Diskussion:Dyadisches Produkt

Unmathematische Formulierung

"Fasst man die Komponentenschemata der Vektoren aber als Matrizen auf und multipliziert diese nach den Gesetzen der Matrizenrechnung, dann hängt das Ergebnis entschieden davon ab, ob die Vektoren als Zeilen- oder Spaltenvektor dargestellt werden."

Seit wann hängt das Ergebnis einer mathematischen Operation von der Darstellung der Objekte ab? Und dann auch noch "entschieden" (= entschlossen, energisch)? Müsste es nicht "entscheidend" (= ausschlaggebend) heißen? Die Gleichsetzung eines Spalten- mit einem Zeilenvektor in

$\mathbf {a} =\left({a_{1}\,\,\,a_{2}}\right)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,\,\,\,\,\mathbf {b} =\left(b_{1}\,\,\,b_{2}\right)={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$

ist die Wurzel des vorliegenden Übels. Akzeptabel ist es, wenn man zunächst festlegt, was mit einem Vektor gemeint sein soll. Folgt man der Konvention, unter einen Vektor einen Spaltenvektor (also eine Matrix mit einer Spalte)

$\mathbf {a} :={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}$

zu verstehen, so lässt sich das Skalarprodukt wie folgt definieren und entsprechend den Regeln der Matrizenmultiplikation ("Zeile mal Spalte") auswerten:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} :=\mathbf {a} ^{T}\mathbf {b} =\left({a_{1}\,\,\,a_{2}}\right){\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$

Analog für die Dyade:

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} :=\mathbf {a} \mathbf {b} ^{T}={\begin{pmatrix}{a_{1}}\\{a_{2}}\end{pmatrix}}\left({b_{1}\,\,\,b_{2}}\right)={\begin{pmatrix}{a_{1}b_{1}}&{a_{1}b_{2}}\\{a_{2}b_{1}}&{a_{2}b_{2}}\end{pmatrix}}$

Irgendwelche "Ergebnisse", die von Darstellungen abhängen, gibt bei dieser Vorgehensweise nicht. Das hochgestellte "T" bezeichnet die Transponierte Matrix. (nicht signierter Beitrag von 80.142.13.53 (Diskussion | Beiträge) 10:08, 25. Mär. 2007 (CEST))

Ja, das sehe ich genauso. Ich habe mal ein paar Sachen geändert, hoffe da fühlt sich niemand auf die Füße getreten. Und da ich kein Mathematiker bin hab ich noch ein paar Fragen:

1. Ist das dyadische Produkt eine mathematische Verknüpfung?
2. Zu folgendem Satz habe ich keine Referenz gefunden: "Das Symbol $\otimes$ bezeichnet auch Tensorprodukte und Kronecker-Produkte; das dyadische Produkt ist Spezialfall von beiden." Stimmt das? Und wenn ja, wo stehts?
3. Lässt sich durch Singulärwertzerlegung der Dyade die eigentlichen Vektoren zurückgewinnen?
4. Sollte erwähnt werden, dass auch Rang = 0 existieren kann? Oder ist das zu trivial?
5. Wie schreibe ich das Kapitel Eigenschaften korrekt? (Lambda, x, y und z müssen ja vorher irgendiwe definiert werden)
6. Das letzte Kapitel habe ich mal drin gelassen auch wenn keine Referenz angegeben ist, sollte das so bleiben?

Gute Nacht erst einmal. --Nuke160 03:20, 16. Jan. 2010 (CET)

Name

Wie nennt man die Matrix, die aus dem dyadischen Produkt entsteht? Gibt es dafür ein bestimmten Namen? Es lässt sich ja durch das dyadische Produkt nicht jede denkbare Matrix erstellen. --Nuke160 18:55, 10. Jan. 2010 (CET)

Richtig, durch ein dyadisches Produkt erhält man gerade eine Rang-Eins-Matrix. Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:23, 26. Aug. 2013 (CEST)

Symbole definieren?

Hallo Leute, bin Laie und habe nicht den blassesten Schimmer, was die spitzen Klammern inklusive des darin vorkommenden Beistriches, hier bedeuten mögen: http://upload.wikimedia.org/math/b/b/9/bb90f3a643f48f16ce589ab66ce85c56.png (im Punkt "Verwendung"). Genauso rätselhaft ist mir, welche Verknüfung das ist, deren Zeichen weggelassen wurde. Bitte um Aufklärung :( ----91.115.7.12 16:50, 16. Apr. 2010 (CEST)----

gudn tach!

<.,.> ist ein skalarprodukt. hab's im artikel ergaenzt. weggelassen wird haeufig der multiplikationspunkt. -- seth 21:54, 22. Apr. 2010 (CEST)

Verknüpfung benennen

In einer Facharbeit habe ich gelesen, dass das eingekreiste x so gelesen weden soll: "mal im Kreis".

Wenn das stimmt, sollte man das im Artikel noch ergänzen.

87.165.148.231 11:20, 18. Jun. 2010 (CEST)

Habe ich noch nie gehört. Vermutlich handelt es sich hier um eine Wortschöpfung des Schülers. --Quartl (Diskussion) 09:10, 26. Aug. 2013 (CEST)

Anregung

Schön wäre noch was zum Zusammenhang mit Kronecker-Produkt und Tensorprodukt. Das dyadische Produkt ist wohl ein Spezialfall von den beiden? (Und benutzt deshalb auch das gleiche Symbol.) -- HilberTraum (Diskussion) 08:34, 26. Aug. 2013 (CEST)

Ja, das Kronecker-Produkt habe ich schon mal ergänzt. Das Tensorprodukt ist eigentlich ein Produkt von Räumen, da müsste ich in dem Artikel erst die Kurve hin bekommen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:06, 26. Aug. 2013 (CEST)

Ohne Literaturrecherche ist mir der Zusammenhang auch noch nicht so ganz klar, aber irgendwie sollten dyadische Produkte doch Elemente von $\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}$ (oder $(\mathbb {R} ^{m})'\otimes \mathbb {R} ^{n}$?) sein, oder sich zumindest kanonisch als solche auffassen lassen. -- HilberTraum (Diskussion) 09:25, 26. Aug. 2013 (CEST)

Hm, irgendwas ist in unserem Artikel Tensorprodukt merkwürdig: dort ist offenbar $\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}$ der Raum aller reellen Matrizen $\mathbb {R} ^{m\times n}$ mit Dimension $m\cdot n$, aber $x\otimes y\in \mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}$ liefert nur eine Rang-Eins-Matrix. Ich hätte jetzt irgendwie erwartet, dass $\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}$ der Raum der Rang-Eins-Matrizen ist, ansonsten macht die Notation doch keinen Sinn. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:55, 26. Aug. 2013 (CEST)

Wie gesagt, bin ich jetzt auch nicht gerade der große Tensorexperte, aber meiner Meinung passt das schon so: $\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}$ besteht nicht nur aus den Elementen $x\otimes y$, sondern auch aus allen Linearkombinationen von solchen. Und die $x\otimes y$ entsprechen gerade den dyadischen Produkten (was auch die Schreibweise erklären würde). -- HilberTraum (Diskussion) 10:31, 26. Aug. 2013 (CEST)

Also hat man

$\mathbb {R} ^{m\times n}=\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}=\operatorname {span} \{x\otimes y\mid x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}\}$ ?

Vielleicht findet sich ja noch ein Tensorexperte, der das sauber in den Artikel integrieren kann (oder ich selbst werde noch zu einem). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:47, 26. Aug. 2013 (CEST)

Ja, ich denke das stimmt so (oder besser "isomorph" statt dem ersten gleich). Ganz unten in Tensorprodukt#Struktur der Elemente steht auch noch ein bisschen was dazu, (wobei der Artikel Tensorprodukt auf mich einen total chaotischen Eindruck macht ...) -- HilberTraum (Diskussion) 11:17, 26. Aug. 2013 (CEST)

Ok, ich habs mal so gelöst. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:55, 26. Aug. 2013 (CEST)

Komplexe Variante

Das dyadische Produkt kann offenbar auch für komplexe Vektoren durch

$x\otimes y=x\cdot y^{H}$

definiert werden [1]. Hat jemand eine Idee, wie man das in den Artikel integrieren könnte, ohne ihn komplett umzukrempeln? Oder sollte man besser den reellen oder komplexen Fall parallel abhandeln? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:19, 18. Mär. 2015 (CET)

Koordinatenfreie Darstellung

Die Behauptung "In Koordinatendarstellung ist das oben als Matrix definierte dyadische Produkt zweier Spaltenvektoren gerade die Abbildungsmatrix dieser linearen Abbildung" gilt nur bei Koordinatendarstellung bzgl. einer ONB in V_1. Dadurch sind die folgenden Rechenregeln und das Skalarprodukt zweier Tensoren durch Spurbildung auch nicht wirklich koordinatenfrei. Es sollte m.E. erläutert werden, in welchem Sinne diese Gleichungen gelten.--2003:EE:E73F:B28:4C1A:6D09:5ED6:45C1 15:35, 17. Mär. 2020 (CET)

+1 das dyadische Produkt hat mit Koordinaten nichts zu tun! Besser wäre es, das dyadische Produkt koordinatenfrei wie in $(a\otimes b)\cdot c=(b\cdot c)a$ einzuführen und dann auf die koordinaten-Darstellung zu spezialisieren. Vektoren wissen nichts von Matrix, Spalten und Zeilen sondern nur von Skalarprodukt und Addition! --Alva2004 (Diskussion) 21:16, 18. Mär. 2020 (CET)

Dyadisches Produkt verkettet

Was kommt bei der Operation ${\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\otimes {\vec {z}}$ für eine Matrix heraus? Nach dem ersten $\otimes$ habe ich bereits eine Matrix. Diese wird dann mit $\otimes {\vec {z}}$ verknüpft, also Matrix $\otimes$ Vektor, wo doch das dyadische Produkt nur für 2 Vektoren gilt? Wie passt das zusammen? --OnkelSchuppig (Diskussion) 18:45, 10. Okt. 2020 (CEST)

Wer macht denn sowas? --Bleckneuhaus (Diskussion) 20:21, 10. Okt. 2020 (CEST)

Ich denke, dass eine Verkettung dieser Art beim dyadischen Produkt so wenig möglich ist, wie beim Skalarprodukt. Man kann das aber auch als Tensorprodukt auffassen, dann ist das Ergebnis ein Tensor 3. Stufe. --Digamma (Diskussion) 22:40, 10. Okt. 2020 (CEST)

Ja, das mit dem Tensor 3. Stufe macht Sinn. Mich verwirrt, warum es den Begriff "Dyadisches Produkt" überhaupt gibt, wenn es doch nichts anderes als ein Tensorprodukt ist. Als ich das verstanden habe, fiel der Groschen.--OnkelSchuppig (Diskussion) 19:46, 11. Okt. 2020 (CEST)

Eine Matrix ist ein einfacheres Objekt als ein Tensor. Vieler Anwender der Mathematik können etwas mit Matrizen anfangen, aber nicht mit Tensoren. --Digamma (Diskussion) 19:53, 11. Okt. 2020 (CEST)

Verständlichkeit

Ist hier, abgesehen von Verlinkungen, eigentlich Wikipedia:Allgemeinverständlichkeit berücksichtigt? --Georg Hügler (Diskussion) 07:46, 31. Jan. 2023 (CET)

Wenn ich mir als die hier relevante Allgemeinheit diejenigen Leute vorstelle, die nicht nur zufällig auf dieses Lemma kommen und Näheres wissen möchten, dann weiß ich nicht, was man da am Text ändern sollte. --Bleckneuhaus (Diskussion) 18:55, 31. Jan. 2023 (CET)

Es ist jeder relevant, der sich für das Stichwort interessiert. TiHa (Diskussion) 20:06, 31. Jan. 2023 (CET)