Diskussion:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Definition ungenau

Im Abschnitt Definition wird zu ungenau mit den Begriffen der Maßtheorie umgegangen. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, also ein Wahrscheinlichkeitsmaß, ist nie nur auf einer Menge definiert, sondern immer auf einer Sigma-Algebra mit mindestens zwei Elementen (es gibt kein Wkt.-Maß auf der leeren Menge). Die Intuition, dass eine diskrete Wkt.-Verteilung einem einzelnen Element einer Menge einen positiven Wert zuordnet, ist dann eher eine Eigenschaft der Dichte des Maßes bzgl. des Zählmaßes auf der zugrundeliegenden Menge.

Der entscheidende Punkt von diskreten Verteilungen ist ja gerade, dass es eine ein-elementige Menge $\{x\}$ mit $P(\{x\})>0$ gibt.

Liebe Grüße -- 2A02:8109:A7BF:E964:5924:56C8:FA88:812 16:02, 30. Dez. 2016 (CET)

Danke für denn Hinweis. Es gibt mehrerlei Gründe für diese Ungenauigkeit. Größter Punkt ist sicherlich der Konsens, dass abzählbar unendliche Mengen fast immer mit der Potenzmenge als Sigma-Algebra versehen werden und dieses Vorgehen auch als kanonisch angesehen wird. Sprich: wird nichts weiteres gesagt, ist es immer die Potenzmenge. Dies stützt die ersten beiden Punkte in der Definition. Der dritte Punkt: ja, er ist ungenau. Präzise müsste es heißen: Eine Menge $\Omega$, versehen mit einer Sigma-Algebra ${\mathcal {A}}$ , die alle Punktmengen der Form $\{x\}$ enthält. (Andererseit von der Definition eines Rein atomares Maßes kommend müssten nichtmal die Punktmengen enthalten sein). Aber auch hier wieder: Die gewählte Sigma-Algebra ist fast immer die Borelsche Sigma-Algebra, und die enthält die Punktmengen, sobald die Grundmenge ein T1-Raum ist. Mir selbst ist glaube ich noch nie bewusst vorgekommen, dass ein Raum wiklich "Kein" T1-Raum ist. Didaktisch/Pragmatisch ist das wie mit Zufallsvariablen: Stikt formell müsste auch immer noch eine Sigma-Algebra angegeben werden, aber wenn eine diskrete Zufallsvariable mit Werten in einem Raum $\Omega$ gegeben ist dann , so geht man auch von den typischen Fällen aus. Des weiteren sind die Angegebenen Definitionen so gut wie möglich an das Niveau des Lesers angepasst. Zu viel Maßtheorie macht da Angst ;) . Nichtsdestotrotz: wenn du eine gute möglichkeit siehst, das formell klarer zu gestalten, dann tu es. Sei mutig! Das ganze lebt ja vom Mitmachen- LG und schönen Abend, --NikelsenH (Diskussion) 19:46, 30. Dez. 2016 (CET)

Vielen Dank für die Erläuterungen, genau dafür hab ich's erstmal auf der Disk bemerkt, statt sofort was zu ändern. Außerdem gut zu wissen, dass die "Potenzmengen-Konvention" auch in der reinen Stochastik durchgestellt ist, in meinem Feld (randomisierte Algorithmik) verliert auch niemand ein Wort darüber, welche Sigma-Algebra man betrachtet. Auf jeden Fall noch einmal vielen Dank!

Liebe Grüße -- 2A02:8109:A7BF:E964:207E:6D30:57BB:EFCA 12:21, 31. Dez. 2016 (CET)

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

"Diese zeichnet sich bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen dadurch aus, dass sie stückweise konstant ist." Dieser Satz ist so nicht richtig. Beispiel: Die Funktion $c:\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ sei eine Bijektion (Abzählung der rationalen Zahlen). Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(\{c(n)\})=2^{-n}$ für $n\in \mathbb {N}$ hat eine Verteilungsfunktion ohne konstante Teilstücke.--Sigma^2 (Diskussion) 11:29, 13. Jan. 2022 (CET)--Sigma^2 (Diskussion) 12:26, 13. Jan. 2022 (CET)