima und Maxima" im letzten Satz "Die Abbildung zeigt den Verlauf von $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$ ." für unglücklich. Die ' lassen sich durch das kursive kaum erkennen, f ' (x) sieht hier aus wie f(x), ebenso f''(x) liest sich wie f'(x). Könnte verwirrend wirken... allerdings ist mir klar das die kusrive Schreibweise üblich ist. Wie bewertet ihr das? Gruß -- Max Sanchez 10:35, 17. Dez. 2010 (CET)

Ja, das ist ein Problem. Die gängige Lösung ist, hier die Darstellung durch TeX zu erzwingen. Ich habe das mal gemacht (und dabei auch ein paar Schlampigkeiten in den Formulierungen beseitigt).-- Digamma 11:38, 17. Dez. 2010 (CET)

Kursiv ist für Mathe in der Tat allgemein üblich und sollte nicht mit leichter Hand über Bord geworfen werden. Statt Strichen und Punkten bevorzuge ich bei Ableitungen die Schreibweise mit Differentialen. Da weiß man wenigstens, nach welcher Variable differenziert wird. Außerdem vermeidet man das angesprochene Lesbarkeitsproblem.---<)kmk(>- 11:37, 17. Dez. 2010 (CET)

Die Schreibweise mit Differentialen ist aber in der Schule vollkommen unüblich. Deshalb bevorzuge ich die Striche. Außerdem entstehen bei der Schreibweise mit Differentialen Probleme, wenn in die Ableitungsfunktion eingesetzt wird. Und Brüche im Fließtext stören genauso sehr wie erzwungenes TeX. -- Digamma 12:26, 17. Dez. 2010 (CET)

Letzte Warnung

Gunther treibt wieder sein Unwesen: Mit Formulierung wie "Verschwinden der Ableitung" (er meint wahrscheinlich die Tatsache, daß die Ableitung = 0 ist) ersetzt er die in der Mathematik üblichen Formulierungen "notwendige Bedingung" usw. bzw. die entsprechenden Logischen Aussagen ("wahr, wenn gilt A ist wahr und ( B ist wahr oder C ist wahr..." usw.).

Also Gunther: Hört das nicht auf, lasse ich dich sperren - so geht's nicht!! Alfred Grudszus 12:07, 12. Jan 2006 (CET)

Lies doch mal Nullstelle#Einfache_Nullstellen, da ist erklärt, was das "Verschwinden" bedeutet. Der Rest Deiner Kritik ist für mich nicht nachvollziehbar, in meiner Version ist "notwendige Bedingung" ja sogar verlinkt.--Gunther 12:13, 12. Jan 2006 (CET)

Also gibst Du zu, daß es inkorrekt ist, vom Verschwinden zu sprechen. Alfred Grudszus 12:14, 12. Jan 2006 (CET)

??--Gunther 12:53, 12. Jan 2006 (CET)

<ironie> ja, ja, tu bloss nicht so unschuldig, sondern gib es einfach zu. </ironie> --seth 15:20, 12. Jan 2006 (CET)

Vielen Dank für den Hinweis auf Nullstellen, ich hab's korrigiert - nimm bitte Du jetzt die Änderungen mit "prime" vor! Gruß Alfred Grudszus 12:20, 12. Jan 2006 (CET)

Da war nichts zu korrigieren (zumindest nicht das), deshalb revert, Diskussion evtl. dort.--Gunther 12:25, 12. Jan 2006 (CET)

Ausführliche Kritik an der alten Version

• "für alle $x$ dieses Intervalls gilt $f(c)>f(x)$ oder $f(c)<f(x)$": Das bedeutet $\forall x\colon (A\lor B)$, gemeint ist aber $(\forall x\colon A)\lor (\forall x\colon B)$.
• "Folglich ist die Steigung Null": Das dreht die Argumentationsreihenfolge um. Aus $f'(c)=0$ ergibt sich unmittelbar, dass die Steigung null ist, also ist die Tangente waagerecht, nicht umgekehrt.
• "Lediglich die notwendige Bedingung für die Existenz eines Maximal- oder Minimalwertes einer Funktion": "die notwendige Bedingung" ist Unsinn, es gibt noch mehr.
• "Deswegen kann es sich um einen Hochpunkt (lokales Maximum), einen Tiefpunkt (lokales Minimum) oder einen Sattelpunkt handeln." Es sind weitere Fälle möglich.
• "Dies gilt für das Beispiel. Im Allgemeinen ist die Existenz einer waagrechten Tangente nur eine von zwei Bedingungen, jedoch eine notwendige." Im Abschnitt davor wurde aber gerade eine hinreichende Bedingung angewandt.
• Die Formel für den Vorzeichenwechsel enthält die ungebundene Variable h. Entweder müsste man die relativ unverständlich Erklärung "für alle hinreichend kleinen positiven h" hinzufügen oder eine weitere Variable einführen, vgl. Extremwert. In dieser Form ist das jedenfalls unbrauchbar.

Dass man die Kriterien nicht nochmal hier auflisten muss, wenn sie schon in Extremwert stehen, ist Geschmackssache. Allerdings ist der Artikel ohnehin schon ziemlich lang.--Gunther 12:22, 12. Jan 2006 (CET)

Ich stimme deiner Kritik in allen Punkten zu, nimm bitte die entsprechenden Änderungen vor ohne wieder ganze Absätze zu löschen!!! Es handelt sich jeweils um die Änderung von ein zwei Worten, muß man sich aber schon gut überlegen. Solltest Du dich dazu sprachlich nicht imstande sehen, gib mir bitte Bescheid, dann mache ich das. Gruß Alfred Grudszus 12:41, 12. Jan 2006 (CET)

Der einzige Absatz der dabei gelöscht wurde, ist Deine mangelhafte Darstellung der hinreichenden Kriterien. Schau' Dir den diff doch mal genauer an.--Gunther 12:44, 12. Jan 2006 (CET)

Bevor man groessere Aenderungen an einem exzellenten Artikel vornimmt, sollte man das auf der Diskussionsseite besprechen. Es ist durchaus Absicht, dass in diesem Artikel nicht alles erklaert wird, denn wie Gunther schon sagt, ist er sehr lang und die Berechnung von Extrema wird im entsprechenden Artikel erklaert, der auch verlinkt ist. Also: Erst begruenden, wieso der Abschnitt ueberhaupt erweitert werden muss, dann kommts vielleicht in den ARtikel. --DaTroll 13:13, 12. Jan 2006 (CET)

Sehr verehrter DaTroll, das ist nun wirklich der Gipfel der Lächerlichkeit:

1. fragt es sich, wie ein Artikel überhaupt "excellent" sein kann, wenn wie bei den von mir geänderten zweiten Ableitungen überhaupt nicht zu erkennen ist, daß es sich um die Ableitungen handelt, weil die Striche nciht erkennbar sind - da ist ja, was das "excellent" betrifft, mal wieder der Blinde König unter den Einäugigen...
2. Weil es den Artikel zu Extrema gibt, wird ja auch von mir dorthin verwiesen. Und so, wie es auch in der Wikipedia sonst üblich ist, das notwendige an der Betreffenden Stelle des verweisenden Artikels erklärt.
3. Ich werde im Übrigen (wenn ich mal nichts anderes zu tun habe) auf den betr. Seiten den Antrag stellen, dem Artikel den "excellent"-Status wieder abzuerkennen. Gruß Alfred Grudszus 13:21, 12. Jan 2006 (CET)

Ein bisschen komplizierter ist es leider. Also: Ich habe den Abschnitt mit den zweiten Ableitungen durch eine einfachere Begründung ersetzt, AG hat die zweiten Ableitungen in allgemeiner, aber mangelhafter Form wieder hineingenommen, ich habe den gesamten Abschnitt entsprechend der o.g. Kritik umgearbeitet und dabei die zweiten Ableitungen wieder rausgeworfen und durch einen Verweis auf Extremwert ersetzt. AGs Version ist also näher an der ursprünglichen Fassung, enthält aber Fehler.--Gunther 13:17, 12. Jan 2006 (CET)

Dann korrigier sie! Alfred Grudszus 13:21, 12. Jan 2006 (CET)

Hab' ich doch, aber irgendjemand revertiert sie ständig wieder hinein.--Gunther 13:24, 12. Jan 2006 (CET)

Ich habe jetzt die hoeren Ableitungen zumindest erwaehnt. Das Beispiel mit der zweiten Ableitung war der Grund, wieso die Betrachtung von Extremwerten ueberhaupt erst so spaet im Artikel kommt. --DaTroll 13:32, 12. Jan 2006 (CET)

Ableitungsregeln

Ableitungsregeln

Die ersten beiden erwähnten "Regeln" tanzen etwas aus der Reihe; eigentlich sind das gar keine Ableitungsregeln, sondern es sind Beispiele von Ableitungen von Funktionen (der konstanten Funktionen und der Potenzfunktionen). Daran ändert auch der irreführende Name "Potenzregel" nichts. Schliesslich ist ja die Ableitung der Exponentialfunktion (zu Recht) an dieser Stelle auch nicht erwähnt. --WidmerHansruedi 08:50, 23. Apr 2006 (CEST)

Die konstante Funktion könnte man wirklich rausnehmen. Die Potenzregel existiert allerdings unter dem Namen Regel und aufgrund der Bedeutung von Potenzfunktionen nicht zu Unrecht. --DaTroll 16:26, 23. Apr 2006 (CEST)

Ich denke, beide Regeln sind erhaltenswert. Zur Potenzregel hat DaTroll bereits das Wichtigste gesagt. Aber mMn sollte auch die Ableitungsregel einer konstanten Funktion drinbleiben, da sie zwar eine simple aber elementare und daher wichtige Regel darstellt. Ich habe die Tabelle übrigens mittlerweile ein wenig überarbeitet: Summen- und Differenzregel zusammengefasst sowie die Tabelle etwas besser strukturiert. --CyRoXX ^(?) 17:26, 23. Apr 2006 (CEST)

Wenn man die "Potenzregel" drin lässt - und ich wehre mich nicht dagegen - ist die andere Regel wirklich überflüssig. Eine konstante Funktion ist ein Vielfaches einer Potenzfunktion mit Exponent 0 und somit in der "Potenzregel" als Spezialfall enthalten. --WidmerHansruedi 17:34, 23. Apr 2006 (CEST)

Naja, man sollte sich nicht allzuviele Gedanken über Redundanzen machen. Die Potenzregel folgt aus ${\frac {\mathrm {d} (ax)}{\mathrm {d} x}}=a$ zusammen mit der Produktregel, und die Produktregel folgt aus der Kettenregel usw.--Gunther 21:26, 23. Apr 2006 (CEST)

Ist die Schreibweise x -> f(x) nicht falsch? In Funktion_(Mathematik) wird sie als f:x -> f(x) dargestellt. Gibt es einen Unterschied oder doch keinen? (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 84.133.125.36 (Diskussion • Beiträge) 23:38, 26. Jun 2006)

Hab's etwas umgeschrieben, ich hoffe, die Verständlichkeit hat nicht darunter gelitten.--Gunther 23:46, 26. Jun 2006 (CEST)

Mehrdimensionale Ableitung

Dem Artikel kann ich noch nicht entnehmen, wie man mehrdimensionale Ableitungen bildet. Als fragendes Beispiel nehme ich hier die Koordinatentransformation von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten, und wie man das Differential für die Integralrechnung ausrechnet $x=r\,\cos \theta$ und $y=r\,\sin \theta$

also $\mathrm {d} x=\mathrm {d} \left(r\,\cos \theta \right)$ und $\mathrm {d} y=\mathrm {d} \left(r\,\sin \theta \right)$

${\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} \left(r\,\cos \theta \right)\cdot \mathrm {d} \left(r\,\sin \theta \right)}{\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta }}$

$\Leftrightarrow \mathrm {d} x\mathrm {d} y=\left({\frac {\mathrm {d} \left(r\,\cos \theta \right)\cdot \mathrm {d} \left(r\,\sin \theta \right)}{\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta }}\right)\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta$

$\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \mathrm {d} x\mathrm {d} y=r\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta$

Wie wird aus dem in der großen Klammer nachher das r? Danke, --Abdull 13:59, 3. Jan. 2007 (CET)

Siehe Transformationssatz, wo genau das als Beispiel durchgerechnet wird. Das r ist die _Determinante_ (nicht die Ableitung) der Funktionalmatrix der Koordinatentransformation: $r=det{\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}$. Die Bildung der Funktionalmatrix (Jacobi-Matrix) wird in diesem Artikel unter "Totale Differenzierbarkeit" beschrieben. --P. Birken 14:46, 3. Jan. 2007 (CET)

Ableitungsregeln - wie kommt man drauf?

Ja, wie kommt man denn nun überhaupt zu den Regeln? Einfach durch bloßes Beobachten, was beim Ableiten einiger Funktionen rausgekommen ist, um dann zu sagen "das wird für alle anderen auch gelten"? Oder gibt's da eine mathematische Herleitung?

Wenn die Ableitung definiert ist als lim(d->0)[f(x + d) - f(x)]/d, dann muss man da ja quasi einfach jede beliebige Funktion einsetzen, kürzen und zusammenfassen und d = 0 setzen. Also woher kommen diese Regeln? Sind sie aus Umstellen dieser Definition zustandegekommen? --maststef 12:31, 20. Aug. 2007 (CEST)

Ja. Ein gutes Mathelehrbuch über Differentialrechnung (oder Analysis) sollte dir das sehr ausführlich zeigen. :-) --RokerHRO 18:42, 20. Aug. 2007 (CEST)

Aha, und für den Artikel (oder einen neuen Artikel) wäre das nichts (zumindest in Ansätzen oder Auszügen)? --maststef 20:04, 20. Aug. 2007 (CEST)

Hm, naja zumindest die Grundideen könnten schon in diesen Artikel aufgenommen werden, denke ich. Bin aber kein guter Autor für mathematische Lehrtexte. ;-( --RokerHRO 21:14, 20. Aug. 2007 (CEST)

Verallgemeinerte Ableitungsregel

Moechte es nicht gleich im Artikel stellen, daher mal hier: Es fehlt unter Differentialrechnung#Ableitungsregeln die Darstellung der verallgemeinerten Ableitungsregel fuer rational functions, mit der sich die sogar in eigenen Artikel umfangreich Produktregel, Quotientenregel, Reziprokenregel ganz einfach vermeiden lassen. Ideal fuer Schuler. Ich schlage folgende Erweitern vor (Definitionen/Nomenklatur wie im Artikelabschnitt):

Die Ableitung einer Funktion f:

$f=k\cdot u^{a}\cdot v^{b}\cdot w^{c}...$

mit k und a,b,c,... als Konstanten, lasst sich bilden als:

$f'=f\cdot (a\cdot {\frac {u'}{u}}+b\cdot {\frac {v'}{v}}+c\cdot {\frac {w'}{w}}...)$

Mehr muss man sich gar nicht merken. Damit lasst sich der Quotientenregel, wenn man sie denn bei Wissen um diesen Zusammenhang uberhaupt noch braucht, ganz einfach bilden: k=1, a=1, b=-1 einsetzen und das war es. Produktregel ist k=1, a=1, b=1 und fertig. You got the idea. Und auch man es sich so viel leichter als mit dutzend Regel macht. Einfuegen im Artikel?--LangerFuchs 17:15, 25. Okt. 2010 (CEST)

Mh, habe davon noch nie gehört. Und finde sie auch für Schüler, die Ableitungen lernen wollen, alles andere als ideal, sondern maximal verwirrend. --P. Birken 15:56, 30. Okt. 2010 (CEST)

Hi P. Birken, wir lernen nie aus. Von der Richtigkeit kann Du Dich sicher selber uberzeugen. Vielleicht sollte es nur am Rande im Artikel? Ach ja, Quelle: Feynman: Tips On Physics, Chapter 1-4, ISBN 0-8053-9063-4. Ist wo ander sicher auch zu finden. Manche Physiker wie Feynman sind bei numerikal Analysis gut. Da finden sich immer wieder praktische Details.--LangerFuchs 18:33, 31. Okt. 2010 (CET)

Natürlich stimmt die Regel. Dahinter steckt die logarithmische Ableitung. Aber ich sehe nicht, inwiefern sie einfacher sein soll, als die grundlegenden Regeln. Und in einer Hinsicht ist sie eingeschränkter: Die Nenner dürfen nicht den Wert Null annehmen. -- Digamma 10:22, 2. Nov. 2010 (CET)

Hi Digamma, danke fur Hinweis. Hab's dort eingebaut. Zumal sich dort schon einige Benutzer in der Diskussion ueber zu wenige praktische Beispiel "beschwert" hat.--LangerFuchs 11:13, 5. Nov. 2010 (CET)

Ich finde die Regel auch weder besonders hilfreich noch interessant. --Tolentino 19:15, 5. Nov. 2010 (CET)

Bierbar?

Wo hatte der Bearbeiter des Abschnitts "Verallgemeinerungen" seine Gedanken? Der Satz "Der Begriff der Ableitung als Linearisierung lässt sich analog auf Funktionen $f(x)$ zwischen zwei normbierbaren topologischen Vektorräumen $X$ und $Y$ übertragen ..." erscheint mir unnötig unverständlich. Besser wäre nach meiner Meinung "... normierten Räumen ...", denn mit der Norm wird eine Metrik und damit eine Topologie induziert. Wenn niemand etwas gegen diese Änderung hat, werde ich sie umsetzen, aber ansonsten werde ich mich an einem "exzellenten" Artikel möglichst nicht vergreifen.--Gandalf Mithrandir 18:25, 20. Aug. 2007 (CEST)

Hi, eigentlich hast Du recht. Die Formulierung normbierbaren topologischen Vektorräumen ist aus Naas u. Schmidt Mathematisches Wörterbuch übernommen worden - dort steht es nämlich so. In der grossen sowjetischen Enzyklopädie steht normierten Räumen und in Walter Rudin's Functional Analysis steht Banachräume. Die Frage ist jetzt, wieso es bei Naas u. Schmidt in dieser Form steht? Ich glaube wir sollten uns einbisschen Zeit geben nachzudenken. Bei Rudin Ch.I. S. 28 steht ein Kriterium für Normierbarkeit von topologischen Vektorräumen (Theorem 1.39). Schauen wir uns folgenes Szenario an: Wir haben topolgische Vektoräume $X$ u. $Y$ erstmal ohne Norm. Dann stellen wir fest (mit Hilfe von Th. 1.39) - sie sind normierbar. Wir suchen Norm $||$.$||_{X}$ und $||$.$||_{Y}$ für $X$ u. $Y$ aus und danach bestimmen wir die Frechet-Ableitung $L_{\xi }$ von $f$ (falls eine solche existiert). Ich hatte keine Zeit gehabt um mir in Rudin alles detailiert anzuschauen, aber mir scheint hier die Frage wichtig zu sein: hängt $L_{\xi }$ von der Wahl von $||$.$||_{X}$ und $||$.$||_{Y}$ ab? Wenn nicht, dann ist die Definition ...normbierbaren topologischen Vektorräumen... algemeiner als die anderen und durchaus legitim. Das würde auch die Formulierung in Naas u. Schmidt erklären. Was denkst Du? Ich schlage vor wir schlafen erstmal paar Nächte darüber oder...? --Alexandar.R. 22:20, 20. Aug. 2007 (CEST)

aeh, was spricht dagegen, dass "normbierbar" einfach bloss ein bieriger tippfehler ist? im uebrigen stimme ich Gandalf zu. jeder normierte raum ist ein metrischer raum. und in topologischer Raum steht, dass das fuer eine topologie genuegt. -- seth 23:53, 20. Aug. 2007 (CEST)

Ja, das ist völlig richtig eine Norm induziert Topologie. Aber auch umgekehrt ist richtig für eine spezielle Klasse von topologischen Vektorräume kann eine (oder mehrere) Norm gefunden werden, so dass die von dieser Norm induzierte Topologie mit der Topologie des Vektrorraumes übereinstimmt. Zwischen der Klasse der normierbaren topologischen Vektorräumen und der Klasse der normierten topologischen Vektorräumen darf man nicht das Gleichzeichen setzen. In der Klasse der normierten topologischen Vektorräumen ist die Norm für jeden Raum festgelegt - während in der Klasse der normierbaren topologischen Vektorräumen das nicht der Fall ist. Der Unterschied ist wesentlich. --Alexandar.R. 08:48, 21. Aug. 2007 (CEST)

Wie es aussieht, war ich etwas voreilig. Wenn wirklich "normbierbar" im Mathematischen Wörterbuch steht, welches ich nicht besitze, dann wäre es das beste, die Autoren des Buches oder des betreffenden Abschnitts (falls Naas u. Schmidt nur Herausgeber waren) zu fragen, ob es Absicht oder ein Fehler war, normbierbar zu schreiben. Sogar aus gedruckten Büchern darf man keinesfalls alles vollkommen ungeprüft übernehmen. In dieser Problematik (und auch ob normierbarer topologischer Vektorraum u. normierter Raum sich unterscheiden) schlage ich vor, mehrere Analysis-Professoren zu befragen. Leider habe ich diese Möglichkeit kaum. Vielleicht habt Ihr da Erfolg. Dazu wünsche ich gutes Gelingen. Bis zur abschließenden Klärung werde ich mich jedenfalls hüten, im Artikel herumzupfuschen.--Gandalf Mithrandir 17:48, 24. Aug. 2007 (CEST)

das "b" war auf jeden fall zuviel. das wort "normbierbar" gibt es in der mathematik nicht. (ob es eine sogenannte din-norm fuer bierbars gibt bezweifle ich ebenfalls *g*). mittlerweile wurde das ja auch korrigiert. aus der sache mit "normierbarer topologischer raum" vs. "normierter raum" halte ich mich mal raus. -- seth 18:52, 24. Aug. 2007 (CEST)

Formale Definition und Notation

Ich denke in einem Abschnitt mit dem Titel Formale Definition und Notation sollte man auch Begriffe und Notationen wirklich konsistent und unzweideutig verwenden. Da steht im Artikel:

Eine Funktion, die ein offenes Intervall U in die reellen Zahlen abbildet ($f:U\to \mathbb {R}$), heißt differenzierbar an der Stelle $x_{0}\in U$, falls der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$   (mit $h=x-x_{0}$) auf beiden Seiten (also sowohl für $x>x_{0}$ als auch für $x<x_{0}$) existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von $f$ nach $x$ an der Stelle $x_{0}$ und ......

Wenn man von einseitigen Grenzwerten spricht, so sollte man schon die Notation für einseitige Grenzwerte verwenden. Man darf zwar alternativ die Notation $\lim _{x\to x0}$ verwenden, aber dann kann man nicht mehr gleichzeitig was von (x > x0) oder (x < x0) schwafeln. Es gilt nämlich per definitionem $\lim _{x\to p}f(x)=\lim _{x\uparrow p}f(x)=\lim _{x\downarrow p}f(x)$. Für denjenigen, der nicht bereits Bescheid weiss und sich die Materie gerade erarbeitet, ist es auch sehr verwirrend, wenn unmittelbar nach einer Gleichung der Satz mit auf beiden Seiten...existiert weitergeht. Allzuleicht kann man den Satz auf beide Seiten der Gleichung beziehen und man fragt sich verwirrt wieso x in der einen Gleichung grösser als xo, in der anderen kleiner sein soll...

Also, eine Möglichkeit wäre sicher, den überflüssigen und verwirrenden Text "...auf beiden Seiten (also sowohl für $x>x_{0}$ als auch für $x<x_{0}$).." einfach wegzulassen. "Falls der Grenzwert ... existiert." reicht für die streng formale Definition völlig aus.

Allerdings wird später unten bei den Beispielen plötzlich stillschweigend die Notation $\lim _{x\to 0+}$ bzw. $\lim _{x\to 0-}$ eingeführt und es ist von "links"- und "rechtsseitigem" und "beideitigem" Grenzwert die Rede:

Beispiel für eine nicht überall differenzierbare Funktion

$f(x)=|x|$ ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar: Für $x>0$ gilt $f(x)=x$ und damit $\lim _{x\rightarrow 0+}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\rightarrow 0+}{\frac {x-0}{x-0}}=1$. Für $x<0$ gilt dagegen $f(x)=-x$ und folglich $\lim _{x\rightarrow 0-}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\rightarrow 0-}{\frac {-x-0}{x-0}}=-1$. Da der links- und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert kein beidseitiger Grenzwert. $f$ ist somit an der betrachteten Stelle nicht differenzierbar, die Differenzierbarkeit aller anderen Stellen der Funktion ist dagegen noch immer gegeben. Die Funktion $f$ ist jedoch richtungsdifferenzierbar, d. h. man kann eine rechtsseitige und eine linksseitige Steigung angeben (1 bzw −1).

In der Definition wird das alles konsequent unterschlagen, man baut stattdessen ein "Hintertürchen" ("auf beiden Seiten (also sowohl für x > x0 als auch für x < x0)") in die Definition ein, um dann beim Beispiel plötzlich eine neue Notation und neue Begriffe hervorzuzaubern. Um ganz sicher zu gehen, dass sich der Leser möglichst dumm vorkommt, schlägt man ihm auch noch unter dem Begriff "richtungsdifferenzierbar" den Artikel "Richtungsableitung" um den Kopf!

Da kann man sich eine Artikel Formale Definition und Notation doch eigentlich schenken, wenn man die Begriffe dann doch in den Beispielen definiert und zudem noch eine neue Notation verwendet - oder etwa nicht?

Man könnte natürlich auch die Definition präzisieren, so wie' ich's getan habe (über die konkrete Notation kann man sich ja einigen):

Die rechts- und linksseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten einer Funktion, die ein offenes Intervall U in die reellen Zahlen abbildet ($f:U\to \mathbb {R}$) heißen die rechts- bzw. linksseitigen Ableitungen der Funktion. Rechtsseitige Ableitung $\lim _{x\downarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\downarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$   (mit $h=x-x_{0}$) Linksseitige Ableitung $\lim _{x\uparrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\uparrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ Existieren beide Grenzwerte an der Stelle $x_{0}$ und sind sie darüberhinaus identisch, so heißt die Funktion differenzierbar an der Stelle $x_{0}\in U$. Der gemeinsame Grenzwert wird dann als der Differentialquotient oder auch einfach als die Ableitung der Funktion $f$ nach $x$ an der Stelle $x_{0}$ bezeichnet...

Auffällig ist die Ähnlichkeit "meiner" Definition mit dem Beispiel. Insbesondere hat sie den Vorteil, dass die Begriffe, die im Beispiel verwendet werden auch da definiert werden, wo sie hingehören und wo man sie sucht - nämlich im Abschnitt Formale Definition und Notation.

Daher erstmal von mir ein Revert. Wird aber noch ein bisschen bearbeitet. Mschcsc 11:52, 15. Jan. 2008 (CET)

Das ist ein enzyklpädischer Artikel und kein Lehrbuchkapitel. Dafür sind ja die Links da. Damit wird die Information verteilt. Wer Schwierigkeiten beim Verstehen des Textes hat, bekommt die Möglichkeit durch Weiterklicken mehr zu efahren. Du könntest (falls Du der Meinung bist, dass hier Klärungsbedarf vorhanden ist) einseit, zweiseitig, beiderseitig in Glossar mathematischer Attribute unterbringen. Ein solcher Artikel, wie dieser hier, kann als Lektüre für Einsteiger gar nicht dienen. Ich sehe auch keinen Widerspruch zwischen der Notation unten und oben. Du verwendest zwei neue Begriffe Rechtsseitige Ableitung und Linkssseitige Ableitung, was an dieser Stelle überflüssig ist. --Alexandar.R. 18:11, 15. Jan. 2008 (CET)

@Mschcsc, ich denke, dein erster Vorschlag war der bessere: einfach auf den Zusatz "...auf beiden Seiten (also sowohl für $x>x_{0}$ als auch für $x<x_{0}$).." verzichten. Es ist für die Definition der Ableitung überhaupt nicht notwendig, über links- und rechtsseitige Grenzwerte zu sprechen.

Man kann in einem zweiten Schritt davon sprechen, dass man, falls diese existieren, die links- und rechtsseitigen Grenzwerte links- bzw. rechtsseitige Ableitung nennt, und dass die Funktion genau dann differenzierbar ist, wenn links- und rechtsseitige Ableitung beide existieren und übereinstimmen.

Zur Notation: Ich finde die Notation $\lim _{x\uparrow x_{0}}$ genauso irritierend wie die von Dir beanstandete $\lim _{x\rightarrow 0-}$, denn man weiß nicht, ob $x$ gegem $x_{0}$ strebt oder $x_{0}$ gegen $x$. (nicht signierter Beitrag von Digamma (Diskussion | Beiträge) .)

Es gibt bessere Bezeichnungen: $\lim _{x\nearrow x_{0}}$ und $\lim _{{x\to x_{0}} \atop {x<x_{0}}}$. --Alexandar.R. 18:57, 15. Jan. 2008 (CET)

Danke für's Nachtragen der Signatur und für die Bemerkung. --Digamma 20:54, 15. Jan. 2008 (CET)

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Wenn man eine Detaillierte Erklärung von Links- und rechtsseitigem Grenzwert eurer Meinung nach gar nicht braucht, dann darf man aber auch nicht später ein Beispiel bringen in dem links- und rechtsseitige Ableitungen vorkommen!! Man darf dann auch nicht von davon sprechen ,...dass der Begriff der Differenzierbarkeit anschaulich bedeutet, dass der zugehörige Graph knickfrei verläuft...

Wenn man schon extra einen Abschnitt Formale Definition und Notation im Artikel aufnmmt, wieso um alles in der Welt sollte man dann erst in einem zweiten Schritt irgendwo anders davon sprechen, dass es rechts- und linksseitige Grenzwerte auch noch gibt? Wohl um es dem Leser auch recht schwer zu machen. Wär' ja auch zu einfach wenn Definitionen und Notationen auch tatsächlich im gleichnamigen Abschnitt zu finden wären...?!?

Wir sprechen hier ja nicht von irgendwelchen hochabstrakten, und für die Praxis bedeutungslosen Details, sondern von der ganz elementaren, korrekten Vorgehensweise bei der Bestimmung des Differentialquotienten, so wie's in jedem Schulbuch zur Analysis und in zahlreichen Publikationen wie hier, oder hier klipp und klar geschrieben steht!

Wenn man sich aus dem Abschnitt Formale Definition und Notation eines Artikels zur Differentialrechnung erst noch irgendwo hinklicken muss, um vollständig und korrekt über's Differenzieren informiert zu werden, so kann das doch nicht der Weisheit letzter Schluss sein? Mal angesehen davon, dass auch unter Differenzierbarkeit nur die "Kurzfassung" mit den beidseitigen Grenzwerten zu lesen ist.

Die Begriffe der rechts- und linksseitigen Ableitungen habe ich deshalb ausdrücklich erwähnt, damit deutlich wird, dass eine Ableitung nichts anderes ist als der Grenzwert eines Differenzenquotienten. Und selbst wenn die Begriffe hier in diesem Artikel (vorerst) nicht weiter verwendet werden, so sind sie deshalb noch lange nicht überflüssig. Unzählige Publikationen verwenden diese Begriffe, da macht es durchaus Sinn in einer Enzyklopädie gebräuchliche Begriffe zumindest zu erwähnen - und wo sonst, wenn nicht im vorliegenden Artikel Differentialrechnung soll das geschehen?

Kompliziert wird ein Artikel (und auch die Mathematik selbst) nicht, indem man den Formalismus konsistent und vollständig entwickelt, selbst wenn man dafür ein paar Zeilen mehr benötigt. Kompliziert wird ein Artikel, wenn man dem Leser Wesentliches unterschlägt dass er sich dann auf gut Glück selbst irgendwo "zusammenklicken" darf. Nur blöd, wenn die Autoren der verlinkten Artikel anstatt auf Fakten ebenfalls auf das "Verstecken, äh, Verteilen der Information" gesetzt haben...

Und was ist mit den problematischen Aspekten der ursprünglichen Formulierung? Lieber Missverständlich als Vollständig? Geht es wirklich darum, dem Lernenden oder Interessierten das Differenzieren möglichst schwer zu machen?

Die Besprechung der rechts- und linksseitigen Ableitungen gehört definitiv in einen Artkel über's Differenzieren, dass lässt sich nicht wegdiskutieren! Wer behauptet, links- und rechtsseitige Grenzwerte seien für's Verständnis der Differentialrechnung gar nicht wichtig, der hat sie selbst noch gar nicht richtig verstanden.

Meine (wenigen) Ergänzungen sind faktisch richtig und für das Thema des Artikels von zentraler Bedeutung - da erwarte ich schon einen wirklich stichhaltigen und schwerwiegenden Grund, weshalb eine mathematisch korrekte Definition ausgemerzt werden soll! Mschcsc 02:10, 16. Jan. 2008 (CET)

P.S.: Was die Notation für die einseitigen Grenzwerte anbelangt: Da kann man sich ja sicher einigen. Mir gefällt an der Notation $\lim _{a\to b-}$ nicht, dass es zu eher verwirrenden Ausdrücken wie $\lim _{a\to -\infty +}$ oder $\lim _{a\to +\infty -}$ kommen kann. $\lim _{n\downarrow -\infty }$ bzw. $\lim _{n\uparrow \infty }$ sind da einfach etwas unzweideutiger. Die konkrete verwendete Notation ist eigentlich nicht so wichtig, Hauptsache, man verwendet sie konsequent. Ich versuche mich bei Fragen zur konkreten Notation immer ein bisschen an den verlinkten Artikeln (hier z.B. Grenzwert (Funktion)) zu orientieren, damit die Leser, die die Links benutzen nicht mit ständig neuen Schreibweisen und Konventionen behelligt werden.
Mschcsc 02:48, 16. Jan. 2008 (CET)

Die Einführung der Begriffe rechts- und linksseitige Ableitungen ist an der Stelle nicht etwa von zentraler Bedeutung, sondern völlig überflüssig und bringt den Leser nicht weiter. Die Formulierung "von beiden Seiten" hat irgendjemand mal reingemogelt, ich halte sie ebenfalls für entbehrlich. --P. Birken 04:40, 16. Jan. 2008 (CET)

Wenn's an dieser Stelle überflüssig ist, weshalb wird es einem denn in der Schule so beigebracht? Aus Jux und Dollerei?

Wie's in der Schule beigebracht wird, hängt sehr vom jeweiligen Lehrer/Lehrplan oder was immer ab. Man kann es mit der linksseitigen/rechtsseitgen Ableitung machen, aber das ist nicht zwingend. fr:Dérivée und en:Derivative kommen auch ohne aus. --NeoUrfahraner 13:31, 16. Jan. 2008 (CET)

Was soll das heissen, das bringt "den Leser" an "dieser Stelle" nicht weiter? Es gibt nicht "den Leser", es gibt sehr viele Leser, und die allerwenigsten davon werden den Artikel von Anfang bis Ende durchlesen. Die allermeisten "Leser" die bei Differentialrechnung landen, sind über Links aus anderen Artikeln, (oft über den Umweg Differenzierbarkeit) z.B. Newton-Verfahren, Glatte Funktion, Gradient (Mathematik) und hunderte andere) oder über die Volltextsuche hierhergelangt. Solche Leute könnten vielleicht wirklich auf die verrückte Idee kommen, die vollständige Definition im Abschnitt Definitionen zu suchen anstatt den ganzen Artikel durchzulesen oder die Textsuche zu bemühen, weil ja in irgendeinem Beispiel vielleicht doch noch was von "links-" oder "rechtsseitigem Grenzwert" gesagt wird...!

Die Informationen, die die Leser suchen sind doch nicht notwendigerweise ausschliesslich die, die für P. Birken relevant sind!

Ich bringe auch nochmal den im Artikel als "Erklärung" verlinkten Artikel über Richtungsableitung zur Sprache.

"Der Leser" wird mit sowas völlig aufs Glatteis geführt, denn in die Richtungsableitung hat mit der "Richtung" des Grenzwertübergangs nicht das geringste zu tun. "Richtungsableitung" bedeutet nichts anderes, als dass der Grenzwert des Differenzenquotienten ein Vektor ist.

Das ist ein ziemlicher Overkill, den Leser zu einem Artikel über Differentialgeometrie weiterzuleiten, nur weil dort der Begriff der beidseitigen und einseitigen Ableitungen endlich explizit (allerdings anhand von Vektoren!) definiert werden (vermutlich weil eine elementare Definition hier, wo sie eigentlich hingehört, ja fehlt!!). Die Verquickung der Begriffe "links-" bzw. "rechtsseitige Ableitung" mit dem Begriff der "Richtungsableitung" ist höchst problematisch, da die die "Richtung" der "Richtungsableitung" nichts mit der "Einseitigkeit" der Grenzwertübergänge zu tun hat.

Da ist durchaus etwas dran; die Begriffe "links-" bzw. "rechtsseitige Ableitung" gehören irgendwo in der Wikipedia sauber defininiert, aber IMHO ist dieser Artikel hier der falsche dafür. Vielleicht hat wer Ideen, wo sie sich gut einfügen. --NeoUrfahraner 13:31, 16. Jan. 2008 (CET)

Weitaus besser wäre es, die einseitigen Ableitungen hier allgemein zu definieren und in Richtungsableitung auf diese Definitionen aufzubauen, anstatt dort Differenzierbarkeit nochmal nur für Vektoren - aber dafür zusätzlich mit den einseitigen Grenzwerten - komplett neu zu definieren. Als Sahnehäubchen verweist "Richtungsableitung" dann noch auf den Abschnitt "Totale Differentation" in diesem Artikel, die nichts anderes als eine formal strengere Wiederholung der Differenzierbarkeitsbedingung ist!!

Also was soll der Abschnitt 'Totale Differenzierbarkeit wenn die nicht-totale Differenzierbarkeit sowieso unter den Tisch gekehrt (bzw. in der Differentialgeometrie versteckt) wird? Das ist doch sinnloses Geschwurbel und begriffliche Konfusion im Höchstmass!

Thematische Abschnitte und Links sollen den Lesern nicht das Suchen ermöglichen - sondern das Finden!!

Wieso wehrst Du dich so wehement dagegen, dass der Artikel modifiziert wird? Ich gebe mir hier redlich Mühe, die Konsitenz der Artikel untereinander zu pflegen und zu verbessern, aber das ist sauschwer wenn jede kleine Änderung immer gleich blockiert wird, weil einige nicht über den Rand eines einzelnen Artikels hinaussehen können oder wollen oder sich an einer persönlichen Vorstellung des "typischen Lesers" (vulgo der Leser) orientieren.

Will man für einen bestimmten Leserkreis schreiben, so ist es besser, Lehrbücher zu schreiben. Da kann man den Leser auch schön "an die Hand" nehmen und ihn nach seinem Gusto durch den Stoff "führen".

Eine Enzyklopädie soll aber in erster Linie Wissen leicht abrufbereit für einen möglichst breiten Leserkreis vermitteln. Ein Wiki-Artikel soll aber nicht nur den Lesern Informationen leicht zugänglich machen, sondern auch den Autoren anderer Artikel. Das scheint hier oft vergessen zu werden.

Mschcsc 13:19, 16. Jan. 2008 (CET)

Das sehe ich auch so. Einseitige Ableitungen sind in diesem Artikel völlig überflüssig (sonst müssten wir wohl gleich den Unterschied zwischen Frechet-Ableitung und Gateaux-Ableitung erklären. Wenn die Ursache für dieses Problem in den Worten "Die Formulierung "von beiden Seiten" besteht, dann soll besser gleich das "von beiden Seiten" entfernt werden. Wird das irgendwo im Artikel noch gebraucht? --NeoUrfahraner 11:11, 16. Jan. 2008 (CET)

Es geht nicht um Richtungsableitungen, sondern um die einseitigen Grenzwerte von Ableitungen (egal ob Richtungsableitungen oder "normale" Ableitungen).

Es geht darum, was in dem folgenden Beispiel bei den Kurvem mit dem "Knick" als "rechtsseitiger" bzw. "linksseitger Grenzwert" bezeichnet wird.

Mschcsc 13:22, 16. Jan. 2008 (CET)

An dem Punkt, dass sich die "einseitigen Ableitungen" (heißen die jetzt so?) in der Wikipedia nur bei der Richtungsableitung finden, ist durchaus was dran. Das betrifft aber vielmehr den Artikel Richtungsableitung und einen eventuell fehlenden Artikel zur "einseitigen Ableitung" (so einen habe ich auf die Schnelle in den Interwikis nicht gefunden - weiß wer, wie andere das handhaben? en:Rolle's theorem spricht z.B. von "right- and left-hand derivatives" ohne weiterzuverweisen.) --NeoUrfahraner 13:58, 16. Jan. 2008 (CET)

PS: Es handelt sich um diese Änderung: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Differentialrechnung&diff=next&oldid=22721538 Spricht was dagegen, die betreffenden Änderung zu reverten, da sie anscheinend mehr Verwirrung stiftet als klärt? --NeoUrfahraner 11:24, 16. Jan. 2008 (CET)

An Mschcsc: Bitte beachte WP:AGF --Digamma 18:32, 16. Jan. 2008 (CET)

An Digamma. Naja, an gute Absichten zu glauben fällt mir allmählich schwer, wenn ich hier meine Zeit vertrödle, sehr ausführlich recherchiere, meine Änderungen ausführlich und klar begründe, versuche die Logik und Struktur des Artikels zu optimieren - damit meine Arbeit dann mit wirklich lapidaren oder gar keinen Begründungen mehrfach wieder rausgeschmissen wird.

Warum zeigt mir fast keiner seine guten Absichten, indem er auf meine Argumente eingeht? Wo sind hier wirklich überzeugende Argumente, weshalb man den Artikel nicht vervollständigen darf? Sachliche, mathematische Argumente und nicht die immergleichen Vermutungen darüber, was der Leser will, versteht, was ihn weiterbringt etc. Wenn's ja wenigstensd noch stimmen würde, die Leser davon profitieren, dass man ihnen die Wahrheit bewusst vorenthält...

Was hat hier mehr Gewicht, das eine Definition richtig, logisch, vollständig und klar ist? Oder dass sie den Leser (den der Autor gerade im Sinn hat) möglicherweise nicht weiterbringt?

Mschcsc 19:28, 16. Jan. 2008 (CET)

Geh von guten Absichten aus heißt das Du davon ausgehen kannst das auch andere Benutzer recherchieren siehe z.B.: Otto Foster Analysis 1 ->Ableitung definiert ohne rechts-/linksseitig. Auch in den beiden von dir angegebenen links wird zunächst die Ableitung ohne rechts-,linksseitigen Grenzwert definiert um dann festzuhalten das dies gleichwertig ist. Ähnlich könnte man das im Artikel machen. Formal exakter könnte man höchsten $\lim _{{x\to x_{0}} \atop {x\not =x_{0}}}$ schreiben das fände ich aber übertrieben. viele Grüße --Mathemaduenn 20:50, 16. Jan. 2008 (CET)

OK. Die Definition, die jetzt (nach dem ich den missverständlichen Zusatz gestrichen habe) dasteht, ist richtig, logisch und vollständig. Die Definition des Grenzwerts benutzt keine links- und rechtsseitigen Grenzwerte.

Der Zusammenhang zwischen Existenz eines Grenzwerts und der Existenz und Gleichheit von links- und rechtsseitigen Grenzwerten ist eine Aussage über Grenzwerte (eine recht banale, aber nützliche), aber nicht Bestandteil der Definition. Sie kann nützlich sein, um die Nichtexistenz eines Grenzwerts nachzuweisen (wie in dem genannten Beispiel der Betragsfunktion) oder auch um die Existenz eines Grenzwerts nachzuweisen (bei abschnittsweise definierten Funktionen). Es gibt jedoch jede Menge Konvergenznachweise, wo kein Gebrauch von links- und rechtsseitigen Grenzwerten gemacht wird. Dies gilt insbesondere für die Nachweise der meisten Differenzierbarkeitsaussagen (Potenzfunktionen, trogonometrische Funktionen, Ableitungsregeln). --Digamma 19:52, 16. Jan. 2008 (CET)

Ich stimme zu, für die rein formale Definition ist es nicht zwingend notwendig, links- und rechtsseitige Grenzwerte zu unterscheiden; aber auch nur deshalb, weil das bereits in den Grenzwertdefinitionen implizit versteckt ist dass mit Grenzwert im Grunde genommen immer beidseitiger Grenzwert gemeint ist.

Dass es zahllose Funktionen gibt, von denen man schon zum vorneherein weiss, dass sie differenzierbar sind, streite ich ja gar nicht ab. Genausowenig, dass man bei unzähligen Grenzwerten schon auf den ersten Blick sieht, dass links- und rechtsseitige Ableitung gleich sind (weil das $\Delta x$ einfach rausfällt).

Aber rechtfertigt das wirklich dass man die Fälle, wo's nicht ganz so einfach und "glatt" ist, einfach unterschlägt? In der Hoffnung, es möge keiner hier reinschauen, der was über die (immer noch unendlich vielen) Ausnahmen wissen will?

Ehrlich, ich versteh's nicht, schreiben wir hier Artikel um Informationen zur Verfügung zu stellen, oder schreiben wir Artikel um Informationen zu verstecken?

Schädlich ist die Vervollständigung der Definition sicher nicht, und wenn Du schreibst, eine vollständige Definition ...kann nützlich sein um... dann ist für mich damit eigentlich klar, dass sie dann auch in den Artikel hineingehört - und zwar an der richtigen Stelle! Schliesslich sollte es uns doch freuen, wenn unsere Artikel nützlich sein können - oder es für den einen oder anderen sogar tatsächlich werden.

Mschcsc 20:51, 16. Jan. 2008 (CET)

Ich habe den Eindruck, dass Du den Unterschied zwischen einer Definition und einem Kriterium nicht verstehst. Die Definition ist vollständig. Sie wird nicht dadurch "vollständiger", dass man noch gleichwertige Bedingungen hinzufügt.

Ich habe überhaupt nichts dagegen, dass irgendwo im Artikel steht, dass die Ableitung genau dann exisitert wenn links- und rechtsseitige Ableitung existieren und übereinstimmen. Aber das gehört nicht in die Definition. Andererseits ist das auch nur die Aussage, dass der Grenzwert genau dann existiert, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und übereinstimmen. Und das ist schlicht eine Aussage über Grenzwerte und gehört in den Artikel über Grenzwerte. Und es genügt, wenn sie dort steht. Man kann hier ja darauf verweisen.

Und zu den Grenzwerten selber: ich kenne kaum einen Nachweis für Konvergenz, wo man zwischen links- und rechtsseitig unterscheiden muss. Wenn man die Definition erweitert, dann bedeutet das, dass derjenige, der Konvergenz nachweisen will, mehr tun muss.

Dieselbe Definition funktioniert z.B. auch bei Funktionen, deren Argumente komplexe Zahlen sind. Aber bei komplexen Zahlen gibt es kein "links" oder "rechts". Du machst es unnötig kompliziert.

Es gibt auch andere Beispiele, wo der Nachweis der Konvergenz oder Nichtkonvergenz kompliziert ist, aber überhaupt nicht mit links- und rechtsseitigen Grenzwerten funktioniert.

Ein Beispiel: Die Funktion $f(x)=x\cdot \sin {\tfrac {1}{x}}$ für $x\neq 0$ und $f(0)=0$ ist an der Stelle 0 stetig aber nicht differenzierbar. Wie weist Du nach, dass sie nicht differenzierbar ist? --Digamma 21:48, 16. Jan. 2008 (CET)

• Ich habe den Eindruck, dass Du den Unterschied zwischen einer Definition und einem Kriterium nicht verstehst. Die Definition ist vollständig. Sie wird nicht dadurch "vollständiger", dass man noch gleichwertige Bedingungen hinzufügt.

Ich kenne schon den Unterschied zwischen Definition und Kriterium. In diesem Falle geht's doch darum, wie das Kriterium definiert wird.

Die Definition ist "unvollständig" in dem Sinne, dass sie Begriffe, die später verwendet werden, nicht definiert.

• Ich habe überhaupt nichts dagegen, dass irgendwo im Artikel steht, dass die Ableitung genau dann exisitert wenn links- und rechtsseitige Ableitung existieren und übereinstimmen. Aber das gehört nicht in die Definition.

Wohin sollte das denn sonst gehören? Wo wird ein Leser die Begriffe "rechtsseitige" und "linksseitige Ableitung" wohl am ehesten suchen? Also ich würde erstmal da suchen, wo auch "Ableitung" definiert wird. Das kann doch auch nicht der Weisheit letzter Schluss sein, dass jetzt zusätzlich zur "zusammengefassten" Definition des Differenzierbarkeitskriteriums im Abschnitt "Definitionen" irgendwo später in den konkreten Beispielen urplötzlich neue Begriffe auftauchen und in einem Nebensatz das Differenzierbarkeitskriterium mal schnell neu definiert wird!

Ich halte es für sinnvoll, einen eigenen Artikel Einseitige Ableitung anzulegen (dieser Begriff ist tatsächlich geläufig, steht so im Heuser 1 und der Google-Test liefert auch ausreichend Treffer). Auf diesen Artikel kann man an den betreffenden Stellen verlinken; dort ist dann Platz für die Definition, ein paar Aussagen (insbesondere als Differenzierbarkeitskriterium) und einige Beispiele. --NeoUrfahraner 06:33, 17. Jan. 2008 (CET)

• Andererseits ist das auch nur die Aussage, dass der Grenzwert genau dann existiert, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und übereinstimmen. Und das ist schlicht eine Aussage über Grenzwerte und gehört in den Artikel über Grenzwerte. Und es genügt, wenn sie dort steht. Man kann hier ja darauf verweisen.

Richtig, das ist eine simple Aussage (die zu berücksichtigen nun wirklich nichts wesentlich kopliziert) und ich hab' den Artikel Grenzwert (Funktion) auch entsprechend überarbeitet. Wobei sich mir nicht ganz erschliesst, wieso die für die Differentialrechnung relevanten einseitigen Ableitungen nicht im Artikel Differentialrechnung behandelt werden sollen, sondern im Artikel Grenzwerte. Das Differenzierbarkeitskriterium wird so schon in zu vielen Artikeln (wie Richtungsableitung, Differnzierbarkeit, Grenzwert (Funktion) und vielen anderen) immer wieder neu (und immer ein bisserl anders) definiert.

• Und zu den Grenzwerten selber: ich kenne kaum einen Nachweis für Konvergenz, wo man zwischen links- und rechtsseitig unterscheiden muss. Wenn man die Definition erweitert, dann bedeutet das, dass derjenige, der Konvergenz nachweisen will, mehr tun muss.

Man muss nicht mehr tun, nur weil man die Begriffe sauber hinschreibt. Man muss so oder so immer den links- und den rechtsseitigen Grenzwert bestimmen, wenn man $\lim _{a\to b}$ ermitteln will.

Es stimmt, dass sich diese unterscheidung oft von selbst erledigt, wenn dx bei der Grenzwertbildung einfach herausfällt. Aber sehr oft wird auch einfach Differenzierbarkeit vorrausgesetzt und man ermittelt nur einen Grenzwert weil aus dem (vorrausgesetzten) Differenzierbarkeitskriterium umgekehrt folgt, dass der zweite Grenzwert ebenfalls existieren muss und gleich ist.

Ist ja eigentlich ganz simpel, da stimmst Du mir sicher zu. Ausser natürlich für denjenigen, dem man die einseitigen Grenzwerte ganz verschweigt.

• Dieselbe Definition funktioniert z.B. auch bei Funktionen, deren Argumente komplexe Zahlen sind. Aber bei komplexen Zahlen gibt es kein "links" oder "rechts". Du machst es unnötig kompliziert.

Schon richtig, die Einseitigkeit ist eine Eigenschaft von reellwertigen Grenzwerten. Aber schliesslich steht ja ganz ausdrücklich da:

• "..Eine Funktion, die ein offenes Intervall U in die reellen Zahlen abbildet ($f:U\to \mathbb {R}$), heißt differenzierbar an der Stelle $x_{0}\in U$..."

Wenn wir zu Funktionen mit komplexen Zahlen übergehen, wird so einiges noch viel komplizierter, insbesondere mit der Differentialrechnung können wir dann gleich aufhören.

Und wieso sollte irgendwas dadurch komplizierter werden? In dem Beispiel haut man dem Leser die Begriffe ja sowieso um die Ohren, einfach ohne klare Erklärung. Man erspart dem Leser die Begriffe ja nicht; man erklärt sie ihm bloß nicht (richtig).

• Es gibt auch andere Beispiele, wo der Nachweis der Konvergenz oder Nichtkonvergenz kompliziert ist, aber überhaupt nicht mit links- und rechtsseitigen Grenzwerten funktioniert.

Ein Beispiel: Die Funktion $f(x)=x\cdot \sin {\tfrac {1}{x}}$ für $x\neq 0$ und $f(0)=0$ ist an der Stelle 0 stetig aber nicht differenzierbar. Wie weist Du nach, dass sie nicht differenzierbar ist?

Ich sehe den Zusammenhang mit diesem Beispiel nicht. Der Nachweis ist nicht sehr schwierig, man kann leicht zeigen dass $\lim _{x\to 0}f(1/x)$ für alle periodischen Funktionen f nicht definiert ist.

Das reicht aber nicht aus, wie das Beispiel

$f(x)={\begin{cases}x^{2}\cos \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}$

im Arikel zeigt. --NeoUrfahraner 11:03, 17. Jan. 2008 (CET)

Aber ich hab' auch ein Beispiel:

wie zeigst Du, dass $f(x)={\frac {x^{3}}{|x|}}$ in x=0 differenzierbar ist, und wie, dass $f(x)={\frac {x^{2}}{|x|}}$ nicht differenzierbar ist, ohne die einseitigen Grenzwerte zu bestimmen zu müssen?

Mschcsc 04:46, 17. Jan. 2008 (CET)

Beispiel für eine nicht überall differenzierbare Funktion

Jetzt steht zweimal genau dassselbe da (abgesehen vom kleinen Fehler beim letzten Grenzwert)! Mschcsc 05:18, 17. Jan. 2008 (CET)

Lösungsvorschlag

Wie schon weiter oben erwähnt, würde ich Folgendes vorschlagen:

1. Ein eigener Artikel einseitige Ableitung, in dem die Definition informell (ein schwächerer Begriff der Ableitung) und streng formal gebracht wird, Anwendungen (als Differenzierbarkeitskriterium), diverse Beispiele (sind ja schon mehrere in den Artikeln und in der Diskussion) und eine deutliche Abgrenzung von Richtungsableitung.
2. Redirects von linksseitige Ableitung, rechtsseitige Ableitung, links- und rechtsseitige Ableitung und evtl. auch von rechts- und linksseitige Ableitung.
3. Die Artikel, die bisher die einseitige Ableitung teils unterschiedlich behandeln, sollen "entrümpelt" werden und auf den Artikel "einseitige Ableitung" verweisen.

Meinungen dazu? --NeoUrfahraner 11:12, 17. Jan. 2008 (CET)

PS: konvexe und konkave Funktionen wartet schon seit 28. Juli 2006 auf die einseitige Ableitung: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Konvexe_und_konkave_Funktionen&diff=19507385&oldid=19507330 --NeoUrfahraner 11:33, 17. Jan. 2008 (CET)

Nichts dagegen. --Digamma 15:53, 17. Jan. 2008 (CET)

Klingt gut. Richtungsableitung und Partielle Ableitung warten bei der Gelegenheit auch noch auf Freiwillige fürs Facelifting. Ach ja, die letzten beiden Redirects halte ich nicht für sinnvoll, das tippt eh keiner ein. --P. Birken 07:26, 18. Jan. 2008 (CET)

Wozu das ganze so unglaublich verkomplizieren?

Man braucht doch nun wirklich keinen neuen Artikel für die einseitigen Ableitungen - und erst recht nicht noch mehr "Definitionen" für ein und dieselbe Sache.

Richtungsableitung sollte man in diesem Zusammenhang hier noch gar nicht mal erwähnen; im Artikel geht's ja schliesslich nicht um Differentialgeometrie.

Ableitung oder Differentialquotient ist doch nichts anderes als ein Wort für eine ganz bestimmte Art von Grenzwerten, nämlich den Grenzwerten von Differenzenquotien - nicht mehr und nicht weniger.

Wenn man vorraussetzt dass der Leser über Grenzwerte umfassend und vollständig Bescheid weiss, dann ist da nicht mehr zu sagen; dann ist der Begriff Ableitung oder Differentialquotient geklärt und es bedarf keines eigenen Artikels mehr.

Das überaus wichtige in unzähligen Bereichen benutzte Differenzierbarkeitskriterium, ist nichts weiter als das beidseitige "Grenzwertkriterium":

• Ist $p\;$ sowohl Häufungspunkt von $\{x\in X:x<p\}$ als auch Häufungspunkt von $\{x\in X:x>p\}$, so existiert der Grenzwert $\lim _{x\to p}f(x)$ genau dann, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte $\lim _{x\uparrow p}f(x)$ und $\lim _{x\downarrow p}f(x)$ existieren und gleich sind. Es gilt dann $\lim _{x\to p}f(x)=\lim _{x\uparrow p}f(x)=\lim _{x\downarrow p}f(x)$

Aber wenn man das Verständnis des Grenzwertbegriffs bereits vorraussetzt, was soll dann überhaupt der ganze Artikel?

Der ganze Aufwand mit den "Steigungsdreiecken" und der Veraunschaulichung des Grenzwertes als der Übergang von der Sekanten- zur Tangentensteigung ist doch nichts anderes als eine geometrische Veranschaulichung des Grenzwertbegriffs!

Ein Artikel über Differentialrechnung oder den Differentialquotienten darf doch nicht das Verständnis des Grenzwertbegriffs - den er ja detailliert und anschaulich beschreiben soll - implizit bereits vorraussetzen; denn dann ist er schlicht überflüssig und bringt wirklich niemanden weiter, weil nur diejenigen ihn verstehen können, die eh schon Bescheid wissen....

Wenn man hier den Grenzwertbegriff wie in diesem Artikel anhand der Sekantensteigung veranschaulicht, dann muss man das aber auch richtig machen - oder wenigstens anderen die Richtigstellung erlauben.

Wird wie in Artikel anschaulich hergeleitet:

:: Ableitung einer Funktion Um eine Tangentensteigung (im genannten Anwendungsbeispiel also eine Momentangeschwindigkeit) zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl $\Delta x$ als auch $\Delta y$ gegen Null. Der Quotient $\Delta y/\Delta x$ bleibt aber im Normalfall endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition: Differenzierbarkeit und Ableitung in einem Punkt: Formale Definition und Notation Eine Funktion, die ein offenes Intervall U in die reellen Zahlen abbildet ($f:U\to \mathbb {R}$), heißt differenzierbar an der Stelle $x_{0}\in U$, falls der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$   (mit $h=x-x_{0}$) existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von $f$ nach $x$ an der Stelle $x_{0}$

So führt man die Leser hinters Licht! Man zeigt schön anschaulich den rechtsseitigen Grenzwertübergang und spricht dann im folgenden aber stillschweigend nur vom beidseitigen Grenzwertübergang und der beidseitigen Ableitung.

Was man hier klammheimlich unter den Teppich kehrt, zaubert man später bei den Beispielen dann wieder aus dem Zylinder und verweist auf Begriffe aus der Differentialgeometrie oder "zurück" zum Grenzwert - nur um zu kaschieren das man "geschummelt" hat indem man "den rechtsseitigen Grenzwert" stillschweigend zum "beidseitigen Grenzwert" befördert hat...

Und soll mir keiner erzählen, mat hat hier geschummelt um's dem Leser einfacher zu machen. Die Schummelei hat es nur den Autoren kurzfristig etwas einfacher gemacht. Lernenden und Autoren verwandter Themen macht das aber nur unnötig das Leben schwer. Und das im Grunde recht "einfache" Thema Differentialrechnung zu einer komplizierten und geheimnisvollen "Spezialistenangelegenheit"...

Das Schlimmste dabei ist allerdings dass man sich durch diese Schummelei um die eigentliche Klärung des Begriffs der Differenzierbarkeit herumdrückt, weil man ausgerechnet die dafür verantwortliche Bedingung:

• ..existiert der Grenzwert $\lim _{x\to p}f(x)$ genau dann, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte $\lim _{x\uparrow p}f(x)$ und $\lim _{x\downarrow p}f(x)$ existieren und gleich sind. Es gilt dann $\lim _{x\to p}f(x)=\lim _{x\uparrow p}f(x)=\lim _{x\downarrow p}f(x)$

fein säuberlich unter den Teppich gekehrt hat!!

Mschcsc 18:05, 17. Jan. 2008 (CET)

An Mschcsc: Bist Du eigentlich an einer konstruktiven Zusammenarbeit interssiert? --NeoUrfahraner 19:17, 17. Jan. 2008 (CET)

An NeoUrfahraner:

Was denkst Du, weshalb ich mich hier so für eine Verbesserung des Artikels engagiere? Sind meine Argumente etwa nicht stichhaltig?

Ganz im Ernst, ich würde auch lieber die Ärmel hochkrempeln und den Artikel aufräumen anstatt hier endlos drüber zu debattieren was alles verbesserungswürdig ist.

Oder ist es neuerdings ein Verbrechen, dass man sich um die Verbesserung von Artikeln bemüht?

Liest Du überhaupt was ich geschrieben habe? Wenn nicht, dann lies das bitte Aufmerksam durch und antworde sachlich. Wenn' Du's gelesen hast, dann lies es nochmal durch und antworte dann sachlich.

Es ist nicht meine Schuld, dass ich soviele Unstimmigkeiten in dem Artikel finde, und es gibt keinen Grund ausfallend zu werden, nur weil ich die Unstimmigkeiten zur Sprache bringe.

Ich bin's auch nicht der sich stur und nicht sehr konstruktiv querlegt, und jede Verbesserung mit einem "revert" belegt.

Mathematik ist nicht bloss eine unzusammenhängende Ansammlung von Definitionen und "Sätzen". Sie auch einen inneren und logischen Aufbau und wenn man den auch berücksichtigt, dann ist so manches mathematische Thema gar nicht mehr so schwer...

Mschcsc 20:09, 17. Jan. 2008 (CET)

Dein Argument zu $f(x)=x\cdot \sin {\tfrac {1}{x}}$ beispielsweise ist nicht stichhaltig. --NeoUrfahraner 22:18, 17. Jan. 2008 (CET)

Als Argument wofür (oder wogegen) soll denn $f(x)=x\cdot \sin {\tfrac {1}{x}}$ konkret dienen?

Behauptet ja keiner, dass es mitunter nicht sogar ganz ohne Grenzwerte geht.

Ich kann auch hingehen und einfach die mittlere Steigung einer Parabel $y=f(x)=x^{2}$ so ausrechnen:

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {x_{1}^{2}-x_{0}^{2}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}+2x\cdot (x_{1}-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {(x_{1}-x_{0})(2x_{0}+(x_{1}-x_{0}))}{x_{1}-x_{0}}}=2x_{0}+{x_{1}-x_{0}}$

Nun kann ich einfach $x1=x0$ setzen - und voìla, schon habe ich die Tangentensteigung $\displaystyle f(x_{0})'=2x_{0}$ in einem Punkt $\displaystyle x_{0}$.

Nur dass damit überhaupt nichts gezeigt ist. Denn als Herleitung des Werts der Ableitung ist das schlicht falsch.

Und das ganze funktioniert, ohne an Grenzwerte auch nur denken zu müssen, ganz einfach nur durch das Umstellen und Zusammenfassen einer Gleichung! Und zudem noch ohne faule Tricks oder irgendwas unter den Tisch fallen zu lassen oder verheimlichen zu müssen. --Digamma 20:43, 18. Jan. 2008 (CET)

Das bedeutet nun aber doch deshalb nicht, dass es bei der Beschreibung der Tangentensteigung einer Funktion grundsätzlich nichts nenneswertes über Grenzwerte zu wissen gibt, oder?

Mschcsc 23:51, 17. Jan. 2008 (CET)

Hast Du das Argument von Digamma verstanden? --NeoUrfahraner 00:26, 18. Jan. 2008 (CET)

An NeoUrfahraner: Nein, ich frag ja ausdrücklich: Als Argument wofür (oder wogegen) soll denn $f(x)=x\cdot \sin {\tfrac {1}{x}}$ konkret dienen?

Klär mich bitte auf!

Mschcsc 01:44, 18. Jan. 2008 (CET)

Um diese inhaltliche Frage geht's im Moment nicht. Es geht um die Frage, ob Du an einer Zusammenarbeit interessiert bist. Siehe Dein Vorwurf oben: Liest Du überhaupt was ich geschrieben habe? Wenn nicht, dann lies das bitte Aufmerksam durch und antworde sachlich. Wenn' Du's gelesen hast, dann lies es nochmal durch und antworte dann sachlich. Digamma hat gelesen was Du geschrieben hast und er hat sachlich geantwortet. Du hast seine Antwort nicht vestanden, wie Du selbst zugibst und wie man auch aus Deinem nicht-stichhaltigen Argument erkennen kann. Aber dennoch bestehtst Du weiterhin darauf, dass nur Du die einzig richtige Sicht der Dinge hast. --NeoUrfahraner 06:39, 18. Jan. 2008 (CET)

Bist Du vielleicht DigammasAnwalt?

Nein. Du hast gefragt: "Sind meine Argumente etwa nicht stichhaltig?" und ich habe gesagt, dass Deine Argumente nicht stichhaltig sind. --NeoUrfahraner 09:12, 18. Jan. 2008 (CET)

- Welches meiner Argumente ist wieso nicht stichhaltig?

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskussion:Differentialrechnung&diff=prev&oldid=41291834 --NeoUrfahraner 19:18, 18. Jan. 2008 (CET)

Könntest Du bitte auf den Punkt kommen? Was soll die Formel beweisen? Was gibt's da für mich zu argumentieren?

Du hast ja schon argumentiert: "Der Nachweis ist nicht sehr schwierig, man kann leicht zeigen dass $\lim _{x\to 0}f(1/x)$ für alle periodischen Funktionen f nicht definiert ist." Und dieses Argument ist nicht stichhaltig. --NeoUrfahraner 20:47, 18. Jan. 2008 (CET)

Wenn Du selbst Digammas Argument verstanden hast, dann klär mich doch bitte endlich auf, als Argument wofür (oder wogegen) $f(x)=x\cdot \sin {\tfrac {1}{x}}$ konkret dienen soll?.

Du hast es schon selbst zitiert: Es gibt auch andere Beispiele, wo der Nachweis der Konvergenz oder Nichtkonvergenz kompliziert ist, aber überhaupt nicht mit links- und rechtsseitigen Grenzwerten funktioniert. --NeoUrfahraner 09:12, 18. Jan. 2008 (CET)

- Stimmt. Solche Beispiele gibt's viele. Aber das beweist doch rein gar nichts was hier relevant wäre?

Es beweist, dass links- und rechtsseitige Grenzwerte nicht zwingend erwähnt werden müssen. --NeoUrfahraner 19:18, 18. Jan. 2008 (CET)

Dann muss aber als allererstes das Beispiel aus dem Artikel verschwinden! Für viele Funktionen lässt sich der Differentialquotient auch ganz ohne Grenzwerte bestimmen, das beweist genausogut, dass die Erwähnung des Grenzwertbegriffs selbst überhaupt nicht zwingend notwendig ist.

Falsch. Der Differntialquotient ist als ein Grenzwert definiert (zumindest in der heutigen Standardanalysis), auch wenn die Berechnung des Grenzwerts mitunter trivial ist. Das hat Dir doch Tolentiono heute schon in Diskussion:Differenzenquotient erklärt. --NeoUrfahraner 20:47, 18. Jan. 2008 (CET)

Ich hab' sowohl Digamma als auch dich danach gefragt. Wenn Du nicht imstande bist, mir zu antworten, dann hast Du wohl selbst nicht verstanden, was Digammas "Argument" überhaupt soll. Dann musst Du mir hier aber auch keine Predigten halten!

Der einzige Prediger hier bist Du: Liest Du überhaupt was ich geschrieben habe? Wenn nicht, dann lies das bitte Aufmerksam durch und antworde sachlich. Wenn' Du's gelesen hast, dann lies es nochmal durch und antworte dann sachlich. --NeoUrfahraner 09:12, 18. Jan. 2008 (CET)

- Das war durchaus ernst, aber ganz bestimmt nicht böse oder beleidigend gemeint (allerdings durch einen kleinen Fehler ein bisschen sinnentstellt - sollte eigentlich heissen: "Wenn' Du's bereits gelesen hast, dann lies es nochmal...". Wie gesagt war wirklich nicht böse - aber durchaus ernst gemeint.

Ob ich die einzig richtige Sicht der Dinge habe, weiss ich nicht; immerhin habe ich eine deutliche und klare Sicht, wenn's ums Differenzieren geht. Und was die Fakten anbelangt, so gibt's in der Mathematik nicht mehrere richtige Ansichten darüber, ob etwas richtig oder falsch ist.

Faktum ist, dass man für die Definition des Grenzwerts keine einseitigen Grenzwerte braucht. --NeoUrfahraner 09:12, 18. Jan. 2008 (CET)

Von wegen Faktum, das ist eine sture Behauptung, die ich bereits mehrfach widerlegt habe.

Ja, mit nicht stichhaltigen Argumenten. Heuser, Analysis I z.B. führt die Grenzwerte von Funktionen in Kapitel 38 ein, die einseitigen Grenzwerte aber erst in Kapitel 39. Du bist also kompetenter als Heuser? --NeoUrfahraner 19:18, 18. Jan. 2008 (CET)

Wie gesagt, es geht hier nicht darum ob ich kompetenter als Heuser bin oder nicht. Aber nur weil Heuser in einem (Lehr)Buch die eineitigen Grenzwerte ein Kapitel hinter die beidseitigen setzt, bedeutet das noch lange nicht dass jede Publikation - und schon gar nicht die Artikel einer online-Enzyklopädie - haargenau demselben Denkschema folgen muss.

Sie muss nicht, aber es bedeutet, dass dieses Denkschema richtig ist. --NeoUrfahraner 20:47, 18. Jan. 2008 (CET)

Dann können wir gleich einfach aus einem dicken Wälzer abschreiben (und so sehen manche Artikel auch aus). Kompetenz bedeutet nicht, dass man möglichst gut und exakt Autoritäten widerkäuen kann, sondern dass man die Thematik so gut beherrscht, dass man sie mit eigenen Worten, basierend auf der eigenen Erfahrung vermitteln kann.

Das Herauskramen von "Autoritäten" zu Zwecken der Beweisführung empfinde ich - ehrlich gesagt - als ziemlich schlechten Stil weil ohne jegilichen informativen Wert. Insbesondere bei einer wirklich nicht gerade "hochkomplexen" Thematik...

Mschcsc 20:18, 18. Jan. 2008 (CET)

WP:QA --NeoUrfahraner 20:47, 18. Jan. 2008 (CET)

Ich wäre froh, von Dir auch mal ein (sachliches, mathematisches) Faktum zu vernehmen. Sich gegenseitig zu Beschimpfen bringt niemanden wirklich weiter und ist für Dich und für mich bloß reine Zeitverschwendung.

Ich halte es jedenfalls nicht wie P. Birken, meiner Meinung nach muss man sich in der Mathematik - und ganz besonders in der Mathematik - auch um quasi nichts manchmal einige Gedanken machen.

Ich verlange ja schliesslich nicht, dass irgendjemand für mich den Artikel verbessert, ich wäre schon zufrieden wenn man mich nicht durch ständige unbegründete Reverts daran hindern würde, die Definition selbst um "quasi nichts" zu präzisieren!

Ich bitte nochmal in aller Höflichkeit um sachliche Beiträge..

Ich entschuldige mich auch ganz aufrichtig , wenn Du meinst ich sei Dir persönlich zu nahe getreten. Glaub mir, ich bin einfach in der Sache sehr engagiert und wollte dich nicht persönlich beleidigen!

Mschcsc 18:44, 18. Jan. 2008 (CET)

soll?:::::::::

Ich fordere dich nochmals auf, bring mir irgendwelche konkreten Fakten auf den Tisch. An persönlicher Anmache oder an infantilen "Ich hab den größeren...... IQ"-Debatten habe ich nicht das geringste Interesse.

Mschcsc 07:18, 18. Jan. 2008 (CET)

Wir haben glaube ich auch alle an dem Wind den Du hier um quasi nichts machst, wenig Interesse. Du schreibt zu allem Romane, bist agressiv, hältst die anderen für blöd und hast dabei von allen die sich hier bisher zu Wort gemeldet haben, das geringste Fachwissen demonstriert. Deine Art ist damit leider sehr ermüdend und lädt nicht dazu ein, sich ausführlich mit Dir auseinanderzusetzen. Insofern: schalt mal nen Gang zurück und bring Deine Beiträge mehr auf den Punkt. --P. Birken 07:26, 18. Jan. 2008 (CET)

An. P. Birken:

Auch Du bist herzlich eingeladen, mit sachlichen Beiträgen konstruktiv zur Diskussion beizutragen.

Den Redner schlecht zu machen, weil es einem selbst an (besseren) Argumenten und/oder Umgangsformen mangelt, ist ein beliebter und oft leider auch sehr wirkungsvoller rhetorischer Trick - in der Sache gesehen haben deine Unterstellungen und Frechheiten aber nicht die geringste Überzeugungskraft - die von mir bemängelte "Schummelei" lässt sich dadurch auch nicht wieder unter den Teppich kehren!

Du willst, dass ich die sache nochmal auf den Punkt bringe?

Bitteschön, der Punkt Nr. 1 ist, dass das was da steht schlicht falsch ist:

:: Ableitung einer Funktion Um eine Tangentensteigung (im genannten Anwendungsbeispiel also eine Momentangeschwindigkeit) zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl $\Delta x$ als auch $\Delta y$ gegen Null. Der Quotient $\Delta y/\Delta x$ bleibt aber im Normalfall endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition: Differenzierbarkeit und Ableitung in einem Punkt: Formale Definition und Notation Eine Funktion, die ein offenes Intervall U in die reellen Zahlen abbildet ($f:U\to \mathbb {R}$), heißt differenzierbar an der Stelle $x_{0}\in U$, falls der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$   (mit $h=x-x_{0}$) existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von $f$ nach $x$ an der Stelle $x_{0}$

Mschcsc 07:56, 18. Jan. 2008 (CET)

Daran ist gar nichts falsch. --Digamma 20:39, 18. Jan. 2008 (CET)

Dann halt nicht. --P. Birken 08:01, 18. Jan. 2008 (CET)

Mschcsc, zu meinem obigen Beispiel $f(x)=x\sin {\tfrac {1}{x}}$: Das behandelt man am besten mit dem Limes superior und dem Limes inferior $\limsup _{x\to 0}\sin {\tfrac {1}{x}}=1$, $\liminf _{x\to 0}\sin {\tfrac {1}{x}}=-1$. Limes superior und Limes inferior stimmen also nicht überein, also existiert der Grenzwert nicht, denn der Grenzwert existiert genau dann, wenn Limes superior und Limes inferior beide endlich sind und übereinstimmen.

Nach Deiner Argumentation müsste man deshalb nun auch die "obere" und die "untere Ableitung" einführen und definieren, dass die Ableitung genau dann existiert, wenn obere und untere Ableitung übereinstimmen. --Digamma 20:39, 18. Jan. 2008 (CET)

Ist auch so. Wird auch HIER ganz (folge)richtig genauso beschrieben!

Mschcsc 21:05, 18. Jan. 2008 (CET)

Was ist auch so? Das was auf der verlinkten Seite steht, habe ich selbst gesagt. Von oberen und unteren Ableitungen steht dort nichts. Meinst Du dass man die Ableitung über obere und untere Ableitung definieren muss? Oder über links- und rechtsseitige Ableitungen? Oder beides? Braucht man also zwei Definitionen? --Digamma 21:17, 18. Jan. 2008 (CET)

Ich denke, jetzt hab' ich kapiert, worauf Du hinauswillst.

Du meist also, weil man die Ableitung auch indirekt über den Limes superior und Limes inferior herleiten kann, müsse man das - folgerichtig im Sinne meiner Argumentation - auch in die Definition hineinpacken. Hab' ich das jetzt richtig verstanden?

Hast Du das gemeint?

Mschcsc 21:46, 18. Jan. 2008 (CET)

Ja. Wobei die Herleitung über Limes superior und Limes inferior nicht indirekter ist als die über lins- und rechtsseitigen Grenzwert. --Digamma 10:43, 19. Jan. 2008 (CET)

@

Gut, sind wir und immerhin schonmal einig wovon genau die Rede ist.

Allerdings wäre eine Herleitung des Differenzenquotienten (die mir bis jetzt noch nie untergekommen ist) oder gar eine Definition über Lim_sup und Lim_inf ziemlich unsinnig.

Meine Rede. In etwa genauso unsinnig wie eine Herleitung oder Definition des Differential- (nicht Differenzen!-)quotients über links- und rechtsseitige Grenzwerte. --Digamma 18:09, 19. Jan. 2008 (CET)

Lim_sup und Lim_inf sind im Grunde auch nichts anderes als Genzwerte, nur eben vom Supremum bzw. Infimum.

Es geht doch hier auch nicht darum, alle möglichen Nicht-Differenzierbarkeitskriterien zu definieren.

Meine Rede. In die Definition gehört nur die Definition. Kriterien kann man danach nennen. Und natürlich muss und kann die Liste nicht erschöpfend sein. --Digamma 18:09, 19. Jan. 2008 (CET)

Lim_sup und Lim_inf zerfallen ja ganz analog jeweils in einen links- und rechtsseitigen Lim_sup bzw. Lim_inf, und man muss in der Tat vier Grenzwerte bestimmen, um über die Herleitung von Lim_sup und Lim_inf ein Differentierbarkeitskriterium ummünzen zu können.

Oh, das gilt andersherum genauso: Links- und rechtsseitige Grenzwerte zerfallen in links- und rechtsseitige obere und untere Limiten. --Digamma 18:09, 19. Jan. 2008 (CET)

Das Verständnis von Lim_sup und Lim_inf baut auf dem Verständnis von liks- und rechtsseitigen Grenzwerten auf, es ist keine Alternative dazu.

Das ist Deine, immer noch falsche Behauptung. Vielleicht verstehst Du den Grenzewert nur über links- und rechtsseitige Grenzwerte. Das ist dann aber Dein Verständnisproblem und ist nicht in der Sache begründet. --Digamma 18:09, 19. Jan. 2008 (CET)

Mal ein Beispiel zur Verdeutlichung - erstmal eins, das (scheinbar) funktioniert.

Wenn ich z.B. die Differenzierbarkeit von ${\frac {x}{sign(cos(x))}}$ in 0 über die Gleichheit von Lim_sup und Lim_inf nach deinem Rezept herleiten will (also beweise dass Lim_sup und Lim_inf existieren und übereinstimmen), und schreiben

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{sign(cos(x))}}={\frac {\lim _{x\to 0}x}{\lim _{x\to 0}sign(cos(x))}}={\frac {0}{\lim _{x\to 0}sign(cos(x))}}$

Du verwechselst hier den Grenzwert der Funktion mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten.--Digamma 18:09, 19. Jan. 2008 (CET)

In Lim_sup und Lim_inf aufspalten liefert:

${\frac {0}{\limsup _{x\to 0}sign(cos(x))}}={\frac {0}{1}}=0$ und ${\frac {0}{\liminf _{x\to 0}sign(cos(x))}}={\frac {0}{-1}}=0$

Beide Grenzwerte sind gleich, also ist die Funktion differenzierbar - und das stimmt zufälligerweise sogar!

Die zweite Rechnung ist falsch. In einer Umgebung von $x=0$ sind alle Werte des Kosinus positiv. Also gilt $\liminf _{x\to 0}\operatorname {sgn}(\cos x))=1$ und nicht -1.

Und nun ein Beispiel, wo's nicht meht funktioniert. Ersetzen wir den Cosinus durch den Sinus, also ${\frac {x}{sign(sin(x))}}$, so erhalten wir wieder ganz analog:

${\frac {0}{\limsup _{x\to 0}sign(sin(x))}}={\frac {0}{1}}=0$ und ${\frac {0}{\liminf _{x\to 0}sign(sin(x))}}={\frac {0}{-1}}=0$

Wir müssen also schliessen, ${\frac {x}{sign(sin(x))}}$ sein in x=0 differenzierbar - nur leider ist die Funktion dort in Wahrheit nicht differenzierbar!

Du zeigst hier (und zwar richtig!), dass die angegebene Funktion in den Punkt 0 stetig fortsetzbar ist. Für die Differenzierbarkeit müsstest Du den Term durch x dividieren und würdest dann im Zähler eine 1 statt einer 0 bekommen.

Ich verliere inzwischen endgültig die Lust. Ciao--Digamma 18:09, 19. Jan. 2008 (CET)

Mschcsc 14:50, 19. Jan. 2008 (CET)

An: []

• Ich verliere inzwischen endgültig die Lust

Ach komm, sei nicht so... Ich seh' meine Fehler bei dem Beispiel ja ein. Und danke für den Hinweis.

Zugegeben, ich hab' mich areg vertan indem ich <\Delta x> versehentlich unter den Teppich gekehrt hab'. Was deb Flüchtigkeitsfehler beim Sup_inf anbelangt, so ist der von mir bereits bemängelte, ganz ähnlich gelagerte Fehler im Beispiel (die Zweite der identischen Herleitungen) auch immer noch nicht behoben..

Ich wollte natürlich auf was anderes raus, das z.B. mit ${\frac {x\cdot |x|}{sign(sin(x))}}$ funktioniert:

Das gibt dann den Differentialquotienten (diesmal wirklich):

• $\lim _{x\to 0}{\frac {|x|}{sign(sin(x))}}={\frac {\lim _{x\to 0}|x|}{\lim _{x\to 0}sign(sin(x))}}={\frac {0}{\lim _{x\to 0}sign(sin(x))}}$

In Lim_sup und Lim_inf aufgespalten liefert dann wie gehabt wieder

${\frac {0}{\limsup _{x\to 0}sign(sin(x))}}={\frac {0}{1}}=0$ und ${\frac {0}{\liminf _{x\to 0}sign(sin(x))}}={\frac {0}{-1}}=0$

${\frac {x\cdot |x|}{sign(sin(x))}}$ ist also demnach ableitbar, was auch tatsächlich stimmt.

• Macht man nun dasselbe analog mit dem Cosinus, also:

$\lim _{x\to 0}{\frac {|x|}{sign(cos(x))}}={\frac {\lim _{x\to 0}|x|}{\lim _{x\to 0}sign(cos(x))}}={\frac {0}{\lim _{x\to 0}sign(cos(x))}}$

und spaltet danach wieder auf:

${\frac {0}{\limsup _{x\to 0}sign(cos(x))}}={\frac {0}{1}}=0$ und ${\frac {0}{\liminf _{x\to 0}sign(cos(x))}}={\frac {0}{1}}=0$

muss man annehmen dass ${\frac {x\cdot |x|}{sign(cos(x))}}$ ebenfalls in 0 differenzierbar ist - was aber definitiv nicht der Fall ist.

Mschcsc 20:50, 19. Jan. 2008 (CET)

Doch, die Funktion ist differenzierbar. Und natürlich benutzt man hier am besten den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert:

1. Für $0<x<{\tfrac {\pi }{2}}$ gilt $|x|=x$ und $\operatorname {sgn}(\cos(x))=1$, also ${\frac {|x|}{\operatorname {sgn}(\cos(x))}}=x$ und also

$\lim _{x\searrow 0}{\frac {|x|}{\operatorname {sgn}(\cos(x))}}=\lim _{x\searrow 0}x=0$

2. Für $-{\tfrac {\pi }{2}}<x<0$ gilt $|x|=-x$ und $\operatorname {sgn}(\cos(x))=1$, also ${\frac {|x|}{\operatorname {sgn}(\cos(x))}}=-x$ und also

$\lim _{x\searrow 0}{\frac {|x|}{\operatorname {sgn}(\cos(x))}}=\lim _{x\searrow 0}x=0$

Zusammen folgt: $\lim _{x\to 0}{\frac {|x|}{\operatorname {sgn}(\cos(x))}}=0$. --Digamma 21:09, 19. Jan. 2008 (CET)

Erstmal danke für die Mühe!

Zumindest ist es mir gelungen zu zeigen, dass Lim_sup und Lim_in keine Alternativen zu den oberen und unteren Grenzwerten sind. Man kann auch nicht am Besten mit beidseitigen Grenzwerten rechnen, sondern man muss generell mit beidseitigen Grenzwerten rechnen!

Leider ist deine Herleitung aber nicht richtig, denn $\lim _{x\to 0}{\frac {|x|}{1}}=\lim _{x\to 0}|x|$

Und wie wir ja alle wissen (es steht ja ausdrücklich in dem Beispiel im Artikel!) ist die Betragsfunktion |x| in x=0 nicht differenzierbar, QED.

Mschcsc 21:54, 19. Jan. 2008 (CET)

Du verwechselst schon wieder die Funktion und den Differenzenquotienten. ${\frac {|x|}{1}}$ ist nicht der Funktionsterm, sondern der Differenzenquotient. Und dessen Limes für x gegen 0 existiert: $\lim _{x\to 0}{\frac {|x|}{1}}=\lim _{x\to 0}|x|=0$ --Digamma 22:26, 19. Jan. 2008 (CET)

An Digamma Ja, du hast völlig recht. Wollte es ja eigentlich für die Sinus-Variante zeigen, wurde aber abgelenkt und hab' mich deshalb auch etwas vertan. Wie dem auch sei, für die Sinus Varuiante funktionierts auch, also sind beide Funktionen tatsächlich differenzierbar. Diese cos-Variante lässt sich ja auch ohne die beidseitigen Grenzwerte lösen, denn sign(cos(x)) ist ja immer=1 für (-pi/2)<x<(pi/2) also auch sicher für x=0. Dann kann man gleich setzen 0/1 = 0, ohne auch nur ein einziges Limeszeichen zu benutzen.

Das interessante an der Sinus-Variante ist, dass der beidseitige Grenzwert nicht so einfach ist, da sign(sin(0))=0 ist und damit der Ausdruck $\lim _{x\to 0}{\frac {|x|}{0}}$ wird. Wie gesagt, die beiden beidseitigen Grenzwerte werden aber auch 0 und somit ist ${\frac {x\cdot |x|}{sign(sin(x))}}$ auch differenzierbar.

Ich wollte ja eigentlich irgendwas hertüfteln, dessen Lim_sup und Lim_inf nur einseitig übereinstimmen aber das ist gar nicht so einfach. Zumindest zeigt das Beispiel jedenfalls wie wichtig die beidseitigen Grenzwerte sind. Diese Beidseitigkeit ist es doch schliesslich was das Rechnen mit Grenzwerten von dem Rechnen mit normalen Gleichungen überhaupt unterscheidet. Deshalb können die Grenzwerte in den Beispielen, die nicht von unterem und oberem Grenzwert Gebrauch machen, auch einfach durch Umstellen der Gleichung und anschliessendes einsetzen der Null aufgelöst werden. Erst wenn diese "quasi vorzeichenbehaftete" 0 in Form von $\lim _{x\to 0}x$ ins Spiel kommt braucht man überhaupt Grenzwerte. Ich bin daher immer noch wehement dagegen, dass man das eigentlich Wichtige und Wesentliche, nämlich die Beidseitigkeit von Grenzwerten, unter den Tisch kehrt, anstatt sie klar und deutlich hinzuschreiben. Mschcsc 00:13, 20. Jan. 2008 (CET)

Die Beidseitigkeit oder besser gesagt Allseitigkeit (zb. in IR²) eines Grenzwertes ist Wesentlich für den Begriff Grenzwert und nur in Folge dessen für den Begriff Differenzierbarkeit und sollte hier höchstens ausgeführt werden, wenn sich der Artikel direkt an Schüler richtet. Einseitige Grenzwerte gibt es strenggenommen nicht, dass ist nur eine anschauliche Bezeichnung für zwei Teilfolgen (eine kleiner als x_0 also linksseitig und die andere rechtsseitig), deren Grenzwert gegen unterschiedliches konvergiert. Die Fomulierung könnte etwas abgeändert werden, aber bitte nicht son Sturm im Wasserglas. --χario 04:31, 22. Jan. 2008 (CET)

zusammenfassung

waere klasse, wenn jemand diesen meinen text durch eine zusammenfassen der obigen diskussion ersetzen koennte. tia! -- seth 17:31, 26. Jan. 2008 (CET)

Der letzte Satz von Benutzer:Xario trifft's meiner Meinung nach: "Die Fomulierung könnte etwas abgeändert werden, aber bitte nicht son Sturm im Wasserglas." --NeoUrfahraner 18:11, 26. Jan. 2008 (CET)

Beispiel für eine nicht überall differenzierbare Funktion

Hab' das Beispiel endlich korrigeiert. Damit's nicht gleich wieder gelöscht wird, hier eine kurze Begründung.

Ist natürlich witzlos, einseitige Grenzwerte für ${\frac {x}{x}}$ resp. ${\frac {-x}{x}}$ anzugeben - die beidseitigen Grenzwerte existieren schliesslich (1 bzw. -1).

Ebenso witzlos ist es die einseitigen Ableitungen von ${\frac {x}{x}}$ zu berechnen - kommt schliesslich immer 1 raus (stand auch richtig so da), aber was hier interessiert sind die einseitigen Ableitungen von |x| (also $\lim _{x\to 0}{\frac {|x|}{x}}$) und nicht die von x ($\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}$).

Mschcsc 09:51, 4. Feb. 2008 (CET)

Jetzt (in Deiner Formulierung) steht dort:

$\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=1$ und

$\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=-1$,

also folgt aus der Transitivität (Mathematik), dass $1=-1$ gilt. Ich weiß, es steht ja $x>0$ und $x<0$ dabei, $f$ ist dort also nicht $f$, sondern $f$ eingeschränkt auf eine Teilmenge. Dann muss man aber in dieser Formulierung auch anderere Namen nehmen, also etwa $f|_{\mathbb {R} ^{+}}$ bzw. $f|_{\mathbb {R} ^{-}}$ statt $f$. Ob's dadurch einfacher wird? -NeoUrfahraner 13:51, 4. Feb. 2008 (CET)

$f$ ist natürlich immer noch $f$ - aber $x$ ist natürlich bei beiden Ausdrücken verschieden (steht ja da, einmal grösser, einmal kleiner als 0).

Ich denke, das sollte wohl niemanden ernsthaft Schwierigkeiten bereiten. Wenn ich sage:

• Für $\displaystyle x=0$ ist $\displaystyle \sin(x)=0$ und für $\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}$ ist $\displaystyle \sin(x)=1$

so versteht das wohl auch niemand so, dass daraus $\displaystyle 0=1$ folgen soll...

Besser wäre es natürlich auf jeden Fall, gleich von Anfang an von den links- und rechtsseitigen Grenzwerten zu sprechen anstatt diese hier im Nachhinein so quasi "intuitiv" herzuleiten, ohne dass dem Leser erklärt wird, weshalb man hier nicht |0|=0 einsetzten darf, sondern zweimal mit $x>0$ bzw. $x<0$ rechnen muss. Aber das ist ja offenbar nicht erlaubt.

Mschcsc 15:08, 4. Feb. 2008 (CET)

Äh, ja, vorher standen doch gerade die unmissverständlichen links- und rechtsseitigen Grenzwerte

$\lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}$ und

$\lim _{x\nearrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}$

dort. Die wurden ja von Dir entfernt. --NeoUrfahraner 16:29, 4. Feb. 2008 (CET)

Im Prinzip funktioniert das auch so, wie es jetzt da steht: als indirekter Beweis. Angenommen die Funktion f(x) = |x| wäre an der Stelle 0 differenzierbar. Dann folgt sowohl f'(0) = 1 als auch f'(0) = -1, ein Widerspruch. Also ist f an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar.

Aber bitte fangt diese Diskussion nicht nocheinmal von vorne an. Höchstens auf der Diskussionsseite von Mschcsc --Digamma 17:54, 4. Feb. 2008 (CET)

Sorry Digamma, aber als Widerspruchsbeweis ist das so nur bedingt gültig: Der Grenzwert muss für jede Teilfolge gleich sein, wenn er existieren soll. Angenommen, f ist überall diffbar, dann gibt es einen Wert f'(0)= c. Jetzt wirds ein Widerspruch, denn wir haben zwei Teilfolgen, die gegen Unterschiedliches konvergieren. Ist denn der "anschaulich verständliche aber unpräzise" einseitige Grenzwert ein stehender Begriff in Schulbüchern? --χario 19:09, 4. Feb. 2008 (CET)

In der Schule und in Schulbüchern (oder auch in Lehrsendungen wie z.B. Telekolleg Analysis des Bayerischen Rundfunks) wird der Grenzwertbegriff üblicherweise als erstes durch typische antike "Exthausionsmethoden" veranschaulicht, allen voran die archimedische Bestimmung der Kreiszahl Pi durch Berechnung von dem Kreis eingeschriebenen und umschriebenen Vielecken. Genauso werden Volumenberechnungen (z.B.) von Kegeln durch die Berechnung der Grenzwerte von äusseren und inneren Treppenkörpern angenähert (wobei man bei Kegeln sehr schön anschaulich (aber auch durch die Struktur der unendlichen Reihe der Treppenkörper) zeigen kann dass sich die Volumina von innerem und äusserem Treppenkörper nur durch eine einzige zusätzliche Scheibe voneinander unterscheiden, deren Volumen im Grenzwert verschwindet.

In den meisten Schulbüchern ist in diesem Zusammenhang in der Regel von Ober- bzw. Untersumme die Rede.

Historisch sind es nunmal typische "Integrationsprobleme" die zum Grenzwertbegriff (und damit letztlich auch zur präzisen Definition des Begriffs durch Wierstraß) führten, und mit denen Schüler auch zuallerest konfrontiert werden (Kreiszahl $\pi$, Volumina einfacher Körper), und da ist die Behandlung von Ober- und Untersumme der jeweiligen Reihen einfach unumgänglich.

Beim Differenzieren betrachtet man zwar nicht mehr zwei konvergierende Reihen, sondern "bloß" noch die Konvergenz der einzelnen Folgeglieder - aber nichtsdestotrotz hat man es immer noch grundsätzlich mit zwei Folgen zu tun - erst recht beim Differenzieren, weil es einfach zwei wesentlich verschiedene Nullfolgen gibt: $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}$ und $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}$ (natürlich gibt es unendlich viele Nullfolgen $(a_{j})$, aber es gibt sie immer "paarweise" mit $\lim _{j\to +\infty }(a_{j})$ und $\lim _{j\to -\infty }(a_{j})$).

Sobald das Resultat des Grenzwertausdrucks irgendwie vom Vorzeichen von x abhängt (d.h es ist irgendwie die Signumfunktion - oder eine "selbstdefinierte" unstetige Funktion - im Ausdruck versteckt; z.B. in Gestalt der Betragsfunktion |x|/x = 1/sgn(x)), ist damit zu rechnen, dass $\lim _{j\to +\infty }(a_{j})$ und $\lim _{j\to -\infty }(a_{j})$ verschieden sein können - im Falle der Ableitung der Betragsfunktion $\lim _{x\to 0}{\frac {|x|}{x}}$ hat man es eben mit den Folgen $\lim _{j\to +\infty }{\frac {1}{\operatorname {sgn}({\frac {1}{j}})}}={\frac {1}{1}}=1$ und $\lim _{j\to -\infty }{\frac {1}{\operatorname {sgn}({\frac {1}{j}})}}={\frac {1}{-1}}=-1$ zu tun.

Aber ich hab's inzwischen aufgegeben, hier das Differenzieren, Differenzierbarkeit und den "Grenzwertprozess" vollständig beschreiben zu wollen - mir gings nur darum, dass im Beispiel zweimal haargenau dieselben Formeln standen, wobei beim zweitenmal sogar noch ein Fehler drin war (linksseitige=rechtsseitige Ableitung=1).

Die Begriffe kommen natürlich auch in Schulbüchern vor - ist aber nicht sonderlich relevant, da wir hier ja keine Lehrbücher schreiben (dafür gibt's Wikibooks) - jedenfalls sind die Begriffe durchaus gebräuchlich, wie die Suchmaschine zeigt. Und das sind grösstenteils durchaus ernstzunehmende Publikationen von Hochschulen usw.

Mschcsc 03:46, 5. Feb. 2008 (CET)

Wenn ich annehme, dass der Grenzwert existiert, dann kann ich ihn mit jeder beliebigen Teilfolge ausrechnen, oder auf jede andere zulässige Art mit Grenzwerten zu rechnen. Wenn ich bei verschiedenen Methoden auf verschiedene Grenzwerte komme, dann habe ich damit gezeigt, dass der Grenzwert nicht existiert. (Dein Argument ist kein indirekter Beweis, sondern ein direkter.)

Wohlgemerkt, ich habe nicht behauptet, dass Mschcsc so argumentiert habe oder dass das in der von ihm editierten Form des Textes steht. Nur, dass man daraus so ein Argument machen kann. --Digamma 19:21, 4. Feb. 2008 (CET)

Also da wir jetzt im Artikel wieder bei der meiner Meinung nach besseren Version 28. Jan. 2008, 07:48 sind, betrachte ich das Thema für mich als erledigt. --NeoUrfahraner 19:46, 4. Feb. 2008 (CET)

Seid ihr euch also einig dass die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von |x| beide = 1 sind ?? *kopfschüttel*

Wo steht/stand denn das? --NeoUrfahraner 02:27, 5. Feb. 2008 (CET)

Kannst Du lesen????. Steht das im Artikel oder nicht?

• Es existieren an der Stelle 0 jedoch die rechtsseitige Ableitung

$f'_{+}(0)=\lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {x-0}{x-0}}=1$

und die linksseitige Ableitung

$f'_{-}(0)=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {x-0}{x-0}}=1$

STEHT DA ETWA NICHT, DASS DIE RECTS- UND LINKSSEITIGE ABLEITUNG BEIDE 1 (EIUNS) SIND???? Muss ich's DIr vielleicht noch EINRAHMEN???

Stimmt, dieser Teil ist tatsächlich falsch. Der kommt anscheinend daher: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Differentialrechnung&diff=41268585&oldid=41268028 --NeoUrfahraner 04:13, 5. Feb. 2008 (CET)

Ich bekenne mich schuldig. Der Fehler entstand, weil ich nicht die Formel nochmal fast gleich abschreiben wollte, sondern sie einfach kopiert habe. Es hätte vollkommen gereicht, den Fehler an dieser Stelle zu verbessern. --Digamma 09:50, 5. Feb. 2008 (CET)

Das ist keine Frage von "Schuld" oder nicht. Menschen machen nunmal Fehler.

Was ich aber echt nicht kapiere ist, dass jetzt auf biegen und brechen der Mist mit den einseitigen Grenzwerten $\lim _{x\searrow }{\frac {\pm x}{x}}=\pm 1$ bzw. $\lim _{x\nearrow }{\frac {\pm x}{x}}=\pm 1$ wieder in den Artikel hineinmmuss! Bin ich der einige hier, der merkt, dass dieser "Fehler" sich nur wegen diesem Mist eingeschlichen hat (und sich so lange halten konnte)? Ihr demonstriert es hier schön vor, wie man ,mit dieser verdrehtren Logik fast zwangsläufig Fehler machen muss, besteht aber trotzdem beharrlich weiterhin auf diesem Quatsch! Da kann ich nur den Kopf schütteln...

Oder geht's einigen vielleicht einfach darum, ums verrecken "Recht" zu behalten und jeden und alles auszugrenzen und herunterzumachen (oder bestenfalls einfach zu ignorieren) was nicht haargenau deren Vorstellungen entspricht? Ist ein Minimum an Toleranz und Offenheit gegenüber anderen Standpunkten und Ansichten wirklich zu viel verlangt? Oder geht's um eine persönliche Sache, dass jede meiner Änderungen in mathematischen Artikeln von den immer gleichen Nasen konsequent getilgt wird?

Ist ja wirklich empörend, wie hier alles drangesetzt wird, ein an sich relativ einfaches Thema so unanschaulich, "einseitig" (im wahrsten Wortsinne), abstrakt und fehlerhaft wie nur möglich zu präsentieren!

Ich möchte gerne irgendwelche Belege, irgendein ernstzunehmendes Dokument, wo die Ableitung der Betragsfunktion über die einseitigen Grenzwerte von ${\frac {\pm x}{x}}$ definiert wird! Wenn ihr sowas nicht liefern könnt, werden eure Fantasieformeln von mir wieder zurückgesetzt!

Mschcsc 14:15, 5. Feb. 2008 (CET)

Ist doch schlicht falsch was jetzt da steht oder hat |0| neuedings die Ableitung 1 ??

Nein, eine Konstante hat keine Ableitung. --NeoUrfahraner 02:27, 5. Feb. 2008 (CET)

No comment! Seit wann haben Konstanten denn keine Ableitung mehr?? RECHNE DOCH MAL DIE TANGENTENSTEIGUNG EINER KONSTANTEN FUNKTION AUS!!!

Eine konstante Funktion hat natürlich eine Ableitung. --NeoUrfahraner 04:13, 5. Feb. 2008 (CET)

Braucht man hier vielleicht eine Sondererlaubnis um Fehler korrigieren zu dürfen? Oder muss man wirklich wegen jeder Kleingkeit wieder einen Edit-War anfangen und tagelang Disskutieren, bis auch der Hinterletzte den Fehler endlich sieht???

Mschcsc 23:28, 4. Feb. 2008 (CET)

Es ist besser, Du fängst keinen Edit-War an und schreibst besser von den Dingen, von denen Du etwas verstehst. --NeoUrfahraner 02:27, 5. Feb. 2008 (CET)

Es reicht!!! Verkneif Dir bitte in Zukunft deine persönliche Anmache und bleib sachlich! Und hör auf, ständig meine Korrekturen zu reverten, das nervt gewaltig!

Mschcsc 03:58, 5. Feb. 2008 (CET)

Um mich nicht dem Vandalismusverdacht auszusetzen, verzichte ich auf ein Revert. Ich gehe aber davon aus, dass sich jemand anderer findet. Der eine von Dir zurecht kritisierte Punkt (die falsche linksseitige Ableitung) gehört natürlich korrigiert. --NeoUrfahraner 04:13, 5. Feb. 2008 (CET)

Keine Sorge, wenn Du endlich kapiert hast, dass es mir um die falsche linksseitige Ableitung geht, dann kannste auch sinngemäss so korrigieren wie's dir besser passt - Hauptsache die Rechnung stimmt wenigstens. Mir geht's nur gegen den Strich dass dauernd auf eindeutige Fehlerhafte Versionen zurückgesetzt wird, und dass ich hier ganze Romane schreiben muss und den Fehler wieder und wieder zitieren, bis auch der Hinterletzte endlich eingesehen hat, dass da was faul ist.

Ich habe diesen Punkt wieder und wieder und wieder erwähnt, bereits im archivierten Diskussionsteil - hättest Du einmal vorher gelesen was ich schrieb, hättest vermutlich nicht wieder und wieder stur zurückgesetzt!

Meinetwegen kannst den oberen Teil im Beispiel wieder umschreiben, aber vielleicht machste Dir diesmal erst ein paar Gedanken, weshalb es keine sehr gute Idee ist, von den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerten von ${\frac {x}{x}}$ bzw. ${\frac {-x}{x}}$ zu sprechen... Es gibt Leute, die meinen, bei diesen Ausdrücken gäbe es überhaupt keine einseitigen Grenzwerte... Du musst doch einsehen, dass diese Notation bei einem Laien für grösste Verwirrung sorgen muss, zumal er wohl nirgendwo die einseitigen Grenzwerte von $\lim _{x\nearrow 0}{\frac {x}{x}}$ oder $\lim _{x\searrow 0}{\frac {-x}{x}}$ finden wird! Es wird ein Zusammenhang bzw. eine Symmetrie suggestiert, die es schlicht nicht gibt!

Also, wie gesagt, mach ruhig hin und korrigier' wo's sinnvoll oder nötig ist - aber nur wenn's wirklich Klarheit bringt (und nicht bloß weils deinen persönlichen Geschmack etwas besser trifft). Und bitte, beteilige dich - auch lesend - an der Diskussion; wenn's geht aber bitte etwas sachlicher und weniger beleidigend.

Haarspaltereien über den Unterschied von einer Konstanten und einer konstanten Funktion bringen uns hier ebensowenig weiter wie Diskussionen darüber dass derselbe Ausdruck f(x) für unterschiedliche x auch unterschiedliche Werte haben kann!

Mschcsc 05:01, 5. Feb. 2008 (CET)

Regel von de L'Hospital

Was hat die Regel von de l'Hospital in einem Abschnitt über Ableitungsregeln zu tun? Das ist ein Satz zur Bestimmung von Grenzwerten von manchen Funktionen, die als Quotienten gegeben sind, und nicht zur Bestimmung von Ableitungen von solchen Funktionen. Wenn dieser Satz überhaupt in einen Artikel über Differentialrechnung gehört, dann als Anwendung der D-Rechnung. Ich habe den Punkt deshalb erst einmal gelöscht, bin aber natürlich gerne bereit, mich anhand eines Beispiels einer (sinnvollen) Anwendung dieses Satzes zur Bestimmung einer Ableitung überzeugen zu lassen... --Axel Wagner 02:46, 4. Jan. 2008 (CET)

Oha, das ist ja peinlich, dass das so lange da stand. Ich überleg mir mal nen besseren Platz dafür, erwähnt werden sollte sie denke ich schon. --P. Birken 20:34, 5. Jan. 2008 (CET)

Redundanzen?

Kann das sein, dass auf dieser Seite sehr viele Redundanzen mit anderen Artikeln entstehen? Es gibt z.B. einen eigenständigen Artikel Partielle Ableitung und in diesem Artikel gibt es auch eine Teilüberschrift zu Differentialrechnung#Partielle_Ableitungen. Und die verschiedenen Sätze werden einerseits hier, andererseits auch auf der ursprünglichen Seite erklärt. --Masr 15:38, 29. Jan. 2008 (CET)

Ja, das ist das Konzept des Artikels: die wichtigen Begriffe kurz erklären und für die tieferen Details auf die entsprechenden Artikel verwaisen. --P. Birken 05:07, 30. Jan. 2008 (CET)

Achso, ok ;-) --Masr 11:45, 30. Jan. 2008 (CET)

Tangentenproblem

Zitat: Die Aufgabenstellung der Differentialrechnung war als Tangentenproblem seit der Antike bekannt. Der nahe liegende Lösungsansatz war die Approximation der Tangente als Sekante über einem endlichen (endlich heißt hier: größer als null), aber beliebig kleinen Intervall.

Der Artikel spricht vom Lösungsansatz des Tangentenproblems, ohne das Problem selbst klar zu benennen.--Digamma 10:38, 18. Mär. 2008 (CET)

Das Tangentenproblem ist nur ein Zugang von vielen. Andere Zugänge sind zum Beispiel: lokale Änderungsrate oder lineare Approximation.

Cantor-Funktion

Ich denke, dieses Beispiel gehört hier nicht her, eher schon zu Differenzierbarkeit. Die Beschreibung in der Abschnittsüberschrift ist außerdem falsch: die Funktion ist ja fast überall differenzierbar. --Digamma 17:02, 18. Mär. 2008 (CET)

lesart (verbesserungsvorschlag)

ich hätte einen ganz einfachen vorschlag, schon eher eine bitte: könnte man den gleichungen und/oder ausdrücken irgendwie, vlt per alt-text die lesart (also aussprache) hinzufügen? für die nichtmathematiker unter uns? bitte!! --MIB4u 19:20, 11. Apr. 2008 (CEST)

Links- und Rechtsseitige Grenzwerte

Zu diesem Abschnitt: Differentialrechnung#Beispiel für eine nicht überall differenzierbare Funktion Ich würde mal behaupten, dass der linksseitige Grenzwert hier nicht optimal dargestellt ist...?! Müsse doch folgendermassen aussehen, oder?

$f'_{-}(0)=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {f(0)-f(x)}{0-x}}=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {0-(-x)}{0-x}}=-1$.

Klar, ist streng genommen egal, da das Vorzeichen oben und unten falsch ist, aber gehe ich über zu:

$f'_{-}(0)=\lim _{h\nearrow 0}{\frac {f(0)-f(0+h)}{h}}$.

müsste ich in der aktuellen Version schon

$f'_{-}(0)=\lim _{h\nearrow 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{-h}}$.

schreiben... Und das mit '-h' ist nicht ganz offensichtlich und deshalb ist nun hier meine Frage, welche Darstellung besser oder sinnvoller ist? Was ist hier gebräuchlich(er)?

--DrTrigon 20:45, 16. Jul. 2008 (CEST)

Formelsammlung Analysis

Ich finde nicht, dass dieser Link den Artikel verbessert: Die wesentlichen Formeln sind alle schon hier aufgelistet, in kompakter Form, dazu kommt noch die Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen, die viel wesentlicher ist. Das THema hier ist extrem weit, wenn man beliebige Artikel verlinkt, die mit dem Thema zu tun haben, kommt man nirgendwohin. --P. Birken 13:53, 13. Jun. 2010 (CEST)

Vielen Dank, dass du deine Änderung begründest. Der Kommentar "Keine Verbesserung des Artikels" ist sehr unhöflich bzgl. ernsthaften Änderungen. Gruß --217.224.134.127 16:03, 13. Jun. 2010 (CEST)

Anmerkung zu einem Beispiel

Im Beispiel "Beispiel für eine nicht überall stetig differenzierbare Funktion"

$f(x):={\begin{cases}x^{2}\cos({\frac {1}{x}})&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}$

steht bei f'(x) = 0 fuer x=0. Wie wird der Wert 0 berechnet!, wenn f'(x) nicht stetig ist? (nicht signierter Beitrag von 62.47.246.110 (Diskussion) 09:56, 7. Jul 2010 (CEST))

Direkt nach Definition mit Hilfe des Differenzenquotients. -- Digamma 10:40, 7. Jul. 2010 (CEST)

Im Detail:

$f'(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}\cos({\tfrac {1}{x}})-0}{x-0}}=\lim _{x\to 0}\left(x\cos({\tfrac {1}{x}})\right)=0,$

da $|\cos({\tfrac {1}{x}})|\leq 1$.

Allgemeine Frage: Sollte man das in den Artikel aufnehmen? -- Digamma 16:05, 7. Jul. 2010 (CEST)

Die ganze Rechnung würde ich nicht aufnehmen, habe aber mal ne Anmerkung hinzugefügt. --P. Birken 15:59, 11. Jul. 2010 (CEST)