Diskussion:Diophantische Gleichung

Widerspruch?

Im Artikel steht:

„Diophantische Mengen sind per definitionem rekursiv aufzählbar (es gibt einen Algorithmus, der bei Input aus dieser Menge stoppt). Zusammen mit Davis und Putnam zeigte Robinson,[15] dass die rekursiv aufzählbaren Mengen genau die exponentiellen diophantischen Mengen sind“

Das würde doch bedeuten, dass jede diophantische Menge exponentiell diophantisch ist. Kann das sein? Zum Beispiel wachsen die geraden Zahlen (eine diophantische Menge) nicht exponentiell. Im Artikel steht als Erklärung:

„das heißt solche Mengen, in deren definierender Gleichung eine der Variablen als Exponent auftaucht.“

Die definierende Gleichung für die geraden Zahlen lautet x-2a, und dort taucht keine Variable als Exponent auf.

lineareausgegliedert

ich habe lineare diophantische Gleichungen ausgegliedert und werde in nächster Zeit hier noch mehr Inhalt reinbringen. --Bostich 18:48, 27. Okt 2005 (CEST)

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Lösungsformel

Die Lösungsformeln sind nicht vollständig. Eine lineare diophantische Gleichung mit zwei Variablen hat beliebig viele Lösungen. Es gibt einen Algorithmus, um eine lineare Gleichung anzugeben, die alle Lösungen repräsentiert. Ralf Pfeifer 17:16, 26. Mai 2005 (CEST)

...und unter erweiterter euklidischer Algorithmus ist das Verfahren zum Auffinden einer Partikularlösung mMn etwas übersichtlicher dargestellt. Man sollte etwas zum allgemeinen Prinzip homogene/inhomogene Gleichung sagen.--Gunther 19:53, 26. Mai 2005 (CEST)

Na, ich überarbeite es einmal und parke den alten Inhalt hier Ralf Pfeifer 13:18, 27. Mai 2005 (CEST):

Ich habe das mal wie oben angegeben gegliedert und die Bemerkung zu Kettenbrüchen nach erweiterter euklidischer Algorithmus verschoben, da sie hier nichts zum Thema beiträgt. Das Teilen durch den ggT und die stillschweigende Notationsänderung habe ich auch herausgenommen, der e.e.A. liefert schon den allgemeinen Fall. Das Minus bei $ax\pm by$ ist entbehrlich, wenn man beliebige ganze $a,b,c$ zulässt; die Vorzeichenfrage muss noch in erweiterter euklidischer Algorithmus behandelt werden, das gehört mMn auch nicht hierher.--Gunther 14:42, 27. Mai 2005 (CEST)

Es ist schön, dass Du das Thema in einen erweiterten mathematischen Kontext eingebettet hast. Aber die diophantischen Gleichungen können für relativ einfache Fragen, z.B. Aufteilung der Losgrößen verschiedener Produkte auf einer Fertigungslinie gebraucht werden. Nach meiner Meinung gehört die Beschreibung des Lösungsverfahrens dazu, damit auch der Nicht-Mathematiker mit dem Artikel etwas anfangen kann. Meine Vorzeichenermittlung finde ich auch etwas unglücklich und ich suche noch nach einer genaueren und vollständigeren Beschreibung des Lösungsweges. Gibt es einen Algorithmus für lineare diophantische mit n Variablen (n>2)? Ralf Pfeifer 15:10, 27. Mai 2005 (CEST)

Ich habe gerade noch ein Beispiel hinzugefügt. Für mehr Variablen würde ich induktiv vorgehen: Durch $ax+by$ kann man alle Zahlen der Form $s\cdot \operatorname {ggT} (a,b)$ darstellen, dann muss man also noch

$s\cdot \operatorname {ggT} (a,b)+cz=d$

lösen. Ich denke, das wird relativ unübersichtlich, vor allem, wenn man nur an nichtnegativen Lösungen interessiert ist.--Gunther 15:34, 27. Mai 2005 (CEST)

Auflösung

Die lineare d.G. ax + by = c hat genau dann ganzzahlige Lösungen in x und y, wenn c durch den größten gemeinsamen Teiler von (a,b) teilbar ist. Demzufolge hat 120 x - 23 y + 1 = 0 eine Lösung. Für die Lösung der linearen d.G. ax + by + c = 0 läßt sich ein erweiterter Euklidischer Algorithmus anwenden. Dies soll am Beispiel von

120 x - 23 y + 1 = 0

gezeigt werden. Die Kettendivision (Euklidischer Algorithmus) liefert mit den Koeffizienten von 120 x - 23 y + 1= 0 zunächst

120 = 5·23+5, d.h. es ist  qo = 5, woraus folgt
 23 = 4· 5+3,              q1 = 4, und
  5 = 1· 3+2,              q2 = 1, und
  3 = 1· 2+1,              q3 = 1, und 
  2 = 1· 1+1,              q4 = 1.

Mittels der Rücklaufformeln

$y_{n+1}=q_{n}\cdot y_{n}+y_{n-1}\qquad$ mit $\qquad y_{-1}=0,y_{0}=1$ und

$x_{n+1}=q_{n}\cdot x_{n}+x_{n-1}\qquad$ mit $\qquad x_{-1}=1,x_{0}=0$

ergibt sich die Tabelle:

          qo=5      q1=4      q2=1      q3=1      q4=1
-----------------------------------------------------------
y{-1}=0   yo=1      y1=5      y2=21     y3=26     y4=47
x{-1}=1   xo=0      x1=1      x2=4      x3=5      x4=9

Somit ist x = 9, y = 47 Lösung der vorgegebenen d.G.

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Acht Variablen

Wie löst man eine diophantische Gleichung mit 8 Variablen?

Matiyasevich

Der Name wird im Artikel in zwei unterschiedlichen Schreibweisen verwendet. --Tillmo 12:44, 12. Dez. 2006 (CET)

Großbuchstaben

Gibt's einen Grund dafür, dass X, Y, Z hier als Großbuchstaben auftauchen? Kleinbuchstaben fände ich üblicher. -- UKoch 17:32, 31. Aug. 2011 (CEST)

Namensgebung

Es wird hier nicht erwähnt, warum diese Gleichungsart so benannt wurde. Es findet sich in den Mathematikmärchen von Malba Tahan ("Beremís' Welt") ein Zitat, welches unter dem Quellennachweis "Mathematik in der Antike" (Leipzig 1965) von Hans Wußing (http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Wußing) wiedergegeben ist. Das Zitat stellt angeblich die Inschrift des Grabsteines von Diophantos dar:
"Hier dies Grabmal deckt Diophantos. Schaut das Wunder!
Durch des Entschlafenen Kunst lehret sein Alter der Stein.
Knabe zu sein, gewährte ihm Gott ein Sechstel des Lebens;
noch ein Zwölftel dazu, sprieß auf der Wange der Bart;
dazu ein Siebtel noch, da schloß er das Bündnis der Ehe;
nach fünf Jahren entsprang aus der Verbindung ein Sohn.
Wehe, das Kind, das vielgeliebte, die Hälfte der Jahre des Vaters hat es erreicht, als es dem Schicksal erlag.
Darauf vier Jahre hindurch mit der Großen Betrachtung den Kummmer von sich scheuchend auch er kam an das irdische Ziel!" (nicht signierter Beitrag von 82.113.121.14 (Diskussion) 10:02, 20. Feb. 2014 (CET))

Hilberts 10. Problem

"geraden Zahlen (Polynom {\displaystyle x-a\cdot (2b+1)} {\displaystyle x-a\cdot (2b+1)})": müsste das nicht so heißen: "geraden Zahlen (Polynom {\displaystyle x-2\cdot a})"? --Alfred Heiligenbrunner (Diskussion) 03:30, 8. Mär. 2019 (CET)

Korrigiert (Neues immer nach unten auf der Disk-Seite)--Claude J (Diskussion) 07:37, 8. Mär. 2019 (CET)

Verwendung von überbestimmt/unterbestimmt

Dass die Einschränkung von den reellen Zahlen auf die ganzen Zahlen oder natürlichen Zahlen die Lösungsmenge stark einschränkt ist doch trivial. Überbestimmung und deren Gegenteil wird aber gewöhnlich für Gleichungssysteme verwendet (mit mehr als einer Gleichung).--07:11, 19. Sep. 2021 (CEST) (unvollständig signierter Beitrag von Claude J (Diskussion | Beiträge) )

Dass das trivial ist, stimmt. Die Frage ist, ob der Satz dem Leser des Artikels das Verständnis erleichtert. Außerdem ist dies die Diophantischen Gleichungen zu Grunde liegende Idee.

Zu Gleichungssystem: Gleichungen sind Spezialfälle von Gleichungssystemen, so wie lineare Funktionen auch Polynome sind. Wenn man von n Gleichungen mit k Variablen mit k > n spricht, ist die weentliche Eigenschaft k > n, was für 3 > 2 wie aber auch für 2 > 1 der Fall ist. Es wäre blöde, n = 1 noch mal extra erwähnen zu müssen, könnte man aber machen.--2003:C3:6727:DB00:B17E:BA40:97CE:BA6F 16:12, 9. Apr. 2022 (CEST)

Quelltext als Quellenangabe erlaubt?

Sind Quelltexte (C, C++, Python) als Quellenangabe verwendbar?

Zu mathematischen Problemen wurde vor Jahrzehnten manchmal numerisch geforscht. Was damals Ewigkeiten gedauert haben dürfte, ist bei geeigneter Programmierung auf heutigen Rechnern instantan überprüfbar.

An sich wäre das Hinterlegen dieser Quelltexte in der WP etwas sinnvolles. Man kann das Programm (Quelltext) überprüfen und man kann es ausführen und bekommt die Ergebnisse. Das ist besser überprüfbar, als Text auf Webseiten (wo haben die das her?), PDFs, bedrucktes Papier (schwerer fälschbar, aber genau schwer ranzukommen).

Gleiches gilt für komplexere Rechnungen, die man als Speadsheet (z.B. OpenOffice) vorliegen hat, kann man die hinterlegen? Darin kann man Rechnungen, Grafiken und Gedankengänge darstellen. --2003:C3:6727:DB00:B17E:BA40:97CE:BA6F 16:24, 9. Apr. 2022 (CEST)

Sind als Quellenangaben jedenfalls nicht erlaubt und in der Regel auch nicht anderswo nicht Veröffentlichtes (da Original Research). Ich weiss nicht genau was dir vorschwebt, aber wenn es zum Beispiel um Lösungen von diophantischen Gleichungen geht, die man auch auf dem Taschenrechner überprüfen kann, ist das wahrscheinlich kein Problem. Aber dazu braucht man keine Programmcodes hinterlegen. Eine Sammelstelle für Programme bei wikipedia oder damit verbundenen Projekten ist mir nicht bekannt, du kannst ja mal bei Wikipedia:Fragen zur Wikipedia nachfragen.--Claude J (Diskussion) 09:08, 11. Apr. 2022 (CEST)

Kleine Anpassung?

Schlage vor, diesen Satz

Da es nach der Berechenbarkeitstheorie rekursiv aufzählbare Mengen gibt, die nicht entscheidbar sind (nach einem Argument basierend auf Cantor-Diagonalisierung wie beim Halteproblem), folgt, dass Hilberts zehntes Problem nicht lösbar ist.

wie fogt zu präzisieren

Da es nach der Berechenbarkeitstheorie rekursiv aufzählbare Mengen gibt, die nicht entscheidbar sind (nach einem Argument basierend auf Cantor-Diagonalisierung wie beim Halteproblem) - und die diophantische Mengen zu diesen Mengen zählen - folgt, dass Hilberts zehntes Problem nicht lösbar ist.

Also um deutlich zu machen, dass für diophantische Mengen gilt, dass sie rekursiv aufzählbar und nicht entscheidbar sind. (Denn - bitte korrigiert mich - nicht alle rekursiv aufzählbaren Mengen sind nicht entscheidbar.)

Einwände? --Albertshausen (Diskussion) 14:22, 11. Okt. 2022 (CEST)

ja,dagegen. Die Argumentationskette ist doch angegeben. Der wesentliche Punkt ist, dass jede rekursiv aufzählbare Menge diophantisch ist und nicht bloss dass diophantische Mengen rekursiv aufzählbar sind.--Claude J (Diskussion) 16:45, 11. Okt. 2022 (CEST)