Diskussion:Duale Basis

Beispiele

Ich habe ein Beispiel einer Basis eingefügt, bei der die Elemente keine Vektoren sind. Wenn jemand ein besseres kurzes Beispiel dafür hat, kann er meins auch löschen. Oder einfach ergänzen. Grüße, --C. Greif 21:52, 12. Feb. 2023 (CEST)

Abschnitt „Konstruktion“ - Was ist I?

Der erste Satz im Abschnitt „Konstruktion“ lautet momentan:

Es sei $(e_{i})_{i\in I}$ eine Hamelbasis eines Vektorraums $V$ über einem Körper $K$ (in Anwendungen oft $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$).

Dabei ist nicht klar, was $I$ ist. Ich vermute, dass $I\subseteq \mathbb {N}$ ist und einfach die Basisvektoren „durchnummeriert“.

Dabei kann man keine einfachere Schreibweie, wie $\{e_{1},...,e_{n}\}$ nehmen, da die Basis eventuell auch unendlichdimensional ist. Stimmt das?

Falls ja, könnte man diesen Satz vielleicht so umschreiben:

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$. Der Körper ist in Anwendungen oft $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$. Weiter sei $I\subseteq \mathbb {N}$ und $(e_{i})_{i\in I}$ eine Hamelbasis von $V$.

Wäre das in Ordnung?

Grüße, --Martin Thoma 16:10, 28. Aug. 2012 (CEST)

Späte Antwort: Wenn die Basis nicht endlich ist, dann ist sie in vielen Fällen noch nicht einmal abzählbar. Man kann dann als Indexmenge also keine Teilmenge von $\mathbb {N}$ nehmen. --Digamma (Diskussion) 20:44, 20. Okt. 2014 (CEST)

Dimension

Wenn die $e_{i}^{*}$ nur im endlich-dimensionalen Fall eine Basis bilden, ergibt es nicht viel Sinn, sie auch für den unendlichdimensionalen Fall zu definieren, zumal dies das Verständnis doch deutlich erschwert. Ich formuliere dies deswegen entsprechend um. --Digamma (Diskussion) 20:53, 20. Okt. 2014 (CEST)

Zwei Bedeutungen

"Duale Basis" hat unterschiedliche, wenn auch eng verwandte Bedeutungen:

1. die allgemeinere, abstrakte Bedeutung: Das ist die Definition im Artikel. Gegeben ein Vektorraum V und darin eine Basis $(b_{1},...b_{n})$, dann ist die duale Basis eine spezielle Basis $(b_{1}^{*},\dots ,b_{n}^{*})$ des Dualraums $V^{*}$, definiert durch $b_{i}^{*}(b_{j})=\delta _{ij}$.
2. In manchen Fällen kann man den Vektorraum mit seinem Dualraum identifizieren. Z.B. ist das beim Koordinatenraum $K^{n}$ der Fall oder wenn der Raum mit einem Skalarprodukt $\langle ,\rangle$ versehen ist. In diesem Fall ist die duale Basis eine Basis des ursprünglichen Vektorraums definiert durch $(b_{i}^{*})^{T}b_{j}=\delta _{ij}$ bzw. $\langle b_{i}^{*},b_{j}\rangle =\delta _{ij}$.

Diesen Unterschied sollte man im Artikel klarer herausarbeiten. --Digamma (Diskussion) 21:25, 20. Okt. 2016 (CEST)

Abschnitt Berechnung

Der Teil zum dreidimensionalen Vektorraum ist mathematisch sinnlos. Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor aus R^3, die dualen Basisvektoren sind dagegen logischer Weise aus dem Dualraum (R^3)*. Isomorphismen zwischen Vektorraum und Dualraum sind bei vorhandenem Skalarprodukt zwar definierbar, haben aber im mathematischen Artikel zur dualen Basis nichts verloren. (nicht signierter Beitrag von 91.7.78.146 (Diskussion) 13:52, 28. Jan. 2017 (CET))

Weiter oben im Abschnitt wurden ja schon die Elemente von (R^3)* mit Zeilenvektoren identifiziert. Man müsste dann bei den Formeln eigentlich nur noch transponieren, oder? -- HilberTraum (d, m) 17:37, 28. Jan. 2017 (CET)

Formal ja. Finde ich aber unschön.

Und eigentlich steckt mehr dahinter: Da man den euklidischen Vektorraum mit seinem Dualraum identifizieren kann, kann man zu einer Basis eines euklidischen Vektorraums auch eine duale Basis als Basis des Vektorraums selbst definieren. An die Stelle der Bedingung $e_{i}^{*}(e_{j})=\delta _{ij}$ tritt dann die Bedingung $\langle e_{i}^{*},e_{j}\rangle =\delta _{ij}$. Und ich denke, dass das hier in diesem Sinn gemeint ist. Das richtige wäre also, den Artikel in diesem Sinn zu ergänzen.

Diese Sichtweise tritt auf bei der Rechnung mit Vektoren und Tensoren in Räumen mit krummlinigen (und nicht orthogonalen) Koordinatensystemen. In Literatur dazu sollte man auch Belege finden. --Digamma (Diskussion) 18:20, 28. Jan. 2017 (CET)

PS: 1. Der Abschnitt wurde von Benutzer:Alva2004 eingefügt. Vielleicht möchte er sich ja da äußern.

2: Ich sehe gerade, dass mich zu den zwei unterschiedlichen Sichtweisen schon im Abschnitt oben geäußert habe. --Digamma (Diskussion) 18:27, 28. Jan. 2017 (CET)

Den Beitrag „Zwei Bedeutungen “ hatte ich leider übersehen. Ich kannte „Duale Basis“ bisher nur in der ersten Bedeutung, die kein Skalarprodukt benötigt (wird „Duale Basis“ in der zweiten Bedeutung tatsächlich irgendwo verwendet?). Wenn man beide Sichtweisen drin lässt sollte man auch meiner Meinung nach den Unterschied klar herausstellen. Vor allem dass die erste Sichtweise zwar auch eine Isomorphie definiert, die aber abhängig ist von der gewählten Basis.

Ich habe mich im Artikel „Vektor“, Abschnitt „Invarianten“ über die Schreibweise mit dem Punkt gewundert und bin über den Link hier her gelangt. Es wäre besser die Schreibweisen einheitlich zu halten, also dort $\alpha _{i}={\vec {a}}^{i}\cdot {\vec {v}}$ ersetzen durch $\alpha _{i}={\vec {a}}^{i}({\vec {v}})$. (nicht signierter Beitrag von 91.7.78.146 (Diskussion) 19:10, 28. Jan. 2017 (CET))

Das war derselbe Autor, Benutzer:Alva2004. Mal sehen, was er dazu sagt. --Digamma (Diskussion) 20:38, 28. Jan. 2017 (CET)

Eine duale Basis wird in den Ingenieurwissenschaften so wie von mir angegeben definiert, OHNE Dualraum oder lineare Abbildungen. Ich möchte "die mathematische Sichtweise" nicht kommentieren, sondern nur darauf hinweisen, dass der von mir eingefügte Abschnitt ein wichtiger ist für angehende Ingenieure und OMA, für die der 3D-Vektorraum mit Skalarprodukt eine besondere Relevanz hat. Darauf bitte ich Rücksicht zu nehmen! Der Begriff "Duale Basis" in der von mir angegebenen Form benötigt keinen Dualraum, noch irgendeine Abbildung. Es sind einfach drei Vektoren, die auf drei anderen Vektoren senkrecht stehen und eine bestimmte Länge besitzen. Das muss imho in diesem Artikel für nicht-Mathematiker, die ja in der Mehrheit sind, erwähnt werden! Der Artikel Dualraum ist übrigens für mich unverständlich. Ich würde mich freuen, wenn die mathematischen Artikeln für nicht-Mathematiker verständlicher ausgeführt würden, insbesondere indem die einfachen, in 3d gültigen Sachverhalte, vorangestellt werden und der allgemeine Fall irgendwo weiter unten! Ich fänd's prima, wenn "mein" Abschnitt die Einleitung bildete und der allgemeine Teil danach folgte. Das würde imho die Verständlichkeit dieses Artikels für die Mehrheit drastisch erhöhen. --Alva2004 (Diskussion) 10:38, 29. Jan. 2017 (CET)

Weiter unten taucht das gleiche nochmal auf bei Kristallographie. Ein eigener Abschnitt „Alternative Bedeutung in Kristallographie und Ingenieurwissenschaften“ wäre mein Vorschlag, denn es ist ja nicht einfach der Spezialfall R^3, sondern tatsächlich eine andere Bedeutung wenn diese 3 Vektoren aus V, nicht aus V* sind.

Als Einleitung fände ich das eher umständlich. Man könnte zwar zunächst die Menge aller linearen Abbildungen als Menge aller Zeilenvektoren einführen, müsste aber immer noch den Schritt Zeilenvektor mal Spaltenvektor = Skalarprodukt im R^3 machen und irgendwie betonen dass Zeilen- und Spaltenvektoren eigentlich aus 2 verschiedenen Räumen sind. Da wärs‘ im Endeffekt einfacher, beide Definitionen getrennt zu bringen. (nicht signierter Beitrag von 91.7.78.146 (Diskussion) 18:06, 29. Jan. 2017 (CET))

Mein Vorschlag wäre konkret:

Einleitung: Es gibt 2 verschiedene Bedeutungen

Abschnitt Mathematik: Unterabschnitte Definition, Berechnung, Tensor-Schreibweise

Abschnitt Ingenieurwissenchaften und Kristallographie: Unterabschnitte Definition(Der Abschnitt von Alva2004), Kristallographie

In der zweiten Definition würde ich noch Vektorpfeile über die e_i machen, damit deutlich ist, dass es keine ONB sein muss. Die Reihenfolge der beiden Abschnitte ist mir dabei egal. Findet das Zustimmung? (nicht signierter Beitrag von 84.161.229.2 (Diskussion) 21:27, 30. Jan. 2017 (CET))

Der Vorschlag gefällt mir sehr. Allerdings würde ich die Abschnitte anders nennen. Denn auch das, was in den zweiten Abschnitt soll, ist Mathematik. Mein Vorschlag für die Überschriften wäre: "Im Dualraum" und "Im euklidischen Raum". --Digamma (Diskussion) 12:29, 31. Jan. 2017 (CET)

Vielen Dank für die Bearbeitung. Möchtest du dich nicht anmelden? Ich denke, du könntest den Mathematik-Bereich hier sehr bereichern. Viele Grüße, --Digamma (Diskussion) 18:29, 1. Feb. 2017 (CET)

Schön zu sehen, dass meine Bearbeitung positiv aufgenommen wird. Wenn mir wieder mal was auffällt, werde ich mich wohl anmelden. Bis dann. (nicht signierter Beitrag von 84.161.229.2 (Diskussion) 20:14, 1. Feb. 2017 (CET))

Ich werden noch ein paar Dinge überarbeiten. Vielleicht magst du ein Auge drauf haben. Insbesondere kommt mir der Abschnitt über die Tensor-Schreibweise seltsam vor. --Digamma (Diskussion) 20:29, 1. Feb. 2017 (CET)

Ich kenne diese Form der Tensor-Schreibweise nicht, deshalb habe ich den Abschnitt unverändert übernommen. Ich könnte mir vorstellen dass damit der Tetraden-Formalismus gemeint ist, en:Tetrad_formalism, bin mir aber nicht sicher. (nicht signierter Beitrag von 84.161.229.2 (Diskussion) 21:01, 1. Feb. 2017 (CET))

Ich habe vor allem den Eindruck, dass die Indizes falsch stehen. Wenn ich mich nicht irre, dann sind bei Vektoren die Indizes bei den Komponenten oben, bei den Basisvektoren aber unten. Bei Kovektoren ist es andersrum. Ich habe mir den Text aber noch nicht genau angeschaut. --Digamma (Diskussion) 21:09, 1. Feb. 2017 (CET)

Vielleicht so: Basis $e_{(a)}$, dazu duale Basis $e^{(b)}$ mit $e^{(b)}(e_{(a)})={\delta ^{b}}_{a}$. Transformation $e'_{(a)}=e_{(c)}{L^{c}}_{a}$ und $e'^{(b)}={{L^{-1}}^{b}}_{c}e^{(c)}$, die Indexpositionen an L also passend zur Einsteinsummenkonvention und es ist $e'^{(b)}(e'_{(a)})={\delta ^{b}}_{a}$. Die Indexpositionen an Kompononenten von Vektoren und Kovektoren kenne ich auch so wie Du, das würde dann ja auch passen, z.B. $v'^{a}={{L^{-1}}^{a}}_{c}v^{c}$. ${e^{i}}_{(a)}$ gehört wohl zur Darstellung von $e_{(a)}$ bzgl einer Koordinatenbasis ${\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$. (nicht signierter Beitrag von 84.161.229.2 (Diskussion) 22:10, 1. Feb. 2017 (CET))

@Digamma, Aka, Schnabeltassentier, HilberTraum: Prima, ich bin begeistert und bedanke mich bei allen Beitragenden! Hab mir noch erlaubt, ein paar Ergänzungen einzubringen.

Könntet Ihr bitte noch den Artikel Dualraum und Kotangentialraum bearbeiten? Dort müsste vlt genau so eine Zweiteilung erfolgen?! Denn der Dualraum und Kotangentialraum wird auch in der Kontinuumsmechanik und der Differentialgeometrie gebraucht, also vorrangig im 3D euklidischen Vektorraum. Dazu müsste im Artikel Dualraum und Kotangentialraum das, was oben steht,

„Man könnte zwar zunächst die Menge aller linearen Abbildungen als Menge aller Zeilenvektoren einführen, müsste aber immer noch den Schritt Zeilenvektor mal Spaltenvektor = Skalarprodukt im R^3 machen und irgendwie betonen dass Zeilen- und Spaltenvektoren eigentlich aus 2 verschiedenen Räumen sind“

im Detail ausgeführt werden. Dualraum und Kotangentialraum sind mir komplett und Tangentialraum weitgehend unverständlich und würden imho sehr gewinnen, wenn der anschauliche und wichtige Spezialfall 3d-euklidischer Vektorraum mit 2d-Flächen aufgeführt würde! --Alva2004 (Diskussion)

Bitte solche Beiträge nicht als "Nur Kleinigkeiten wurden verändert" kennzeichnen, sonst werden sie leicht ignoriert.

Mir ist nicht so recht klar, was du mit dem Dualraum in der Kontinuumsmechanik und der Differentialgeometrie meinst? Meinst du den reziproken Raum? Der Dualraum wurde genau für den Fall eingeführt, dass man es nicht mit einem euklidischen Raum zu tun hat. In einem euklidischen Raum kann man ein Element des Dualraums (Linearform, Kovektor) immer mit einem Vektor identifizieren, deshalb braucht man da den Dualraum eigentlich nicht. Eine wichtige Rolle spielt er dann, wenn man kein Skalarprodukt bzw. keine Riemannsche Metrik zur Verfügung hat.

Beispiel: Die totale Ableitung einer Funktion $f$ mehrerer Variablen ist eigentlich eine Linearform (das Differential $df$), also ein Element des Dualraums. Vermöge des Skalarprodukts kann man diese durch einen Vektor, den Gradienten $\operatorname {grad} f$ ersetzen. --Digamma (Diskussion) 17:12, 2. Feb. 2017 (CET)

@Alva2004: Hast du Literatur zur Hand, die man hier als Belege ergänzen könnte? Die bisherigen Belege / Quellen beziehen sich alle auf den Dualraum im ersten Sinn. --Digamma (Diskussion) 17:17, 2. Feb. 2017 (CET)

Mir geht es vor allem um die Verständlichkeit von Tangentialraum und Kotangentialraum, die die Urbild- und Bildräume des Deformationsgradienten sind, A. Bertram: Axiomatische Einführung in die Kontinuumsmechanik. Wissenschaftsverlag, 1989, ISBN 3-411-14031-3, S. 44 ff. und 58. . Und weil der Kotangentialraum der Dualraum des Tangentialraums ist, kommt auch der Dualraum rein, deren Artikel in ihrer jetzigen Form leider keinerlei Klarheit bringen. Die Info ("In einem euklidischen Raum kann man ein Element des Dualraums (Linearform, Kovektor) immer mit einem Vektor identifizieren") ist z.B. schon mal sehr hilfreich und sollte in den Artikeln ausdrücklich hervorgehoben und diskutiert werden, weil das entweder ein wichtiger Spezialfall ist oder irrelevant ist. Letztere Sichtweise fände ich schade. Ich würde mir in Dualraum, Tangentialraum und Kotangentialraum jeweils einen Abschnitt wünschen, der in der Sprache der Schulmathematik (sehr schön bei Vektor) die Begriffe anhand des 3D euklidischen Vektorraums mit 2D Flächen erläutert. Sehr wünschenswert: Bilder! Dass es dort besonders einfach zugeht, sollte nicht abschrecken sondern Motivation sein. --Alva2004 (Diskussion) 10:24, 3. Feb. 2017 (CET)

Verständlichkeit ist natürlich immer gut ;) aber speziell zum dreidimensionalen Anschauungsfall wollte ich nur anmerken, dass es dazu schon einen Artikel Tangentialebene gibt. -- HilberTraum (d, m) 13:27, 3. Feb. 2017 (CET)

kovariante Basis (schwarze Vektoren) und kontravariante Basis (blaue Vektoren)

Der gefällt mir. In der Art den Tangential(vektor)raum im euklidischen Vektorraum beschrieben wäre toll. Nach meinem phantasierten Verständnis ist es so:

Die kovarianten Tangentenvektoren an Koordinatenlinien spannen einen Tangentialraum auf und bilden eine Basis dieses Raums. Die kontravarianten Tangentenvektoren spannen den Kotangentialraum auf und bilden eine Basis dieses Raums. Der Kotangentialraum ist dual zum Tangentialraum. Im euklidischen Vektorraum stimmen Tangentialraum und Kotangentialraum überein, siehe Bild.

Wenn das so stimmt, würde mir das schon reichen als Ergänzung in Tangentialraum und Kotangentialraum. Im Dualraum würde der Satz

In einem euklidischen Raum kann man ein Element des Dualraums (Linearform, Kovektor) immer mit einem Vektor identifizieren

schon reichen. Wenn ich mit meinem phantasierten Verständnis richtig liege, dann könnte ich das ja ausführen... --Alva2004 (Diskussion) 11:51, 4. Feb. 2017 (CET)

Die beiden dyadischen Produkte im Teil „Definition und Berechnung“ zum Euklidischen Vektorraum stimmen nicht. Ferner sind die ${\vec {a}}_{i}$ nicht die Spalten von $A$ und die ${\vec {a}}_{i}^{*}$ auch nicht die Zeilen von $A^{-1}$. Meiner Meinung nach wäre der Teil in einer Art Matrixschreibweise einfacher nachvollziehbar. Seien z.B. $a={\begin{pmatrix}{\vec {a}}_{1}&\cdots &{\vec {a}}_{n}\end{pmatrix}}$, $a^{*}={\begin{pmatrix}{\vec {a}}_{1}^{*}&\cdots &{\vec {a}}_{n}^{*}\end{pmatrix}}$ und ${\hat {e}}={\begin{pmatrix}{\hat {e}}_{1}&\cdots &{\hat {e}}_{n}\end{pmatrix}}$ Matrizen, die aus den jeweiligen Basisvektoren spaltenweise zusammengesetzt sind. Dann wären ${a^{*}}^{T}a=I$, der beschriebene Basiswechsel wäre $a={\hat {e}}A$ und durch den „Vergleich“ mit $({\hat {e}}{A^{-1}}^{T})^{T}a=A^{-1}A=I$ erhielte man $a^{*}={\hat {e}}{A^{-1}}^{T}$. Dann wird auch schnell klar, dass die Aussage mit den aufsummierten dyadischen Produkten nicht zum Rest passt, man kann diese nämlich ebenfalls umformulieren zu $A=a{\hat {e}}^{T}$ und $A^{-1}={\hat {e}}{a^{*}}^{T}$. Richtig wären $A={\hat {e}}^{T}a$ und $A^{-1}={a^{*}}^{T}{\hat {e}}$. Meine Notation ist wahrscheinlich Käse – Kleinbuchstaben für Matrizen? Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand mit mehr Verständnis von der Materie den Teil hinsichtlich Korrektheit und Verständlichkeit überarbeiten würde. --Prömmler (Diskussion) 20:27, 29. Dez. 2019 (CET)